ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันการจับคู่คือกระบวนการในการเข้ารหัสจำนวนธรรมชาติ สองจำนวน ให้เป็นจำนวนธรรมชาติเพียงจำนวนเดียว อย่างไม่ซ้ำกัน

ฟังก์ชันการจับคู่ใดๆ ก็ได้สามารถใช้ในทฤษฎีเซตเพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนธรรมชาติ^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันการจับคู่คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

${\displaystyle \pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} .}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

โดยทั่วไป ฟังก์ชันการจับคู่บนเซตคือฟังก์ชันที่แมปองค์ประกอบแต่ละคู่จากไปยังองค์ประกอบของโดยที่องค์ประกอบคู่ที่แตกต่างกันของ จะเชื่อม ^โยงกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของ[ ^{5 ] [ a ]} ​​หรือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากไปยัง^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle A}$

แทนที่จะแยกออกจากโดเมนความเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันการจับคู่ยังสามารถทำให้เป็นแบบทั่วไปได้: มีฟังก์ชันการจับคู่แคนเตอร์แบบทั่วไปn อาร์กิวเมนต์ บน^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {N} }$

ฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์เป็นฟังก์ชันการจับคู่ แบบเรียกซ้ำพื้นฐาน

${\displaystyle \pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

กำหนดโดย

${\displaystyle \pi (k_{1},k_{2}):={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})(k_{1}+k_{2}+1)+k_{2}={\binom {k_{1}+k_{2}+1}{2}}+k_{2}}$

ที่ไหน^{[ 7 ]}​${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \{0,1,2,3,\dots \}}$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle \pi (x,y):={\frac {x^{2}+x+2xy+3y+y^{2}}{2}}}$

นอกจาก นี้ ยังเป็นฟังก์ชันเอกภาคอย่างเคร่งครัดเมื่อเทียบกับตัวแปรแต่ละตัว กล่าวคือ สำหรับทุกค่าถ้าแล้ว; ในทำนองเดียวกัน ถ้าแล้ว${\displaystyle k_{1},k_{1}',k_{2},k_{2}'\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k_{1}<k_{1}'}$${\displaystyle \pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1}',k_{2})}$${\displaystyle k_{2}<k_{2}'}$${\displaystyle \pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1},k_{2}')}$

ข้อความที่ระบุว่านี่เป็นฟังก์ชันการจับคู่กำลังสองเพียงอย่างเดียวเรียกว่าทฤษฎีบทฟูเอเตอร์-โปลยา^{[ 8 ]}ยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่ว่านี่เป็นฟังก์ชันการจับคู่พหุนามเพียงอย่างเดียวหรือไม่ เมื่อเราใช้ฟังก์ชันการจับคู่กับk ₁และk ₂เรามักจะใช้สัญลักษณ์⟨ k ₁ , k ₂ ⟩ แทน จำนวน ที่ได้ ^{[ 9 ]}

นิยามนี้สามารถขยายความแบบอุปนัยไปยังฟังก์ชันทูเพิลของแคนเตอร์ ได้

${\displaystyle \pi ^{(n)}:\mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N} }$

เนื่องจาก​ ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle \pi ^{(n)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1},k_{n}):=\pi (\pi ^{(n-1)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1}),k_{n})}$

โดยมีกรณีพื้นฐานที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับคู่: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \pi ^{(2)}(k_{1},k_{2}):=\pi (k_{1},k_{2}).}$

ระบบจำนวนเชิงการจัดเรียง (combinatorial number system)ให้การสรุปทั่วไปอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์ไปสู่การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง: ${\displaystyle \pi ^{(n)}\colon \mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N} }$

${\displaystyle \pi ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})={\binom {x_{1}+\dots +x_{n}+n-1}{n}}+{\binom {x_{1}+\dots +x_{n-1}+n-2}{n-1}}+\dots +{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2}}+{\binom {x_{1}}{1}}.}$

