ในเรขาคณิตเชิงฉายทฤษฎีบทของปาสคาล (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทเฮกซาแกรมมัมมิสติ คัม ซึ่ง เป็นภาษาละติน แปลว่าเฮกซาแกรม ลึกลับ ) กล่าวว่า ถ้าเลือกจุดหกจุดใดๆ บนภาคตัดกรวย (ซึ่งอาจเป็นวงรีพาราโบลาหรือ ไฮ เปอร์โบลาในระนาบเชิงเส้น ที่เหมาะสม ) และเชื่อมต่อด้วยส่วนของเส้นตรงในลำดับใดก็ได้เพื่อสร้างรูปหกเหลี่ยม แล้ว ด้านตรงข้ามสามคู่ของรูปหกเหลี่ยม ( ต่อเติมถ้าจำเป็น) จะมาบรรจบกันที่สามจุดซึ่งอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าเส้นปาสคาลของรูปหกเหลี่ยม ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของเบลส์ ปาสคาล

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ในระนาบยุคลิด ด้วยเช่นกัน แต่จำเป็นต้องปรับข้อความให้เหมาะสมกับกรณีพิเศษที่ด้านตรงข้ามขนานกัน

ทฤษฎีบทนี้เป็นการขยายความของทฤษฎีบทของปัปปัส (รูปหกเหลี่ยม)ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพของเส้นตรงสองเส้นที่มีจุดสามจุดบนแต่ละเส้น

สภาพแวดล้อมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับทฤษฎีบทของปาสคาลคือระนาบเชิงโปรเจกทีฟเนื่องจากเส้นตรงสองเส้นใดๆ ก็ตัดกันได้ และไม่จำเป็นต้องมีข้อยกเว้นสำหรับเส้นขนาน อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้ยังคงใช้ได้ในระนาบยุคลิด โดยมีการตีความที่ถูกต้องเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อด้านตรงข้ามบางด้านของรูปหกเหลี่ยมขนานกัน

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมเพียงคู่เดียวขนานกัน ข้อสรุปของทฤษฎีบทก็คือ "เส้นปาสคาล" ที่กำหนดโดยจุดตัดสองจุดนั้นจะขนานกับด้านขนานของรูปหกเหลี่ยม ถ้าด้านตรงข้ามสองคู่ขนานกัน ด้านตรงข้ามคู่ที่สามก็จะขนานกันด้วย และจะไม่มีเส้นปาสคาลในระนาบยุคลิด (ในกรณีนี้ เส้นที่ระยะอนันต์ของระนาบยุคลิดที่ขยายออกไปจะเป็นเส้นปาสคาลของรูปหกเหลี่ยม)

ทฤษฎีบทของปาสคาลเป็น คู่ ตรงข้ามเชิงขั้วและเชิงฉายของทฤษฎีบทของบริอองชงทฤษฎีบทนี้ได้รับการกำหนดขึ้นโดยเบลส์ ปาสคาลในบันทึกที่เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1639 เมื่อเขาอายุ 16 ปี และตีพิมพ์ในปีถัดมาเป็นแผ่นพับชื่อ "Essay pour les coniques. Par BP" ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทของปาสคาลเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-บาคารัค

กรณีเสื่อมสภาพของทฤษฎีบทของปาสคาล (สี่จุด) นั้นน่าสนใจ กล่าวคือ เมื่อกำหนดจุดABCDบนภาคตัดกรวยΓจุดตัดของด้านสลับกันAB ∩ CDและBC ∩ DAรวมทั้งจุดตัดของเส้นสัมผัสที่จุดยอดตรงข้าม( A , C )และ( B , D )จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันที่สี่จุด โดยเส้นสัมผัสเหล่านี้เป็น 'ด้าน' ที่เสื่อมสภาพ ซึ่งเลือกจากสองตำแหน่งที่เป็นไปได้บน 'รูปหกเหลี่ยม' และเส้นปาสคาลที่สอดคล้องกันจะใช้จุดตัดที่เสื่อมสภาพร่วมกัน สามารถพิสูจน์ได้โดยอิสระโดยใช้คุณสมบัติของขั้ว-ขั้วหากภาคตัดกรวยเป็นวงกลม กรณีเสื่อมสภาพอีกกรณีหนึ่งกล่าวว่า สำหรับรูปสามเหลี่ยม จุดสามจุดที่ปรากฏเป็นจุดตัดของด้านข้างกับด้านข้างที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมเกอร์กอนน์จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

หกคือจำนวนจุดขั้นต่ำบนภาคตัดกรวยที่สามารถระบุข้อความพิเศษได้ เนื่องจาก ห้าจุดเป็นตัว กำหนด ภาคตัดกรวย

