ความสามารถในการควบคุมเป็นคุณสมบัติที่สำคัญของระบบควบคุมและมีบทบาทสำคัญในปัญหาการควบคุมหลายอย่าง เช่น การรักษาเสถียรภาพของระบบที่ไม่เสถียรโดยใช้การป้อนกลับ ปัญหาการติดตาม การหา แนวทาง การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหรือเพียงแค่การกำหนดอินพุตที่มีผลต่อสถานะตามที่ต้องการ

ความสามารถในการควบคุมและความสามารถในการสังเกตเป็น แนวคิด คู่ตรงข้าม ความสามารถในการควบคุมหมายถึงการควบคุมสถานะโดยการเลือกปัจจัยนำเข้าที่เหมาะสม ในขณะที่ความสามารถในการสังเกตหมายถึงความสามารถในการทราบสถานะโดยการสังเกตผลลัพธ์ (โดยสมมติว่าปัจจัยนำเข้าก็ได้รับการสังเกตเช่นกัน)

โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดเรื่องความสามารถในการควบคุมหมายถึงความสามารถในการบังคับทิศทางของระบบภายในพื้นที่การกำหนดค่าโดยใช้เพียงการจัดการที่อนุญาตได้บางประการเท่านั้น คำจำกัดความที่แน่นอนจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับกรอบการทำงานหรือประเภทของแบบจำลองที่เกี่ยวข้อง

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของแนวคิดเรื่องความสามารถในการควบคุมในรูปแบบต่างๆ ที่ได้รับการนำเสนอในเอกสารทางด้านระบบและการควบคุม:

• ความสามารถในการควบคุมสถานะ: ความสามารถในการนำระบบเปลี่ยนสถานะไปมาระหว่างสถานะต่างๆ
• ความสามารถในการควบคุมสูง: ความสามารถในการเปลี่ยนสถานะต่างๆ ภายในช่วงเวลาที่กำหนด
• การควบคุมแบบรวมกลุ่ม: ความสามารถในการควบคุมระบบพลวัตหลายระบบพร้อมกัน
• ความสามารถในการควบคุมวิถีการเคลื่อนที่: ความสามารถในการบังคับทิศทางไปตามวิถีการเคลื่อนที่ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า แทนที่จะเพียงแค่ไปยังจุดหมายปลายทางที่ต้องการ
• ความสามารถในการควบคุมผลลัพธ์: ความสามารถในการควบคุมให้ผลลัพธ์มีค่าตามที่กำหนดไว้
• ความสามารถในการควบคุมในกรอบพฤติกรรม: เงื่อนไขความเข้ากันได้ระหว่างวิถีการป้อนข้อมูลและผลลัพธ์ในอดีตและอนาคต

สถานะของระบบเชิงกำหนด ซึ่งเป็นเซตของค่าของตัวแปร สถานะทั้งหมดของระบบ (ตัวแปรเหล่านั้นที่มีลักษณะเฉพาะด้วยสมการพลวัต) อธิบายระบบได้อย่างสมบูรณ์ในทุกช่วงเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลเกี่ยวกับอดีตของระบบเพื่อช่วยในการทำนายอนาคต หากทราบสถานะในปัจจุบันและทราบค่าปัจจุบันและค่าในอนาคตทั้งหมดของตัวแปรควบคุม (ตัวแปรที่สามารถเลือกค่าได้)

ความสามารถในการควบคุมสถานะอย่างสมบูรณ์ (หรือเพียงแค่ความสามารถในการควบคุมหากไม่มีบริบทอื่น) อธิบายถึงความสามารถของอินพุตภายนอก (เวกเตอร์ของตัวแปรควบคุม) ในการเปลี่ยนสถานะภายในของระบบจากสถานะเริ่มต้นใดๆ ไปสู่สถานะสุดท้ายใดๆ ในช่วงเวลาจำกัด ^{[ 1 ] : 737}

