การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกในการทำแผนที่ถูกใช้มาตั้งแต่สมัยโบราณ เช่นเดียวกับการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกและการฉายภาพแบบโนมอนิกการฉายภาพแบบออร์โธ กราฟิก เป็นการ ฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟ ที่ทรงกลมถูกฉายลงบนระนาบสัมผัสหรือระนาบตัดจุดเปอร์สเปคทีฟสำหรับการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกอยู่ที่ ระยะ อนันต์มันแสดงให้เห็นซีกโลกของโลกตามที่ปรากฏจากอวกาศโดยที่เส้นขอบฟ้าเป็นวงกลมใหญ่รูปร่างและพื้นที่จะบิดเบี้ยวโดยเฉพาะอย่างยิ่งบริเวณขอบ^{[ 1 ] [ 2 ]}

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ โดยมีการบันทึกการใช้งานด้านแผนที่ไว้อย่างดีฮิปปาร์คัสใช้การฉายภาพนี้ในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราชเพื่อกำหนดตำแหน่งที่ดาวขึ้นและดาวตก ในราวปี 14 ก่อนคริสต์ศักราช วิศวกรชาวโรมันมาร์คัส วิตรูวิอุส โพลลิโอใช้การฉายภาพนี้เพื่อสร้างนาฬิกาแดดและคำนวณตำแหน่งของดวงอาทิตย์^{[ 2 ]}

นอกจากนี้ดูเหมือนว่า Vitruvius จะเป็นผู้คิดค้นคำว่า orthographic (จากภาษากรีกorthos (= “ตรง”) และ graphē (= “การวาด”)) สำหรับการฉายภาพ อย่างไรก็ตาม ชื่อanalemmaซึ่งหมายถึงนาฬิกาแดดที่แสดงละติจูดและลองจิจูด ก็เป็นชื่อที่ใช้กันทั่วไปจนกระทั่งFrançois d'Aguilonแห่งAntwerpได้ส่งเสริมชื่อปัจจุบันในปี 1613 ^{[ 2 ]}

แผนที่ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งใช้การฉายภาพนี้ ปรากฏเป็นภาพวาดแกะไม้แบบหยาบๆ ของลูกโลกในปี ค.ศ. 1509 (ไม่ระบุชื่อ), ค.ศ. 1533 และ 1551 (โยฮันเนส เชินเนอร์) และ ค.ศ. 1524 และ 1551 (อาเปียน) แผนที่ที่มีความละเอียดสูง ซึ่งออกแบบโดยอัลเบรชต์ ดือเรอร์นักปราชญ์ ยุคเรเนสซองส์ และดำเนินการโดยโยฮันเนส สตาเบีย ส ปรากฏขึ้นในปี ค.ศ. 1515 ^{[ 2 ]}

ภาพถ่ายโลกและดาวเคราะห์ดวง อื่น ๆ จากยานอวกาศได้จุดประกายความสนใจใหม่ในการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกในสาขา ดาราศาสตร์และวิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์

สูตรสำหรับการฉายภาพออร์โธกราฟิกทรงกลมได้มาจากการใช้ตรีโกณมิติโดยเขียนในรูปของลองจิจูด ( λ ) และละติจูด ( φ ) บนทรงกลมกำหนดรัศมีของทรงกลมRและจุดศูนย์กลาง (และจุดกำเนิด ) ของการฉายภาพ( λ ₀ , φ ₀ ) สมการสำหรับการฉายภาพออร์โธกราฟิกบน ระนาบสัมผัส ( x , y )จะลดลงเหลือดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{aligned}}}$$

ละติจูดที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของแผนที่ควรถูกตัดออกโดยการคำนวณระยะเชิงมุมcจากจุดศูนย์กลางของการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก วิธีนี้จะช่วยให้มั่นใจได้ว่าจุดบนซีกโลกตรงข้ามจะไม่ถูกพล็อต: จุดนั้นจะถูกตัดออกจากแผนที่หากcos( c )มีค่าเป็นลบ นั่นคือ จุดทั้งหมดที่รวมอยู่ในแผนที่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: $${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,.}$$$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}.}$$

สูตรผกผันมีดังนี้: โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$$

สำหรับการคำนวณ สูตรผกผัน แนะนำให้ใช้ ฟังก์ชัน แทนเจนต์ผกผันในรูปแบบatan2 ที่มีสองอาร์กิวเมนต์ (แทนที่จะใช้atan ) วิธีนี้จะช่วยให้มั่นใจได้ว่า เครื่องหมายของการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกที่เขียนนั้นถูกต้องในทุกควอดแรนต์

สูตรผกผันมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อพยายามฉายตัวแปรที่กำหนดบน กริด ( λ , φ )ไปยังกริดเชิงเส้นตรงใน( x , y )การประยุกต์ใช้การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกโดยตรงจะให้จุดกระจัดกระจายใน( x , y )ซึ่งสร้างปัญหาสำหรับการพล็อตและการคำนวณเชิงตัวเลขวิธีแก้ปัญหาวิธีหนึ่งคือการเริ่มต้นจาก ระนาบการฉายภาพ ( x , y )และสร้างภาพจากค่าที่กำหนดใน( λ , φ )โดยใช้สูตรผกผันของการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก

ดูเอกสารอ้างอิงสำหรับเวอร์ชันทรงรีของการฉายภาพแผนที่แบบออร์โธกราฟิก^{[ 3 ]}

การเปรียบเทียบการฉายภาพแผนที่แบบออร์โธกราฟิกและการฉายภาพแบบอะซิมุทัลบางแบบ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 90° เหนือ ในมาตราส่วนเดียวกัน เรียงลำดับตามระดับความสูงของการฉายภาพในหน่วยรัศมีโลก ( คลิกเพื่อดูรายละเอียด )

ในความหมายกว้างๆ การฉายภาพทั้งหมดที่มีจุดมองภาพแบบเปอร์สเปคทีฟอยู่ที่ระยะอนันต์ (และดังนั้นเส้นฉายภาพจึงขนานกัน) ถือว่าเป็นภาพฉายแบบออร์โธกราฟิก ไม่ว่าพื้นผิวที่ฉายภาพจะเป็นอย่างไรก็ตาม การฉายภาพดังกล่าวจะบิดเบือนมุมและพื้นที่ใกล้กับขั้ว

ตัวอย่างหนึ่งของการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกบนทรงกระบอกคือ การฉายภาพทรงกระบอกแบบแลมเบิร์ต ที่ มีพื้นที่เท่ากัน

• รายชื่อการฉายภาพแผนที่
• การฉายภาพสามมิติในงานแผนที่

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก (การทำแผนที่ )

• การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก—จาก MathWorld