วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 24 นาที

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สัน

การทดสอบภาวะปกติ/การประมาณทางสถิติ/การทดสอบทางสถิติสำหรับตารางฉุกเฉิน/ใช้วันที่ dmy ตั้งแต่เดือนมกราคม 2020

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันหรือเพียร์สันχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การทดสอบ ไคสแควร์

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สัน

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันหรือเพียร์สันχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การทดสอบ ไคสแควร์ เป็นการทดสอบทางสถิติที่ใช้กับชุดข้อมูลเชิงหมวดหมู่เพื่อประเมินว่าความแตกต่างที่สังเกตได้ระหว่างชุดข้อมูลนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นโดยบังเอิญมากน้อยเพียงใด เป็นการทดสอบไคสแควร์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในบรรดาการทดสอบไคสแควร์ หลายประเภท (เช่น การทดสอบ Yates , อัตราส่วนความน่าจะเป็น , การทดสอบ Portmanteau ในอนุกรมเวลาฯลฯ) ซึ่ง เป็นกระบวนการ ทางสถิติที่ผลลัพธ์ได้รับการประเมินโดยอ้างอิงจากการแจกแจงไคสแควร์คุณสมบัติของการทดสอบนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยKarl Pearsonในปี 1900 [ 1 ]ในบริบทที่จำเป็นต้องปรับปรุงความแตกต่างระหว่างสถิติการทดสอบและการแจกแจง ชื่อที่คล้ายกับ การทดสอบหรือสถิติ ไคสแควร์ของ Pearsonจะถูกนำมาใช้ เป็นการทดสอบค่า p

ตัวอย่างง่ายๆ คือ การทดสอบสมมติฐานที่ว่าลูกเต๋า หกด้านธรรมดา นั้น "ยุติธรรม" (กล่าวคือ ผลลัพธ์ทั้งหกแบบมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน) ในกรณีนี้ ข้อมูลที่สังเกตได้คือ(โอ1,โอ2,...,โอ6){\displaystyle (O_{1},O_{2},...,O_{6})}จำนวนครั้งที่ลูกเต๋าตกบนแต่ละหมายเลข สมมติฐานว่างคือเอ็มคุณลทีฉันnโอมฉันเอล(เอ็น;1/6,...,1/6){\displaystyle \mathrm {Multinomial} (N;1/6,...,1/6)}, และχ2:=∑ฉัน=16(โอฉัน−เอ็น/6)2เอ็น/6{\textstyle \chi ^{2}:=\sum \limits _{i=1}^{6}{\frac {{\left(O_{i}-N/6\right)}^{2}}{N/6}}}ตามรายละเอียดด้านล่าง หากχ2>11.07{\displaystyle \chi ^{2}>11.07}ดังนั้น ความยุติธรรมของลูกเต๋าจึงสามารถถูกปฏิเสธได้ในระดับนั้นพี<0.05{\displaystyle p<0.05}.

ขั้นตอน

การตั้งค่ามีดังนี้: [ 2 ] [ 3 ]

  • ก่อนเริ่มการทดลอง ผู้ทำการทดลองจะกำหนดตัวเลขจำนวนหนึ่งไว้ล่วงหน้าเอ็น{\displaystyle N}จำนวนตัวอย่างที่จะต้องเก็บ
  • ข้อมูลที่สังเกตได้คือ(โอ1,โอ2,...,โอn){\displaystyle (O_{1},O_{2},...,O_{n})}จำนวนนับของตัวอย่างจากเซตจำกัดของหมวดหมู่ที่กำหนด พวกมันเป็นไปตามเงื่อนไข∑ฉันโอฉัน=เอ็น{\textstyle \sum _{i}O_{i}=N}.
  • สมมติฐานว่างคือ ตัวเลขที่นับได้นั้นสุ่มมาจากการแจกแจงแบบพหุนามเอ็มคุณลทีฉันnโอมฉันเอล(เอ็น;พี1,...,พีn){\displaystyle \mathrm {Multinomial} (N;p_{1},...,p_{n})}กล่าวคือ ข้อมูลพื้นฐานถูกสุ่มตัวอย่างแบบอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน(IID)จากการกระจายแบบจำแนกประเภทซีเอทีอีจีโอรฉันซีเอล(พี1,...,พีn){\displaystyle \mathrm {Categorical} (p_{1},...,p_{n})}ตามหมวดหมู่ที่กำหนดไว้
  • ค่าสถิติการทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันถูกกำหนดดังนี้χ2:=∑ฉัน(โอฉัน−เอ็นพีฉัน)2เอ็นพีฉัน{\textstyle \chi ^{2}:=\sum _{i}{\frac {{\left(O_{i}-Np_{i}\right)}^{2}}{Np_{i}}}}ค่า p-value ของสถิติการทดสอบสามารถคำนวณได้ทั้งแบบตัวเลขหรือโดยการดูจากตาราง
  • หากค่า p มีขนาดเล็กพอ (โดยทั่วไป p < 0.05 ตามธรรมเนียม) แสดงว่าสมมติฐานว่างถูกปฏิเสธ และเราสรุปได้ว่าข้อมูลที่สังเกตได้ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบพหุนาม

การใช้งาน

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันใช้เพื่อประเมินการเปรียบเทียบสามประเภท ได้แก่ความเหมาะสมของแบบจำลองความ เป็น เอกรูปและความเป็นอิสระ

  • การทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองจะตรวจสอบว่าการกระจายความถี่ ที่สังเกตได้ แตกต่างจากการกระจายความถี่ตามทฤษฎี หรือไม่
  • การทดสอบความเป็นเนื้อเดียวกันจะเปรียบเทียบการกระจายของจำนวนนับสำหรับสองกลุ่มขึ้นไปโดยใช้ตัวแปรเชิงหมวดหมู่เดียวกัน (เช่น การเลือกกิจกรรม—วิทยาลัย ทหาร การจ้างงาน การท่องเที่ยว—ของผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมปลายที่รายงานหนึ่งปีหลังสำเร็จการศึกษา โดยเรียงลำดับตามปีที่สำเร็จการศึกษา เพื่อดูว่าจำนวนผู้สำเร็จการศึกษาที่เลือกกิจกรรมที่กำหนดมีการเปลี่ยนแปลงจากรุ่นสู่รุ่น หรือจากทศวรรษสู่ทศวรรษหรือไม่) [ 4 ]
  • การทดสอบความเป็นอิสระจะประเมินว่าข้อมูลที่ประกอบด้วยการวัดค่าตัวแปรสองตัว ซึ่งแสดงในตารางความสัมพันธ์นั้นเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (เช่น การตอบแบบสอบถามจากผู้คนที่มีสัญชาติต่างกัน เพื่อดูว่าสัญชาติมีความสัมพันธ์กับการตอบแบบสอบถามหรือไม่)

สำหรับการทดสอบทั้งสามครั้ง ขั้นตอนการคำนวณประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

  1. คำนวณ ค่าสถิติไคกำลังสองχ2{\displaystyle \chi ^{2}}ซึ่งมีลักษณะคล้ายผล รวม มาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองระหว่างความถี่ที่สังเกตได้และความถี่ ทางทฤษฎี (ดูด้านล่าง)
  2. จงหาค่าองศาอิสระ ( df ) ของสถิตินั้น
    1. สำหรับการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองdf = Cats − Paramsโดยที่Catsคือจำนวนหมวดหมู่การสังเกตที่แบบจำลองรู้จัก และParamsคือจำนวนพารามิเตอร์ในแบบจำลองที่ปรับเพื่อให้แบบจำลองเหมาะสมกับการสังเกตมากที่สุด: จำนวนหมวดหมู่ที่ลดลงตามจำนวนพารามิเตอร์ที่ปรับให้เข้ากับแบบจำลอง
    2. สำหรับการทดสอบความเป็นเนื้อเดียวกันdf = (Rows − 1)×(Cols − 1)โดยที่Rowsสอดคล้องกับจำนวนหมวดหมู่ (เช่น แถวในตารางความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง) และColsสอดคล้องกับจำนวนกลุ่มอิสระ (เช่น คอลัมน์ในตารางความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง) [ 4 ]
    3. สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระdf = (Rows − 1)×(Cols − 1)โดยในกรณีนี้Rowsสอดคล้องกับจำนวนหมวดหมู่ในตัวแปรหนึ่ง และColsสอดคล้องกับจำนวนหมวดหมู่ในตัวแปรที่สอง[ 4 ]
  3. เลือกค่าระดับความเชื่อมั่นที่ต้องการ ( ระดับนัยสำคัญ , ค่าpหรือระดับอัลฟา ที่สอดคล้องกัน ) สำหรับผลลัพธ์ของการทดสอบ
  4. เปรียบเทียบχ2{\displaystyle \chi ^{2}}ไปยังค่าวิกฤตจากค่าการแจกแจงไคกำลังสองที่มี องศาอิสระ dfและระดับความเชื่อมั่นที่เลือก (แบบด้านเดียว เนื่องจากเป็นการทดสอบในทิศทางเดียว กล่าวคือ ค่าที่ทดสอบมากกว่าค่าวิกฤตหรือไม่) ซึ่งในหลายกรณีจะให้ค่าประมาณที่ดีของการแจกแจงของχ2{\displaystyle \chi ^{2}}.
  5. ยืนยันหรือปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ว่าการแจกแจงความถี่ที่สังเกตได้เหมือนกับการแจกแจงตามทฤษฎี โดยพิจารณาว่าค่าสถิติการทดสอบเกินค่าวิกฤตหรือไม่χ2{\displaystyle \chi ^{2}}ถ้าค่าสถิติการทดสอบเกินค่าวิกฤตของχ2{\displaystyle \chi ^{2}}สมมติฐานว่าง (ชม0{\displaystyle H_{0}}= ไม่มีความแตกต่างระหว่างการกระจาย) สามารถถูกปฏิเสธได้ และสมมติฐานทางเลือก (ชม1{\displaystyle H_{1}}= มีความแตกต่างระหว่างการกระจายตัว) สามารถยอมรับได้ทั้งสองกรณีด้วยระดับความเชื่อมั่นที่เลือกไว้ หากค่าสถิติการทดสอบต่ำกว่าเกณฑ์χ2{\displaystyle \chi ^{2}}หากค่าไม่ตรงกับสมมติฐานหลัก ก็จะไม่สามารถสรุปได้อย่างชัดเจน และสมมติฐานหลักจึงยังคงอยู่ (เราไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานหลักได้) แม้ว่าจะไม่ได้หมายความว่าได้รับการยอมรับก็ตาม

การทดสอบความเหมาะสมของการกระจายตัว

การแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

ในกรณีนี้เอ็น{\displaystyle N}การสังเกตการณ์ถูกแบ่งออกเป็นn{\displaystyle n}เซลล์ การประยุกต์ใช้อย่างง่ายคือการทดสอบสมมติฐานที่ว่า ในประชากรทั่วไป ค่าต่างๆ จะปรากฏในแต่ละเซลล์ด้วยความถี่เท่ากัน ดังนั้น "ความถี่เชิงทฤษฎี" สำหรับเซลล์ใดๆ (ภายใต้สมมติฐานว่างของการแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ) จึงคำนวณได้ดังนี้ อีฉัน=เอ็นn,{\displaystyle E_{i}={\frac {N}{n}}\,,} และการลดลงของระดับความเป็นอิสระคือพี=1{\displaystyle p=1}โดยหลักการแล้ว เนื่องจากความถี่ที่สังเกตได้โอฉัน{\displaystyle O_{i}}ถูกจำกัดให้รวมกันได้เป็นเอ็น{\displaystyle N}.