กล่าวคือ เราสามารถกำหนดความหมายของความสามารถในการควบคุมอย่างไม่เป็นทางการได้ดังนี้: หากสำหรับสถานะเริ่มต้นx₀ ใดๆ และสถานะสุดท้ายxᵢ _ใด ๆ มีลำดับอินพุตที่สามารถถ่ายโอนสถานะของระบบจากx₀ไปยัง_{xᵢ ได้}ภายใน_ช่วงเวลาที่จำกัด ระบบที่จำลองโดยการแสดงสถานะในปริภูมิสถานะ_ก็จะสามารถควบคุมได้ สำหรับตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (LTI) มิติของแถวในนิพจน์ปริภูมิสถานะẋ = A x ( t ) + B u ( t )จะกำหนดช่วงเวลา โดยแต่ละแถวจะให้เวกเตอร์ในปริภูมิสถานะของระบบ หากไม่มีเวกเตอร์ดังกล่าวเพียงพอที่จะครอบคลุมปริภูมิสถานะของxระบบก็จะไม่สามารถบรรลุความสามารถในการควบคุมได้ อาจจำเป็นต้องปรับเปลี่ยนAและBเพื่อให้ประมาณความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์พื้นฐานที่ประมาณได้ดียิ่งขึ้นเพื่อให้บรรลุความสามารถในการควบคุม

ความสามารถในการควบคุมไม่ได้หมายความว่าสถานะที่เข้าถึงได้จะคงอยู่ตลอดไป เพียงแต่หมายความว่าสามารถเข้าถึงสถานะใดๆ ก็ได้

ความสามารถในการควบคุมไม่ได้หมายความว่าสามารถสร้างเส้นทางใดๆ ก็ได้ผ่านปริภูมิสถานะ แต่หมายความว่ามีเส้นทางอยู่ภายในช่วงเวลาที่จำกัดเท่านั้น เมื่อสามารถระบุช่วงเวลาได้ด้วยระบบพลวัต นั้น มักถูกเรียกว่าสามารถควบคุมได้อย่างเข้มแข็ง

พิจารณาระบบเชิงเส้นต่อเนื่อง^{[หมายเหตุ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

จะมีการควบคุมuจากสถานะx ₀ที่เวลาt ₀ไปยังสถานะx ₁ที่เวลาt ₁ > t ₀ก็ต่อเมื่อx ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀อยู่ในปริภูมิคอลัมน์ของ โดยที่ϕ ( t ₀ , t )คือเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและW ( t ₀ , t ₁ )คือแกรมเมียนของการควบคุมได้ $${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{\mathsf {T}}\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}\mathrm {d} t}$$

ในความเป็นจริง หากη ₀เป็นคำตอบของW ( t ₀ , t ₁ ) η = x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀แล้ว การควบคุมที่กำหนดโดยu ( t ) = − B ( t ) ^T ϕ ( t ₀ , t ) ^T η ₀จะทำให้เกิดการถ่ายโอนที่ต้องการ

โปรดทราบว่าเมทริกซ์W ( t ₀ , t ₁ )ที่กำหนดไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

เมทริก ซ์แกรมเมียนสำหรับการควบคุมได้นั้นเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะของระบบ เงื่อนไขที่ง่ายกว่าสำหรับการควบคุมได้คือ เงื่อนไข อันดับซึ่งคล้ายคลึงกับเงื่อนไขอันดับของคาลมานสำหรับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

พิจารณาระบบเชิงเส้นแบบต่อเนื่องΣที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นในช่วง[ t ₀ , t ] : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะϕก็เรียบเช่นกัน แนะนำฟังก์ชันเมทริกซ์n × m M ₀ ( t ) = ϕ ( t ₀ , t ) B ( t )และกำหนด $${\displaystyle M_{k}(t)={\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1.}$$

พิจารณาเมทริกซ์ของฟังก์ชันค่าเมทริกซ์ที่ได้จากการเรียงลำดับคอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์M ( M _i , สำหรับi = 0, 1, ... , k ): $${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right].}$$

ถ้ามีt̅ ∈ [ t ₀ , t ]และจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ kที่ทำให้rank M ^{( k )} ( t̅ ) = nแล้วΣจะสามารถควบคุมได้^{[ 3 ]}

ถ้าΣเปลี่ยนแปลงเชิงวิเคราะห์ในช่วง[ t ₀ , t ]แล้วΣจะสามารถควบคุมได้ในทุกช่วงย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์ของ[ t ₀ , t ] ก็ต่อเมื่อมีt̅ ∈ [ t ₀ , t ]และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบkที่ทำให้อันดับM ^{( k )} ( t _i ) = n ^{[ 3 ]}