ให้เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ เราจะแสดงว่ามีค่า ที่ไม่ซ้ำกันเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ${\displaystyle z\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle z=\pi (x,y)={\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}+y}$

ดังนั้น ฟังก์ชันπ(x, y)จึงสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้ การกำหนดค่ากลางบางค่าในการคำนวณจะเป็นประโยชน์:

${\displaystyle w=x+y\!}$

${\displaystyle t={\frac {1}{2}}w(w+1)={\frac {w^{2}+w}{2}}}$

${\displaystyle z=t+y\!}$

โดยที่tคือเลขสามเหลี่ยมของwถ้าเราแก้สมการกำลังสอง

${\displaystyle w^{2}+w-2t=0\!}$

สำหรับwที่เป็นฟังก์ชันของtเราจะได้

${\displaystyle w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่องเมื่อtเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เนื่องจาก

${\displaystyle t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}}$

เราเข้าใจแล้ว

${\displaystyle w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor .}$

โดยที่⌊ ⌋คือฟังก์ชันพื้นดังนั้นในการคำนวณxและyจากzเราจึงทำดังนี้:

${\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor }$

${\displaystyle t={\frac {w^{2}+w}{2}}}$

${\displaystyle y=zt\!}$

${\displaystyle x=wy.\!}$

เนื่องจากฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์สามารถผกผันได้ จึงต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง^{[ 5 ]}

เพื่อคำนวณπ (47, 32) :

47 + 32 = 79

79 + 1 = 80

79 × 80 = 6320

6320 ÷ 2 = 3160

3160 + 32 = 3192

ดังนั้นπ (47, 32) = 3192

เพื่อหาค่าxและyที่ทำให้π ( x , y ) = 1432 :

8 × 1432 = 11456

11456 + 1 = 11457

√ 11457 = 107.037 ,

107.037 − 1 = 106.037 ,

106.037 ÷ 2 = 53.019

⌊53.019⌋ = 53 ,

ดังนั้นw = 53 ;

53 + 1 = 54

53 × 54 = 2862

2862 ÷ 2 = 1431

ดังนั้นt = 1431 ;

1432 − 1431 = 1 ,

ดังนั้นy = 1 ;

53 − 1 = 52 ,

ดังนั้นx = 52 ; ดังนั้นπ (52, 1) = 1432

รูปทรงกราฟิกของฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์ ซึ่งเป็นลำดับทแยงมุม เป็นเทคนิคมาตรฐานในการทำงานกับลำดับอนันต์และความสามารถในการนับ [ ^{b ] กฎ}พีชคณิตของฟังก์ชันรูปทรงทแยงมุมนี้สามารถตรวจสอบความถูกต้องสำหรับพหุนามหลายช่วง ซึ่งพหุนามกำลังสองจะเป็นพหุนามที่ง่ายที่สุด โดยใช้วิธีการอุปนัยอันที่จริง เทคนิคเดียวกันนี้ยังสามารถนำไปใช้เพื่อพยายามหาฟังก์ชันอื่นๆ จำนวนมากสำหรับรูปแบบต่างๆ ในการแจงนับระนาบได้อีกด้วย

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันการจับคู่สามารถกำหนดได้แบบอุปนัย กล่าวคือ เมื่อกำหนดคู่ที่n แล้ว คู่ที่ ( n +1)คืออะไรวิธีที่ฟังก์ชันของแคนเตอร์ดำเนินไปในแนวทแยงมุมบนระนาบสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \pi (x,y)+1=\pi (x-1,y+1)}$.

ฟังก์ชันนี้ต้องกำหนดด้วยว่าจะทำอย่างไรเมื่อถึงขอบเขตของควาดรันต์ที่ 1 – ฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์จะรีเซ็ตกลับไปที่แกน x เพื่อดำเนินการต่อในแนวทแยงมุมต่อไปอีกหนึ่งขั้น หรือในเชิงพีชคณิต:

${\displaystyle \pi (0,k)+1=\pi (k+1,0)}$.