ตัวอย่างเฉพาะอย่างหนึ่งของการนำไปประยุกต์ใช้คือการนำไปใช้กับการทดสอบ log-rank

การแจกจ่ายอื่นๆ

เมื่อทำการทดสอบว่าข้อมูลที่สังเกตได้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายตัวอยู่ในตระกูลการกระจายตัวที่กำหนดหรือไม่นั้น จะคำนวณ "ความถี่เชิงทฤษฎี" โดยใช้การกระจายตัวจากตระกูลนั้นที่ปรับให้เข้ากับวิธีการมาตรฐานบางอย่าง การลดลงของระดับความเป็นอิสระจะคำนวณได้ดังนี้พี=ส+1{\displaystyle p=s+1}, ที่ไหนส{\displaystyle s}คือจำนวนพารามิเตอร์ที่ใช้ในการปรับให้เข้ากับแบบจำลองการแจกแจง ตัวอย่างเช่น เมื่อตรวจสอบการแจกแจงแกมมาทั่วไปแบบ สาม พารามิเตอร์พี=4{\displaystyle p=4}และเมื่อตรวจสอบการแจกแจงแบบปกติ (ซึ่งพารามิเตอร์คือค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)พี=3{\displaystyle p=3}และเมื่อตรวจสอบการแจกแจงแบบปัวซง (โดยที่พารามิเตอร์คือค่าที่คาดหวัง)พี=2{\displaystyle p=2}ดังนั้น จะมีn−พี{\displaystyle np}ระดับความเป็นอิสระ โดยที่n{\displaystyle n}คือจำนวนหมวดหมู่

จำนวนองศาอิสระไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนการสังเกตเหมือนกับการ แจกแจง แบบ t ของนักเรียนหรือการแจกแจงแบบ Fตัวอย่างเช่น หากทดสอบลูกเต๋าหกด้านที่ยุติธรรม จะมีห้าองศาอิสระ เนื่องจากมีหกหมวดหมู่หรือพารามิเตอร์ (แต่ละตัวเลข) จำนวนครั้งที่ทอยลูกเต๋าไม่มีผลต่อจำนวนองศาอิสระ

การคำนวณค่าสถิติการทดสอบ

การแจกแจงไคกำลังสองโดยแสดงค่าX²บนแกน x และค่า P บนแกน y

ค่าของสถิติการทดสอบคือ

χ2=∑ฉัน=1n(โอฉัน−อีฉัน)2อีฉัน=เอ็น∑ฉัน=1n(โอฉัน/เอ็น−พีฉัน)2พีฉัน{\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\left(O_{i}-E_{i}\right)}^{2}}{E_{i}}}=N\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}/N-p_{i}\right)^{2}}{p_{i}}}}

ที่ไหน

  • χ2{\displaystyle \chi ^{2}}= สถิติการทดสอบสะสมของเพียร์สัน ซึ่งเข้าใกล้ค่า a ในเชิงอะซิมโทติกχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การกระจาย .
  • โอฉัน{\displaystyle O_{i}}= จำนวนการสังเกตประเภทi
  • เอ็น{\displaystyle N}= จำนวนการสังเกตทั้งหมด
  • อีฉัน=เอ็นพีฉัน{\displaystyle E_{i}=Np_{i}}= จำนวนที่คาดการณ์ (ตามทฤษฎี) ของประเภทiซึ่งได้รับการยืนยันโดยสมมติฐานว่างที่ว่าสัดส่วนของประเภทiในประชากรคือพีฉัน{\displaystyle p_{i}}
  • n{\displaystyle n} = จำนวนเซลล์ในตาราง

จากนั้นสามารถใช้สถิติไคกำลังสองในการคำนวณค่า pโดยการเปรียบเทียบค่าสถิติกับ ค่า การแจกแจงไคกำลังสองจำนวนองศาอิสระจะเท่ากับจำนวนเซลล์n{\displaystyle n}ลบด้วยการลดลงของระดับความเป็นอิสระพี{\displaystyle p}.

ค่าสถิติไคกำลังสองสามารถคำนวณได้ดังนี้

χ2=∑ฉัน=1nโอฉัน2อีฉัน−เอ็น.{\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {O_{i}^{2}}{E_{i}}}-N.}

ผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบททวินาม

ผลลัพธ์เกี่ยวกับจำนวนองศาอิสระนั้นใช้ได้เมื่อข้อมูลดั้งเดิมเป็นแบบพหุนาม และดังนั้นพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าได้จึงมีประสิทธิภาพในการลดค่าสถิติไคกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เมื่อการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดไม่ตรงกับการประมาณค่าไคกำลังสองต่ำสุด การกระจายตัวจะอยู่ระหว่างการกระจายตัวแบบไคกำลังสองกับn−1−พี{\displaystyle n-1-p}และn−1{\displaystyle n-1}ระดับความเป็นอิสระ (ดูตัวอย่างเช่น Chernoff และ Lehmann, 1954)

การทดสอบไคสแควร์แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่มีนัยสำคัญทางสถิติระหว่างระดับการศึกษาที่สำเร็จและการเข้ารับการตรวจสุขภาพประจำปี (chi2(3) = 14.6090, p = 0.002) สัดส่วนชี้ให้เห็นว่าเมื่อระดับการศึกษาสูงขึ้น สัดส่วนของผู้ที่เข้ารับการตรวจสุขภาพประจำปีก็สูงขึ้นด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผู้ที่สำเร็จการศึกษาจากวิทยาลัยหรือมหาวิทยาลัยเข้ารับการตรวจสุขภาพประจำปีในสัดส่วนที่สูงกว่า (31.52%) เมื่อเทียบกับผู้ที่ไม่ได้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมปลาย (8.44%) ผลการค้นพบนี้อาจชี้ให้เห็นว่าการศึกษาที่สูงขึ้นมีความสัมพันธ์กับโอกาสที่มากขึ้นในการมีส่วนร่วมในพฤติกรรมส่งเสริมสุขภาพ เช่น การตรวจสุขภาพประจำปี

