ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี การเรียงลำดับเส้นทาง ( path-ordering ) คือกระบวนการ (หรือตัวดำเนินการขั้นสูง ) ที่เรียงลำดับผลคูณของตัวดำเนินการตามค่าของพารามิเตอร์ ที่เลือกไว้ : ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

ในที่นี้pคือการเรียงสับเปลี่ยนที่เรียงลำดับพารามิเตอร์ตามค่า:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4)}$

ในสาขาฟิสิกส์หลายสาขา รูปแบบการเรียงลำดับเส้นทางที่พบได้บ่อยที่สุดคือการเรียงลำดับตามเวลาซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

ถ้าตัวดำเนินการไม่ได้แสดงออกมาในรูปผลคูณอย่างง่าย แต่แสดงออกมาในรูปฟังก์ชันของตัวดำเนินการอื่น เราจะต้องทำการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนั้นก่อน นี่คือกรณีของวงวิลสันซึ่งถูกกำหนดให้เป็นเลขชี้กำลังที่เรียงลำดับตามเส้นทางเพื่อรับประกันว่าวงวิลสันจะเข้ารหัส โฮโล โนมีของการเชื่อมต่อเกจพารามิเตอร์σที่กำหนดลำดับนั้นเป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายเส้นโค้งและเนื่องจากเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งปิด วงวิลสันจึงต้องถูกกำหนดให้เป็นร่องรอย (trace)เพื่อให้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ

ในทฤษฎีสนามควอนตัม การนำ ผลคูณของตัวดำเนินการ ที่เรียงลำดับตามเวลามาใช้เป็นสิ่งที่มีประโยชน์การดำเนินการนี้ใช้สัญลักษณ์(แม้ว่ามักถูกเรียกว่า "ตัวดำเนินการเรียงลำดับเวลา" แต่ในทางเทคนิคแล้ว มันไม่ใช่ทั้งตัวดำเนินการบนสถานะหรือตัวดำเนินการขั้นสูงบนตัวดำเนินการ) ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

สำหรับตัวดำเนินการสองตัวA ( x ) และB ( y ) ที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในปริภูมิเวลา x และ y เรากำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{ถ้า }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{ถ้า }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

ในที่นี้และแทน พิกัดเวลาสเกลาร์ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงของจุด x และ y ^{[ 1 ]}${\displaystyle \tau _{x}}$${\displaystyle \tau _{y}}$

โดยชัดแจ้ง เรามี

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและขึ้นอยู่กับว่าตัวดำเนินการเป็น แบบ โบซอนิกหรือเฟอร์มิออนิก ถ้าเป็นแบบโบซอนิก จะเลือกเครื่องหมาย + เสมอ ถ้าเป็นแบบเฟอร์มิออนิก เครื่องหมายจะขึ้นอยู่กับจำนวนการสลับตัวดำเนินการที่จำเป็นเพื่อให้ได้ลำดับเวลาที่เหมาะสม โปรดทราบว่าปัจจัยทางสถิติไม่ได้เกี่ยวข้องในที่นี้ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pm }$

เนื่องจากตัวดำเนินการขึ้นอยู่กับตำแหน่งของมันในปริภูมิเวลา (กล่าวคือ ไม่ใช่แค่เวลา) การดำเนินการเรียงลำดับเวลานี้จึงเป็นอิสระจากพิกัดก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการ ณจุดที่แยกจากกัน ใน ปริภูมิ เวลาสามารถสลับตำแหน่งกันได้ นี่คือเหตุผลที่จำเป็นต้องใช้แทนที่จะ ใช้ เนื่องจากโดยปกติแล้วจะบ่งชี้ถึงดัชนีเวลาแบบขึ้นอยู่กับพิกัดของจุดในปริภูมิเวลา โปรดทราบว่าการเรียงลำดับเวลามักจะเขียนโดยให้ตัวแปรเวลาเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

โดยทั่วไป สำหรับผลคูณของตัวดำเนินการฟิลด์n ตัว A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n )ผลคูณของตัวดำเนินการที่เรียงลำดับตามเวลาจะถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมทั้งp'sและกลุ่มสมมาตรของ การเรียงสับเปลี่ยนระดับ nและ

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{สำหรับตัวดำเนินการโบซอนิก,}}\\{\text{เครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยน}}&{\text{สำหรับตัวดำเนินการเฟอร์มิออนิก.}}\end{cases}}}$

เมทริกซ์ Sในทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นตัวอย่างของผลคูณที่เรียงลำดับตามเวลา เมทริกซ์ S ซึ่งแปลงสถานะที่t = −∞ไปเป็นสถานะที่t = +∞ นั้น อาจมองได้ว่าเป็น " โฮโลโนมี " ชนิดหนึ่งคล้ายกับลูปวิลสันเราได้นิพจน์ที่เรียงลำดับตามเวลาเนื่องจากเหตุผลดังต่อไปนี้:

เราเริ่มต้นด้วยสูตรอย่างง่ายสำหรับเลขชี้กำลังนี้

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

ทีนี้ลองพิจารณาตัวดำเนินการวิวัฒนาการ แบบไม่ต่อเนื่องดู

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

โดยที่คือตัวดำเนินการวิวัฒนาการในช่วงเวลาที่เล็กมากพจน์ลำดับสูงกว่าสามารถละเลยได้ในลิมิตตัวดำเนินการถูกกำหนดโดย ${\displaystyle 1+h_{j}}$${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$${\displaystyle \varepsilon \ถึง 0}$${\displaystyle h_{j}}$

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

โปรดสังเกตว่าตัวดำเนินการวิวัฒนาการในช่วงเวลา "ที่ผ่านมา" ปรากฏอยู่ทางด้านขวาของผลคูณ เราจะเห็นว่าสูตรนี้คล้ายคลึงกับเอกลักษณ์ข้างต้นที่สอดคล้องกับเลขชี้กำลัง และเราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

สิ่งเดียวที่เราต้องเพิ่มเข้าไปคือตัวดำเนินการเรียงลำดับเวลาเนื่องจากปัจจัยในผลคูณที่กำหนดSข้างต้นนั้นเรียงลำดับตามเวลาเช่นกัน (และโดยทั่วไปแล้วตัวดำเนินการจะไม่สลับที่กัน) และตัวดำเนินการนี้จะช่วยให้มั่นใจได้ว่าลำดับนี้จะยังคงอยู่ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• เลขชี้กำลังเรียงลำดับ (โดยพื้นฐานแล้วเป็นแนวคิดเดียวกัน)
• ซีรีส์ Dyson
• ทฤษฎีเกจ
• เอส-เมทริกซ์