ในคณิตศาสตร์การเงินตัวแปรกรีกคือปริมาณ (ที่รู้จักกันในแคลคูลัสว่าเป็นอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกหรือสูงกว่า) ที่แสดงถึงความไวของราคาของเครื่องมืออนุพันธ์เช่นออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ พื้นฐานหนึ่งตัวหรือมากกว่า ซึ่งมูลค่าของเครื่องมือหรือพอร์ตโฟลิโอของเครื่องมือทางการเงินขึ้นอยู่กับ ชื่อนี้ใช้เพราะความไวที่พบได้บ่อยที่สุดเหล่านี้แสดงด้วยตัวอักษรกรีก (เช่นเดียวกับมาตรการทางการเงินอื่นๆ บางอย่าง) โดยรวมแล้ว สิ่งเหล่านี้ยังถูกเรียกว่าความไวต่อความ เสี่ยง ^{[ 1 ]}มาตรการความเสี่ยง^{[ 2 ] : 742} หรือพารามิเตอร์การป้องกันความเสี่ยง^{[ 3 ]}

พารามิเตอร์ พื้นฐาน พารามิเตอร์ตัวเลือก ราคาสปอตS ความผันผวน${\displaystyle \sigma }$ การผ่านไปของเวลา ค่า (V)  ${\displaystyle \Delta }$เดลต้า ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$เวก้า ${\displaystyle \Theta }$เธต้า เดลต้า ( )  ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$แกมมา วานนา เสน่ห์ เวก้า ( )  ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$ วานนา วอมม่า เวตา เธต้า ( ) ${\displaystyle \Theta }$ เสน่ห์ เวตา แกมมา( ) ${\displaystyle \Gamma }$ ความเร็ว ซอมม่า สี วอมม่า อัลติมา เสน่ห์ ปาร์มิชาร์มา

นิยามของค่ากรีก (Greeks) คือ ความไวของราคาและความเสี่ยงของออปชั่น (ในแถวแรก) ต่อพารามิเตอร์อ้างอิง (ในคอลัมน์แรก) ค่ากรีกอันดับหนึ่งแสดงด้วยสีน้ำเงิน ค่ากรีกอันดับสองแสดงด้วยสีเขียว และค่ากรีกอันดับสามแสดงด้วยสีเหลือง ค่าVanna, charm และ veta ปรากฏสองครั้ง เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยไขว้มีค่าเท่ากันตามทฤษฎีบทของ Schwarzค่า Rho, lambda, epsilon และ vera ถูกละเว้นเนื่องจากไม่สำคัญเท่ากับค่าอื่นๆ สามตำแหน่งในตารางว่างเปล่า เนื่องจากปริมาณที่เกี่ยวข้องยังไม่ได้รับการกำหนดในเอกสารทางการเงิน

ตัวแปรเชิง สัญลักษณ์ของกรีก (Greeks) เป็นเครื่องมือสำคัญในการบริหารความเสี่ยง ตัวแปรเชิงสัญลักษณ์แต่ละตัวจะวัดความไวของมูลค่าพอร์ตโฟลิโอต่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรพื้นฐานที่กำหนด เพื่อให้สามารถจัดการความเสี่ยงของส่วนประกอบต่างๆ ได้อย่างอิสระ และปรับสมดุลพอร์ตโฟลิโอให้เหมาะสมเพื่อให้ได้ระดับความเสี่ยงที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น การป้องกันความเสี่ยง ด้วยเดลต้า (delta hedging )

ค่ากรีกในแบบจำลองแบล็ก-สโคลส์ (แบบจำลองเชิงอุดมคติที่ค่อนข้างง่ายของตลาดการเงินบางประเภท) นั้นคำนวณได้ค่อนข้างง่าย ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์ของแบบจำลองทางการเงิน และมีประโยชน์มากสำหรับผู้ค้าอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้ที่ต้องการป้องกันความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนจากความผันผวนที่ไม่พึงประสงค์ของสภาวะตลาด ด้วยเหตุนี้ ค่ากรีกที่ใช้ประโยชน์ได้ดีเป็นพิเศษสำหรับการป้องกันความเสี่ยง เช่น เดลต้า ธีต้า และเวก้า จึงถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเพื่อวัดการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ราคาตลาด เวลา และความผันผวน แม้ว่าโร (อนุพันธ์ย่อยเทียบกับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง ) จะเป็นปัจจัยนำเข้าหลักในแบบจำลองแบล็ก-สโคลส์ แต่ผลกระทบโดยรวมต่อมูลค่าของออปชั่นระยะสั้นที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่มีนัยสำคัญ ดังนั้นอนุพันธ์ลำดับสูงที่เกี่ยวข้องกับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงจึงไม่เป็นที่นิยม

ตัวแปรเชิงอนุพันธ์กรีกที่พบได้บ่อยที่สุดคืออนุพันธ์อันดับหนึ่ง ได้แก่เดลต้าเวแกทีต้าและโรรวมถึงแกมมาซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันค่า ตัวแปรเชิงอนุพันธ์อื่นๆ ในรายการนี้ก็พบได้บ่อยจนมีชื่อเรียกทั่วไป แต่รายการนี้ไม่ได้ครอบคลุมทุกตัวแปรทั้งหมด

ผู้เล่นในตลาดทำการซื้อขายแข่งขันกันโดยมีมูลค่าหลายพันล้าน (ดอลลาร์ ปอนด์ หรือยูโร) ในแต่ละวัน ดังนั้นการคำนวณให้ถูกต้องจึงเป็นสิ่งสำคัญ ในทางปฏิบัติ พวกเขาจะใช้แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งเหนือกว่าสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นที่ใช้ในแบบจำลอง Black-Scholes และด้วยเหตุนี้จึงเหนือกว่าค่า Greeks ด้วย

การใช้ชื่อตัวอักษรกรีกนั้นสันนิษฐานได้ว่าเป็นการต่อยอดมาจากคำศัพท์ทางการเงินทั่วไปอย่างอัลฟาและเบตาและการใช้ซิกมา (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนแบบลอการิทึม) และเทา (เวลาที่เหลือจนถึงวันหมดอายุ) ในแบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่นแบบแบล็ก-โชลส์ชื่อหลายชื่อ เช่น "เวกา" (ซึ่งสัญลักษณ์คล้ายกับตัวอักษรกรีกตัวเล็กนูการใช้ชื่อนั้นอาจทำให้เกิดความสับสน) และ "ซอมมา" เป็นชื่อที่คิดขึ้นเอง แต่มีเสียงคล้ายกับตัวอักษรกรีก ชื่อ "คัลเลอร์" และ "ชาร์ม" สันนิษฐานได้ว่ามาจากการใช้คำเหล่านี้สำหรับคุณสมบัติที่แปลกใหม่ของควาร์กในฟิสิกส์ อนุภาค