วิธีการแบบเบย์เซียน

ในสถิติแบบเบย์เซียนเราจะใช้การแจกแจงแบบ Dirichletเป็น ตัวกำหนด ความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสังยุคแทนหากเราใช้ตัวกำหนดความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบเอกรูป ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดของประชากรจะเป็นความน่าจะเป็นที่สังเกตได้ และเราสามารถคำนวณขอบเขตความน่าเชื่อถือรอบๆ ค่าประมาณนี้หรือค่าประมาณอื่นๆ ได้

การทดสอบความเป็นอิสระทางสถิติ

ในกรณีนี้ "การสังเกต" ประกอบด้วยค่าของผลลัพธ์สองอย่าง และสมมติฐานว่างคือ การเกิดขึ้นของผลลัพธ์เหล่านี้เป็นอิสระทางสถิติการสังเกตแต่ละครั้งจะถูกจัดสรรให้กับเซลล์หนึ่งในอาร์เรย์สองมิติ (เรียกว่าตารางความสัมพันธ์ ) ตามค่าของผลลัพธ์สองอย่าง ถ้าตารางมีrแถวและcคอลัมน์ "ความถี่เชิงทฤษฎี" สำหรับเซลล์หนึ่งๆ ภายใต้สมมติฐานความเป็นอิสระ คือ

อีฉัน,เจ=เอ็นพีฉัน⋅พี⋅เจ,{\displaystyle E_{i,j}=Np_{i\cdot }p_{\cdot j},}

ที่ไหนเอ็น{\displaystyle N}คือขนาดตัวอย่างทั้งหมด (ผลรวมของทุกเซลล์ในตาราง) และ

พีฉัน⋅=โอฉัน⋅เอ็น=∑เจ=1ซีโอฉัน,เจเอ็น,{\displaystyle p_{i\cdot }={\frac {O_{i\cdot }}{N}}=\sum _{j=1}^{c}{\frac {O_{i,j}}{N}},}

คือสัดส่วนของการสังเกตประเภทiโดยไม่คำนึงถึงคุณลักษณะของคอลัมน์ (สัดส่วนของผลรวมแถว) และ พี⋅เจ=โอ⋅เจเอ็น=∑ฉัน=1รโอฉัน,เจเอ็น{\displaystyle p_{\cdot j}={\frac {O_{\cdot j}}{N}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {O_{i,j}}{N}}}

คือสัดส่วนของการสังเกตการณ์ประเภทjโดยไม่คำนึงถึงคุณลักษณะแถว (สัดส่วนของผลรวมคอลัมน์) คำว่า " ความถี่ " หมายถึงตัวเลขสัมบูรณ์ ไม่ใช่ค่าที่ปรับให้เป็นมาตรฐานแล้ว

ค่าของสถิติการทดสอบคือ

χ2=∑ฉัน=1ร∑เจ=1ซี(โอฉัน,เจ−อีฉัน,เจ)2อีฉัน,เจ=เอ็น∑ฉัน,เจพีฉัน⋅พี⋅เจ((โอฉัน,เจ/เอ็น)−พีฉัน⋅พี⋅เจพีฉัน⋅พี⋅เจ)2{\displaystyle {\begin{aligned}\chi ^{2}&=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}{\frac {{\left(O_{i,j}-E_{i,j}\right)}^{2}}{E_{i,j}}}\\[1ex]&=N\sum _{i,j}p_{i\cdot }p_{\cdot j}{\left({\frac {\left(O_{i,j}/N\right)-p_{i\cdot }p_{\cdot j}}{p_{i\cdot }p_{\cdot j}}}\right)}^{2}\end{aligned}}}

โปรดทราบว่าχ2{\displaystyle \chi ^{2}}มีค่าเป็น 0 ก็ต่อเมื่อโอฉัน,เจ=อีฉัน,เจ∀ฉัน,เจ{\displaystyle O_{i,j}=E_{i,j}\forall i,j}กล่าวคือ เฉพาะในกรณีที่จำนวนการสังเกตที่คาดหวังและจำนวนการสังเกตจริงเท่ากันในทุกเซลล์

การปรับแบบจำลอง "ความเป็นอิสระ" จะลดจำนวนองศาอิสระลงp = r + c − 1จำนวนองศาอิสระเท่ากับจำนวนเซลล์rcลบด้วยการลดองศาอิสระpซึ่งลดรูปเหลือ( r − 1)( c − 1 ) 

สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระ หรือที่เรียกว่าการทดสอบความเป็นเนื้อเดียวกัน ค่าความน่าจะเป็นไคกำลังสองที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.05 (หรือค่าสถิติไคกำลังสองที่เท่ากับหรือมากกว่าจุดวิกฤต 0.05) มักถูกตีความโดยผู้ปฏิบัติงานประยุกต์ว่าเป็นเหตุผลในการปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ว่าตัวแปรแถวเป็นอิสระจากตัวแปรคอลัมน์[ 6 ] สมมติฐาน ทางเลือกสอดคล้องกับตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กันโดยที่โครงสร้างของความสัมพันธ์นี้ไม่ได้ระบุไว้

ข้อสมมติฐาน

การทดสอบไคสแควร์ เมื่อใช้ร่วมกับการประมาณมาตรฐานที่การแจกแจงไคสแควร์สามารถใช้ได้ จะมีสมมติฐานดังต่อไปนี้: [ 7 ]

