อันดับของเทนเซอร์ขึ้นอยู่กับฟิลด์ที่เทนเซอร์ถูกแยกส่วน เป็นที่ทราบกันว่าเทนเซอร์จริงบางตัวอาจยอมรับการแยกส่วนเชิงซ้อนซึ่งมีอันดับน้อยกว่าอันดับของการแยกส่วนจริงของเทนเซอร์เดียวกันอย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น^{[ 8 ]}พิจารณาเทนเซอร์จริงต่อไปนี้

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3}+\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}-\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}+\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3},}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{j}\in \mathbb {R} ^{2}}$อันดับของเทนเซอร์นี้บนจำนวนจริงเป็นที่ทราบกันว่าคือ 3 ในขณะที่อันดับเชิงซ้อนของมันมีเพียง 2 เนื่องจากเป็นผลรวมของเทนเซอร์อันดับเชิงซ้อน 1 กับคอนจูเกตเชิงซ้อน ของมัน กล่าวคือ

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}({\bar {\mathbf {z} }}_{1}\otimes \mathbf {z} _{2}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{3}+\mathbf {z} _{1}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{2}\otimes \mathbf {z} _{3}),}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {x} _{k}+i\mathbf {y} _{k}}$.

ในทางตรงกันข้าม อันดับของเมทริกซ์จริงจะไม่ลดลงภายใต้การขยายฟิลด์ไปยัง${\displaystyle \mathbb {C} }$: อันดับของเมทริกซ์จริงและอันดับของเมทริกซ์เชิงซ้อนจะตรงกันสำหรับเมทริกซ์จริง

อันดับทั่วไป${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$ถูกกำหนดให้เป็นลำดับต่ำสุด${\displaystyle r}$โดยที่การปิดในโทโพโลยีซาริสกีของเซตของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกิน${\displaystyle r}$คือพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ในกรณีของเทนเซอร์เชิงซ้อน เทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกิน${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$ก่อตัวเป็นกลุ่มหนาแน่น${\displaystyle S}$: เทนเซอร์ทุกตัวในปริภูมิที่กล่าวถึงข้างต้นนั้น มีอันดับต่ำกว่าอันดับทั่วไป หรือเป็นลิมิตในโทโพโลยีแบบยุคลิดของลำดับเทนเซอร์จาก${\displaystyle S}$ในกรณีของเทนเซอร์จริง เซตของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกิน คือเซตของเทนเซอร์${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$ก่อตัวเป็นเซตเปิดที่มีการวัดเป็นบวกในโทโพโลยีแบบยุคลิดเท่านั้น อาจมีเซตเปิดแบบยุคลิดของเทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าอันดับทั่วไปอย่างเคร่งครัด อันดับทั้งหมดที่ปรากฏบนเซตเปิดในโทโพโลยีแบบยุคลิดเรียกว่าอันดับทั่วไปอันดับทั่วไปที่เล็กที่สุดเรียกว่าอันดับทั่วไป คำจำกัดความนี้ใช้ได้กับทั้งเทนเซอร์เชิงซ้อนและเทนเซอร์จริง อันดับทั่วไปของปริภูมิเทนเซอร์ได้รับการศึกษาครั้งแรกในปี 1983 โดยVolker Strassen ^{[ 9 ]}

เพื่อเป็นตัวอย่างประกอบแนวคิดข้างต้น เป็นที่ทราบกันดีว่าทั้ง 2 และ 3 ต่างก็เป็นอันดับทั่วไปของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}$ในขณะที่อันดับทั่วไปของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$คือ 2 ในทางปฏิบัติ หมายความว่าเทนเซอร์จริงที่สุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม (จากการวัดความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องบนปริภูมิของเทนเซอร์) ที่มีขนาด${\displaystyle 2\times 2\times 2}$เทนเซอร์อันดับ 1 จะมีโอกาสเป็นศูนย์ เทนเซอร์อันดับ 2 จะมีโอกาสเป็นบวก และเทนเซอร์อันดับ 3 จะมีโอกาสเป็นบวก ในทางกลับกัน เทนเซอร์เชิงซ้อนที่สุ่มเลือกมาที่มีขนาดเท่ากัน จะมีโอกาสเป็นศูนย์ เทนเซอร์อันดับ 2 จะมีโอกาสเป็นหนึ่ง และเทนเซอร์อันดับ 3 จะมีโอกาสเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเทนเซอร์จริงอันดับ 3 ทั่วไปใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}$จะมีระดับความซับซ้อนเท่ากับ 2