เดลต้า [ ^{4 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าออปชั่นตามทฤษฎีเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์อ้างอิง เดลต้าคืออนุพันธ์อันดับแรกของมูลค่าป ^{ชั่นเมื่อ เทียบ} กับราคาของตราสารอ้างอิง${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}}$

สำหรับออปชั่นแบบวานิลลา ค่าเดลต้าจะเป็นตัวเลขระหว่าง 0.0 ถึง 1.0 สำหรับการซื้อคอล (หรือการขายพุต) และระหว่าง 0.0 ถึง -1.0 สำหรับการซื้อพุต (หรือการขายคอล) โดยขึ้นอยู่กับราคา ออปชั่นคอลจะทำงานเสมือนว่าเราเป็นเจ้าของหุ้นอ้างอิง 1 หุ้น (หากอยู่ในสถานะได้กำไรมาก) หรือไม่เป็นเจ้าของอะไรเลย (หากอยู่ในสถานะขาดทุนมาก) หรืออยู่ระหว่างนั้น และในทางกลับกันสำหรับออปชั่นพุต ความแตกต่างระหว่างค่าเดลต้าของคอลและค่าเดลต้าของพุตที่ราคาใช้สิทธิ์เดียวกันจะเท่ากับหนึ่ง ตามหลักความเท่าเทียมกันของพุต-คอลการซื้อคอลและการขายพุตเทียบเท่ากับสัญญาซื้อขายล่วงหน้าFซึ่งเป็นเชิงเส้นในสัญญาซื้อขายทันทีSโดยมีตัวประกอบเป็นหนึ่ง ดังนั้นอนุพันธ์ dF/dS จึงเท่ากับ 1 ดูสูตรด้านล่าง

ตัวเลขเหล่านี้มักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของจำนวนหุ้นทั้งหมดที่แสดงโดยสัญญาออปชั่น วิธีนี้สะดวกเพราะออปชั่นจะ (ทันที) ทำงานเหมือนกับจำนวนหุ้นที่ระบุโดยค่าเดลต้า ตัวอย่างเช่น หากพอร์ตโฟลิโอของออปชั่นซื้อแบบอเมริกัน 100 สัญญาบนหุ้น XYZ แต่ละสัญญามีค่าเดลต้า 0.25 (= 25%) มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเช่นเดียวกับหุ้น XYZ จำนวน 2,500 หุ้นตามการเปลี่ยนแปลงของราคา (สัญญาออปชั่น 100 สัญญาครอบคลุมหุ้น 10,000 หุ้น) เครื่องหมายและเปอร์เซ็นต์มักถูกละเว้น – เครื่องหมายนั้นแฝงอยู่ในประเภทของออปชั่น (ลบสำหรับพุต บวกสำหรับคอล) และเปอร์เซ็นต์นั้นเป็นที่เข้าใจได้ ออปชั่นที่นิยมอ้างถึงมากที่สุดคือ พุตเดลต้า 25, พุตเดลต้า 50/คอลเดลต้า 50 และคอลเดลต้า 25 พุตเดลต้า 50 และคอลเดลต้า 50 นั้นไม่เหมือนกันเสียทีเดียว เนื่องจากราคาสปอตและราคาฟอร์เวิร์ดแตกต่างกันที่ปัจจัยส่วนลด แต่ก็มักถูกรวมเข้าด้วยกัน

ค่าเดลต้าจะเป็นบวกเสมอสำหรับการซื้อคอลออปชั่นระยะยาว และเป็นลบสำหรับการซื้อพุตออปชั่นระยะยาว (เว้นแต่จะเป็นศูนย์) ค่าเดลต้ารวมของพอร์ตโฟลิโอที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยตำแหน่งต่างๆ ในสินทรัพย์อ้างอิงเดียวกัน สามารถคำนวณได้โดยการนำค่าเดลต้าของแต่ละตำแหน่งมาบวกกัน – ค่าเดลต้าของพอร์ตโฟลิโอมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับองค์ประกอบต่างๆ เนื่องจากค่าเดลต้าของสินทรัพย์อ้างอิงมีค่าเท่ากับ 1.0 เสมอ นักลงทุนจึงสามารถป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าได้โดยการซื้อหรือขายหุ้นจำนวนเท่ากับค่าเดลต้ารวม ตัวอย่างเช่น หากค่าเดลต้าของพอร์ตโฟลิโอออปชั่นใน XYZ (แสดงเป็นจำนวนหุ้นของสินทรัพย์อ้างอิง) คือ +2.75 นักลงทุนจะสามารถป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าได้โดยการขายหุ้น XYZ จำนวน 2.75 หุ้น พอร์ตโฟลิโอนี้จะรักษามูลค่ารวมไว้ได้ไม่ว่าราคาของ XYZ จะเคลื่อนไหวไปในทิศทางใด (ถึงแม้ว่าราคาของสินทรัพย์อ้างอิงจะเคลื่อนไหวเพียงเล็กน้อย ในช่วงเวลาสั้นๆ และไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงในสภาวะตลาดอื่นๆ เช่น ความผันผวนและอัตราผลตอบแทนสำหรับการลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยง)