การสุ่มตัวอย่างแบบง่าย
ข้อมูลตัวอย่างเป็นการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มจากการกระจายหรือประชากรที่กำหนดไว้ โดยที่สมาชิกแต่ละกลุ่มของประชากรที่มีขนาดตัวอย่างที่กำหนดจะมีโอกาสถูกเลือกเท่ากัน มีการพัฒนารูปแบบการทดสอบสำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อน เช่น ในกรณีที่ข้อมูลมีน้ำหนัก สามารถใช้รูปแบบอื่นได้ เช่น การสุ่มตัวอย่าง แบบเจาะจง[ 8 ]
ขนาดตัวอย่าง (ทั้งตาราง)
ถือว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอสมควร หากทำการทดสอบไคสแควร์กับตัวอย่างที่มีขนาดเล็กกว่า การทดสอบไคสแควร์จะให้ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง นักวิจัยอาจทำผิดพลาดประเภทที่ 2 โดยการใช้การทดสอบไคสแควร์กับตัวอย่างขนาดเล็ก สำหรับตัวอย่างขนาดเล็กควรเลือกใช้การทดสอบ Cash [ 9 ] [ 10 ]
จำนวนเซลล์ที่คาดหวัง
จำนวนเซลล์ที่คาดหวังต้องเพียงพอ บางตารางกำหนดไว้ที่ 5 เซลล์ขึ้นไป และบางตารางกำหนดไว้ที่ 10 เซลล์ขึ้นไป โดยทั่วไปแล้ว ตารางขนาด 2x2 จะกำหนดไว้ที่ 5 เซลล์ขึ้นไปในทุกเซลล์ และตารางขนาดใหญ่กว่าจะกำหนดไว้ที่ 80% ของเซลล์ขึ้นไป แต่ต้องไม่มีเซลล์ใดที่มีจำนวนเซลล์ที่คาดหวังเป็นศูนย์ หากไม่เป็นไปตามข้อสมมตินี้จะใช้การแก้ไขของ Yates
เอกราช
โดยทั่วไปแล้วจะถือว่าการสังเกตการณ์แต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน ซึ่งหมายความว่าการทดสอบไคสแควร์ไม่สามารถใช้ทดสอบข้อมูลที่มีความสัมพันธ์กันได้ (เช่น คู่ที่จับคู่กัน หรือข้อมูลแบบพาเนล) ในกรณีเหล่านั้นการทดสอบของ McNemarอาจเหมาะสมกว่า

การทดสอบที่อาศัยสมมติฐานที่แตกต่างกันคือการทดสอบ Fisher's exact testหากสมมติฐานของการกระจายแบบมาร์จินัลคงที่เป็นไปตามเงื่อนไข การทดสอบนี้จะมีความแม่นยำมากขึ้นในการหาค่าระดับนัยสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีจำนวนการสังเกตน้อย ในการใช้งานส่วนใหญ่ สมมติฐานนี้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไข และการทดสอบ Fisher's exact test จะมีความอนุรักษ์นิยมมากเกินไปและไม่มีความครอบคลุมที่ถูกต้อง[ 11 ]

อนุพันธ์

การหาอนุพันธ์โดยใช้ทฤษฎีบทลิมิตกลาง

การแจกแจงว่างของสถิติเพียร์สันที่มีjแถวและkคอลัมน์จะถูกประมาณโดยการแจกแจงไคกำลังสองที่มีองศาอิสระ ( k  −  1)( j  − 1) [ 12 ] 

การประมาณค่านี้เกิดขึ้นเป็นค่าการแจกแจงที่แท้จริงภายใต้สมมติฐานว่าง หากค่าที่คาดหวังได้มาจากค่าการแจกแจงแบบพหุนามสำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ทฤษฎีบทลิมิตกลาง กล่าวว่าการแจกแจงนี้มีแนวโน้มไปสู่ การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรบางอย่าง

สองเซลล์

ในกรณีพิเศษที่ตารางมีเพียงสองเซลล์ ค่าที่คาดหวังจะมีการแจกแจงแบบทวินาม โอ~บิน⁡(n,พี),{\displaystyle O\sim \operatorname {Bin} (n,p),} ที่ไหน

p = ความน่าจะเป็น ภายใต้สมมติฐานว่าง
n = จำนวนข้อมูลในตัวอย่าง

ในตัวอย่างข้างต้น ความน่าจะเป็นที่คาดการณ์ไว้ของการพบเพศชายคือ 0.5 โดยมีตัวอย่าง 100 ตัวอย่าง ดังนั้นเราคาดว่าจะพบเพศชาย 50 คน

ถ้าnมีขนาดใหญ่เพียงพอ การแจกแจงทวินามข้างต้นอาจประมาณได้ด้วยการแจกแจงแบบเกาส์เซียน (ปกติ) และด้วยเหตุนี้ ค่าสถิติการทดสอบของเพียร์สันจึงประมาณได้ด้วยการแจกแจงแบบไคกำลังสอง บิน⁡(n,พี)≈เอ็น(nพี,nพี(1−พี)).{\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}{\big (}np,np(1-p){\big )}.}

ให้O เป็นจำนวนข้อมูลจากการสังเกตที่อยู่ในเซลล์แรก สถิติการทดสอบของเพียร์สันสามารถแสดงได้ดังนี้ (โอ1−nพี)2nพี+(n−โอ1−n(1−พี))2n(1−พี),{\displaystyle {\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}}+{\frac {{\big (}n-O_{1}-n(1-p){\big )}^{2}}{n(1-p)}},} ซึ่งสามารถแสดงออกมาได้ดังนี้ (โอ1−nพีnพี(1−พี))2.{\displaystyle \left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)^{2}.}

