ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทFeit–Thompsonหรือทฤษฎีบทอันดับคี่กล่าวว่ากลุ่ม จำกัดทุกกลุ่ม ที่มีอันดับ คี่ สามารถแก้ได้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 โดยWalter FeitและJohn Griggs Thompson ^{[ 1 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 วิลเลียม เบิร์นไซด์ได้ตั้งสมมติฐานว่ากลุ่มง่ายจำกัด ที่ไม่เป็นอะเบเลียนทุกกลุ่ม มีอันดับคู่^{[ 2 ]}ริชาร์ด บราวเออร์เสนอให้ใช้ตัวกลางของการผกผันของกลุ่มง่ายเป็นพื้นฐานสำหรับการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดเนื่องจากทฤษฎีบทบราวเออร์-ฟาวเลอร์แสดงให้เห็นว่ามีเพียงกลุ่มง่ายจำกัดจำนวนจำกัดที่มีตัวกลางของการผกผันที่ กำหนด ^{[ 3 ]}กลุ่มที่มีอันดับคี่ไม่มีการผกผัน ดังนั้นในการดำเนินการตามโปรแกรมของบราวเออร์ จำเป็นต้องแสดงให้เห็นก่อนว่ากลุ่มง่ายจำกัดที่ไม่เป็นวัฏจักรไม่เคยมีอันดับคี่ ซึ่งเทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่ากลุ่มที่มีอันดับคี่สามารถแก้ได้ซึ่งเป็นสิ่งที่เฟตและทอมป์สันพิสูจน์แล้ว

การโจมตีสมมติฐานของ Burnside เริ่มต้นโดยMichio Suzukiผู้ศึกษาCA groupsซึ่งเป็นกลุ่มที่C centralizerของทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่สมาชิกธรรมดาเป็นA belianในบทความบุกเบิก เขาแสดงให้เห็นว่า CA groups ที่มีอันดับคี่ทั้งหมดสามารถแก้ได้^{[ 4 ]} (ต่อมาเขาจำแนกกลุ่ม CA ที่เรียบง่ายทั้งหมด และโดยทั่วไปแล้วกลุ่มที่เรียบง่ายทั้งหมดที่ centralizer ของการผกผันใด ๆ มี subgroup 2- Sylow ปกติ โดยพบกลุ่มที่เรียบง่ายประเภท Lie ที่ถูกมองข้าม ในกระบวนการนี้ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าSuzuki groups )

Feit, Thompson และMarshall Hallได้ขยายงานของ Suzuki ไปยังตระกูลกลุ่มCNซึ่งเป็นกลุ่มที่Cเป็นศูนย์กลางของทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่แบบธรรมดาเป็นN ilpotentพวกเขาแสดงให้เห็นว่าทุกกลุ่ม CN ที่มีอันดับคี่สามารถแก้ได้ การพิสูจน์ของพวกเขามีลักษณะคล้ายกับการพิสูจน์ของ Suzuki ^{[ 5 ]}การพิสูจน์นี้มีความยาวประมาณ 17 หน้า ซึ่งในขณะนั้นถือว่ายาวมากสำหรับการพิสูจน์ในทฤษฎีกลุ่ม

ทฤษฎีบท Feit–Thompson อาจถือได้ว่าเป็นขั้นตอนต่อไปในกระบวนการนี้: พวกเขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นวัฏจักรที่มีอันดับคี่ซึ่งทุกกลุ่มย่อยแท้สามารถแก้ได้สิ่งนี้พิสูจน์ว่าทุกกลุ่มจำกัดที่มีอันดับคี่สามารถแก้ได้ เนื่องจากตัวอย่างค้านขั้นต่ำจะต้องเป็นกลุ่มง่ายซึ่งทุกกลุ่มย่อยแท้สามารถแก้ได้ แม้ว่าการพิสูจน์จะใช้โครงร่างทั่วไปเดียวกันกับทฤษฎีบท CA และทฤษฎีบท CN แต่รายละเอียดนั้นซับซ้อนกว่ามาก บทความฉบับสุดท้ายมีความยาว 255 หน้าและครอบคลุมทั้งเล่มที่ 13 ฉบับที่ 3 ของPacific Journal of Mathematics ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ทฤษฎีบท Feit–Thompson แสดงให้เห็นว่าการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดโดยใช้ตัวกลางของการผกผันอาจเป็นไปได้ เนื่องจากกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบลทุกกลุ่มมีการผกผัน เทคนิคหลายอย่างที่พวกเขานำเสนอในการพิสูจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของการวิเคราะห์เฉพาะที่ ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมเป็นเครื่องมือที่ใช้ในการจำแนก บางทีแง่มุมที่ปฏิวัติวงการมากที่สุดของการพิสูจน์คือความยาวของมัน ก่อนบทความของ Feit–Thompson การโต้แย้งในทฤษฎีกลุ่มส่วนใหญ่มีความยาวไม่เกินสองสามหน้า และส่วนใหญ่สามารถอ่านจบได้ภายในหนึ่งวัน เมื่อนักทฤษฎีกลุ่มตระหนักว่าการโต้แย้งที่ยาวเช่นนี้สามารถใช้งานได้ บทความหลายฉบับที่มีความยาวหลายร้อยหน้าก็เริ่มปรากฏขึ้น บางฉบับยาวกว่าบทความของ Feit–Thompson มาก บทความของMichael Aschbacherและ Stephen D. Smith เกี่ยวกับกลุ่มกึ่งๆมีความยาวถึง 1,221 หน้า^{[ 8 ]}

นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ลดความซับซ้อนของบางส่วนของบทพิสูจน์ Feit–Thompson ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม การปรับปรุงเหล่านี้ล้วนเป็นการปรับปรุงเฉพาะส่วน โครงสร้างโดยรวมของข้อโต้แย้งยังคงเหมือนเดิม แต่รายละเอียดบางส่วนของข้อโต้แย้งได้รับการลดความซับซ้อนลง

บทพิสูจน์ที่ลดความซับซ้อนลงได้ถูกตีพิมพ์ในหนังสือสองเล่ม: Bender & Glauberman (1994)ครอบคลุมทุกอย่างยกเว้นทฤษฎีตัวละคร [ ^{9 ]}และPeterfalvi (2000)ครอบคลุมทฤษฎีตัวละคร^{[ 10 ] บทพิสูจน์ที่แก้ไขแล้วนี้ยังคงยากมากและยาวกว่าบท พิสูจน์}เดิม แต่เขียนในรูปแบบที่สบายๆ กว่า

การพิสูจน์อย่างเป็นทางการอย่างสมบูรณ์ซึ่งตรวจสอบด้วย^ตัวช่วยพิสูจน์Rocq ได้รับการประกาศในเดือนกันยายน 2012 โดยGeorges Gonthierและเพื่อนนักวิจัยที่Microsoft ResearchและInria ^{[ 11} ]

แทนที่จะอธิบายทฤษฎีบท Feit–Thompson โดยตรง การอธิบายทฤษฎีบท CA ของ Suzuki แล้วจึงแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับส่วนขยายบางส่วนที่จำเป็นสำหรับทฤษฎีบท CN และทฤษฎีบทลำดับคี่จะง่ายกว่า การพิสูจน์สามารถแบ่งออกเป็นสามขั้นตอน เราให้Gเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่ (ขั้นต่ำ) ที่มีลำดับคี่ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข CA ^{[ 12 ]}

ในกรณีของ CA นั้นทำได้ง่าย เพราะความสัมพันธ์ " aสลับที่กับb " เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนองค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ ดังนั้นองค์ประกอบจึงแตกออกเป็นชั้นสมมูล โดยแต่ละชั้นสมมูลคือเซตขององค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ของกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุด ตัวทำให้ปกติของกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดเหล่านี้ก็คือกลุ่มย่อยแท้สูงสุดของG นั่นเอง ตัวทำให้ปกติเหล่านี้คือกลุ่ม Frobeniusซึ่งทฤษฎีอักขระมีความโปร่งใสพอสมควร และเหมาะสมกับการจัดการที่เกี่ยวข้องกับการเหนี่ยวนำอักขระนอกจากนี้ เซตของตัวหารเฉพาะของ | G | ยังถูกแบ่งตามจำนวนเฉพาะที่หารอันดับของชั้นสมมูลที่แตกต่างกันของกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดของ | G | รูปแบบการแบ่งตัวหารเฉพาะของ | G | นี้ ตามชั้นสมมูลของกลุ่มย่อยฮอลล์ บางกลุ่ม (กลุ่มย่อยฮอลล์คือกลุ่มย่อยที่มีอันดับและดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มย่อยสูงสุดของG (จนถึงชั้นสมมูล) จะถูกกล่าวซ้ำในทั้งการพิสูจน์ทฤษฎีบท CN ของ Feit–Hall–Thompson และในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันดับคี่ของ Feit–Thompson