ค่าสัมบูรณ์ของเดลต้าใกล้เคียงกับ แต่ไม่เหมือนกับเปอร์เซ็นต์ความได้เปรียบของออปชั่นกล่าว คือ ความน่าจะเป็นโดยนัยที่ออปชั่นจะหมดอายุแบบได้เปรียบ (หากตลาดเคลื่อนไหวภายใต้การเคลื่อนที่แบบบราวน์ในการวัดความเสี่ยงที่เป็นกลาง ) ^{[ 5 ]}ด้วยเหตุนี้ เทรดเดอร์ออปชั่นบางรายจึงใช้ค่าสัมบูรณ์ของเดลต้าเป็นค่าประมาณสำหรับเปอร์เซ็นต์ความได้เปรียบ ตัวอย่างเช่น หาก ออปชั่นคอล ที่ราคาต่ำกว่าราคาใช้สิทธิ์มีเดลต้าเท่ากับ 0.15 เทรดเดอร์อาจประเมินว่าออปชั่นนั้นมีโอกาสประมาณ 15% ที่จะหมดอายุแบบได้เปรียบ ในทำนองเดียวกัน หากสัญญาพุตมีเดลต้าเท่ากับ -0.25 เทรดเดอร์อาจคาดหวังว่าออปชั่นนั้นจะมีโอกาส 25% ที่จะหมดอายุแบบได้เปรียบ คอลและพุตที่ ราคาใช้สิทธิเท่ากับราคาตลาดจะมีเดลต้าประมาณ 0.5 และ -0.5 ตามลำดับ โดยมีแนวโน้มเล็กน้อยที่จะมีค่าเดลต้าสูงกว่าสำหรับคอลที่ราคาใช้สิทธิเท่ากับราคาตลาด เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงจะทำให้เกิดการชดเชยบางส่วนต่อเดลต้า ความน่าจะเป็นที่ลดลงในเชิงลบของออปชั่นที่จะได้กำไรเมื่อครบกำหนดเรียกว่าเดลต้าคู่ซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับแรกของราคาออปชั่นเทียบกับราคาใช้สิทธิ^{[ 6 ]}

เมื่อมีออปชั่นซื้อ (call option) และออปชั่นขาย (put option) แบบยุโรปสำหรับสินทรัพย์อ้างอิงเดียวกัน ราคาใช้สิทธิ (strike price) และระยะเวลาครบกำหนดเดียวกัน โดยไม่มีผลตอบแทนจากเงินปันผล ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของเดลต้าของแต่ละออปชั่นจะเท่ากับ 1 – หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เดลต้าของออปชั่นซื้อ (ค่าบวก) ลบด้วยเดลต้าของออปชั่นขาย (ค่าลบ) เท่ากับ 1 เนื่องจากหลักการ ความเท่าเทียมกันของออปชั่นซื้อและออปชั่นขาย ( put–call parity ) กล่าวคือ การซื้อออปชั่นซื้อบวกกับการขายออปชั่นขาย (call ลบด้วย put) จะจำลองแบบสัญญาซื้อขายล่วงหน้า (forward option) ซึ่งมีเดลต้าเท่ากับ 1

หากทราบค่าเดลต้าของออปชั่นแล้ว เราสามารถคำนวณค่าเดลต้าของออปชั่นที่มีราคาใช้สิทธิ สินทรัพย์อ้างอิง และวันครบกำหนดเดียวกัน แต่มีสิทธิตรงข้ามกันได้ โดยการลบ 1 ออกจากค่าเดลต้าของคอลออปชั่นที่ทราบ หรือบวก 1 เข้ากับค่าเดลต้าของพุตออปชั่นที่ทราบ

${\displaystyle \Delta ({\text{call}})-\Delta ({\text{put}})=1,{\text{ ดังนั้น: }}\Delta ({\text{call}})=\Delta ({\text{put}})+1{\text{ และ }}\Delta ({\text{put}})=\Delta ({\text{call}})-1.}$

ตัวอย่างเช่น หากค่าเดลต้าของคอลออปชั่นคือ 0.42 เราสามารถคำนวณค่าเดลต้าของพุตออปชั่นที่ราคาใช้สิทธิ์เดียวกันได้โดย 0.42 − 1 = −0.58 ในทำนองเดียวกัน การหาค่าเดลต้าของคอลออปชั่นจากพุตออปชั่นก็สามารถทำได้โดยนำ −0.58 มาบวก 1 เพื่อให้ได้ 0.42

Vega ^{[ 4 ]}วัดความไวต่อความผันผวน Vega คืออนุพันธ์ของมูลค่าออปชั่นเทียบกับความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิง

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}}$

Vegaไม่ใช่ชื่อของอักษรกรีกใดๆ สัญลักษณ์ที่ใช้คืออักษรกรีกนู ( nu ) ในรูปแบบตัวพิมพ์ใหญ่ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เขียนเป็นสันนิษฐานว่าชื่อvegaถูกนำมาใช้เพราะอักษรกรีกนูมีลักษณะคล้ายกับอักษรละตินveeและvegaมาจากveeโดยเปรียบเทียบกับวิธีการออกเสียง beta , etaและtheta ในภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน${\textstyle \nu }$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$

บางครั้งมีการใช้ สัญลักษณ์kappa ( โดยนักวิชาการ) แทนvega (เช่นเดียวกับ tau ( ) หรือlambda ตัวพิมพ์ใหญ่ ( ) ^{[ 7 ] : 315} แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะหายากก็ตาม) ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Lambda }$

โดยทั่วไปแล้ว Vega จะแสดงเป็นจำนวนเงินต่อหุ้นอ้างอิงที่มูลค่าของออปชั่นจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเมื่อความผันผวนเพิ่มขึ้นหรือลดลง 1 เปอร์เซ็นต์ออปชั่นทุกประเภท (ทั้งคอลและพุต) จะมีมูลค่าเพิ่มขึ้นเมื่อความผันผวนเพิ่มขึ้น

Vega เป็นตัวแปรสำคัญที่นักลงทุนในตลาดออปชั่นควรจับตาดู โดยเฉพาะในตลาดที่มีความผันผวนสูง เนื่องจากมูลค่าของกลยุทธ์ออปชั่นบางอย่างอาจมีความอ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงของความผันผวนเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น มูลค่าของออปชั่นแบบ at-the-money straddleนั้นขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของความผันผวนอย่างมาก ดู หัวข้อ ความ เสี่ยงจากความผันผวน

Theta [ ^{4 ]}วัดความไวของค่าอนุพันธ์ต่อการผ่านไปของเวลา (ดูค่าเวลาตัวเลือก ): "การเสื่อมถอยตามเวลา ^"${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle \Theta =-{\frac {\partial V}{\partial \tau }}}$