จากการประมาณค่าแบบปกติของทวินาม ค่านี้คือค่ากำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานหนึ่งตัว ดังนั้นจึงมีการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มีองศาอิสระ 1 โปรดสังเกตว่าตัวส่วนคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าของการประมาณค่าแบบเกาส์เซียน ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ (โอ1−μ)2σ2.{\displaystyle {\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}.}

ดังนั้น เพื่อให้สอดคล้องกับความหมายของการแจกแจงไคกำลังสอง เราจึงวัดว่าจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สังเกตได้นั้นมีความน่าจะเป็นมากน้อยเพียงใดที่จะห่างจากค่าเฉลี่ยภายใต้การประมาณแบบเกาส์เซียน (ซึ่งเป็นการประมาณที่ดีสำหรับn ขนาดใหญ่ )

จากนั้นจึงทำการอินทิเกรตการแจกแจงไคกำลังสองทางด้านขวาของค่าสถิติเพื่อหาค่าpซึ่งเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าสถิติที่เท่ากับหรือมากกว่าค่าที่สังเกตได้ โดยสมมติว่าสมมติฐานว่างเป็นจริง

ตารางความสัมพันธ์แบบสองคูณสอง

เมื่อนำการทดสอบไปใช้กับตารางความสัมพันธ์ที่มีสองแถวและสองคอลัมน์ การทดสอบนี้จะเทียบเท่ากับการทดสอบสัดส่วนแบบZ

เซลล์จำนวนมาก

โดยทั่วไปแล้ว ข้อโต้แย้งที่คล้ายคลึงกันข้างต้นนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ แม้ว่ารายละเอียดจะซับซ้อนกว่าก็ตาม อาจใช้การเปลี่ยนตัวแปรแบบตั้งฉากเพื่อเปลี่ยนผลรวมจำกัดในสถิติการทดสอบให้เป็นกำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน iid น้อยลงหนึ่งตัว[ 13 ]

ต่อไปนี้เราจะพิสูจน์ว่าการกระจายตัวเข้าใกล้ค่าอสิมโทติกจริง ๆχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การกระจายตัวเมื่อจำนวนการสังเกตเข้าใกล้ค่าอนันต์

อนุญาตn{\displaystyle n}ให้เป็นจำนวนการสังเกตการณ์ม{\displaystyle m}จำนวนเซลล์และพีฉัน{\displaystyle p_{i}}ความน่าจะเป็นที่ค่าสังเกตจะตกอยู่ใน เซลล์ที่ iสำหรับ1≤ฉัน≤ม{\displaystyle 1\leq i\leq m}เราใช้สัญลักษณ์ แทน{เคฉัน}{\displaystyle \{k_{i}\}}การกำหนดค่าที่สำหรับแต่ละiจะมีเคฉัน{\displaystyle k_{i}}ข้อสังเกตใน เซลล์ที่ iโปรดทราบว่า ∑ฉัน=1มเคฉัน=nและ∑ฉัน=1มพีฉัน=1.{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n\quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1.}

อนุญาตχพี2({เคฉัน},{พีฉัน}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})}เป็นค่าสถิติการทดสอบสะสมของเพียร์สันสำหรับการกำหนดค่าดังกล่าว และให้χพี2({พีฉัน}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})}ให้เป็นการกระจายของสถิตินี้ เราจะแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นหลังเข้าใกล้χ2{\displaystyle \chi ^{2}}การแจกจ่ายด้วยม−1{\displaystyle m-1}ระดับความเป็นอิสระ เช่นn→∞.{\displaystyle n\to \infty .}

สำหรับค่า T ใดๆ ก็ตาม: พี(χพี2({พีฉัน})>ที)=∑{เคฉัน∣χพี2({เคฉัน},{พีฉัน})>ที}n!เค1!⋯เคม!∏ฉัน=1มพีฉันเคฉัน.{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}=\sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}}^{k_{i}}.}

เราจะใช้วิธีการที่คล้ายกับการประมาณค่าในทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซโดยได้รับการสนับสนุนจากองค์กรขนาดเล็กเคฉัน{\displaystyle k_{i}}อยู่ในลำดับรองลงมาในn{\displaystyle n}และด้วยเหตุนี้จึงมีขนาดใหญ่n{\displaystyle n}เราอาจใช้สูตรของสเตอร์ลิงสำหรับทั้งสองกรณีn!{\displaystyle n!}และเคฉัน!{\displaystyle k_{i}!}เพื่อให้ได้สิ่งต่อไปนี้: พี(χพี2({พีฉัน})>ที)~∑{เคฉัน∣χพี2({เคฉัน},{พีฉัน})>ที}∏ฉัน=1ม(nพีฉันเคฉัน)เคฉัน2πn∏ฉัน=1ม2πเคฉัน.{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim \sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\right)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}.}

โดยการแทนที่ด้วย xฉัน=เคฉัน−nพีฉันn,ฉัน=1,⋯,ม−1,{\displaystyle x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt {n}}},\quad i=1,\cdots ,m-1,} เราอาจประมาณค่าสำหรับค่าขนาดใหญ่ได้n{\displaystyle n}ผลรวมเหนือเคฉัน{\displaystyle k_{i}}โดยการอินทิเกรตเหนือxฉัน{\displaystyle x_{i}}โดยสังเกตว่า เคม=nพีม−n∑ฉัน=1ม−1xฉัน,{\displaystyle k_{m}=np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i},} เรามาถึงแล้ว พี(χพี2({พีฉัน})>ที)~2πn∏ฉัน=1ม2πเคฉัน∫Ω[∏ฉัน=1ม−1nงxฉัน]××{∏ฉัน=1ม−1(1+xฉันnพีฉัน)−(nพีฉัน+nxฉัน)(1−∑ฉัน=1ม−1xฉันnพีม)−(nพีม−n∑ฉัน=1ม−1xฉัน)}=2πn∏ฉัน=1ม(2πnพีฉัน+2πnxฉัน)∫Ω{∏ฉัน=1ม−1nงxฉัน}××{∏ฉัน=1ม−1เอ็กซ์⁡[−(nพีฉัน+nxฉัน)ln⁡(1+xฉันnพีฉัน)]เอ็กซ์⁡[−(nพีม−n∑ฉัน=1ม−1xฉัน)ln⁡(1−∑ฉัน=1ม−1xฉันnพีม)]},{\displaystyle {\begin{aligned}P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\}{\big )}>T)&\sim {\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}{\sqrt {n}}dx_{i}\right]\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}\int _{\Omega }\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-\left(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i}\right)\ln \left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)\right]\exp \left[-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)\ln \left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)\right]\right\},\end{aligned}}} ที่ไหนΩ{\displaystyle \Omega }เซตถูกกำหนดผ่านχพี2({เคฉัน},{พีฉัน})=χพี2({nxฉัน+nพีฉัน},{พีฉัน})>ที{\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}.

