ความสามารถในการสังเกตได้ (Observability)คือการวัดว่าสถานะภายในของระบบสามารถอนุมานได้ดีเพียงใดจากความรู้เกี่ยวกับผลลัพธ์ภายนอก ในทฤษฎีการควบคุมความสามารถในการสังเกตได้และความสามารถในการควบคุมได้ของระบบเชิงเส้นเป็นคู่กัน ทาง คณิตศาสตร์

แนวคิดเรื่องการสังเกตได้ถูกนำเสนอโดยวิศวกรชาวฮังการี-อเมริกันRudolf E. Kálmánสำหรับระบบไดนามิกเชิงเส้น^{[ 1 ] [ 2 ]}ระบบไดนามิกที่ออกแบบมาเพื่อประมาณสถานะของระบบจากการวัดเอาต์พุตเรียกว่าตัวสังเกตสถานะ สำหรับ ระบบ นั้น เช่นตัวกรอง Kalman

พิจารณาระบบทางกายภาพที่จำลองในรูปแบบปริภูมิสถานะระบบจะเรียกว่าสังเกตได้หากสำหรับทุกวิวัฒนาการที่เป็นไปได้ของเวกเตอร์สถานะและเวกเตอร์ควบคุมสถานะปัจจุบันสามารถประมาณได้โดยใช้เพียงข้อมูลจากเอาต์พุต (ในทางกายภาพ โดยทั่วไปแล้วจะสอดคล้องกับข้อมูลที่ได้จากเซ็นเซอร์ ) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เราสามารถกำหนดพฤติกรรมของระบบทั้งหมดได้จากเอาต์พุตของระบบ ในทางกลับกัน หากระบบไม่สามารถสังเกตได้ จะมีวิถีสถานะที่ไม่สามารถแยกแยะได้โดยการวัดเอาต์พุตเพียงอย่างเดียว

สำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาในการแสดงแบบปริภูมิสถานะ มีการทดสอบที่สะดวกในการตรวจสอบว่าระบบนั้นสามารถสังเกตได้หรือไม่ พิจารณา ระบบ SISOที่มีตัวแปรสถานะ (ดูรายละเอียดเกี่ยวกับ ระบบ MIMO ในส่วนปริภูมิสถานะ ) ที่กำหนดโดย ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

ก็ต่อเมื่ออันดับ คอลัมน์ ของเมทริกซ์การสังเกตซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

ถ้า เท่ากับแล้วระบบนั้นสามารถสังเกตได้ เหตุผลของการทดสอบนี้คือ ถ้าคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้นตัวแปรสถานะแต่ละตัวจะสามารถมองเห็นได้ผ่านการรวมเชิงเส้นของตัวแปรเอาต์พุต ความสามารถ ในการสังเกตเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับการออกแบบตัว สังเกต สถานะแบบต่อเนื่อง${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$

ดัชนีการสังเกตได้ ของระบบเชิงเส้นแบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง คือจำนวนธรรมชาติ ที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: โดยที่ ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}__{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}__{v+1})}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

พื้นที่ย่อยที่ไม่สามารถสังเกตได้ ของระบบเชิงเส้นคือเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดย^{[ 3 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

โดยที่เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องจากถึง สามารถเขียนได้เป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

เนื่องจากระบบสามารถสังเกตได้ก็ต่อเมื่อ ดังนั้น ระบบจึงสามารถสังเกตได้ก็ต่อเมื่อคือปริภูมิย่อยศูนย์ ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}$${\displaystyle N}$

คุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับซับสเปซที่ไม่สามารถสังเกตได้นั้นถูกต้อง: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}$

แนวคิดที่อ่อนกว่าความสามารถในการสังเกตเล็กน้อยคือความสามารถในการตรวจจับ ระบบสามารถตรวจจับได้หากสถานะที่ไม่สามารถสังเกตได้ทั้งหมดมีเสถียรภาพ^{[ 4 ]}

เงื่อนไขการตรวจจับมีความสำคัญในบริบทของเครือข่ายเซ็นเซอร์^{[ 5 ] [ 6 ]}

ความสามารถในการสังเกตเชิงฟังก์ชันเป็นคุณสมบัติที่ขยายแนวคิดคลาสสิกของความสามารถในการสังเกตสำหรับกรณีที่การสังเกตสถานะเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือไม่จำเป็น (เนื่องจากขาดสัญญาณการวัดและการวางตำแหน่งเซ็นเซอร์) แทนที่จะต้องสร้างสถานะเต็มรูปแบบขึ้นใหม่ ความสามารถในการสังเกตเชิงฟังก์ชันจะกำหนดเงื่อนไขที่ฟังก์ชันเชิงเส้น ยังคงสามารถประมาณได้โดยใช้ข้อมูลจากสัญญาณเอาต์พุตเท่านั้น^{[ 7 ]} ในทางทฤษฎี เมื่อกำหนด เมทริกซ์(โดยทั่วไปมีมิติต่ำ) โดยที่ระบบจะสามารถสังเกตเชิงฟังก์ชันได้ก็ต่อเมื่อ^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbf {z} (t)=\mathbf {F} \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle r\times n}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle r\leq n}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}{\mathcal {O}}\\\mathbf {F} \end{bmatrix}}=\operatorname {rank} {\mathcal {O}}.}$