เมื่อเวลาผ่านไป โดยที่เวลาเหลือก่อนหมดอายุลดลง และปัจจัยอื่นๆ คงที่ มูลค่าภายนอกของออปชั่นจะลดลง โดยทั่วไป (แต่โปรดดูด้านล่าง) หมายความว่าออปชั่นจะสูญเสียมูลค่าไปตามเวลา ซึ่งตามธรรมเนียมแล้วเรียกว่า ออปชั่นระยะยาวมักจะมีค่าธีต้าสั้น (ติดลบ) ในความเป็นจริง โดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับเวลาของมูลค่าออปชั่นจะเป็น จำนวน บวกการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าออปชั่นมักจะเป็นลบเนื่องจากการผ่านไปของเวลาเป็นจำนวนลบ ( ลดลงเหลือเวลาเหลือก่อนหมดอายุ) อย่างไรก็ตาม ตามธรรมเนียม ผู้ปฏิบัติงานมักจะนิยมอ้างถึงการเปิดรับธีต้า ("การเสื่อมถอย") ของออปชั่นระยะยาวว่าเป็นค่าลบ (แทนที่จะอ้างถึงการผ่านไปของเวลาว่าเป็นค่าลบ) ดังนั้น ธีต้าจึงมักจะรายงานเป็น -1 เท่าของอนุพันธ์อันดับแรก ดังที่กล่าวมาข้างต้น ${\displaystyle \tau \,}$

ในขณะที่มูลค่าภายนอกลดลงเมื่อเวลาผ่านไป บางครั้งปัจจัยที่หักล้างกันก็คือส่วนลด สำหรับออปชั่นที่มีราคาใช้สิทธิสูงกว่าราคาตลาด (deep-in-the-money options) บางประเภท (เช่น put ใน Black-Scholes, put และ call ใน Black's) เมื่อปัจจัยส่วนลดเพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 1 เมื่อเวลาผ่านไป นั่นคือองค์ประกอบที่เพิ่มมูลค่าให้กับออปชั่นระยะยาว บางครั้งออปชั่นที่มีราคาใช้สิทธิสูงกว่าราคาตลาดจะได้ประโยชน์จากปัจจัยส่วนลดที่เพิ่มขึ้นมากกว่าที่จะเสียประโยชน์จากมูลค่าภายนอกที่ลดลง และค่า theta ที่รายงานจะเป็นค่าบวกสำหรับออปชั่นระยะยาวแทนที่จะเป็นค่าลบตามปกติ (และออปชั่นนั้นจะเป็นตัวเลือกในการใช้สิทธิก่อนกำหนด หากสามารถใช้สิทธิได้ และออปชั่นแบบยุโรปอาจมีมูลค่าน้อยกว่าราคาพาร์ตี้)

ตามธรรมเนียมในสูตรการประเมินมูลค่าออปชั่นระยะเวลาที่เหลือจนถึงวันหมดอายุ จะกำหนดเป็นปี แต่โดยทั่วไปแล้ว ผู้ปฏิบัติงานมักนิยมพิจารณาค่าธีต้าในแง่ของการเปลี่ยนแปลงจำนวนวันจนถึงวันหมดอายุ มากกว่าจำนวนปีจนถึงวันหมดอายุ ดังนั้น ค่าธีต้าที่รายงานจึงมักถูกหารด้วยจำนวนวันในหนึ่งปี (การนับวันตามปฏิทินหรือวันทำการนั้นขึ้นอยู่กับความชอบส่วนบุคคล โดยมีข้อดีข้อเสียทั้งสองแบบ) ${\displaystyle \tau \,}$

Rho [ ^{4 ]}วัดความไวต่ออัตราดอกเบี้ย: เป็นอนุพันธ์ของมูลค่าออปชั่นเทียบกับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง (สำหรับระยะเวลาคงค้างที่เกี่ยวข้อง ⁾${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}}$

โดยทั่วไปแล้ว มูลค่าของออปชั่นจะมีความอ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงน้อยกว่าการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์อื่นๆ ด้วยเหตุนี้ ค่า rho จึงเป็นค่า Greeks อันดับแรกที่ใช้น้อยที่สุด

โดยทั่วไป Rho จะแสดงเป็นจำนวนเงินต่อหุ้นของสินทรัพย์อ้างอิง ที่มูลค่าของออปชั่นจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเมื่ออัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงเพิ่มขึ้นหรือลดลง 1.0% ต่อปี (100 จุดพื้นฐาน)

แลมบ์ดา [ ^{4 ] โอ} เมก้า [ ^{8 ]}หรือความยืดหยุ่น^{[ 4 ]}คือ การเปลี่ยนแปลง เปอร์เซ็นต์ของมูลค่าออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ของราคาอ้างอิง ซึ่งเป็นการวัดเลเวอเรจ บางครั้งเรียก ^ว่าอัตราส่วนเลเวอเรจ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}}$

มันถือว่า... ${\displaystyle \lambda =\Omega =\Delta \times {\frac {S}{V}}}$

มันคล้ายกับแนวคิดของเดลต้า แต่แสดงในรูปของเปอร์เซ็นต์แทนที่จะเป็นค่าสัมบูรณ์

เอปซิลอน [ ^{9 ]} (หรือเรียกอีกอย่างว่า psi) คือการเปลี่ยนแปลงร้อยละของมูลค่าออปชั่นต่อ^การ เปลี่ยนแปลง ร้อยละของ ผลตอบแทน เงินปันผลอ้างอิงซึ่งเป็นการวัดความเสี่ยงของเงินปันผล ในทางปฏิบัติ ผลกระทบของผลตอบแทนเงินปันผลจะถูกกำหนดโดยใช้การเพิ่มขึ้น 10% ของผลตอบแทนเหล่านั้น เห็นได้ชัดว่าความไวนี้สามารถนำไปใช้กับตราสารอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ หุ้น ได้เท่านั้น${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varepsilon =\psi ={\frac {\บางส่วน V}{\บางส่วน q}}}$

ในเชิงตัวเลข ความไวลำดับแรกทั้งหมดสามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนต่างในผลตอบแทนที่คาดหวัง^{[ 10 ]}เรขาคณิตสารสนเทศเสนอการตีความอีกแบบหนึ่ง (ตรีโกณมิติ) ^{[ 10 ]}

แกมมา [ ^{4 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของเดลต้าเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของราคาพื้นฐาน แกมมาคืออนุพันธ์ อันดับสองของฟังก์ชันมูลค่าเมื่อ ^{เทียบ} กับราคาพื้นฐาน ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

