ทฤษฎีการแปะ

Q: ตัวอย่าง

พิจารณาแผนภาพการวาง D สำหรับ การเชื่อมต่อ

Q: รูปแบบการแปะ 2 แบบ

สมมติว่า G และ H เป็นกราฟยึด [ 4 ] โดยที่:

ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎี2-category ทฤษฎีบทการวาง (pasting theorem)กล่าวว่า แผนผังการวางแบบ 2-category ทุกแบบจะกำหนดเซลล์ 2-composite ที่ไม่ซ้ำกันในทุก 2-category แนวคิดของการวางใน 2-category และ weak 2-category ถูกนำเสนอครั้งแรกโดยBénabou (1967)โดยทั่วไป การวางจะใช้เพื่อระบุเซลล์โดยการให้แผนภาพการวาง ทฤษฎีบทการวางกล่าวว่า เซลล์ดังกล่าวได้รับการกำหนดไว้อย่างดีแม้ว่าลำดับการประกอบที่แตกต่างกันหลายลำดับซึ่งสามารถอธิบายได้ว่าแสดงถึงนั้น จะให้เซลล์เดียวกัน ทฤษฎีบทการวางสำหรับ strict 2-category ได้รับการพิสูจน์โดยPower (1990)และสำหรับ weak 2-category นั้นได้รับการพิสูจน์ในภาคผนวก A ของวิทยานิพนธ์ ของ Verity (1992)ทฤษฎีบทการวางสำหรับเวอร์ชัน n-category ได้รับการพิสูจน์โดยPower (1991)และJohnson (1989)แต่คำจำกัดความของแผนการวางนั้นแตกต่างกันแผนภาพสตริงได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทการวาง

แผนภาพการวาง

ตัวอย่าง

พิจารณาแผนภาพการวาง D สำหรับการเชื่อมต่อ

2 เซลล์ ${\mathcal {E}}:gf\rightarrow \mathrm {id} _{A}$ ${\displaystyle \eta$

แผนภาพการวางทั้งหมดแสดงถึงคอมโพสิตแนวตั้ง ซึ่งเป็นเซลล์ 2 เซลล์ใน D(A, B) ซึ่งแสดงอยู่ทางด้านขวาด้านบน^[¹^] $(\mathrm {id} _{f}*{\mathcal {E}})(\eta *\mathrm {id} _{f})$

ทฤษฎีบทการวางซ้อนเชิงหมวดหมู่ 2

แผนภาพการวาง 2 จุดทุกอันในหมวดหมู่ 2 ที่เข้มงวด A มีองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 2 ]}
แผนภาพการวาง 2 จุดทุกอันในหมวดหมู่ 2 จุดอ่อน A มีองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 3 ]}

รูปแบบการแปะ 2 แบบ

กราฟที่ยึดตรึง

สมมติว่า G และ H เป็นกราฟยึด^{[ 4 ]}โดยที่:

$s_{G}=s_{H}$ ,
$t_{G}=t_{H}$ , และ
$\mathrm {cod} _{G}=\mathrm {dom} _{H}$ .

กราฟ HG แบบผสมแนวตั้งเป็นกราฟยึดตรึงที่กำหนดโดยข้อมูลต่อไปนี้:

(1) กราฟระนาบที่เชื่อมต่อของ HG คือผลหาร

${\frac {G\sqcup H}{\{\mathrm {cod} _{G}=\mathrm {dom} _{H}\}}}$

(2) พื้นผิวภายในของ HG คือพื้นผิวภายในของ G และ H ซึ่งยึดไว้แล้ว

(3) ด้านนอกของ HG คือจุดตัดของและโดยที่ $\mathrm {ext} _{G}$ $\mathrm {ext} _{H}$

แหล่งที่มา, $s_{G}=s_{H}$
จม, $t_{G}=t_{H}$
โดเมนและ $\mathrm {dom} _{G}$
โคโดเมน $\mathrm {cod} _{H}$

ของการรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกันของ G และ H โดยที่โคโดเมนของ G ถูกระบุว่าเป็นโดเมนของ H