ทฤษฎีบทผกผันคือทฤษฎีบท Braikenridge–Maclaurinซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 18 William BraikenridgeและColin Maclaurin ( Mills 1984 ) ซึ่งระบุว่า ถ้าจุดตัดสามจุดของเส้นตรงสามคู่ที่ลากผ่านด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดยอดทั้งหกของรูปหกเหลี่ยมจะอยู่บนภาคตัดกรวย ภาคตัดกรวยนั้นอาจเป็นภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพได้ เช่นเดียวกับในทฤษฎีบทของ Pappus ^{[ 2 ]}ทฤษฎีบท Braikenridge–Maclaurin สามารถนำไปใช้ในการสร้าง Braikenridge–Maclaurinซึ่งเป็นการ สร้าง แบบสังเคราะห์ของภาคตัดกรวยที่กำหนดโดยจุดห้าจุด โดยการเปลี่ยนจุดที่หก

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการขยายความโดยออกัสต์ เฟอร์ดินานด์ โมเบียสในปีค.ศ. 1847 ดังนี้ สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มี4n + 2ด้าน ถูกบรรจุอยู่ในภาคตัดกรวย และด้านตรงข้ามแต่ละคู่ถูกต่อออกไปจนมาบรรจบกันที่2n + 1จุด ถ้า2n จุดเหล่านั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดสุดท้ายก็จะอยู่บนเส้นตรงนั้นด้วย

ถ้าจุดหกจุดที่ไม่มีลำดับบนภาคตัดกรวยสามารถเชื่อมต่อกันเป็นรูปหกเหลี่ยมได้ 60 วิธีที่แตกต่างกัน ส่งผลให้เกิดทฤษฎีบทของปาสคาล 60 กรณีที่แตกต่างกัน และเส้นปาสคาล 60 เส้นที่แตกต่างกันการจัดเรียงเส้นทั้ง 60 เส้นนี้เรียกว่าHexagrammum Mysticum ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ดังที่โทมัส เคิร์กแมนพิสูจน์ไว้ในปี พ.ศ. 2392 เส้นทั้ง 60 เส้นนี้สามารถเชื่อมโยงกับจุด 60 จุดได้ในลักษณะที่แต่ละจุดอยู่บนเส้นสามเส้น และแต่ละเส้นประกอบด้วยจุดสามจุด จุด 60 จุดที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้ปัจจุบันเรียกว่าจุดเคิร์กแมน [ ^{5 ] เส้น} ปาสคาลยังผ่าน จุดสไตเนอร์ 20 จุด ครั้งละสามจุด นอกจาก นี้ ยังมีเส้นเคย์ลีย์ 20 เส้น ซึ่งประกอบด้วยจุดสไตเนอร์หนึ่งจุดและจุดเคิร์กแมนสามจุด จุดสไตเนอร์ยังอยู่บน เส้นพลูเกอร์ 15 เส้น ครั้งละสี่จุด ยิ่งไปกว่านั้น เส้นเคย์ลีย์ 20 เส้นยังผ่านจุดที่เรียกว่า จุดแซลมอน 15 จุด ครั้งละสี่จุด^{[ 6 ]}

บันทึกต้นฉบับของปาสคาล^{[ 1 ]}ไม่มีหลักฐาน แต่มีหลักฐานการพิสูจน์ทฤษฎีบทสมัยใหม่หลายแบบ

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเมื่อภาคตัดกรวยเป็นวงกลม เพราะภาคตัดกรวยใดๆ (ที่ไม่เสื่อมสภาพ) สามารถลดรูปเป็นวงกลมได้ด้วยการแปลงเชิงโปรเจกทีฟ ปาสคาลตระหนักถึงเรื่องนี้ โดยที่เลมมาแรกของเขาระบุทฤษฎีบทสำหรับวงกลม เลมมาที่สองของเขาระบุว่าสิ่งที่เป็นจริงในระนาบหนึ่งยังคงเป็นจริงเมื่อฉายไปยังระนาบอื่น^{[ 1 ]}ภาคตัดกรวยที่เสื่อมสภาพเป็นไปตามความต่อเนื่อง (ทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ และดังนั้นจึงเป็นจริงในขีดจำกัดของภาคตัดกรวยที่เสื่อมสภาพ)

แวน อีเซอเรน (1993)ค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของปาสคาลแบบง่ายๆ ในกรณีของวงกลมโดยอิงจากวิธีพิสูจน์ใน ( กุกเกนไฮเมอร์ 1967 ) วิธีพิสูจน์นี้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับวงกลมแล้วจึงขยายไปสู่ภาคตัดกรวย