วิธีการข้างต้นยังคงตรวจสอบได้ยาก เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการคำนวณเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะϕเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ให้B ₀ ( t ) = B ( t )และสำหรับแต่ละi ≥ 0ให้กำหนด ในกรณีนี้B _i แต่ละค่า จะได้รับโดยตรงจากข้อมูล( A ( t ), B ( t ))ระบบสามารถควบคุมได้หากมีt̅ ∈ [ t ₀ , t ]และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบkที่ทำให้rank([ B ₀ ( t̅ ), B ₁ ( t̅ ), ... , B _k ( t̅ )] ) = n ^{[ 3 ]}$${\displaystyle B_{i+1}(t)=A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$$

พิจารณาระบบที่แปรผันเชิงวิเคราะห์ในช่วง(−∞, ∞)และเมทริกซ์ และ เนื่องจากเมทริกซ์นี้มีอันดับ 3 ระบบจึงสามารถควบคุมได้ในทุกช่วงที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของ$${\displaystyle {\begin{aligned}A(t)&={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\\B(t)&={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$

พิจารณาระบบเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{aligned}}}$$

• xคือ เวกเตอร์สถานะขนาด n × 1 ;
• yคือ เวกเตอร์เอาต์พุตขนาด m × 1 ;
• uคือเวกเตอร์อินพุต (หรือเวกเตอร์ควบคุม) ขนาด r × 1 ;
• Aคือ เมทริกซ์สถานะขนาด n × n ;
• Bคือ เมทริกซ์อินพุตขนาด n × r ;
• Cคือ เมทริกซ์เอาต์พุตขนาด m × n ; และ
• Dคือเมทริกซ์แบบส่งผ่าน (หรือแบบส่งต่อ) ขนาดm × r

เมท ริกซ์ควบคุมได้ขนาด n × nrกำหนดโดย ระบบจะสามารถควบคุมได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ควบคุมได้มีอันดับ แถวเต็ม (นั่นคือrank( R ) = n ) $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$

สำหรับระบบสถานะเชิงเส้นแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (เช่น ตัวแปรเวลา )สมการสถานะคือ โดยที่Aเป็น เมทริกซ์ n × nและBเป็น เมทริกซ์ n × r (เช่นuคือ อินพุต rตัวที่รวบรวมไว้ใน เวกเตอร์ r × 1 ) การทดสอบความสามารถในการควบคุมคือเมทริกซ์ n × nr ต้องมี อันดับ แถวเต็ม(เช่นrank( C ) = n ) นั่นคือ ถ้าหากระบบสามารถควบคุมได้Cจะมีnคอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นถ้าnคอลัมน์ของCเป็นอิสระเชิงเส้นแต่ละสถานะจากn สถานะสามารถเข้าถึงได้โดยการ ป้อน อินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบผ่านตัวแปรu ( k )${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$

เมื่อกำหนดสถานะx (0)ณ เวลาเริ่มต้น โดยกำหนดให้k = 0 สม การสถานะจะให้x (1) = A x (0) + B u (0)จากนั้นx (2) = A x (1) + B u (1) = A ² x (0) + AB u (0) + B u (1)และต่อไปเรื่อยๆ ด้วยการแทนค่าตัวแปรสถานะย้อน กลับซ้ำๆ จนในที่สุดจะได้ หรือเทียบเท่า $${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$$$${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(0)]^{\mathsf {T}}.}$$

เมื่อกำหนดค่าใดๆ ที่ต้องการให้กับเวกเตอร์สถานะx ( n )ทางด้านซ้าย จะสามารถแก้หาเวกเตอร์ของเวกเตอร์ควบคุมที่เรียงซ้อนกันได้เสมอ ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่จุดเริ่มต้นของด้านขวามีอันดับแถวเต็มเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น พิจารณากรณีที่n = 2และr = 1 (กล่าวคือ มีอินพุตควบคุมเพียงหนึ่งเดียว) ดังนั้นBและABเป็น เวกเตอร์ขนาด 2 × 1ถ้า[ B AB ]มีอันดับ 2 (อันดับเต็ม) ดังนั้นBและABจึงเป็นอิสระเชิงเส้นและครอบคลุมระนาบทั้งหมด ถ้าอันดับเป็น 1 แล้วBและABจะอยู่บนเส้นเดียวกันและไม่ครอบคลุมระนาบ

