ในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต จุดเอกฐานที่มีการตัดกันของเส้นปกติจะมีลักษณะเฉพาะในระดับท้องถิ่นคล้ายกับการรวมกันของระนาบ พิกัด แนวคิดนี้มีสองรูปแบบ คือตัวหารที่มีการตัดกันของเส้นปกติหรือตัวหารที่มีการตัดกันของเส้นปกติแบบง่ายสิ่งเหล่านี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นจุดเอกฐานที่ง่ายที่สุด ทฤษฎีบทหลายข้อเกี่ยวกับการแก้ปัญหาจุดเอกฐานเชื่อมโยงความหลากหลายใดๆ กับตัวหารที่มีการตัดกันของเส้นปกติแบบง่ายใน ความหลากหลาย ที่เรียบ

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์สมบูรณ์k (นิยามเดียวกันนี้ใช้ได้กับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนX ด้วย ) ให้Dเป็นเซตจำกัดของวาไรตี้ย่อยปิดของX (ซึ่งเข้าใจว่าไม่สามารถลดทอนได้ ) เขียนอย่างเป็นทางการในรูปผลรวม${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}D_{j}}$ในบางกรณี เราอาจระบุDว่าเป็นเซตย่อยปิดก็ได้${\displaystyle \cup _{j}D_{j}}$ของXแล้วDเป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่าย (หรือตัวหาร snc ) ในXถ้า

• X มีความ เรียบเนียนเหนือk
• แต่ละ${\displaystyle D_{j}}$เรียบและมีมิติร่วม 1 ในXและ
• หลากหลายชนิด${\displaystyle D_{j}}$ตัดกันในแนวขวางที่Xนั่นคือ ณ จุดpที่อยู่บนsของวาไรตี้${\displaystyle D_{j}}$จุดตัดของปริภูมิสัมผัสของสิ่งเหล่านั้น${\displaystyle D_{j}}$'s ที่pมีมิติร่วมsในปริภูมิสัมผัสของXที่p

เงื่อนไขความตั้งฉากสามารถเขียนใหม่ได้หลายวิธี บนจำนวนเชิงซ้อน มันเทียบเท่ากับการกล่าวว่า ณ จุดเชิงซ้อนpที่อยู่บนsของส่วนย่อยต่างๆ เช่น${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{s}}$มีแผนภูมิพิกัดเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อน รอบจุดpโดยที่pเป็นจุดกำเนิดในแผนภูมินี้${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n}):z_{j}\in \mathbb {C} {\text{ สำหรับแต่ละ }}j\}}$และ${\displaystyle D_{j}}$คือระนาบพิกัด${\displaystyle \{z_{j}=0\}}$, สำหรับ${\displaystyle j=1,\ldots ,s}$[ ^{1 ]}ในภาษาของแผนผังความเป็นแนวขวางหมายถึง การตัดกัน ^ทางทฤษฎีแผนผังของs ใดๆ ของ${\displaystyle D_{j}}$'s เรียบด้วยมิติร่วมsในX (หรือว่างเปล่า) ^{[ 2 ]}

นอกเหนือจากบริบทของความหลากหลายบนฟิลด์สมบูรณ์แล้ว ยังมีการใช้คำจำกัดความทั่วไปต่อไปนี้ ให้Xเป็นสกีม${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$ผลรวมอย่างเป็นทางการของ สับสกีมปิดเชิง อินทิกรัลสำหรับแต่ละจุดpในXให้${\displaystyle O_{X,p}}$ให้Xเป็นวงแหวนเฉพาะที่ณ จุดp (วงแหวนของฟังก์ชันปกติใกล้p ) โดยมีอุดมคติสูงสุด${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$(ฟังก์ชันที่หายไปที่p ) และสนามตกค้าง${\displaystyle k(p)}$. บอกว่าฟังก์ชัน${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ใน${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$สร้างพิกัดท้องถิ่นที่pหากพิกัดเหล่านั้นถูกแมปไปยังฐานสำหรับ${\displaystyle k(p)}$-ปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ดังนั้นDจึงเป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายในXถ้าXเป็นเซตปกติและสำหรับแต่ละจุดpในXจะมีพิกัดท้องถิ่น${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ที่pซึ่งแต่ละ${\displaystyle D_{j}}$ซึ่งประกอบด้วยpเท่ากับสับสกีมแบบปิด${\displaystyle \{z_{i(j)}=0\}}$ใกล้pสำหรับบางส่วน${\displaystyle i(j)}$[ ^{3 ]​}

นอกจากนั้นยังมีแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับตัวหาร ซึ่งหมายถึงผลรวมอย่างเป็นทางการของกลุ่มย่อยที่มีมิติร่วม 1 โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}a_{j}D_{j}}$กล่าวได้ว่าตัวหารD มีจุดตัดปกติแบบง่ายใน Xถ้าตัวหาร "ลดรูป" ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \sum _{j=1}^{r}D_{j}}$มีจุดตัดปกติที่เรียบง่าย^ใน X ^{[ 3} ]