Stefanovic (2010)ได้ ค้นพบการพิสูจน์เชิงคำนวณเบื้องต้นแบบสั้นในกรณีของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง

เราสามารถอนุมานการพิสูจน์จากข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของสามเหลี่ยมคู่สมมาตรได้เช่นกัน หากเราต้องการแสดงว่าX = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FAอยู่บนเส้นตรงเดียวกันสำหรับสามเหลี่ยมABCDEF ที่อยู่ในวงกลมเดียวกัน โปรดสังเกตว่า△ EYBและ△ CYFคล้ายกัน และXและZจะสอดคล้องกับสามเหลี่ยมคู่สมมาตรหากเราซ้อนทับสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ซึ่งหมายความว่า∠ CYX = ∠ CYZดังนั้นจึงทำให้XYZอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

สามารถสร้างบทพิสูจน์สั้นๆ ได้โดยใช้การรักษาอัตราส่วนไขว้ เมื่อฉายภาพเททราดABCEจากDไปยังเส้นตรงABเราจะได้เททราดABPXและเมื่อฉายภาพเททราดABCEจากFไปยังเส้นตรงBCเราจะได้เททราดQBCYดังนั้นจึงหมายความว่าR ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY )โดยที่จุดหนึ่งในสองเททราดนั้นทับซ้อนกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงอื่นๆ ที่เชื่อมต่ออีกสามคู่จะต้องทับกันเพื่อรักษาอัตราส่วนไขว้ ดังนั้นXYZจึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของปาสคาลสำหรับวงกลมอีกวิธีหนึ่งใช้ทฤษฎีบทของเมเนเลาส์ซ้ำๆ กัน

แดนเดลินนักเรขาคณิตผู้ค้นพบทรงกลมแดนเดลินอัน โด่งดัง ได้คิดค้นบทพิสูจน์ที่สวยงามโดยใช้เทคนิค "การยกแบบ 3 มิติ" ซึ่งคล้ายคลึงกับบทพิสูจน์แบบ 3 มิติของทฤษฎีบทของเดซาร์กส์บทพิสูจน์นี้ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ว่า สำหรับภาคตัดกรวยทุกภาค เราสามารถหาไฮเปอร์โบโลอิดแบบแผ่นเดียวที่ผ่านภาคตัดกรวยนั้นได้

นอกจากนี้ยังมีวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของปาสคาลสำหรับวงกลมอย่างง่ายโดยใช้กฎของไซน์และความคล้ายคลึงกันอีก ด้วย

ทฤษฎีบทของปาสคาลมีบทพิสูจน์สั้นๆ โดยใช้ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-บาคารัคซึ่งกล่าวว่า เมื่อกำหนดจุด 8 จุดใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป จะมีจุดที่เก้าเพียงจุดเดียวเท่านั้น โดยที่เส้นกำลังสามทั้งหมดที่ลากผ่านจุด 8 จุดแรกจะผ่านจุดที่เก้าด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเส้นกำลังสามทั่วไป 2 เส้นตัดกันที่ 8 จุด เส้นกำลังสามอื่นๆ ที่ลากผ่านจุด 8 จุดเดียวกันนั้นจะตัดกับจุดที่เก้าซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นกำลังสามสองเส้นแรก ทฤษฎีบทของปาสคาลได้มาจากการใช้จุด 8 จุดเป็น 6 จุดบนรูปหกเหลี่ยม และ 2 จุด (เช่นMและNในรูป) บนเส้นปาสคาลที่คาดการณ์ไว้ และจุดที่เก้าเป็นจุดที่สาม ( Pในรูป) เส้นกำลังสามสองเส้นแรกเป็นชุดของเส้นตรง 3 เส้นที่ลากผ่านจุด 6 จุดบนรูปหกเหลี่ยม (ตัวอย่างเช่น ชุดAB, CD, EFและชุดBC, DE, FA ) และเส้น กำลังสามเส้นที่สามเป็นผลรวมของภาคตัดกรวยและเส้นตรงMNในที่นี้ "จุดตัดที่เก้า" Pไม่สามารถอยู่บนภาคตัดกรวยตามคุณสมบัติทั่วไปได้ ดังนั้นจึงอยู่บนMNแทน

ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-บาคารัคยังใช้เพื่อพิสูจน์ว่าการดำเนินการกลุ่มบนเส้นโค้งวงรีลูกบาศก์มีคุณสมบัติการสลับที่ได้ การดำเนินการกลุ่มเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับภาคตัดกรวยได้ หากเราเลือกจุดEบนภาคตัดกรวยและเส้นตรงMPในระนาบ ผลรวมของAและBได้มาจากการหาจุดตัดของเส้นตรงABกับMP ก่อน ซึ่งก็คือMต่อมาAและBรวมกันได้เท่ากับจุดตัดที่สองของภาคตัดกรวยกับเส้นตรงEMซึ่งก็คือDดังนั้น ถ้าQเป็นจุดตัดที่สองของภาคตัดกรวยกับเส้นตรงENแล้ว

${\displaystyle (A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)}$

ดังนั้น การดำเนินการของกลุ่มจึงมีคุณสมบัติการสลับที่ ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทของปาสคาลเป็นผลมาจากสูตรการสลับที่ข้างต้น และด้วยเหตุนี้จึงเป็นผลมาจากคุณสมบัติการสลับที่ของการดำเนินการของกลุ่มของเส้นโค้งวงรีโดยอาศัยความต่อเนื่อง

สมมติว่าfเป็นพหุนามกำลังสามที่หายไปบนเส้นตรงสามเส้นที่ผ่านAB, CD, EFและgเป็นพหุนามกำลังสามที่หายไปบนเส้นตรงอีกสามเส้นคือ BC, DE, FAเลือกจุดP ทั่วไป บนภาคตัดกรวยและเลือกλเพื่อให้พหุนามกำลังสามh = f + λgหายไปที่จุด Pดังนั้นh = 0เป็นพหุนามกำลังสามที่มีจุดร่วม 7 จุดคือA, B, C, D, E, F, Pกับภาคตัดกรวย แต่ตามทฤษฎีบทของเบซูต์พหุนามกำลังสามและภาคตัดกรวยจะมีจุดร่วมอย่างมากที่สุด 3 × 2 = 6 จุด เว้นแต่จะมีส่วนประกอบร่วมกัน ดังนั้นพหุนามกำลังสามh = 0จึงมีส่วนประกอบร่วมกับภาคตัดกรวย ซึ่งต้องเป็นภาคตัดกรวยนั้นเอง ดังนั้นh = 0คือการรวมกันของภาคตัดกรวยและเส้นตรง เส้นตรงนี้คือเส้นปาสคาล เพราะจุดใดๆ ในจุดตัดของเซตคำตอบของfและgก็จะอยู่ในเซตคำตอบของhด้วย

เมื่อพิจารณารูปหกเหลี่ยมบนภาคตัดกรวยของทฤษฎีบทของปาสคาลอีกครั้งโดยใช้สัญลักษณ์จุดข้างต้น (ในรูปแรก) เราจะได้^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.}$

มีกรณีเสื่อมสภาพแบบ 5 จุด 4 จุด และ 3 จุดของทฤษฎีบทของปาสคาล ในกรณีเสื่อมสภาพ จุดสองจุดที่เชื่อมต่อกันก่อนหน้านี้ของรูปทรงจะทับกันในเชิงรูปแบบ และเส้นที่เชื่อมต่อจะกลายเป็นเส้นสัมผัสที่จุดที่รวมกัน ดูตัวอย่างกรณีเสื่อมสภาพในแผนภาพที่เพิ่มเข้ามาและลิงก์ภายนอกเกี่ยวกับเรขาคณิตของวงกลมหากเลือกเส้นที่เหมาะสมของรูปทรงปาสคาลเป็นเส้นที่อนันต์ จะได้รูปทรงที่น่าสนใจมากมายบนพาราโบลาและไฮเปอร์โบลา

• ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์
• ทฤษฎีบทของบริอองชง
• เฮกซาแกรมแบบเส้นโค้งเดียว

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปหกเหลี่ยมของปาสคาล

• ตัวอย่างการใช้งานทฤษฎีบทของปาสคาลแบบโต้ตอบ (ต้องใช้ Java)ที่cut-the-knot
• 60 Pascal Lines (ต้องใช้ Java)ที่cut-the-knot
• รูปปาสคาลแบบสมบูรณ์ นำเสนอในรูปแบบกราฟิกโดย เจ. คริส ฟิชเชอร์ และ นอร์มา ฟูลเลอร์ (มหาวิทยาลัยรีจินา)
• เรขาคณิตวงกลมระนาบ บทนำเกี่ยวกับระนาบโมเบียส ลาเกร์ และมินคอฟสกี (PDF; 891 kB) มหาวิทยาลัยดาร์มสตัดท์ หน้า 29–35
• วิธีการฉายภาพภาคตัดกรวยทรงกลมลงบนระนาบโดย โยอิจิ มาเอดะ (มหาวิทยาลัยโทไค)