ในทางคณิตศาสตร์ เมท ริกซ์แบ่งส่วนหรือเมทริกซ์แบ่งส่วนคือเมทริกซ์ที่เป็นผลรวมโดยตรงของเมทริกซ์สม่ำเสมอ^{[ 1 ]} เมทริก ซ์นี้ถูกกำหนดไว้เหนือเซตฐานซึ่งองค์ประกอบต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ที่แตกต่างกัน สำหรับแต่ละหมวดหมู่จะมีข้อจำกัดด้านความจุซึ่งก็คือจำนวนองค์ประกอบสูงสุดที่อนุญาตจากหมวดหมู่นี้ เซตอิสระของเมทริกซ์แบ่งส่วนคือเซตที่สำหรับแต่ละหมวดหมู่ จำนวนองค์ประกอบจากหมวดหมู่นี้มีค่าไม่เกินความจุของหมวดหมู่

ให้เป็นเซตของเซตที่ไม่ซ้ำกัน ("หมวดหมู่") ให้เป็นจำนวนเต็มที่มี("ความจุ") กำหนดให้เซตย่อยเป็น "เซตอิสระ" เมื่อ สำหรับทุกดัชนีเซตที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะประกอบกันเป็นเซตอิสระของแมทรอยด์ซึ่งเรียกว่า แมทรอย ด์ แบ่งส่วน${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle 0\leq d_{i}\leq |C_{i}|}$${\displaystyle I\subseteq \bigcup _{i}C_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle |I\cap C_{i}|\leq d_{i}}$

เซตเหล่านี้เรียกว่าหมวดหมู่หรือบล็อกของเมทริกซ์แบ่งส่วน (partition matroid) ${\displaystyle C_{i}}$

ฐานของเมทริกซ์แบ่งส่วนคือเซตที่การตัดกันกับทุกบล็อกมีขนาดเท่ากับวงจร ของเมทริกซ์คือ เซตย่อยของบล็อกเดียวที่มีขนาดเท่ากับอันดับของเมทริกซ์คือ^{[ 2 ]}${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle d_{i}+1}$${\displaystyle \sum d_{i}}$

เมทริกซ์เอกรูป ทุก เมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์แบ่งส่วน โดยมีบล็อกองค์ประกอบเพียงบล็อกเดียวและมีค่าเท่ากับ 0 เมทริกซ์แบ่งส่วนทุกเมทริกซ์เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มเมทริกซ์เอกรูป โดยแต่ละเมทริกซ์แทนบล็อกแต่ละบล็อก ${\displaystyle U{}_{n}^{r}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{1}=r}$

ในสิ่งพิมพ์บางฉบับ แนวคิดของเมทริกซ์แบ่งส่วนจะถูกกำหนดอย่างเข้มงวดมากขึ้น โดยที่ทุก ๆการแบ่งส่วนที่ปฏิบัติตามคำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นนี้คือเมทริกซ์ขวางของตระกูลเซตที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งกำหนดโดยบล็อกของพวกมัน^{[ 3 ]}${\displaystyle d_{i}=1}$

เช่นเดียวกับมาทรอยด์เอกรูปที่ใช้สร้างมาทรอยด์คู่ของมาทรอยด์แบ่งส่วนก็เป็นมาทรอยด์แบ่งส่วนเช่นกัน และทุกไมเนอร์ของมาทรอยด์แบ่งส่วนก็เป็นมาทรอยด์แบ่งส่วนด้วย ผลรวมโดยตรงของมาทรอยด์แบ่งส่วนก็เป็นมาทรอยด์แบ่งส่วนเช่นกัน

การจับคู่สูงสุดในกราฟคือเซตของขอบที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าไม่มีขอบสองขอบใดใช้จุดปลายร่วมกัน ในกราฟสองส่วนที่มีการแบ่งสองส่วนเซตของขอบที่ตรงตามเงื่อนไขที่ว่าไม่มีขอบสองขอบใดใช้จุดปลายร่วมกันในคือเซตอิสระของเมทริกซ์การแบ่งส่วนที่มีบล็อกหนึ่งบล็อกต่อจุดยอดในและแต่ละจำนวนเท่ากับหนึ่ง เซตของขอบที่ตรงตามเงื่อนไขที่ว่าไม่มีขอบสองขอบใดใช้จุดปลายร่วมกันในคือเซตอิสระของเมทริกซ์การแบ่งส่วนที่สอง ดังนั้น ปัญหาการจับคู่สูงสุดแบบสองส่วนสามารถแสดงได้เป็นการตัดกันของเมทริกซ์ทั้งสองนี้^{[ 4 ]}${\displaystyle (U,V)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle V}$

โดยทั่วไปแล้ว การจับคู่ของกราฟอาจแสดงเป็นการตัดกันของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ก็ต่อเมื่อวัฏจักรคี่ทุกอันในกราฟเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดสองจุดขึ้นไป^{[ 5 ]}

กลุ่มคลิกคือตระกูลของเซตของจุดยอดของกราฟที่เหนี่ยวนำให้เกิดกราฟย่อยสมบูรณ์ของกลุ่มคลิก กลุ่มคลิกจะสร้างแมทรอยด์ก็ต่อเมื่อกลุ่ม คลิก เป็นกราฟหลายส่วนสมบูรณ์และในกรณีนี้ แมทรอยด์ที่ได้จะเป็นแมทรอยด์แบ่งส่วน กลุ่มคลิกเป็นระบบเซตที่สามารถสร้างขึ้นจากการตัดกันของตระกูลของแมทรอยด์แบ่งส่วนซึ่งทุกๆ^{[ 6 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d_{i}=1}$

จำนวนเมทริกซ์แบ่งส่วนที่แตกต่างกันที่สามารถกำหนดได้เหนือชุดขององค์ประกอบที่มีป้ายกำกับ สำหรับคือ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

1, 2, 5, 16, 62, 276, 1377, 7596, 45789, 298626, 2090910, ... (ลำดับA005387ในOEIS )

ฟังก์ชันสร้างเลขชี้กำลังของลำดับนี้คือ. ^{[ 7 ]}${\displaystyle f(x)=\exp(e^{x}(x-1)+2x+1)}$