แต่ละกลุ่มย่อยสูงสุดMจะมีกลุ่มย่อยฮอลล์แบบนิลโพ เท น ต์ M _σที่มีตัวทำให้เป็นปกติบรรจุอยู่ในMซึ่งอันดับของกลุ่มย่อยฮอลล์นี้หารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะบางตัวที่ประกอบกันเป็นเซต σ( M ) กลุ่มย่อยสูงสุดสองกลุ่มจะเป็นคู่สมกันก็ ต่อเมื่อเซต σ( M ) เหมือนกัน และถ้าไม่ใช่คู่สมกัน เซต σ( M ) จะไม่มีส่วนร่วมกัน จำนวนเฉพาะทุกตัวที่หารอันดับของG ลงตัวจะปรากฏอยู่ในเซต σ( M ) บางเซตดังนั้นจำนวนเฉพาะที่หารอันดับของG ลงตัว จะถูกแบ่งออกเป็นชั้นสมมูลที่สอดคล้องกับชั้นคู่สมของกลุ่มย่อยสูงสุด

การพิสูจน์กรณี CN นั้นยากกว่ากรณี CA มากพอสมควร ปัญหาหลักเพิ่มเติมคือการพิสูจน์ว่ากลุ่มย่อย Sylow สองกลุ่มที่แตกต่างกันตัดกันในเอกลักษณ์ ส่วนนี้ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทลำดับคี่ใช้หน้าวารสารมากกว่า 100 หน้า ขั้นตอนสำคัญคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Thompsonซึ่งระบุว่ากลุ่มย่อยอาเบเลียนที่มีอันดับปกติอย่างน้อย 3 บรรจุอยู่ในกลุ่มย่อยสูงสุดที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะpที่กลุ่มย่อย Sylow pมีอันดับปกติไม่เกิน 2 จำเป็นต้องพิจารณาแยกต่างหาก ต่อมา Bender ได้ทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ง่ายขึ้นโดยใช้ วิธี ของBenderในขณะที่ในกรณีของ CN กลุ่มย่อยสูงสุดM ที่ได้ ยังคงเป็นกลุ่ม Frobenius แต่กลุ่มย่อยสูงสุดที่ปรากฏในบทพิสูจน์ทฤษฎีบทอันดับคี่ไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างนี้อีกต่อไป และการวิเคราะห์โครงสร้างและการมีปฏิสัมพันธ์ของกลุ่มย่อยเหล่านี้ทำให้เกิดกลุ่มย่อยสูงสุดที่เป็นไปได้ 5 ประเภท เรียกว่าประเภท I, II, III, IV, V

กลุ่มย่อยประเภท I เป็นแบบ "Frobenius type" ซึ่งเป็นการขยายความเล็กน้อยของกลุ่ม Frobenius และในความเป็นจริงแล้ว ในภายหลังของการพิสูจน์จะแสดงให้เห็นว่าเป็นกลุ่ม Frobenius พวกมันมีโครงสร้างM _F ⋊ Uโดยที่M _Fเป็นกลุ่มย่อย Hall แบบปกติที่ใหญ่ที่สุด และUมีกลุ่มย่อยU ₀ที่มีเลขชี้กำลังเดียวกัน ทำให้M _F ⋊ U ₀เป็นกลุ่ม Frobenius ที่มีเคอร์เนลM _Fกลุ่มประเภท II, III, IV, V ล้วนเป็นกลุ่ม 3 ขั้นตอนที่มีโครงสร้างM _F ⋊ U ⋊ W ₁โดยที่ M _F ⋊ Uเป็นกลุ่มย่อยที่ได้มาจากMการแบ่งย่อยเป็นประเภท II, III, IV และ V ขึ้นอยู่กับโครงสร้างและการฝังตัวของกลุ่มย่อยUดังต่อไปนี้:

• ประเภทที่ II: U เป็นกลุ่มอา เบเลียนที่ไม่ธรรมดา และตัวทำให้เป็นมาตรฐานของ U ไม่ได้อยู่ในM
• ประเภท III: U เป็นกลุ่มอา เบเลียนที่ไม่ธรรมดา และตัวทำให้เป็นมาตรฐานของ U นั้นมีอยู่ในM
• ประเภท IV: Uเป็นอนาเบเลียน
• ประเภท V: Uเป็นเรื่องเล็กน้อย

กลุ่มย่อยสูงสุดทั้งหมด ยกเว้นสองกลุ่ม เป็นประเภทที่ 1 แต่ก็อาจมีกลุ่มย่อยสูงสุดเพิ่มเติมอีกสองกลุ่ม คือ กลุ่มหนึ่งเป็นประเภทที่ 2 และอีกกลุ่มหนึ่งเป็นประเภทที่ 3, 4 หรือ 5

