ทฤษฎีบทการไม่บีบอัดหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทการไม่บีบอัดของโกรโมฟเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก [ ^{1 ] ได้} รับการพิสูจน์ครั้งแรกในปี 1985 โดย มิคา อิล โกรโมฟ^{[ 2 ]} ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า เราไม่สามารถฝังลูกบอลลงในทรงกระบอกโดยใช้แผนที่เชิงซิมเพล็กติกได้ เว้นแต่รัศมีของลูกบอลจะน้อยกว่าหรือเท่ากับรัศมีของทรงกระบอก ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญเพราะก่อนหน้านี้เรารู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเบื้องหลังแผนที่เชิงซิมเพล็กติกน้อยมาก ผลลัพธ์ง่ายๆ อย่างหนึ่งของการแปลงที่เป็นเชิงซิมเพล็กติกคือมันรักษาปริมาตร[ ^{3 ] เรา}สามารถฝังลูกบอลที่มีรัศมีใดๆ ลงในทรงกระบอกที่มีรัศมีอื่นๆ ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ การแปลง ที่รักษาปริมาตร : ลองนึกภาพการบีบลูกบอลเข้าไปในทรงกระบอก (ดังนั้นจึงได้ชื่อว่าทฤษฎีบทการไม่บีบอัด) ดังนั้น ทฤษฎีบทที่ไม่บีบอัดจึงบอกเราว่า แม้ว่าการแปลงเชิงซิมเพล็กติกจะรักษาปริมาตรไว้ได้ แต่เงื่อนไขสำหรับการแปลงที่จะเป็นเชิงซิมเพล็กติกนั้นเข้มงวดกว่าเงื่อนไขสำหรับการแปลงที่จะรักษาปริมาตรไว้ได้มาก

พิจารณาปริภูมิเชิงซิมเพล็กติก

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

${\displaystyle B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},}$

${\displaystyle Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<R^{2}\},}$

แต่ละอันมีรูปแบบซิมเพล็กติก

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

ปริภูมิดังกล่าวเรียกว่าทรงกลมรัศมีและเรียกว่าทรงกระบอกรัศมีการเลือกแกนสำหรับทรงกระบอกนั้นไม่ใช่การเลือกโดยพลการ เนื่องจากรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกที่กำหนดไว้ข้างต้น วงกลมแต่ละวงของทรงกระบอกนั้นอยู่ในปริภูมิย่อยเชิงซิมเพล็กติกของ ${\displaystyle B^{2n}(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle Z^{2n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ถ้าและเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกการ ฝังเชิงซิมเพล็กติกคือการฝังแบบเรียบซึ่งสำหรับ จะ มีการฝังเชิงซิมเพล็กติกที่พาไปยังจุดเดียวกัน${\displaystyle (M,\eta )}$${\displaystyle (N,\nu )}$${\displaystyle \varphi :(M,\eta )\to (N,\nu )}$${\displaystyle \varphi :M\to N}$${\displaystyle \varphi ^{*}\nu =\eta }$${\displaystyle r\leq R}$${\displaystyle B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$${\displaystyle x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$

ทฤษฎีบทการไม่บีบอัดของ Gromovกล่าวว่าหากมีการฝังเชิงซิมเพล็กติกแล้ว^{[ 3 ]}${\displaystyle \varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$${\displaystyle r\leq R}$

ความจุเชิงซิม เพล็กติก คือแผนที่ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle c:\{{\text{symplectic manifolds}}\}\to [0,\infty ]}$

1. (ความเป็นเอกรูป) ถ้ามีการฝังเชิงซิมเพล็กติกและแล้ว${\displaystyle (M,\omega )\to (N,\eta )}$${\displaystyle \dim M=\dim N}$${\displaystyle c(M,\omega )\leq c(N,\eta )}$
2. (ความสอดคล้อง)${\displaystyle c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )}$
3. (ความไม่ธรรมดา) และ. ^{[ 3 ]}${\displaystyle c(B^{2n}(1))>0}$${\displaystyle c(Z^{2n}(1))<\infty }$