ออปชั่นซื้อส่วนใหญ่มีแกมมาเป็นบวก และออปชั่นขายส่วนใหญ่มีแกมมาเป็นลบ ออปชั่นซื้อมีความสัมพันธ์เชิงบวกกับแกมมา เนื่องจากเมื่อราคาเพิ่มขึ้น เดลต้าก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน ทำให้เดลต้าเข้าใกล้ 1 จาก 0 (ออปชั่นซื้อ) และเข้าใกล้ 0 จาก -1 (ออปชั่นขาย) ในทางกลับกันจะเป็นจริงสำหรับออปชั่นขาย^{[ 11 ]}

ค่าแกมมาจะมีค่ามากที่สุดเมื่อราคาอยู่ที่ระดับเดียวกับราคาตลาด (ATM) และจะลดลงเมื่อราคาเพิ่มขึ้น ไม่ว่าจะเป็นระดับที่ราคาอยู่ในกำไร (ITM) หรือระดับที่ราคาอยู่นอกกำไร (OTM) ค่าแกมมามีความสำคัญเพราะช่วยแก้ไขความนูนของมูลค่า

เมื่อเทรดเดอร์ต้องการสร้างการป้องกันความเสี่ยงด้านเดลต้าที่มีประสิทธิภาพสำหรับพอร์ตโฟลิโอ เทรดเดอร์อาจพยายามทำให้แกมมาของพอร์ตโฟลิโอเป็นกลางด้วยเช่นกัน เนื่องจากจะช่วยให้การป้องกันความเสี่ยงมีประสิทธิภาพครอบคลุมช่วงการเคลื่อนไหวของราคาหลักทรัพย์อ้างอิงที่กว้างขึ้น

Vanna [ ^{4 ]}หรือเรียกอีกอย่างว่าDvegaDspot ^{[ 13 ]}และDdeltaDvol [ ^{13 ]}เป็นอนุพันธ์อันดับสองของมูลค่าออปชั่น โดยครั้งหนึ่งเทียบกับราคาสปอตของสินทรัพย์^{อ้างอิงและ}อีกครั้งเทียบกับความผันผวน โดยทางคณิตศาสตร์แล้วเทียบเท่ากับDdeltaDvolซึ่งเป็นความไวของเดลต้าออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงของความผันผวน หรืออีกนัยหนึ่งคือ อนุพันธ์ย่อยของเวก้าเทียบกับราคาของตราสารอ้างอิง Vanna อาจเป็นความไวที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบเมื่อดูแลพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าหรือเวก้า เนื่องจาก Vanna จะช่วยให้ผู้ค้าสามารถคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงประสิทธิภาพของการป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าเมื่อความผันผวนเปลี่ยนแปลง หรือประสิทธิภาพของการป้องกันความเสี่ยงด้วยเวก้าต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาสปอตของสินทรัพย์อ้างอิง

ถ้าค่าพื้นฐานมีอนุพันธ์ย่อยอันดับสองต่อเนื่องกันแล้ว${\displaystyle {\text{Vanna}}={\frac {\partial \Delta }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S\,\partial \sigma }}.}$

เสน่ห์^{[ 4 ]}หรือการสลายตัวของเดลต้า^{[ 14 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของเดลต้าเมื่อเวลาผ่านไป

${\displaystyle {\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}}$

Charm ยังถูกเรียกว่าDdeltaDtimeอีก ด้วย ^{[ 13 ]} Charm อาจเป็นค่ากรีกที่สำคัญในการวัด/ตรวจสอบเมื่อทำการเฮดจ์เดลต้าของตำแหน่งในช่วงสุดสัปดาห์ Charm เป็นอนุพันธ์อันดับสองของมูลค่าออปชั่น ครั้งหนึ่งเทียบกับราคา และอีกครั้งเทียบกับระยะเวลา นอกจากนี้ยังเป็นอนุพันธ์ของธีตาเทียบกับราคาของสินทรัพย์อ้างอิง ด้วย

ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ของสูตรสำหรับค่าเสน่ห์ (ดูด้านล่าง) แสดงในหน่วยเดลต้าต่อปี โดยทั่วไปแล้ว การหารค่านี้ด้วยจำนวนวันต่อปีจะช่วยให้ได้ค่าเดลต้าที่ลดลงต่อวัน การคำนวณแบบนี้ค่อนข้างแม่นยำเมื่อจำนวนวันที่เหลือก่อนวันหมดอายุของออปชั่นมีมาก แต่เมื่อออปชั่นใกล้หมดอายุ ค่าเสน่ห์เองอาจเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ทำให้การประมาณค่าเดลต้าที่ลดลงแบบเต็มวันไม่แม่นยำ

Vomma [ ^{4 ]} volga [ ^{15 ]} vega convexity [ ^{15 ] หรือ} DvegaDvol [ ^{15 ] วัด}ความไวลำดับที่สองต่อความผันผวน Vomma คืออนุพันธ์อันดับสองของมูลค่าออ ^{ป ชั่นเทียบกับความผันผวน หรือกล่าวอีก นัย}หนึ่ง Vomma วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ vega เมื่อความผันผวนเปลี่ยนแปลง

${\displaystyle {\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}}$

เมื่อค่า Vomma เป็นบวก ตำแหน่งจะกลายเป็น Long Vega เมื่อความผันผวนโดยนัยเพิ่มขึ้น และ Short Vega เมื่อความผันผวนโดยนัยลดลง ซึ่งสามารถทำกำไรระยะสั้นได้ในลักษณะเดียวกับ Long Gamma และตำแหน่ง Long Vomma ที่ Vega เป็นกลางในตอนเริ่มต้น สามารถสร้างขึ้นได้จากอัตราส่วนของออปชั่นที่ราคาใช้สิทธิ์ต่างกัน Vomma จะเป็นบวกสำหรับออปชั่น Long ที่อยู่ห่างจากราคาใช้สิทธิ์ และในตอนแรกจะเพิ่มขึ้นตามระยะห่างจากราคาใช้สิทธิ์ (แต่จะลดลงเมื่อ Vega ลดลง) (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Vomma จะเป็นบวกเมื่อค่า d1 และ d2 ปกติ_{มีเครื่องหมายเดียวกัน}ซึ่งเป็นจริง_{เมื่อ} d1 <  0 หรือd2  > 0)

Veta [ ^{16 ]} vega decayหรือDvegaDtime ^{[ 15 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ vega เมื่อเทียบกับการผ่านไปของเวลา Veta เป็นอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันค่า ครั้งหนึ่งเทียบกับความผันผวนและอีกครั้งเทียบกับ ^เวลา