รูปแบบการแปะ 2 จุด ในความหมายของ Johnson & Yau

รูปแบบการเชื่อมต่อแบบ 2 จุด คือ กราฟยึด G พร้อมกับการแยกส่วน

$G=G_{n}\cdots G_{1}$

เข้าสู่องค์ประกอบแนวตั้งของกราฟอะตอม^[⁵^] $n\geq 1$ $G_{1},\dots ,G_{n}$

แผนภาพการแปะ 2 จุด

สมมติว่า A เป็น 2-category และ G เป็นกราฟแบบมีจุดยึด แผนภาพ G ใน A คือการกำหนดค่าดังต่อไปนี้ $\phi$

$\phi$ กำหนดวัตถุใน A ให้กับแต่ละจุดยอด v ใน G $\phi _{v}$
$\phi$ กำหนดให้ขอบแต่ละขอบ e ใน G มีหาง u และหัว va เป็นเซลล์ 1 เซลล์ $\phi _{e}\in A(\phi _{u},\phi _{v})$

สำหรับเส้นทางที่มีทิศทางใน G ที่มีให้กำหนดเซลล์ประกอบแนวนอน 1 เซลล์ $P=v_{0}e_{1}v_{1}\dots e_{m}v_{m}$ $m\leq 1$ $\phi _{P}=\phi _{e_{m}}\cdots \phi _{e_{1}}\in A(\phi _{v_{0}},\phi _{v_{m}})$

$\phi$ กำหนดเซลล์ 2 เซลล์ให้กับหน้าภายใน F แต่ละหน้าของG $\phi _{F}:\phi _{\mathrm {dom} _{F}}\rightarrow \phi _{\mathrm {cod} _{F}}$ $A(\phi _{s_{F}},\phi _{t_{F}})$

ถ้า G ยอมรับการนำเสนอแบบแผนการวาง G-ไดอะแกรมจะเรียกว่าไดอะแกรมการวาง 2 จุดใน A ที่มีรูปร่าง G ^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทการวางแบบเกรย์-แคโทดิคอล

แผนภาพการวาง 2 มิติทุกอันในหมวดหมู่สีเทามีองค์ประกอบเฉพาะตัวจนถึงกลุ่มตัวเลือกแบบหดตัวได้^{[ 7 ]}

ทฤษฎีบท การวางแบบ n -categorical ที่เข้มงวดในเวอร์ชัน อ่อน

สำหรับจำนวนธรรมชาติบวกn ใดๆ แผนการวาง n ที่มีป้ายกำกับทุกแบบใน หมวดหมู่ n ที่เข้มงวด A จะมีองค์ประกอบ "แข็งแกร่ง" ที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 8 ]}

ทฤษฎีบทการวางแบบn -categorical

สำหรับจำนวนธรรมชาติบวกn ทุกจำนวน แผนการวาง n ที่มีป้ายกำกับทุกแบบใน หมวดหมู่ n ที่เข้มงวด A จะมีคอมโพสิตการวางn ที่ไม่ซ้ำกัน ^{[ 9 ]}

หมายเหตุ

↑จอห์นสัน 1989
↑ Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 3.3.7 (การวางแบบ 2 หมวดหมู่)
↑ Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 3.6.6 (การวางแบบสองหมวดหมู่)
↑ Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.2.11
↑ Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.2.13
↑ Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.3.1
↑วิตโตริโอ 2023 , 4.24. ทฤษฎีบท.
↑ Power 1991 , ทฤษฎีบท 6.10 (ทฤษฎีบทการวางแบบ n-categorical ที่อ่อน)
↑ Power 1991 , ทฤษฎีบท 6.16 (ทฤษฎีบทการวางแบบ n-categorical)

ลิงก์ภายนอก

"การวางแผนภาพ" . ncatlab.org .
"รูปแบบการวาง" . ncatlab.org .
Street, Ross (2001) [1994], "หมวดหมู่มิติสูง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
Street, Ross (2001) [1994], "Bicategory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

[1] จอห์นสัน 1989

[2] Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 3.3.7 (การวางแบบ 2 หมวดหมู่)

[3] Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 3.6.6 (การวางแบบสองหมวดหมู่)

[4] Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.2.11

[5] Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.2.13

[6] Johnson & Yau 2021 คำจำกัดความ 3.3.1

[7] วิตโตริโอ 2023 , 4.24. ทฤษฎีบท.

[8] Power 1991 , ทฤษฎีบท 6.10 (ทฤษฎีบทการวางแบบ n-categorical ที่อ่อน)

[9] Power 1991 , ทฤษฎีบท 6.16 (ทฤษฎีบทการวางแบบ n-categorical)

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]