สมมติว่าสถานะเริ่มต้นคือศูนย์

ณ เวลาk = 0 : ณ เวลาk = 1 : $${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$$$${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$$

ณ เวลาk = 0สถานะที่เข้าถึงได้ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงที่เกิดจากเวกเตอร์ B

ณ เวลาk = 1สถานะที่เข้าถึงได้ทั้งหมดเป็นผลรวมเชิงเส้นของABและBหากระบบสามารถควบคุมได้ เวกเตอร์ทั้งสองนี้สามารถครอบคลุมระนาบทั้งหมดได้ และสามารถทำได้ ณ เวลาk = 2

ข้อสมมติที่ว่าสถานะเริ่มต้นเป็นศูนย์นั้นเป็นเพียงเพื่อความสะดวกเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าหากทุกสถานะสามารถเข้าถึงได้จากจุดกำเนิดแล้ว สถานะใดๆ ก็สามารถเข้าถึงได้จากสถานะอื่นเช่นกัน (เพียงแค่เปลี่ยนพิกัด)

ตัวอย่างนี้ใช้ได้กับค่าn ที่เป็นบวกทุกค่า แต่กรณีn = 2 นั้น เข้าใจง่ายกว่า

ลองพิจารณาตัวอย่างเปรียบเทียบกับระบบตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณกำลังนั่งอยู่ในรถของคุณบนระนาบแบนราบที่ไม่มีที่สิ้นสุดและหันหน้าไปทางทิศเหนือ เป้าหมายคือการไปถึงจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบนั้นโดยการขับรถเป็นระยะทางหนึ่งในแนวเส้นตรง จอดรถให้สนิท เลี้ยว แล้วขับรถต่อไปอีกระยะทางหนึ่งในแนวเส้นตรงเช่นเดิม

ถ้าหากรถของคุณไม่มีพวงมาลัย คุณก็จะขับได้แค่ตรงไปข้างหน้า ซึ่งหมายความว่าคุณจะขับได้แค่บนเส้นตรง (ในกรณีนี้คือเส้นเหนือ-ใต้ เนื่องจากคุณเริ่มขับโดยหันหน้าไปทางทิศเหนือ) กรณีที่ไม่มีพวงมาลัยนี้จะคล้ายกับกรณีที่ค่าC มีค่า เท่ากับ 1 (ระยะทางทั้งสองที่คุณขับมาอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน)

ทีนี้ ถ้าหากรถของคุณมีพวงมาลัย คุณก็สามารถขับไปยังจุดใดก็ได้บนระนาบได้อย่างง่ายดาย และนี่จะเป็นกรณีที่คล้ายคลึงกับกรณีที่อันดับของCเท่ากับ 2

ถ้าเปลี่ยนตัวอย่างนี้เป็นn = 3การเปรียบเทียบก็จะเหมือนกับการบินในอวกาศเพื่อไปถึงตำแหน่งใดๆ ในพื้นที่ 3 มิติ (โดยไม่คำนึงถึงทิศทางของเครื่องบิน )

คุณได้รับอนุญาตให้:

• บินเป็นเส้นตรง
• เลี้ยวซ้ายหรือขวาได้กี่องศา (การหมุนรอบแกนแนวดิ่ง )
• ปรับทิศทางเครื่องบินขึ้นหรือลงตามปริมาณใดๆ ( มุมเงย )

แม้ว่ากรณีสามมิติจะยากต่อการมองเห็นภาพ แต่แนวคิดเรื่องการควบคุมก็ยังคงคล้ายคลึงกัน

ระบบไม่เชิงเส้นในรูปแบบควบคุมเชิงเส้น

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

สามารถเข้าถึงได้ในระดับท้องถิ่นหากการกระจายการเข้าถึงครอบคลุมพื้นที่ เมื่อเท่ากับมิติของและ R กำหนดโดย: ^{[ 4 ]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

นี่คือ การดำเนินการ วงเล็บ Lie ซ้ำๆ ที่กำหนดโดย ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์ความสามารถในการควบคุมสำหรับระบบเชิงเส้นในหัวข้อก่อนหน้านี้ สามารถหาได้จากสมการนี้