นอกจากนี้ เราต้องกำหนดจุดเริ่มต้น ซึ่งจะเป็นขั้นตอนแรกในวิธีการอุปนัยของเรา: π (0, 0) = 0

สมมติว่ามีพหุนามกำลังสองสองมิติที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ (ถ้าไม่มี ก็สามารถทำซ้ำโดยลองใช้พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า) รูปแบบทั่วไปจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \pi (x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f}$.

แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตเพื่อให้ได้f = 0และ:

${\displaystyle bk^{2}+ek+1=a(k+1)^{2}+d(k+1)}$,

ดังนั้นเราจึงสามารถจับคู่kเทอมของเราเพื่อให้ได้

b = a

d = 1- a

e = 1+ a .

ดังนั้นพารามิเตอร์ทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปของaยกเว้นcและเราก็มีสมการสุดท้าย ซึ่งเป็นขั้นตอนแนวทแยงมุม ที่จะเชื่อมโยงพารามิเตอร์เหล่านั้นเข้าด้วยกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x,y)+1&=a(x^{2}+y^{2})+cxy+(1-a)x+(1+a)y+1\\&=a((x-1)^{2}+(y+1)^{2})+c(x-1)(y+1)+(1-a)(x-1)+(1+a)(y+1).\end{aligned}}}$

ขยายและจับคู่เงื่อนไขอีกครั้งเพื่อให้ได้ค่าคงที่สำหรับaและcและด้วยเหตุนี้จึงได้ค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด:

a = ⁠1/2= b = d​

c = 1

e = ⁠3/2⁠

f = 0 .

ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x,y)&={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+xy+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}y\\&={\frac {1}{2}}(x+y)(x+y+1)+y,\end{aligned}}}$

คือฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์ และเราได้แสดงให้เห็นผ่านการพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันนี้ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของการอุปมาน

ฟังก์ชันการจับคู่ต่อไปนี้: โดยที่[ ^{11 ] เหมือนกับ}ฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์ แต่เลื่อนเพื่อไม่รวม 0 (เช่น , , และ) ^{[ 7 ]}มันถูกใช้ในตำราเรียนคอมพิวเตอร์ยอดนิยมของฮอปครอฟต์และอุลล์แมน (1979) ${\displaystyle \langle i,j\rangle :={\frac {1}{2}}(i+j-2)(i+j-1)+i}$${\displaystyle i,j\in \{1,2,3,\dots \}}$${\displaystyle i=k_{2}+1}$${\displaystyle j=k_{1}+1}$${\displaystyle \langle i,j\rangle -1=\pi (k_{2},k_{1})}$

มีฟังก์ชันการจับคู่ "มาตรฐาน" สำหรับจำนวนเชิงอันดับซึ่งเป็นฟังก์ชันการจับคู่สำหรับจำนวนอะเลฟ ทุกจำนวนพร้อมกัน (กล่าวคือจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น ของ จำนวนคาร์ดินัลที่เรียงลำดับได้ดีอนันต์ทุก จำนวน ) ฟังก์ชันนี้ถูกเหนี่ยวนำโดยการเรียงลำดับที่ดีของคู่จำนวนเชิงอันดับดังต่อไปนี้: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\preccurlyeq (\gamma ,\delta ){\text{ if either }}{\begin{cases}(\alpha ,\beta )=(\gamma ,\delta ),\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )<\max(\gamma ,\delta ),\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha <\gamma ,{\text{ or}}\\[4pt]\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha =\gamma \ {\text{and}}\ \beta <\delta .\end{cases}}}$

แนวคิดพื้นฐานคือ⁠ ⁠${\displaystyle \max(\alpha ,\beta )}$ถูกใช้เป็นคีย์เรียงลำดับหลักดังนั้น สำหรับลำดับ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ทุกคู่ที่มีทั้งสองค่าต่ำกว่า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$จะอยู่ก่อนคู่อื่นๆ ทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งผลคูณคาร์ทีเซียน⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \times \alpha }$จะถูกแมปไปยังส่วนเริ่มต้น ของการ เรียง ลำดับใหม่นี้ โดยประเภทลำดับของส่วนเริ่มต้นจะถูกระบุด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )}$

เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )}$เป็นลำดับเชิงอันดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )\geq \alpha }$นอกจากนี้ยังต่อเนื่องด้วยเนื่องจากสำหรับลิมิตเชิงอันดับ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$เรามี⁠ ⁠${\displaystyle \lambda \times \lambda =\bigcup _{\alpha <\lambda }(\alpha \times \alpha )}$ตอนนี้สำหรับจำนวนอเลฟทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )=\alpha }$สามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำอนันต์ : ^{[ 13 ]}

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha =\omega }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )=\omega }$ โดยความ ต่อเนื่อง เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (n)=n^{2}}$เป็นจำนวนธรรมชาติสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle n}$
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha >\omega }$เป็นลำดับเริ่มต้น แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \gamma (\alpha )=\alpha }$โดยความต่อเนื่อง เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle \vert \gamma (\delta )\vert =\vert \delta \times \delta \vert =\vert \delta \vert ^{2}=\vert \delta \vert <\vert \alpha \vert }$สำหรับอนันต์ทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle \delta <\alpha }$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \vert \delta \vert ^{2}=\vert \delta \vert }$สามารถแสดงได้โดยการใช้สมมติฐานอุปนัยกับลำดับเริ่มต้นของ⁠ ⁠${\displaystyle \delta }$

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันการจับคู่คือสำหรับจำนวน${\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa }$เชิง คาร์ดินัล อนันต์${\displaystyle \kappa }$ที่เรียงลำดับได้ดีทั้งหมดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในZFCจำนวนเชิงคาร์ดินัลทุกจำนวนสามารถเรียงลำดับได้ดี ดังนั้น จึงเป็นจริง${\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa }$สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ทั้งหมดใน ทางกลับ กัน${\displaystyle \kappa }$ข้อความที่ว่า " เป็นจริง${\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa }$สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ทั้งหมด" บ่ง${\displaystyle \kappa }$บอกถึงสัจพจน์ของการเลือกผลลัพธ์นี้รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทของทาร์สกีเกี่ยวกับการเลือก

การจำกัดฟังก์ชันการจับคู่ "แบบแคนอนิก" สำหรับจำนวนเชิงอันดับให้อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} \equiv \omega }$ทำให้เกิดฟังก์ชันการจับคู่ที่แตกต่างจากฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์ ซึ่งซูดซิกถือว่า "สง่างามกว่า" ^{[ 5 ]}นิพจน์ที่ชัดเจนที่กำหนดฟังก์ชันการจับคู่นี้คือ:

${\displaystyle \operatorname {ElegantPair} [x,y]:={\begin{cases}y^{2}+x&{\text{if}}\ x<y,\\x^{2}+x+y&{\text{if}}\ x\geq y.\\\end{cases}}}$

ซึ่งสามารถแยกออกจากกันได้โดยใช้สูตร:

${\displaystyle \operatorname {ElegantUnpair} [z]:={\begin{cases}\left\{z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2},\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}<\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,\\\left\{\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}\geq \lfloor {\sqrt {z}}\rfloor .\end{cases}}}$

(ในเชิงคุณภาพ วิธีนี้จะกำหนดหมายเลขต่อเนื่องให้กับคู่ตัวเลขตามขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ข้อดีประการหนึ่งของฟังก์ชันการจับคู่นี้ปรากฏให้เห็นเมื่อใช้ฟังก์ชันคู่เพื่อแสดง โครงสร้างคล้าย ต้นไม้ไบนารี โดยที่จำนวนธรรมชาติ ⁠ ⁠${\displaystyle c}$แรกแทนประเภทของใบที่แตกต่างกัน และ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Pair} [x,y]+c}$แทนต้นไม้ไบนารีที่มีซับทรีซ้ายและขวาแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ตามลำดับ ฟังก์ชันการจับคู่นี้รับประกันว่าต้นไม้ไบนารีทั้งหมดจะเรียงลำดับตามความลึก ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของโครงสร้างคล้ายต้นไม้ไบนารีดังกล่าวคือนิพจน์แคลคูลัสตัวรวม SK ^{[ 5 ]}