การสังเกตเชิงฟังก์ชันเป็นแนวคิดที่สำคัญเพราะกำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นซึ่งผู้สังเกตเชิงฟังก์ชัน (หรือที่รู้จักกันในชื่อผู้สังเกต Darouach ^{[ 9 ]} ) สามารถออกแบบเพื่อประมาณค่าแบบไม่จำกัดได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ การสังเกตเชิงฟังก์ชันและการควบคุมเอาต์พุตเป็นคู่ ทางคณิตศาสตร์ ^{[ 10 ]}ซึ่งหมายความว่าปัญหาของการประมาณค่าและการควบคุมฟังก์ชันเชิงเส้น(แทนที่จะเป็นสถานะทั้งหมด) นั้นเทียบเท่ากันภายใต้การแปลงระบบ ${\displaystyle \mathbf {z} (t)}$${\displaystyle \mathbf {z} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$

พิจารณา ระบบเชิง เส้นต่อเนื่อง ที่ เปลี่ยนแปลงตามเวลา

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

สมมติว่าเมทริกซ์, และถูกกำหนดมาให้แล้ว รวมถึงอินพุตและเอาต์พุตและสำหรับทุก ๆแล้ว ก็สามารถกำหนด ได้ภายในเวกเตอร์ค่าคงที่บวก ซึ่งอยู่ในปริภูมิว่างของที่กำหนดโดย ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

เมท ริก ซ์การเปลี่ยนสถานะอยู่ที่ไหน${\displaystyle \varphi }$

สามารถระบุค่าที่ไม่ซ้ำกันได้หาก เมทริกซ์นั้นไม่ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ในความเป็นจริง ไม่สามารถแยกแยะสถานะเริ่มต้นของจากสถานะเริ่มต้นของ ได้หากอยู่ในปริภูมิว่างของ ${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ที่กำหนดไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$มีความสมมาตร
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$เป็นค่าบวกกึ่งกำหนดสำหรับ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เมท ริกซ์เชิงเส้น

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^{[ 11 ]}

ระบบสามารถสังเกตได้ในก็ต่อเมื่อมีช่วงในที่ทำให้เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

ถ้าเป็นการวิเคราะห์ ระบบจะสามารถสังเกตได้ในช่วง [ , ] ถ้ามีอยู่และจำนวนเต็มบวกkเช่นนั้น^{[ 12 ]}${\displaystyle A(t),C(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

โดยที่และถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำดังนี้ ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

พิจารณาระบบที่แปรผันเชิงวิเคราะห์ในเมทริกซ์และ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

จากนั้นและเนื่องจากเมทริกซ์นี้มีอันดับเท่ากับ 3 ระบบจึงสามารถสังเกตได้ในทุกช่วงเวลาที่ไม่เป็นศูนย์ ของ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กำหนด ให้ระบบโดยที่เวกเตอร์สถานะเวกเตอร์อินพุต และเวกเตอร์เอาต์พุต เป็นฟิลด์เวกเตอร์เรียบ ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle f,g,h}$

กำหนดให้ปริภูมิการสังเกตคือปริภูมิที่ประกอบด้วยอนุพันธ์ลีที่ ซ้ำกันทั้งหมด จากนั้นระบบจะสามารถสังเกตได้ในปริภูมิการสังเกตก็ต่อเมื่อ โดยที่ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^{[ 13 ]}

เกณฑ์เบื้องต้นสำหรับการสังเกตได้ในระบบไดนามิกที่ไม่เป็นเชิงเส้นถูกค้นพบโดย Griffith และ Kumar ^{[ 14 ]} Kou, Elliot และ Tarn ^{[ 15 ]}และ Singh ^{[ 16 ]}

นอกจากนี้ยังมีเกณฑ์การสังเกตสำหรับระบบที่ไม่เชิงเส้นแบบแปรผันตามเวลาอีกด้วย^{[ 17 ]}

ความสามารถในการสังเกตอาจถูกกำหนดลักษณะสำหรับระบบสถานะคงที่ (ระบบที่โดยทั่วไปกำหนดในรูปของสมการและอสมการพีชคณิต) หรือโดยทั่วไปสำหรับเซตใน[ ^{18 ] [ 19 ] เช่น}เดียวกับเกณฑ์ความสามารถในการสังเกตที่ใช้ในการทำนายพฤติกรรมของตัวกรอง Kalmanหรือผู้สังเกตอื่นๆ ในกรณีของระบบไดนามิก เกณฑ์ความสามารถในการสังเกตสำหรับเซตในจะถูกใช้เพื่อทำนายพฤติกรรมของการกระทบยอดข้อมูลและตัวประมาณค่าคงที่อื่นๆ ในกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้น ความสามารถในการสังเกตสามารถกำหนดลักษณะสำหรับตัวแปรแต่ละตัว และสำหรับพฤติกรรมของตัวประมาณค่าเฉพาะที่มากกว่าพฤติกรรมโดยรวม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ความสามารถในการควบคุม
• เลมมาของฮอตุส
• ความสามารถในการระบุตัวตน
• ผู้สังเกตการณ์ของรัฐ
• พื้นที่สถานะ (การควบคุม)

• "ความสามารถในการสังเกต " PlanetMath
• ฟังก์ชัน MATLAB สำหรับตรวจสอบความสามารถในการสังเกตการณ์ของระบบเก็บถาวรเมื่อ 19 กุมภาพันธ์ 2012 ที่Wayback Machine
• ฟังก์ชัน Mathematica สำหรับตรวจสอบความสามารถในการสังเกตของระบบ