โดยการขยายลอการิทึมและนำพจน์นำหน้าในn{\displaystyle n}เราได้รับ พี(χพี2({พีฉัน})>ที)~1(2π)ม−1∏ฉัน=1มพีฉัน∫Ω[∏ฉัน=1ม−1งxฉัน]∏ฉัน=1ม−1เอ็กซ์⁡[−12∑ฉัน=1ม−1xฉัน2พีฉัน−12พีม(∑ฉัน=1ม−1xฉัน)2].{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{m-1}\prod _{i=1}^{m}p_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right]\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)^{2}\right].}

พลังชี่ของเพียร์สันχพี2({เคฉัน},{พีฉัน})=χพี2({nxฉัน+nพีฉัน},{พีฉัน}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})}ซึ่งก็คือค่าอาร์กิวเมนต์ของเลขชี้กำลัง (ยกเว้น −1/2; โปรดสังเกตว่าพจน์สุดท้ายในอาร์กิวเมนต์ของเลขชี้กำลังเท่ากับ)(เคม−nพีม)2/(nพีม){\displaystyle (k_{m}-np_{m})^{2}/(np_{m})})

ข้อโต้แย้งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้ −12∑ฉัน,เจ=1ม−1xฉันเอฉันเจxเจ,เอฉันเจ=δฉันเจพีฉัน+1พีม,ฉัน,เจ=1,⋯,ม−1.{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\quad A_{ij}={\frac {\delta _{ij}}{p_{i}}}+{\frac {1}{p_{m}}},\quad i,j=1,\cdots ,m-1.}

เอ{\displaystyle A}เป็นสมมาตรปกติ(ม−1)×(ม−1){\displaystyle (m-1)\times (m-1)}เมทริกซ์ และดังนั้นจึง สามารถทำให้ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยเหตุนี้จึงสามารถทำการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้นในเมทริกซ์ได้{xฉัน}{\displaystyle \{x_{i}\}}เพื่อที่จะได้รับม−1{\displaystyle m-1}ตัวแปรใหม่{yฉัน}{\displaystyle \{y_{i}\}}ดังนั้น ∑ฉัน,เจ=1ม−1xฉันเอฉันเจxเจ=∑ฉัน=1ม−1yฉัน2.{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.}

การเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้นนี้เพียงแค่คูณปริพันธ์ด้วยค่าคงที่ของจาโค เบียน ดังนั้นเราจึงได้ พี(χพี2({พีฉัน})>ที)~ซี∫∑ฉัน=1ม−1yฉัน2>ที{∏ฉัน=1ม−1งyฉัน}∏ฉัน=1ม−1เอ็กซ์⁡[−12(∑ฉัน=1ม−1yฉัน2)],{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}\right)\right],} โดยที่Cเป็นค่าคงที่

นี่คือความน่าจะเป็นที่ผลรวมกำลังสองของม−1{\displaystyle m-1}ตัวแปรอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง จะมีค่ามากกว่าTกล่าวคือχ2{\displaystyle \chi ^{2}}กับม−1{\displaystyle m-1}จำนวนองศาอิสระมีค่ามากกว่าT

เราจึงได้แสดงให้เห็นแล้วว่า ณ ขีดจำกัดที่n→∞,{\displaystyle n\to \infty ,}การกระจายของค่าไคกำลังสองของเพียร์สันเข้าใกล้การกระจายของค่าไคกำลังสองด้วยม−1{\displaystyle m-1}ระดับความเป็นอิสระ

สามารถดูวิธีการหาค่าอีกวิธีได้ที่หน้าการแจกแจงพหุนาม

ตัวอย่าง

ความยุติธรรมของลูกเต๋า

ลูกเต๋า 6 ด้านถูกโยน 60 ครั้ง จำนวนครั้งที่ลูกเต๋าออกด้านละ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 คือ 5, 8, 9, 8, 10 และ 20 ตามลำดับ ลูกเต๋ามีการเอนเอียงหรือไม่ ตามการทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สัน ที่ระดับนัยสำคัญ 95% และ/หรือ 99%?