ถ้า X เป็นอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ของตัวทำให้เป็นปกติHของกลุ่มย่อยอาเบเลียนสูงสุดAของกลุ่ม CA Gซึ่งไม่มีAอยู่ในเคอร์เนล เราสามารถเหนี่ยวนำ X ให้เป็นอักขระ Y ของGซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ เนื่องจากโครงสร้างที่ทราบของGทำให้ง่ายต่อการหาค่าอักขระของ Y บนสมาชิกทั้งหมด ยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์ของGซึ่งหมายความว่า ถ้า X ₁และ X ₂เป็นอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้สองตัวของHและ Y ₁และ Y ₂เป็นอักขระที่เหนี่ยวนำที่สอดคล้องกันแล้ว Y ₁ − Y ₂จะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ และการคำนวณนอร์ม ของมัน จะแสดงให้เห็นว่ามันคือผลต่างของ อักขระ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ สอง ตัวของG (ซึ่งบางครั้งเรียกว่าอักขระพิเศษของGที่เกี่ยวข้องกับH ) การให้เหตุผลเชิงนับแสดงให้เห็นว่าอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์แต่ละตัวของG เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวเท่านั้นในฐานะอักขระพิเศษที่เกี่ยวข้องกับตัวทำให้เป็นปกติของกลุ่มย่อยอา เบ เลียนสูงสุดบางกลุ่มของG

ข้อโต้แย้งที่คล้ายกัน (แต่แทนที่กลุ่มย่อยฮอลล์แบบอาเบลด้วยกลุ่มย่อยฮอลล์แบบนิลโพเทนต์) ใช้ได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท CN อย่างไรก็ตาม ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทลำดับคี่ ข้อโต้แย้งสำหรับการสร้างอักขระของGจากอักขระของกลุ่มย่อยนั้นมีความละเอียดอ่อนกว่ามาก และใช้ไอโซเมตรีของเดดระหว่างวงแหวนอักขระแทนการเหนี่ยวนำอักขระ เนื่องจากกลุ่มย่อยสูงสุดมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าและฝังอยู่ในลักษณะที่ไม่โปร่งใส ทฤษฎีอักขระพิเศษถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีชุดอักขระที่สอดคล้องกันเพื่อขยายไอโซเมตรีของเดด โดยคร่าวๆ แล้ว ทฤษฎีนี้กล่าวว่าไอโซเมตรีของเดดสามารถขยายได้เว้นแต่กลุ่มที่เกี่ยวข้องจะมีโครงสร้างที่แม่นยำบางอย่าง^{[ 13 ]}

ในขั้นตอนที่ 2 เราได้คำอธิบายที่สมบูรณ์และแม่นยำของตารางอักขระของกลุ่ม CA Gแล้ว จากนั้นและใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าGมีลำดับคี่ ทำให้เรามีข้อมูลเพียงพอที่จะประมาณค่า | G | และนำไปสู่ข้อขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าGเป็นกลุ่มง่าย ส่วนนี้ของข้อโต้แย้งทำงานในลักษณะเดียวกันในกรณีของกลุ่ม CN

อย่างไรก็ตาม ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Feit–Thompson ขั้นตอนนี้ (เช่นเคย) ซับซ้อนกว่ามาก ทฤษฎีอักขระช่วยกำจัดเพียงบางส่วนของการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ที่เหลืออยู่หลังจากขั้นตอนที่ 1 ก่อนอื่นพวกเขาแสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อยสูงสุดของประเภท I ทั้งหมดเป็นกลุ่ม Frobenius หากกลุ่มย่อยสูงสุดทั้งหมดเป็นประเภท I แล้ว การให้เหตุผลที่คล้ายกับกรณี CN จะแสดงให้เห็นว่ากลุ่มGไม่สามารถเป็นกลุ่มง่ายขั้นต่ำที่มีอันดับคี่ได้ ดังนั้นจึงมีกลุ่มย่อยสูงสุดประเภท II, III, IV หรือ V เพียงสองประเภทเท่านั้น ส่วนที่เหลือส่วนใหญ่ของการพิสูจน์ในตอนนี้มุ่งเน้นไปที่กลุ่มย่อยสูงสุดสองประเภทนี้SและTและความสัมพันธ์ระหว่างพวกมัน ข้อโต้แย้งเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าพวกมันไม่สามารถเป็นประเภท IV หรือ V ได้ กลุ่มย่อยทั้งสองมีโครงสร้างที่แม่นยำ: กลุ่มย่อยSมีอันดับp ^q × q ×( p ^q –1)/( p –1) และประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของเซตพื้นฐานของฟิลด์จำกัดที่มีอันดับp ^qในรูปแบบx → ax ^σ + bโดยที่aมีนอร์ม 1 และσเป็นออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์จำกัด โดยที่pและqเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน กลุ่มย่อยสูงสุดTมีโครงสร้างที่คล้ายกันโดยที่pและqสลับกัน กลุ่มย่อยSและTมีความเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด เมื่อเลือกp > qจะสามารถแสดงได้ว่ากลุ่มย่อยวัฏจักรของSที่มีอันดับ ( p ^q –1)/( p –1) เป็นคอนจูเกตกับกลุ่มย่อยของกลุ่มย่อยวัฏจักรของTที่มีอันดับ ( q ^p –1)/( q –1) (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวเลขแรกหารตัวเลขที่สองลงตัว ดังนั้นหากสมมติฐานของ Feit–Thompsonเป็นจริง ก็จะยืนยันว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ และสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อจบการพิสูจน์ ณ จุดนี้ได้ อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์^{[ 14 ]} )