การมีอยู่ของความจุเชิงซิมเพล็กติกที่สอดคล้องกับ

${\displaystyle c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi }$

เทียบเท่ากับทฤษฎีบทการไม่บีบอัดของโกรโมฟ เมื่อกำหนดความจุเช่นนั้นแล้ว เราสามารถตรวจสอบทฤษฎีบทการไม่บีบอัดได้ และเมื่อกำหนดทฤษฎีบทการไม่บีบอัดแล้วความกว้างของโกรโมฟก็จะสามารถ หาได้

${\displaystyle w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}}$

เป็นความสามารถดังกล่าว^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทที่ไม่บีบอัดของ Gromov ยังเป็นที่รู้จักในชื่อหลักการของอูฐซิมเพล็กติกนับตั้งแต่Ian Stewartอ้างถึงโดยอ้างอิงถึงอุปมาเรื่องอูฐและรูเข็ม^{[ 4 ]}ดังที่Maurice A. de Gossonกล่าวไว้ว่า:

แล้วทำไมเราจึงอ้างถึง "อูฐเชิงซิมเพล็กติก" ในชื่อบทความนี้? นั่นเป็นเพราะเราสามารถกล่าวซ้ำทฤษฎีบทของโกรโมฟได้ดังนี้: ไม่มีทางใดที่จะเปลี่ยน รูปทรงกลมในปริภูมิ เฟสโดยใช้การแปลงเชิงแคนอนิกในลักษณะที่จะทำให้มันผ่านรูในระนาบพิกัดสังยุคได้ หากพื้นที่ของรูนั้นเล็กกว่าพื้นที่หน้าตัดของทรงกลมนั้น${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle p_{j}}$

ในทำนองเดียวกัน:

โดยสัญชาตญาณแล้ว ปริมาตรในปริภูมิเฟสไม่สามารถยืดออกไปได้ตามระนาบซิมเพล็กติกเฉพาะระนาบหนึ่งๆ เกินกว่าที่ "ความกว้างซิมเพล็กติก" จะอนุญาต กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะบีบอูฐซิมเพล็กติกเข้าไปในรูเข็ม หากเข็มนั้นเล็กพอ นี่เป็นผลลัพธ์ที่ทรงพลังมาก ซึ่งเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับธรรมชาติแบบแฮมิลโทเนียนของระบบ และเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากทฤษฎีบทของลิอูวิลล์ซึ่งสนใจเฉพาะปริมาตรโดยรวมและไม่ได้กำหนดข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับรูปร่าง

แม้ว่าบางครั้งคำว่า "อูฐซิมเพล็กติก" จะถูกใช้ในความหมายกว้างๆ เพื่ออธิบายทฤษฎีบทที่ไม่บีบอัดของ Gromov ในรูปแบบคงที่ แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านโทโพโลยีซิมเพล็กติกจะสงวนคำนี้ไว้สำหรับเวอร์ชันพาราเมตริก ซึ่งเกี่ยวข้องกับความเป็นไปไม่ได้ที่จะย้ายลูกบอลซิมเพล็กติกจากด้านหนึ่งของระนาบไฮเปอร์Hไปยังอีกด้านหนึ่งผ่านตระกูลการฝังซิมเพล็กติกแบบพารามิเตอร์เดียว ในลักษณะที่การลดซิมเพล็กติกของจุดตัดของลูกบอลกับระนาบไฮเปอร์Hจะบรรจุอยู่ในทรงกระบอกที่มีความจุน้อยกว่าเสมอ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

เดอ กอสซง ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทที่ไม่บีบอัดนั้นมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับอสมการโรเบิร์ตสัน-ชโรดิงเกอร์-ไฮเซนเบิร์กซึ่งเป็นการขยายความของความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก อสมการ โรเบิร์ตสัน-ชโรดิงเกอร์-ไฮเซนเบิร์กกล่าวว่า:

${\displaystyle \operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

โดยที่ Q และ P เป็นพิกัดเชิงแคนอนและvarและcovเป็นฟังก์ชันความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วม^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

• De Gosson, Maurice A. (2012). "The Symplectic Egg". arXiv : 1208.5969 [ math-ph ].– รวมถึงการพิสูจน์ทฤษฎีบทในรูปแบบที่แตกต่างออกไปสำหรับกรณีของการแปลงเชิงเส้นแบบแคนอนิ ก
• Dusa McDuff : เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกคืออะไร? , 2009