อันดับทั่วไปของปริภูมิเทนเซอร์ขึ้นอยู่กับความแตกต่างระหว่างปริภูมิเทนเซอร์แบบสมดุลและแบบไม่สมดุล ปริภูมิเทนเซอร์${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$, ที่ไหน${\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}$เรียกว่าไม่สมดุลเมื่อใดก็ตามที่

${\displaystyle I_{1}>1+\prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1),}$

และถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ก็จะเรียกว่า สมดุล

โดยทั่วไปแล้วยังไม่ทราบ อันดับสูงสุดที่เทนเซอร์ใดๆ ในปริภูมิเทนเซอร์สามารถรับได้ แม้แต่ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับอันดับสูงสุดนี้ก็ยังไม่มี ปัจจุบัน ขอบเขตบนทั่วไปที่ดีที่สุดระบุว่าอันดับสูงสุด${\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})}$ของ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$, ที่ไหน${\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}$พึงพอใจ

${\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})\leq \min \left\{\prod _{m=2}^{M}I_{m},2\cdot r(I_{1},\ldots ,I_{M})\right\},}$

ที่ไหน${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$เป็นลำดับทั่วไป (น้อยที่สุด) ของ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$[ ^{14 ]} เป็นที่ทราบกันดีว่าความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นอาจเป็นแบบเข้มงวด ตัวอย่างเช่น อันดับทั่วไปของเทนเซอร์^ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2\times 2\times 2}}$มีค่าเท่ากับสอง ดังนั้นขอบเขตข้างต้นจึงให้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle r_{\mbox{max}}(2,2,2)\leq 4}$ในขณะที่ทราบกันว่าอันดับสูงสุดเท่ากับ 3 ^{[ 8 ]}

อันดับ A-${\displaystyle s}$เทนเซอร์${\displaystyle {\mathcal {A}}}$เรียกว่าเทนเซอร์ขอบเขตหากมีลำดับของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกิน${\displaystyle r<s}$ซึ่งมีขีดจำกัดคือ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. ถ้า${\displaystyle r}$ถ้าค่าต่ำสุดที่ลำดับลู่เข้าดังกล่าวมีอยู่จริง ค่านั้นจะเรียกว่าอันดับขอบเขตของ ลำดับนั้น${\displaystyle {\mathcal {A}}}$สำหรับเทนเซอร์อันดับ 2 กล่าวคือ เมทริกซ์ อันดับและอันดับขอบ จะตรงกัน เสมออย่างไรก็ตาม สำหรับเทนเซอร์อันดับ 3${\displaystyle \geq 3}$พวกมันอาจแตกต่างกัน เทนเซอร์ขอบเขตได้รับการศึกษาครั้งแรกในบริบทของอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์โดยประมาณ อย่างรวดเร็ว โดย Bini, Lotti และ Romani ในปี 1980 ^{[ 15 ]}

ตัวอย่างคลาสสิกของเทนเซอร์ขอบเขตคือเทนเซอร์อันดับ 3

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1.}$

สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำด้วยลำดับของเทนเซอร์อันดับ 2 ต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{m}&=m\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)-m\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \\&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +{\frac {1}{m}}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )+{\frac {1}{m^{2}}}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \end{aligned}}}$

เช่น${\displaystyle m\to \infty }$ดังนั้น อันดับขอบเขตของมันจึงเป็น 2 ซึ่งน้อยกว่าอันดับของมันอย่างชัดเจน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน ตัวอย่างนี้จึงเรียกว่าสถานะW