ข้อสรุปจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีอักขระกับกลุ่มGคือGมีโครงสร้างดังต่อไปนี้: มีจำนวนเฉพาะp > qที่ทำให้ ( p ^q –1)/( p –1) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับp –1 และGมีกลุ่มย่อยที่กำหนดโดยผลคูณกึ่งตรงPUโดยที่Pเป็นกลุ่มบวกของฟิลด์จำกัดที่มีอันดับp ^qและUเป็นสมาชิกที่มีบรรทัดฐาน 1 ยิ่งไปกว่านั้นGมีกลุ่มย่อยแบบอาเบเลียนQที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะกับpซึ่งมีสมาชิกy ที่ทำให้ P _{0 ทำให้} Qเป็นนอร์มัลไลซ์และ ( P ₀ ) ^y ทำให้ Uเป็นนอร์มัลไลซ์โดยที่P ₀เป็นกลุ่มบวกของฟิลด์จำกัดที่มีอันดับp (สำหรับp = 2 การกำหนดค่าที่คล้ายกันเกิดขึ้นในกลุ่ม SL ₂ (2 ^q ) โดยที่PUเป็นกลุ่มย่อย Borelของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และQเป็นกลุ่มย่อยอันดับ 3 ที่สร้างขึ้นโดย) เพื่อกำจัดกรณีสุดท้ายนี้ Thompson ใช้การจัดการที่ซับซ้อนอย่างมากกับตัวสร้างและความสัมพันธ์ซึ่งต่อมาPeterfalvi (1984) ได้ทำให้ง่ายขึ้น ^{[ 15 ]}การพิสูจน์ตรวจสอบเซตขององค์ประกอบaในฟิลด์จำกัดอันดับp ^qโดยที่aและ 2–a ทั้งคู่มีนอร์ม 1 ก่อนอื่นต้องตรวจสอบว่าเซตนี้มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่ใช่ 1 จากนั้นข้อโต้แย้งที่ค่อนข้างยากโดยใช้ตัวสร้างและความสัมพันธ์ในกลุ่มGแสดงให้เห็นว่าเซตนั้นปิดภายใต้การหาอินเวอร์ส ถ้าaอยู่ในเซตและไม่เท่ากับ 1 แล้วพหุนาม N((1– a ) x +1)–1 จะมีดีกรีqและมีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยp รากที่ กำหนด โดยองค์ประกอบxในF _pโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าx →1/(2– x ) แมปเซตไปยังตัวมันเอง ดังนั้นp ≤ qซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานp > q${\displaystyle \scriptstyle y=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าอันดับของกลุ่มGเป็นจำนวนคี่ถูกนำมาใช้ในหลายจุดในการพิสูจน์ ดังต่อไปนี้ ( Thompson 1963 )

• ทฤษฎีบท ฮอลล์-ฮิกแมนมีความแม่นยำกว่าสำหรับกลุ่มที่มีอันดับเป็นเลขคี่
• สำหรับกลุ่มที่มีลำดับคี่ อักขระที่ไม่ใช่ตัวหลักทั้งหมดจะปรากฏเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน
• ผลลัพธ์บางประการเกี่ยวกับกลุ่มp จะใช้ได้เฉพาะกับจำนวนเฉพาะคี่ pเท่านั้น
• ถ้ากลุ่มที่มีอันดับคี่ไม่มีกลุ่มย่อยอาเบเลียนพื้นฐานที่มีอันดับ 3 แล้ว กลุ่มอนุพันธ์ของกลุ่มนั้นจะเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์ (ซึ่งใช้ไม่ได้กับกลุ่มสมมาตรS₄ ที่มีอันดับ _คู่ )
• ข้อโต้แย้งหลายประการที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีลักษณะเฉพาะนั้นใช้ไม่ได้ผลกับจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนเฉพาะ 2