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันจับคู่ ${\displaystyle P_{2}(x,y):=2^{x}(2y+1)-1}$

ในปี พ.ศ. 2533 Regan ได้เสนอฟังก์ชันการจับคู่แรกที่ทราบซึ่งสามารถคำนวณได้ในเวลาเชิงเส้นและใช้พื้นที่คงที่ (เนื่องจากตัวอย่างที่ทราบก่อนหน้านี้สามารถคำนวณได้ในเวลาเชิงเส้นก็ต่อเมื่อการคูณสามารถทำได้เช่นกันซึ่งเป็นสิ่งที่น่าสงสัย) ในความเป็นจริง ทั้งฟังก์ชันการจับคู่นี้และฟังก์ชันผกผันของมันสามารถคำนวณได้ด้วยทรานสดิวเซอร์สถานะจำกัดในเอกสารเดียวกัน ผู้เขียนได้เสนอฟังก์ชันการจับคู่แบบโมโนโทนอีกสองฟังก์ชันที่สามารถคำนวณได้แบบออนไลน์ในเวลาเชิงเส้นและใช้พื้นที่ลอการิทึม ฟังก์ชันแรกยังสามารถคำนวณแบบออฟไลน์ได้ด้วยพื้นที่คงที่^{[ 4 ]}

ในปี 2001 Pigeon ได้เสนอฟังก์ชันการจับคู่โดยอิงจากการสลับบิตซึ่งกำหนดแบบเวียนซ้ำดังนี้:

${\displaystyle \langle i,j\rangle _{P}={\begin{cases}\bot &{\text{if}}\ i=j=0;\\\langle \lfloor i/2\rfloor ,\lfloor j/2\rfloor \rangle _{P}:i_{0}:j_{0}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

โดยที่และเป็นบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของiและjตามลำดับ^{[ 14 ]}${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle j_{0}}$

• สตีเวน พีเจียน. "ฟังก์ชันการจับคู่" . MathWorld .
• Lisi, Meri (2007). "ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันการจับคู่ของแคนเตอร์" . Le Matematiche . LXII : 55– 65.
• Regan, Kenneth W. (ธันวาคม 1992). "ฟังก์ชันการจับคู่ที่มีความซับซ้อนน้อยที่สุด" . วารสารวิทยาการคอมพิวเตอร์และระบบ . 45 (3): 285– 295. doi : 10.1016/0022-0000(92)90027-G . ISSN  0022-0000 .
• Szudzik, Matthew (2006). "ฟังก์ชันการจับคู่ที่สง่างาม" (PDF) . szudzik.com . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 25 พฤศจิกายน 2011 . เรียกดูเมื่อวันที่ 16 สิงหาคม 2021 .
• Szudzik, Matthew P. (1 มิถุนายน 2017). "ฟังก์ชันการจับคู่ที่แข็งแกร่งของ Rosenberg". arXiv : 1706.04129 [ cs.DM ].
• เจค, โทมัส (2006). ทฤษฎีเซต . Springer Monographs in Mathematics (ฉบับสหัสวรรษที่สาม). Springer-Verlag. doi : 10.1007/3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2.
• ฮอปครอฟต์, จอห์น อี. ; อัลแมน, เจฟฟรีย์ ดี. (1979). บทนำสู่ทฤษฎีออโตมาตา ภาษา และการคำนวณ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 0-201-02988-X.
• สไตน์, เชอร์แมน เค. (1999). คณิตศาสตร์: จักรวาลที่มนุษย์สร้างขึ้น (ฉบับที่ 3). โดเวอร์. ISBN 9780486404509.