${\displaystyle {\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}}$

เป็นเรื่องปกติที่จะนำผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ของค่าเวตามาหารด้วยจำนวนวันในหนึ่งปี 100 เท่า เพื่อลดค่าให้เหลือเป็นเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงของค่าเวตาต่อวัน

Vera ^{[ 17 ]} (บางครั้งเรียกว่า rhova ) ^{[ 17 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ rho เมื่อเทียบกับความผันผวน Vera คืออนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันมูลค่า ครั้งหนึ่งเทียบกับความผันผวน และอีกครั้งเทียบกับอัตราดอกเบี้ย

${\displaystyle {\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}}$

คำว่า 'Vera' ถูกบัญญัติขึ้นโดย R. Naryshkin ในช่วงต้นปี 2012 เมื่อมีความจำเป็นต้องใช้ความไวนี้ในทางปฏิบัติเพื่อประเมินผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงความผันผวนต่อการป้องกันความเสี่ยงด้วยค่า rho แต่ในขณะนั้นยังไม่มีชื่อเรียกใด ๆ ในเอกสารที่มีอยู่ 'Vera' ถูกเลือกเพราะมีเสียงคล้ายกับการรวมกันของ Vega และ Rho ซึ่งเป็นค่ากรีกอันดับแรกของแต่ละตัวแปร ปัจจุบันชื่อนี้ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางมากขึ้น เช่น ใน ซอฟต์แวร์พีชคณิตคอมพิวเตอร์ Maple (ซึ่งมีฟังก์ชัน 'BlackScholesVera' ในแพ็กเกจ Finance)

อนุพันธ์ย่อยนี้มีบทบาทพื้นฐานในสูตร Breeden–Litzenberger ^{[ 18 ]}ซึ่งใช้ราคาออปชั่นเรียกที่อ้างอิงเพื่อประมาณความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงที่บ่งบอกโดยราคาดังกล่าว

${\displaystyle \varpi ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial K^{2}}}}$

สำหรับออปชั่นซื้อ (call options) สามารถประมาณได้โดยใช้พอร์ตโฟลิโอขนาดเล็กมากของ กลยุทธ์ ผีเสื้อ (butterfly strategies)

ความเร็ว^{[ 4 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของแกมมาโดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของราคาพื้นฐาน

${\displaystyle {\text{Speed}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{3}}}}$

บางครั้งเรียกสิ่งนี้ว่าแกมมาของแกมมา^{[ 2 ] : 799} หรือDgammaDspot ^{[ 13 ]}ความเร็วคืออนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันมูลค่าเทียบกับราคาสปอตพื้นฐาน ความเร็วอาจมีความสำคัญในการตรวจสอบเมื่อทำการ ป้องกันความเสี่ยง ด้วยเดลต้าหรือการป้องกันความเสี่ยงด้วยแกมมาของพอร์ตโฟลิโอ

Zomma ^{[ 4 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของแกมมาโดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของความผันผวน

${\displaystyle {\text{Zomma}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\text{vanna}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \sigma }}}$

Zomma ยังถูกเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าDgammaDvol [ ^{13 ] Zomma}เป็นอนุพันธ์ลำดับที่สามของมูลค่าออปชั่น สองครั้งเทียบกับราคาของสินทรัพย์อ้างอิง และหนึ่งครั้งเทียบกับความผันผวน Zomma อาจเป็นค่าความไวที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบเมื่อรักษาพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกันความเสี่ยงแกมมา เนื่องจาก Zomma จะช่วยให้เทรดเดอร์คาดการณ์การเปลี่ยนแปลงประสิทธิภาพของการป้องกันความเสี่ยงเมื่อความผันผวนเปลี่ยนแปลง

สี [ ^{13 ] การสลาย ตัว}ของแกมมา^{[ 19 ]}หรือDgammaDtime ^{[ 13 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของแกมมาเมื่อเวลาผ่านไป

${\displaystyle {\text{Color}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \tau }}}$

สีเป็นอนุพันธ์อันดับสามของมูลค่าออปชั่น โดยเป็นสองเท่าของราคาของสินทรัพย์อ้างอิงและหนึ่งเท่าของเวลา สีเป็นตัวแปรสำคัญที่ควรติดตามเมื่อดูแลพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกันความเสี่ยงด้วยแกมมา เนื่องจากสามารถช่วยให้เทรดเดอร์คาดการณ์ประสิทธิภาพของการป้องกันความเสี่ยงเมื่อเวลาผ่านไปได้

ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ของสูตรสำหรับสี (ดูด้านล่าง) แสดงออกมาในรูปของค่าแกมมาต่อปี โดยทั่วไปแล้ว การหารค่านี้ด้วยจำนวนวันต่อปีจะช่วยให้ได้ค่าการเปลี่ยนแปลงของแกมมาต่อวัน การใช้งานแบบนี้ค่อนข้างแม่นยำเมื่อจำนวนวันที่เหลือก่อนวันหมดอายุของออปชั่นมีมาก แต่เมื่อออปชั่นใกล้หมดอายุ สีอาจเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ทำให้การประมาณค่าการเปลี่ยนแปลงของแกมมาแบบเต็มวันไม่แม่นยำ

Ultima ^{[ 4 ]}วัดความไวของตัวเลือก vomma ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของความผันผวน

${\displaystyle {\text{Ultima}}={\frac {\partial {\text{vomma}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \sigma ^{3}}}}$

Ultima ยังถูกเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าDvommaDvol [ ^{4 ] Ultima}เป็นอนุพันธ์อันดับสามของมูลค่าออปชั่นต่อความผันผวน

Parmicharma ^{[ 4 ]}วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของเสน่ห์เมื่อเวลาผ่านไป

${\displaystyle {\text{Parmicharma}}=-{\frac {\partial {\text{charm}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \tau ^{2}\partial S}}}$

