จากตัวอย่างการใช้ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของสัญญาณรบกวนสำหรับตัวอย่างหนึ่ง${\displaystyle w[n]}$เป็น $${\displaystyle p(w[n])={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}w[n]^{2}\right)}$$ และความน่าจะเป็นของ${\displaystyle x[n]}$กลายเป็น (${\displaystyle x[n]}$สามารถคิดได้ว่าเป็น${\displaystyle {\mathcal {N}}(A,\sigma ^{2})}$) $${\displaystyle p(x[n];A)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x[n]-A)^{2}\right)}$$ โดยความเป็นอิสระความน่าจะเป็นของ${\displaystyle \mathbf {x} }$กลายเป็น $${\displaystyle p(\mathbf {x} ;A)=\prod _{n=0}^{N-1}p(x[n];A)={\frac {1}{\left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)^{N}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}\right)}$$ การหาค่าลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น $${\displaystyle \ln p(\mathbf {x} ;A)=-N\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}}$$ และตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดคือ $${\displaystyle {\hat {A}}=\arg \max \ln p(\mathbf {x} ;A)}$$

การหา อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็น $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)\right]={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]}$$ และตั้งค่าเป็นศูนย์ $${\displaystyle 0={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA}$$

ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด $${\displaystyle {\hat {A}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]}$$ ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างนั่นเอง จากตัวอย่างนี้ พบว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับ${\displaystyle N}$ตัวอย่างของพารามิเตอร์คงที่ที่ไม่ทราบค่าซึ่งถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวนแบบ AWGN

ในการหาขอบเขตล่างของ Cramér–Rao (CRLB) ของตัวประมาณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง จำเป็นต้องหา ค่า Fisher information number ก่อน$${\displaystyle {\mathcal {I}}(A)=\mathrm {E} \left(\left[{\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]^{2}\right)=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]}$$ และคัดลอกจากด้านบน $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]}$$

การหาอนุพันธ์อันดับสอง $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}(-N)={\frac {-N}{\sigma ^{2}}}}$$ และการหาค่าคาดหวังที่เป็นลบนั้นเป็นเรื่องง่าย เนื่องจากตอนนี้มันเป็นค่าคงที่ที่แน่นอนแล้ว ${\displaystyle -\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]={\frac {N}{\sigma ^{2}}}}$

สุดท้ายนี้ นำข้อมูลของฟิชเชอร์มาใส่ลงไป $${\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {1}{\mathcal {I}}}}$$ ส่งผลให้ $${\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{N}}}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้) จะเห็นได้ว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างเท่ากับขอบเขตล่างของ Cramér–Rao สำหรับทุกค่าของ${\displaystyle N}$และ${\displaystyle A}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างคือตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพ (ซึ่งจำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว) และด้วยเหตุนี้จึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงที่มีความแปรปรวนต่ำสุด (MVUE) นอกเหนือจากการเป็นตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด ด้วย