แม้ว่าตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายจะมีความพิเศษมาก แต่แนวคิดนี้สามารถนำมาใช้ศึกษาความหลากหลายใดๆ โดยใช้ทฤษฎีบทของHeisuke Hironaka เกี่ยวกับ การแก้ปัญหาความเอกฐานผลลัพธ์หนึ่งคือ: ให้Xเป็นความหลากหลายเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ และให้Sเป็น เซตย่อย ปิด Zariskiที่มีตำแหน่งเอกฐานของXและไม่ใช่ทั้งหมดของX (กรณีที่Sเท่ากับตำแหน่งเอกฐานนั้นมีความสำคัญอยู่แล้ว) จากนั้นจะมีมอร์ฟิซึมแบบไบราชันแนลที่เหมาะสมfจากความหลากหลายเรียบYไปยังXโดยที่f เป็นไอโซมอ ^ร์ฟิซึมเหนือX – SและภาพผกผันของSเป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายในY [ ^{4 ]}นี่เป็นข้อความที่เหมาะสมที่สุด เราไม่สามารถทำให้ภาพผกผันของSเรียบได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น

อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคตั้งข้อสันนิษฐานว่าสิ่งเดียวกันนี้ (ในแง่ของโครงร่างปกติแทนที่จะเป็นวาไรตี้เรียบ) น่าจะเป็นจริงสำหรับวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์ใดๆ และโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้น สำหรับโครงร่างกึ่งยอดเยี่ยมด้วย

โดยทั่วไปแล้ว${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$เป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติในแผนผังXถ้าXเป็นแผนผังปกติ และสำหรับทุกจุดpในXจะมีมอร์ฟิซึมแบบเอทาล${\displaystyle X'\to X}$โดยที่pในภาพนั้น ภาพผกผันของDเป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายใน${\displaystyle X'}$[ ^{3 ]}เมื่อXเป็นวาไรตี้เหนือฟิลด์สมบูรณ์kจะเทียบเท่ากับการกล่าวว่าการรวมDเข้าไปในX นั้น เป็น ไอโซมอร์ฟิก เฉพาะที่แบบเอตาล กับการรวมกันของไฮเปอร์เพล ^นพิกัดในปริภูมิแอฟฟิน${\displaystyle A_{k}^{n}}$ตัวหารที่มีจุดตัดปกติจะมีจุดตัดปกติแบบง่ายก็ต่อเมื่อส่วนประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้แต่ละส่วนของDเป็นตัวหารปกติ

• เซตย่อยปิด${\displaystyle \{xy=0\}}$ในระนาบแอฟฟิน${\displaystyle A^{2}}$เมื่อมองพื้นที่ที่เป็นตัวหาร จะมีการตัดกันแบบปกติอย่างง่าย นี่คือการรวมกันของแกนพิกัดทั้งสอง
• เส้นโค้งลูกบาศก์ของโหนด${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{2}(x+1)\}}$D เป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติในระนาบเชิงเส้น แต่ไม่มีจุดตัดปกติแบบง่าย (จุดตัดปกติแบบง่ายจะหมายความว่าส่วนประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้แต่ละส่วนของDเป็นตัวหารปกติ ในขณะที่ในกรณีนี้Dเป็นตัวหารที่ไม่สามารถแยกย่อยได้และเป็นตัวหารเอกฐาน)
• เส้นโค้งลูกบาศก์ปลายแหลม${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{3}\}}$ในระนาบแอฟฟินนั้นไม่มีจุดตัดปกติ
• ตัวหาร${\displaystyle \{(y+x^{2})(y-x^{2})=0\}}$ในระนาบแอฟฟิน เช่น เหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$ไม่มีจุดตัดปกติ (ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ทั้งสองส่วนนั้นเรียบ แต่ไม่ตัดกันในแนวตั้งฉาก)
• ตัวหาร${\displaystyle \{yx(y-x)=0\}}$ในระนาบแอฟฟินนั้นไม่มีการตัดกันแบบปกติ (ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งสามส่วนนั้นเรียบ และส่วนประกอบสองส่วนใดๆ ก็ตัดกันแบบตั้งฉาก แต่ส่วนประกอบทั้งสามส่วนรวมกันจะไม่ตัดกันแบบตั้งฉาก การตัดกันแบบตั้งฉากจะหมายความว่าจุดตัดของส่วนประกอบมากกว่าnส่วนใน วาไรตี้ nมิติจะเป็นเซตว่าง)

กล่าวกันว่า โครงร่างYเป็นsncหรือมีการตัดกันปกติแบบง่ายหากทุกจุดมีย่านเปิด Zariski ซึ่งสมมาตรกับตัวหารที่มีการตัดกันปกติแบบง่าย (มองว่าเป็น โครงร่างย่อยปิดที่ ลดรูป ) ในโครงร่างปกติบางโครงร่าง ดังนั้นYไม่จำเป็นต้องกำหนด (ทั่วโลก) ให้เป็นโครงร่างย่อยปิดของโครงร่างปกติ^{[ 5 ]}ในทำนองเดียวกัน โครงร่างYมีการตัดกันปกติหากทุกจุดมีย่าน étale${\displaystyle Y'\to Y}$โดยที่${\displaystyle Y'}$มีโครงสร้างสมมาตรกับตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายในโครงร่างปกติบางแบบ ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งเสถียรเป็นโครงร่างที่มีจุดตัดปกติที่มีมิติ 1

• ผู้เขียนโครงการ Stacks Project, โครงการ Stacks Project