Parmicharma ยังถูกเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าDcharmDtime [ ^{20 ] Parmicharma}เป็นอนุพันธ์ลำดับที่สามของมูลค่าออปชั่น สองครั้งเทียบกับเวลาและหนึ่งครั้งเทียบกับราคาของสินทรัพย์อ้างอิง เพื่อรักษาพอร์ตโฟลิโอ delta-hedge ให้ดียิ่งขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป เทรดเดอร์อาจป้องกัน charm เพิ่มเติมจากตำแหน่ง delta ปัจจุบันของตน^{[ 20 ]} Parmicharma อาจเป็นความไวที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบเมื่อรักษาพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกัน charm ดังกล่าว เนื่องจาก parmicharma จะช่วยให้เทรดเดอร์คาดการณ์การเปลี่ยนแปลงประสิทธิภาพของการป้องกันเมื่อเวลาผ่านไป

หากมูลค่าของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับสินทรัพย์ อ้างอิงสองตัวขึ้นไป ค่ากรีกของอนุพันธ์นั้นจะถูกขยายให้ครอบคลุมผลกระทบข้ามระหว่างสินทรัพย์อ้างอิงเหล่านั้นด้วย

ค่าเดลต้าความสัมพันธ์จะวัดความไวของค่าอนุพันธ์ต่อการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์อ้างอิง[ ^{21 ] นอกจาก}นี้ยังเรียกกันทั่วไปว่าcega ^{[ 22 ] [ 23 ]}

แกมมาไขว้จะวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของเดลต้าในสินทรัพย์อ้างอิงหนึ่งต่อการเปลี่ยนแปลงระดับของสินทรัพย์อ้างอิงอื่น^{[ 24 ]}

Cross vannaวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ vega ในสินทรัพย์อ้างอิงหนึ่งเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงระดับของสินทรัพย์อ้างอิงอื่น ในทำนองเดียวกัน มันวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ delta ในสินทรัพย์อ้างอิงที่สองเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิงแรก^{[ 21 ]}

Cross volgaวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ vega ในสินทรัพย์อ้างอิงหนึ่งต่อการเปลี่ยนแปลงความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิงอื่น^{[ 24 ]}

ค่า Greeks ของออปชั่นแบบยุโรป ( callsและputs ) ภายใต้แบบจำลอง Black–Scholesคำนวณได้ดังนี้ โดยที่(phi) คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นปกติมาตรฐานและคือฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติมาตรฐานโปรดทราบว่าสูตร gamma และ vega นั้นเหมือนกันสำหรับ calls และ puts ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi }$

สำหรับค่าที่กำหนด:

• ราคาหุ้น${\displaystyle S\,}$
• ราคาใช้สิทธิ${\displaystyle K\,}$
• อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง${\displaystyle r\,}$
• อัตราผลตอบแทนเงินปันผลประจำปี${\displaystyle q\,}$
• ระยะเวลาครบกำหนด(แสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่มีหน่วยของหนึ่งปี) และ${\displaystyle \tau =T-t\,}$
• ความผันผวน${\displaystyle \sigma \,}$

	การโทร	พุต
มูลค่ายุติธรรม ( ) ${\displaystyle V}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
เดลต้า ( ) ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
เวก้า ( ) ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$
เธต้า ( ) ${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
โร ( ) ${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
เอปซิลอน ( )${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle -S\tau e^{-q\tau }\Phi (d_{1})}$	${\displaystyle S\tau e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})}$
แลมบ์ดา ( ) ${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \Delta {\frac {S}{V}}\,}$
แกมมา ( ) ${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
วานนา	${\displaystyle -e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
เสน่ห์	${\displaystyle qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$	${\displaystyle -qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
วอมม่า	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$
เวร่า	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\frac {d_{1}}{\sigma }}\,}$
เวตา	${\displaystyle -Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,}$
${\displaystyle \varpi }$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {1}{K^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}=\left({\frac {S}{K}}\right)^{2}\Gamma \,}$
ความเร็ว	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,}$
ซอมม่า	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma {\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\,}$
สี	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,}$
อัลติมา	${\displaystyle {\frac {-{\mathcal {V}}}{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]}$
ปาร์มิชาร์มา	${\displaystyle \left(q-{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\right){\text{charm}}-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2d_{2}\sigma ^{2}\tau -(r-q)\sigma \tau {\sqrt {\tau }}-\sigma ^{2}\tau ^{2}{\frac {\partial }{\partial \tau }}d_{2}}{2\tau ^{3}\sigma ^{2}}}\,}$
เดลต้าคู่	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
แกมมาคู่	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\\\varphi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}}$

ตามแบบจำลอง Black (ซึ่งใช้กันทั่วไปสำหรับสินค้าโภคภัณฑ์และออปชั่นในสัญญาซื้อขายล่วงหน้า) สามารถคำนวณค่า Greeks ได้ดังนี้:

	การโทร	พุต
มูลค่ายุติธรรม ( ) ${\displaystyle V}$	${\displaystyle e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
เดลต้า ( )${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle =\partial V/\partial F}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
เวก้า ( ) ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$ (*)
เธต้า ( ) ${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+rFe^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-rFe^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
โร ( ) ${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
แกมมา ( )${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle ={\partial ^{2}V \over \partial F^{2}}}$	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{F\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{F^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$(*)
วานนา${\displaystyle ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial F\partial \sigma }}}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{F}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
วอมม่า	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

(*) สามารถแสดงได้ว่า${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

ไมโครพรูฟ:

อนุญาต${\displaystyle x=\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}}$

${\displaystyle d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle \ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

จากนั้นเราก็มี: ${\displaystyle {\frac {F}{K}}\cdot {\frac {\varphi (d_{1})}{\varphi (d_{2})}}={\frac {F}{K}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {d_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}}$

${\displaystyle =e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.}$

ดังนั้น${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

มาตรการวัดความเสี่ยงที่เกี่ยวข้องกับตราสารทางการเงิน บางส่วน แสดงไว้ด้านล่างนี้

ในการซื้อขายพันธบัตรและหลักทรัพย์รายได้คงที่ อื่นๆ มีการใช้ มาตรวัดระยะเวลาของพันธบัตร หลายแบบ ในลักษณะเดียวกับเดลต้าของออปชั่น มาตรวัดที่ใกล้เคียงที่สุดกับเดลต้าคือDV01ซึ่งเป็นการลดลงของราคา (ในหน่วยสกุลเงิน) สำหรับการเพิ่มขึ้นหนึ่งจุดพื้นฐาน (เช่น 0.01% ต่อปี) ของอัตราผลตอบแทน โดยที่อัตราผลตอบแทนเป็นตัวแปรอ้างอิง ดูระยะเวลาของพันธบัตร § ความเสี่ยง – ระยะเวลาในฐานะความไวต่ออัตราดอกเบี้ย (ที่เกี่ยวข้องคือCS01ซึ่งวัดความไวต่อส่วนต่างเครดิต )