เมื่ออำนาจควบคุมระบบพลวัตเชิงเส้นถูกใช้ผ่านการเลือกเมทริกซ์เกนป้อนกลับที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาระบบจะ... ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=(A-BK(t))\mathbf {x} }$

เป็นแบบไม่เชิงเส้น เนื่องจากมีผลคูณของพารามิเตอร์ควบคุมและสถานะอยู่ การกระจายการเข้าถึงนั้นเหมือนเดิม ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}.}$

เป็นที่ชัดเจนว่าเพื่อให้ระบบสามารถควบคุมได้ จำเป็นต้องมีอันดับคอลัมน์เต็ม ปรากฏว่าเงื่อนไขนี้ก็เพียงพอเช่นกัน อย่างไรก็ตาม กลยุทธ์การควบคุม (ที่เหมาะสมที่สุด) ที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้จำเป็นต้องได้รับการแก้ไข เพื่อให้วิถีการเคลื่อนที่เมื่อใช้การป้อนข้อมูลที่เหมาะสมที่สุดเพื่อควบคุมระบบระหว่างสถานะที่กำหนด ไม่ผ่านจุดกำเนิด มิฉะนั้นจะไม่สามารถเขียนการป้อนข้อมูลควบคุมในรูปแบบป้อนกลับได้ ความสามารถในการควบคุม ตลอดจนความสามารถในการควบคุมที่แข็งแกร่งของระบบเชิงเส้นคู่ดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้วใน^{[ 5 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle u=-K(t)\mathbf {x} }$

ความสามารถในการควบคุมโดยรวม หมายถึง ความสามารถในการควบคุมระบบพลวัตเชิงเส้นที่ปฏิบัติตามพลวัตที่เหมือนกัน ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}^{(i)}(t)=A\mathbf {x} ^{(i)}(t)+B\mathbf {u} ^{(i)}(t)}$

โดยที่เท่ากับมิติของระหว่างการกำหนดค่าเริ่มต้นและสิ้นสุดที่ระบุไว้โดยใช้เมทริกซ์เกนป้อนกลับสถานะทั่วไปและด้วยเหตุนี้ แต่ละตัวจึงสร้างอินพุตควบคุมขึ้นมา ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}(t)=K(t){\mathbf {x} }^{(i)}(t)}$

สำหรับตามลำดับ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

การกระจายการเข้าถึงที่มีอันดับคอลัมน์เต็มนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างเห็นได้ชัด นอกจากนี้ยังเพียงพอ และในความเป็นจริงแล้ว กลุ่มโดยรวมนั้นสามารถควบคุมได้อย่างเข้มแข็ง กล่าวคือสามารถชี้นำได้จากโครงสร้างเริ่มต้น ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Phi (0)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(0)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(0)\end{bmatrix}}}$

สำหรับการกำหนดค่าเทอร์มินัลที่ระบุไว้ใดๆ

${\displaystyle \Phi (T)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(T)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(T)\end{bmatrix}},}$

โดยกำหนดในช่วงเวลาที่กำหนดผ่านการเลือกเมทริกซ์เกนป้อนกลับแบบแปรผันตามเวลาทั่วไปโดยมีอันดับคอลัมน์เต็ม^{[ 5 ]}${\displaystyle \det(\Phi (0)\Phi (T))>0}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle K(t)}$${\displaystyle R}$

ถ้าหากระบบควบคุมแบบไม่ต่อเนื่องสามารถควบคุมได้ด้วยค่าศูนย์ หมายความว่ามีค่าควบคุมได้อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้สำหรับสถานะเริ่มต้นบางค่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่ามีเมทริกซ์อยู่ ค่าหนึ่ง ที่ทำให้เป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์ ${\displaystyle u(k)}$${\displaystyle x(k_{0})=0}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A+BF}$

สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายๆ โดยการแยกส่วนที่ควบคุมได้และส่วนที่ควบคุมไม่ได้

