ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคสำหรับพื้นผิวอธิบายมิติของระบบเชิงเส้นบนพื้นผิวพีชคณิตรูปแบบคลาสสิกของทฤษฎีบทนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยคาสเตลนูโอโว( 1896 , 1897 ) หลังจากที่ แม็กซ์ โนเธอร์( 1886 )และเอนริเกส( 1894 )ได้ค้นพบรูปแบบเบื้องต้นมาก่อนแล้ว ส่วนรูปแบบ เชิง ทฤษฎีชีฟ นั้นเป็นผลงานของฮิร์เซบรุค   

ทฤษฎีบท Riemann - Roch รูปแบบหนึ่งกล่าวว่า ถ้า${\displaystyle D}$ถ้าเป็นตัวหารบนพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เอกฐานแล้ว

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,}$

ที่ไหน${\displaystyle \chi }$คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์แบบโฮโลมอร์ฟิกจุด${\displaystyle .}$คือหมายเลขจุดตัดและ${\displaystyle K}$เป็นตัวหารมาตรฐาน ค่าคงที่${\displaystyle \chi (0)}$คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกของบันเดิลที่ไม่สำคัญ และเท่ากับ${\displaystyle 1+p_{a}}$, ที่ไหน${\displaystyle p_{a}}$คือเจนัสทางเลขคณิตของพื้นผิว เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ ทฤษฎีบทรีมันน์-รอชสำหรับเส้นโค้งระบุว่า${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+\ชื่อผู้ดำเนินการ {deg} (D)}$.

สูตร ของโนเธอร์ระบุว่า

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}}$

โดยที่χ = χ (0) คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิก, c ² =  ( K . K ) คือจำนวนเชิร์นและจำนวนการตัดกันเองของคลาสแคนอนิกKและe  = c คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโทโพโลยี สามารถใช้แทนเทอมχ (0) ในทฤษฎีบทรีมันน์-รอคด้วยเทอมเชิงโทโพโลยีได้ ซึ่งจะให้ทฤษฎีบทฮิร์เซบรุค-รีมันน์-รอคสำหรับพื้นผิว 

สำหรับพื้นผิวทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Roch นั้นโดยพื้นฐานแล้วคือทฤษฎีบท Riemann–Roch สำหรับพื้นผิวที่รวมกับสูตร Noether เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองนึกย้อนไปว่าสำหรับตัวหารD แต่ละตัว บนพื้นผิว จะมีชีฟผกผันได้L = O( D ) เช่นนั้นระบบเชิงเส้นของDก็คือปริภูมิของส่วนตัดของL โดยประมาณ สำหรับพื้นผิวชั้น Toddคือ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$และลักษณะเฉพาะของเชิร์นของชีฟLก็คือ${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$ดังนั้นทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Roch จึงกล่าวว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

โชคดีที่สามารถเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้ดังนี้ ขั้นแรก การแทนค่าD  =  0 จะแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$  (สูตรของโนเธอร์)

สำหรับชีฟที่ผกผันได้ (บันเดิลเส้น) ชั้นเชิร์นที่สองจะเป็นศูนย์ ผลคูณของชั้นโคฮอโมโลยีที่สองสามารถระบุได้ด้วยจำนวนจุดตัดในกลุ่มปิการ์ดและเราจะได้เวอร์ชันคลาสสิกของรีมันน์-รอชสำหรับพื้นผิว:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(DD-DK)}$

ถ้าเราต้องการ เราสามารถใช้ทฤษฎีคู่ของ Serreเพื่อแสดงh ² (O( D )) เป็นh ⁰ (O( K − D )) ได้ แต่ต่างจากกรณีของเส้นโค้ง โดยทั่วไปแล้วไม่มีวิธีง่ายๆ ที่จะเขียน เทอม h ¹ (O( D )) ในรูปแบบที่ไม่เกี่ยวข้องกับโคฮอโมโลยีชีฟ (แม้ว่าในทางปฏิบัติมันมักจะหายไป)  

รูปแบบแรกสุดของทฤษฎีบทรีมันน์-รอชสำหรับพื้นผิว มักถูกระบุในรูปอสมการมากกว่าสมการ เนื่องจากไม่มีคำอธิบายทางเรขาคณิตโดยตรงของกลุ่มโคฮอโมโลยีแรก ตัวอย่างทั่วไปคือตัวอย่างที่ซาริสกี (1995 , หน้า78)กล่าวไว้ว่า 

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

ที่ไหน

• rคือมิติของระบบเชิงเส้นสมบูรณ์ | D | ของตัวหารD (ดังนั้นr  = h ⁰ (O( D )) − 1) 
• nคือดีกรีเสมือนของDซึ่งกำหนดโดยจำนวนการตัดกันเอง ( D . D )
• πคือจีนัสเสมือนของDเท่ากับ 1 + (DD + KD)/2
• p คือเจเนอรีเชิงเลขคณิตχ (O ) − 1 ของพื้นผิว
• iคือดัชนีความพิเศษของDซึ่งเท่ากับ dim H ⁰ (O( K − D )) (ซึ่งตามทฤษฎีคู่ของ Serre จะเหมือนกับ dim H ² (O(D)))  

ความแตกต่างระหว่างสองด้านของอสมการนี้เรียกว่าส่วนเกินs ของตัวหารDการเปรียบเทียบอสมการนี้กับทฤษฎีบทรีมันน์-รอชในเวอร์ชันชีฟแสดงให้เห็นว่าส่วนเกินของDกำหนดโดยs  =  dim H ¹ (O( D )) ตัวหารDเรียกว่าปกติถ้าi  = s = 0 (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือถ้ากลุ่มโคฮอโมโลยีระดับสูงทั้งหมดของ O( D ) หายไป) และ เรียก ว่าส่วนเกินถ้าs > 0