ค่าแลมบ์ดา (lambda ) มีลักษณะคล้ายคลึงกับค่าระยะเวลาปรับปรุง (modified duration ) ซึ่งเป็นการ เปลี่ยนแปลง เป็นเปอร์เซ็นต์ของราคาตลาดของพันธบัตรต่อ การเปลี่ยนแปลง หนึ่งหน่วยของผลตอบแทน (กล่าวคือ เทียบเท่ากับ DV01 หารด้วยราคาตลาด) แต่แตกต่างจากค่าแลมบ์ดาซึ่งเป็นค่าความยืดหยุ่น (การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ของผลผลิตต่อการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ของปัจจัยนำเข้า) ค่าระยะเวลาปรับปรุงกลับเป็นค่ากึ่งความยืดหยุ่น — การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ของผลผลิตต่อ การเปลี่ยนแปลง หนึ่งหน่วย ของปัจจัย นำเข้า ดูเพิ่มเติมที่ ระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยหลัก (Key rate duration )

ความนูน ของพันธบัตร (Bond convexity)คือการวัดความไวของระยะเวลา (duration) ต่อการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ย ซึ่ง เป็นอนุพันธ์อันดับสองของราคาพันธบัตรเทียบกับอัตราดอกเบี้ย (ระยะเวลาคืออนุพันธ์อันดับแรก) ดังนั้นจึงคล้ายคลึงกับค่าแกมมา โดยทั่วไป ยิ่งความนูนสูง ราคาพันธบัตรก็จะยิ่งไวต่อการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยมากขึ้น ความนูนของพันธบัตรเป็นหนึ่งในรูปแบบความนูนพื้นฐานและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในด้านการเงิน

สำหรับพันธบัตรที่มีออปชั่นแฝงอยู่ การคำนวณ อัตราผลตอบแทนต่ออายุมาตรฐานในที่นี้ไม่ได้พิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยจะเปลี่ยนแปลงกระแสเงินสดที่เกิดจากการใช้ออปชั่นอย่างไร เพื่อแก้ไขปัญหานี้ จึงมีการนำ ระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพ (effective duration)และความนูนที่มีประสิทธิภาพ (effective convexity)มาใช้ โดยทั่วไปแล้วค่าเหล่านี้จะคำนวณโดยใช้แบบจำลองแบบต้นไม้ (tree-based model) ซึ่งสร้างขึ้นสำหรับเส้นโค้งอัตราผลตอบแทนทั้งหมด (ตรงข้ามกับอัตราผลตอบแทนต่ออายุเพียงเส้นเดียว) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถจับพฤติกรรมการใช้สิทธิในแต่ละจุดตลอดอายุของออปชั่นได้ โดยขึ้นอยู่กับทั้งเวลาและอัตราดอกเบี้ย ดู แบบจำลองแลตติส (การเงิน) § อนุพันธ์ อัตราดอกเบี้ย

ค่าเบต้า (β) ของหุ้นหรือพอร์ตการลงทุนคือตัวเลขที่อธิบายถึงความผันผวนของสินทรัพย์เมื่อเทียบกับความผันผวนของดัชนีอ้างอิงที่ใช้เปรียบเทียบ โดยทั่วไปดัชนีอ้างอิงนี้คือตลาดการเงินโดยรวม และมักประเมินโดยใช้ดัชนี ตัวแทน เช่นS&P 500

สินทรัพย์จะมีค่าเบต้าเป็นศูนย์หากผลตอบแทนของสินทรัพย์นั้นเปลี่ยนแปลงอย่างอิสระจากการเปลี่ยนแปลงของผลตอบแทนของตลาด ค่าเบต้าที่เป็นบวกหมายความว่าผลตอบแทนของสินทรัพย์โดยทั่วไปจะเคลื่อนไหวตามผลตอบแทนของตลาด กล่าวคือทั้งสองมีแนวโน้มที่จะสูงกว่าค่าเฉลี่ยของทั้งสองตลาดพร้อมกัน หรือทั้งสองมีแนวโน้มที่จะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยของทั้งสองตลาดพร้อมกัน ค่าเบต้าที่เป็นลบหมายความว่าผลตอบแทนของสินทรัพย์โดยทั่วไปจะเคลื่อนไหวในทิศทางตรงกันข้ามกับผลตอบแทนของตลาด กล่าวคือ สินทรัพย์หนึ่งจะมีแนวโน้มสูงกว่าค่าเฉลี่ยเมื่ออีกสินทรัพย์หนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

ฟูกิต (Fugit) คือระยะเวลาที่คาดว่าจะใช้สิทธิในออปชั่นแบบอเมริกันหรือเบอร์มูดา ฟูกิตมีประโยชน์ในการคำนวณเพื่อการป้องกันความเสี่ยง ตัวอย่างเช่น เราสามารถแสดงกระแสของสวอปชั่น แบบอเมริกัน เหมือนกับกระแสของสวอปที่เริ่มต้นที่ฟูกิตคูณด้วยเดลต้า (Delta) จากนั้นใช้ค่าเหล่านี้ในการคำนวณความไวต่อการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ

• อัลฟ่า (การเงิน)
• เบต้า (การเงิน)
• เดลต้าเป็นกลาง
• การบริหารความเสี่ยงทางการเงิน
• อักษรกรีกที่ใช้ในคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์
• PnL อธิบาย § วิธีความไว
• การกำหนดราคาของแวนนา-โวลกา

ทฤษฎี

• Delta, Gamma, GammaP, สมมาตรแกมมา, Vanna, ความเร็ว, Charm, Saddle Gamma: ตัวเลือกวานิลลา - Espen Haug ,
• Volga, Vanna, Speed, Charm, Color: Vanilla Options - Uwe Wystup เก็บถาวรเมื่อ 2007-09-28 ที่Wayback Machine , Vanilla Options - Uwe Wystup

เครื่องมือออนไลน์

• greeks: ความไวต่อราคาของออปชั่นทางการเงินแพ็กเกจ R สำหรับคำนวณค่า Greeks ของออปชั่นแบบยุโรป อเมริกา และเอเชีย