ความสามารถในการควบคุมเอาต์พุตเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับเอาต์พุตของระบบ (ซึ่งแทนด้วย yในสมการก่อนหน้านี้) ความสามารถในการควบคุมเอาต์พุตอธิบายถึงความสามารถของอินพุตภายนอกในการเปลี่ยนเอาต์พุตจากสภาวะเริ่มต้นใดๆ ไปสู่สภาวะสุดท้ายใดๆ ในช่วงเวลาที่จำกัด ไม่จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์ใดๆ ระหว่างความสามารถในการควบคุมสถานะและความสามารถในการควบคุมเอาต์พุต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ระบบที่ควบคุมได้ไม่ได้หมายความว่าจะควบคุมผลลัพธ์ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ถ้าเมทริกซ์D = 0และเมทริกซ์Cไม่มีอันดับแถวเต็ม ตำแหน่งบางตำแหน่งของผลลัพธ์จะถูกบดบังด้วยโครงสร้างที่จำกัดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ และจึงไม่สามารถเข้าถึงได้ นอกจากนี้ แม้ว่าระบบจะสามารถเปลี่ยนไปยังสถานะใดก็ได้ในเวลาจำกัด แต่ก็อาจมีผลลัพธ์บางอย่างที่ไม่สามารถเข้าถึงได้จากทุกสถานะ ตัวอย่างเชิงตัวเลขอย่างง่ายใช้D = 0และ เมทริกซ์ Cที่มีอย่างน้อยหนึ่งแถวเป็นศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สามารถสร้างผลลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ในมิตินั้นได้
• ระบบที่ควบคุมได้ด้วยเอาต์พุต ไม่ได้หมายความว่าจะควบคุมได้ด้วยสถานะเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากมิติของปริภูมิสถานะมีขนาดใหญ่กว่ามิติของเอาต์พุต ก็จะมีชุดของการกำหนดค่าสถานะที่เป็นไปได้สำหรับเอาต์พุตแต่ละตัว นั่นคือ ระบบอาจมีพลวัตเป็นศูนย์ ที่สำคัญ ซึ่งเป็นวิถีของระบบที่ไม่สามารถสังเกตได้จากเอาต์พุต ดังนั้น การที่สามารถขับเคลื่อนเอาต์พุตไปยังตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งในช่วงเวลาจำกัด จึงไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับการกำหนดค่าสถานะของระบบ

สำหรับระบบเชิงเส้นแบบต่อเนื่อง เช่น ตัวอย่างข้างต้น ซึ่งอธิบายโดยเมทริกซ์A , B , CและDเมทริกซ์ควบคุมเอาต์พุตm × ( n + 1) r จะมีอันดับแถวเต็ม (เช่น อันดับm ) ก็ต่อเมื่อระบบสามารถควบคุมเอาต์พุตได้^{[ 1 ] : 742} ภายใต้เงื่อนไขบางประการ การควบคุมเอาต์พุตและความสามารถในการสังเกตเชิงฟังก์ชันของระบบเป็นปัญหาคู่กัน ทางคณิตศาสตร์ ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$$

ในระบบที่มีอำนาจควบคุมจำกัด มักจะไม่สามารถย้ายสถานะเริ่มต้นใดๆ ไปยังสถานะสุดท้ายใดๆ ภายในพื้นที่ย่อยที่ควบคุมได้อีกต่อไป ปรากฏการณ์นี้เกิดจากข้อจำกัดของอินพุตซึ่งอาจเป็นข้อจำกัดที่มีอยู่ในระบบ (เช่น เนื่องจากแอคทูเอเตอร์ อิ่มตัว ) หรือถูกกำหนดให้กับระบบด้วยเหตุผลอื่นๆ (เช่น เนื่องจากข้อกังวลที่เกี่ยวข้องกับความปลอดภัย) การควบคุมระบบที่มีข้อจำกัดของอินพุตและสถานะได้รับการศึกษาในบริบทของทฤษฎีการเข้าถึง^{[ 7 ]}และทฤษฎีความอยู่รอด^{[ 8 ]}

ในแนวทางทฤษฎีระบบเชิงพฤติกรรม ที่เสนอ โดยวิลเลมส์ (ดูเรื่องคนในระบบและการควบคุม ) แบบจำลองที่พิจารณาไม่ได้กำหนดโครงสร้างอินพุต-เอาต์พุตโดยตรง ในกรอบแนวคิดนี้ ระบบจะถูกอธิบายโดยวิถีที่ยอมรับได้ของกลุ่มตัวแปร ซึ่งบางตัวแปรอาจถูกตีความว่าเป็นอินพุตหรือเอาต์พุต

