ในทางคณิตศาสตร์เทนเซอร์ไร้เมตริกในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คืออนุพันธ์ร่วมแปรของเทนเซอร์เมตริกสามารถตีความได้ว่าเป็นการที่การเชื่อมต่อล้มเหลวในการเคลื่อนย้ายเมตริกแบบขนานในทางกายภาพ สิ่งนี้สอดคล้องกับการที่เมตริกไม่สามารถรักษาค่ามุมและความยาวไว้ได้ภายใต้การเคลื่อนย้ายแบบขนาน

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นท่อร่วมที่ติดตั้งด้วยหน่วยเมตริก${\displaystyle g}$และปล่อยให้${\displaystyle \nabla }$เป็นการเชื่อมต่อเชิงเส้นบนมัดสัมผัส${\displaystyle TM}$เทนเซอร์ไร้เมตริกถูกกำหนด (ผู้เขียนบางคนใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายตรงข้าม) ดังนี้$${\displaystyle Q(X,Y,Z):=(\nabla _{X}g)(Y,Z)}$$สำหรับ${\displaystyle X,Y,Z}$ฟิลด์เวกเตอร์ตามอำเภอใจในสัญกรณ์ดัชนีเชิง นามธรรม จะอ่านได้ว่า${\displaystyle Q_{abc}=\nabla _{a}g_{bc}}$.

เห็นได้ชัดว่ามีความสมมาตรในดัชนีสองตัวหลังเนื่องจากความสมมาตรของเมตริก และมีค่าเท่ากับ${\displaystyle n^{2}(n+1)/2}$ส่วนประกอบอิสระบน${\displaystyle n}$แมนิโฟลด์มิติ -

นอกจากนี้ เรายังสามารถกำหนดรูปแบบ 1-ฟอร์มที่ไม่เป็นเมตริกได้อีกด้วย (และเทียบเท่ากัน) โดยการหดตัวของเทนเซอร์กับรูปแบบ 1-ฟอร์มฐานบนดัชนีแรก หรือโดยอนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอก${\displaystyle D^{\nabla }}$เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อ${\displaystyle \nabla }$เช่น^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {Q} =D^{\nabla }g}$$เรากล่าวว่าการเชื่อมต่อเข้ากันได้กับเมตริก (หรือบางครั้งเรียกสั้น ๆ ว่า "เมตริก") หากเทนเซอร์ที่ไม่เป็นเมตริกที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อนั้นมีค่าเป็นศูนย์

ข้อต่อ Levi-Civitaเป็นข้อต่อที่เข้ากันได้กับระบบเมตริกที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีแรงบิด น้อย มาก

สามเท่า${\textstyle (M,g,\nabla )}$คือข้อมูลสำหรับปริภูมิเวลาเชิงเส้นเมตริก^{[ 1 ]}