จากนิยามของเทนเซอร์บริสุทธิ์ จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {a} _{1}\otimes \mathbf {a} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}=\mathbf {b} _{1}\otimes \mathbf {b} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {b} _{M}}$ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงเท่านั้น${\displaystyle \lambda _{k}}$โดยที่${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{M}=1}$และ${\displaystyle \mathbf {a} _{m}=\lambda _{m}\mathbf {b} _{m}}$สำหรับทุกค่าmด้วยเหตุนี้ พารามิเตอร์จึง${\displaystyle \{\mathbf {a} _{m}\}_{m=1}^{M}}$ของเทนเซอร์อันดับ 1${\displaystyle {\mathcal {A}}}$เรียกว่าสามารถระบุได้หรือมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว อันดับ-${\displaystyle r}$เทนเซอร์${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$เรียกว่าสามารถระบุได้ถ้าการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ทุกส่วนเป็นผลรวมของเซตเดียวกันของ${\displaystyle r}$เทนเซอร์ที่แตกต่างกัน${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},\ldots ,{\mathcal {A}}_{r}\}}$ที่ซึ่ง${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$'s มีลำดับที่ 1 ลำดับที่สามารถระบุได้-${\displaystyle r}$ดังนั้นจึงมีการแยกส่วนที่เป็นเอกลักษณ์โดยพื้นฐานเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}{\mathcal {A}}_{i},}$$และทั้งหมด${\displaystyle r!}$การแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ของ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$สามารถหาได้โดยการสลับลำดับของผลบวก สังเกตว่าในการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ทั้งหมด${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$'s นั้นแตกต่างกัน เพราะมิเช่นนั้นลำดับชั้นของ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$อย่างมากก็จะเป็น${\displaystyle r-1}$.

The rank approximation problem asks for the rank-${\displaystyle r}$ decomposition closest (in the usual Euclidean topology) to some rank-${\displaystyle s}$ tensor ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, where ${\displaystyle r<s}$. That is, one seeks to solve

${\displaystyle \min _{\mathbf {a} _{i}^{m}\in F^{I_{m}}}\left\|{\mathcal {A}}-\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{M}\right\|_{F},}$

where ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ is the Frobenius norm.

It was shown in a 2008 paper by de Silva and Lim^[8] that the above standard approximation problem may be ill-posed. A solution to aforementioned problem may sometimes not exist because the set over which one optimizes is not closed. As such, a minimizer may not exist, even though an infimum would exist. In particular, it is known that certain so-called border tensors may be approximated arbitrarily well by a sequence of tensor of rank at most ${\displaystyle r}$, even though the limit of the sequence converges to a tensor of rank strictly higher than ${\displaystyle r}$. The rank-3 tensor

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1}$

can be approximated arbitrarily well by the following sequence of rank-2 tensors

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=n\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)-n\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} }$

as ${\displaystyle n\to \infty }$. This example neatly illustrates the general principle that a sequence of rank-${\displaystyle r}$ tensors that converges to a tensor of strictly higher rank needs to admit at least two individual rank-1 terms whose norms become unbounded. Stated formally, whenever a sequence

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}}$

has the property that ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\to {\mathcal {A}}}$ (in the Euclidean topology) as ${\displaystyle n\to \infty }$, then there should exist at least ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$ such that

${\displaystyle \|\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}\|_{F}\to \infty {\text{ and }}\|\mathbf {a} _{j,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{j,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{j,n}^{M}\|_{F}\to \infty }$

as ${\displaystyle n\to \infty }$. This phenomenon is often encountered when attempting to approximate a tensor using numerical optimization algorithms. It is sometimes called the problem of diverging components. It was, in addition, shown that a random low-rank tensor over the reals may not admit a rank-2 approximation with positive probability, leading to the understanding that the ill-posedness problem is an important consideration when employing the tensor rank decomposition.

A common partial solution to the ill-posedness problem consists of imposing an additional inequality constraint that bounds the norm of the individual rank-1 terms by some constant. Other constraints that result in a closed set, and, thus, well-posed optimization problem, include imposing positivity or a bounded inner product strictly less than unity between the rank-1 terms appearing in the sought decomposition.