ระบบจะถูกกำหนดให้สามารถควบคุมได้ในการตั้งค่านี้ หากส่วนใดส่วนหนึ่งในอดีตของพฤติกรรม (วิถีของตัวแปรภายนอก) สามารถเชื่อมต่อกับวิถีในอนาคตของพฤติกรรมได้ในลักษณะที่การเชื่อมต่อนี้บรรจุอยู่ในพฤติกรรม กล่าวคือเป็นส่วนหนึ่งของพฤติกรรมของระบบที่ยอมรับได้^{[ 9 ] : 151}

แนวคิดที่อ่อนกว่าการควบคุมเล็กน้อยคือความสามารถในการทำให้เสถียรระบบจะถือว่าสามารถทำให้เสถียรได้เมื่อตัวแปรสถานะที่ไม่สามารถควบคุมได้ทั้งหมดสามารถทำให้มีพลวัตที่เสถียรได้ดังนั้น แม้ว่าตัวแปรสถานะบางตัวจะไม่สามารถควบคุมได้ (ตามที่กำหนดโดยการทดสอบการควบคุมข้างต้น) ตัวแปรสถานะทั้งหมดก็จะยังคงมีขอบเขตจำกัดในระหว่างการทำงานของระบบ^{[ 10 ]}

ให้T ∈ Тและx ∈ X (โดยที่Xคือเซตของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด และТคือช่วงเวลา) เซตที่เข้าถึงได้จากxในเวลาTถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 3 ]} โดยที่x$${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\},}$$ที→zหมายถึงการเปลี่ยนสถานะจากx ไปเป็น zในเวลา T

สำหรับระบบอัตโนมัติ เซตที่เข้าถึงได้จะกำหนดโดย: โดยที่Rคือเมทริกซ์ความสามารถในการควบคุม $${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B),}$$

เซตที่เกี่ยวข้องกับเซตที่เข้าถึงได้คือเซตที่ควบคุมได้ ซึ่งกำหนดโดย: ความสัมพันธ์ระหว่างการเข้าถึงได้และการควบคุมได้ถูกนำเสนอโดย Sontag: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}.}$$

ให้ระบบเป็นระบบไม่แปรผันตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่องมิติ n จากสูตร: โดยที่ϕ (เวลาสุดท้าย เวลาเริ่มต้น ตัวแปรสถานะ ข้อจำกัด) ถูกกำหนดให้เป็นเมทริก ซ์ การเปลี่ยนสถานะของตัวแปรสถานะxจากเวลาเริ่มต้น0ไปยังเวลาสุดท้ายn โดยมีข้อจำกัด wบางประการ$${\displaystyle \phi (n,0,0,w)=\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1),}$$

ดังนั้น สถานะในอนาคตจะอยู่ในR ^k (0)ก็ต่อเมื่อมันอยู่ใน ซึ่งเป็นภาพของแผนที่เชิงเส้นRที่กำหนดดังนี้: ซึ่งแมป ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)}$$${\displaystyle R(A,B)\triangleq [B\ AB....A^{n-1}B],}$$$${\displaystyle u^{n}\mapsto X.}$$

เมื่อu = K ^mและX = K ⁿเราจะระบุR ( A , B )ด้วย เมทริกซ์ n × nmที่มีคอลัมน์เป็นB , AB , ... , A ^{n −1} Bตามลำดับ ถ้าหากระบบสามารถควบคุมได้ อันดับของ[ B AB ... A ^{n −1} B ]คือnถ้าเป็นเช่นนั้น ภาพของการแมปเชิงเส้นR คือ Xทั้งหมด จากนั้นเราจะได้ว่า: โดยที่$${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$$${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}.}$

• ความสามารถในการสังเกตการณ์
• เลมมาของฮอตุส

• ฟังก์ชัน MATLAB สำหรับตรวจสอบความสามารถในการควบคุมของระบบเก็บถาวรเมื่อ 10 กุมภาพันธ์ 2012 ที่Wayback Machine
• ฟังก์ชัน Mathematica สำหรับตรวจสอบความสามารถในการควบคุมของระบบ