สมมติฐานว่างคือลูกเต๋าไม่มีความลำเอียง ดังนั้นแต่ละหมายเลขจึงคาดว่าจะปรากฏขึ้นจำนวนครั้งเท่ากัน ในกรณีนี้คือ60 / n = 10 ผลลัพธ์สามารถจัดทำเป็นตารางได้ดังนี้:

ฉัน{\displaystyle i}โอฉัน{\displaystyle O_{i}}อีฉัน{\displaystyle E_{i}}โอฉัน−อีฉัน{\displaystyle O_{i}-E_{i}}(โอฉัน−อีฉัน)2{\displaystyle (O_{i}-E_{i})^{2}}
1510− 525
2810− 24
3910− 11
4810− 24
5101000
6201010100
ผลรวม134

จากนั้นเราจะดูตารางค่าวิกฤตส่วนหางบนของการแจกแจงไคกำลังสองโดยค่าในตารางหมายถึงผลรวมของกำลังสองของตัวแปรแต่ละตัวหารด้วยผลลัพธ์ที่คาดหวัง สำหรับตัวอย่างนี้ หมายความว่า χ2=2510+410+110+410+010+10010=13.4.{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {25}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {0}{10}}+{\frac {100}{10}}=13.4.}

นี่คือผลการทดลองที่เราต้องการประเมินโอกาสที่จะเกิดขึ้น (โดยใช้ลูกเต๋าที่ยุติธรรม)

ระดับ ความ เป็นอิสระความน่าจะเป็นน้อยกว่าค่าวิกฤต
0.900.950.9750.990.999
59.23611.07012.83315.08620.515

ผลรวมจากการทดลอง 13.4 อยู่ระหว่างค่าวิกฤตที่ระดับนัยสำคัญหรือความเชื่อมั่น ( ค่า p ) 97.5% และ 99% โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การได้เลข 6 20 ครั้ง ในขณะที่ค่าคาดหวังคือ 10 ครั้งนั้น เป็นไปได้ยากหากใช้ลูกเต๋าที่ยุติธรรม

การทดสอบความเหมาะสมแบบไคกำลังสอง

ในบริบทนี้ความถี่ของการแจกแจงทั้งทางทฤษฎีและเชิงประจักษ์เป็นจำนวนนับที่ไม่ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐาน และสำหรับการทดสอบไคกำลังสอง ขนาดตัวอย่างทั้งหมดเอ็น{\displaystyle N}ผลรวมของค่าในทั้งสองการแจกแจงนี้ (ผลรวมของทุกเซลล์ในตารางความน่าจะ เป็นที่เกี่ยวข้อง ) จะต้องเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในการทดสอบสมมติฐานที่ว่าตัวอย่างสุ่ม 100 คนถูกสุ่มมาจากประชากรที่มีจำนวนชายและหญิงเท่ากัน จะต้องเปรียบเทียบจำนวนชายและหญิงที่สังเกตได้กับความถี่ตามทฤษฎีที่ 50 คนต่อ 50 คน ถ้าในตัวอย่างมีชาย 44 คนและหญิง 56 คน แล้ว

χ2=(44−50)250+(56−50)250=1.44 น.{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\left(44-50\right)}^{2}}{50}}+{\frac {{\left(56-50\right)}^{2}}{50}}=1.44.}

ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริง (กล่าวคือ ผู้ชายและผู้หญิงถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน) ค่าสถิติการทดสอบจะถูกสุ่มจากค่าการแจกแจงไคกำลังสองที่มีองศาอิสระ หนึ่ง (เพราะถ้าทราบความถี่ของผู้ชายแล้ว ก็จะสามารถกำหนดความถี่ของผู้หญิงได้)

จากการพิจารณาการแจกแจงไคกำลังสองสำหรับระดับความเป็นอิสระ 1 องศา พบว่าความน่าจะเป็นที่จะสังเกตเห็นความแตกต่างนี้ (หรือความแตกต่างที่รุนแรงกว่านี้) หากจำนวนชายและหญิงในประชากรเท่ากันนั้นอยู่ที่ประมาณ 0.23 ความน่าจะเป็นนี้สูงกว่าเกณฑ์ปกติสำหรับนัยสำคัญทางสถิติ (0.01 หรือ 0.05) ดังนั้นโดยปกติแล้วเราจะไม่ปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ว่าจำนวนผู้ชายในประชากรเท่ากับจำนวนผู้หญิง (กล่าวคือ เราจะพิจารณาว่าตัวอย่างของเราอยู่ในช่วงที่เราคาดหวังสำหรับอัตราส่วนชายต่อหญิง 50/50)

การทดสอบไคสแควร์สำหรับความเป็นเนื้อเดียวกัน

การทดสอบไคสแควร์เพื่อตรวจสอบความสม่ำเสมอของสัดส่วน (กล่าวคือ การเปรียบเทียบสัดส่วนระหว่างกลุ่มในตารางความสัมพันธ์) มักใช้เพื่อตรวจสอบว่าแถวของเมทริกซ์จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่กำหนดนั้นมีความสม่ำเสมอหรือไม่ม×n{\displaystyle m\times n}เมทริกซ์เหตุการณ์เอ{\displaystyle A}เป็นสัดส่วนกัน

พิจารณาที{\displaystyle T}ผลลัพธ์ของการทดลองแบบหลายตัวเลือกถูกจัดประเภทตามเกณฑ์สองข้อ ได้แก่ การเป็นสมาชิกในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้n{\displaystyle n}กลุ่มและการมอบหมายให้เป็นหนึ่งในนั้นม{\displaystyle m}หมวดหมู่ ผลลัพธ์อาจถูกจัดเรียงในลักษณะใดลักษณะหนึ่งม×n{\displaystyle m\times n}ตารางความน่าจะเป็น โดยที่โอฉันเจ{\displaystyle O_{ij}}แสดงถึงความถี่ที่สังเกตได้ในแถวฉัน{\displaystyle i}และคอลัมน์เจ{\displaystyle j}โดยมีผลรวมของแถวโอฉัน⋅{\displaystyle O_{i\cdot }}ผลรวมคอลัมน์โอ⋅เจ{\displaystyle O_{\cdot j}}และยอดรวมทั้งหมดที{\displaystyle T}.

อนุญาตโอฉันเจ{\displaystyle O_{ij}}ระบุความถี่ที่สังเกตได้ในเซลล์ที่สอดคล้องกับแถวฉัน{\displaystyle i}และคอลัมน์เจ{\displaystyle j}, สำหรับฉัน=1,2,…,ม{\displaystyle i=1,2,\dots ,m}และเจ=1,2,…,n{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}. กำหนดค่าผลรวมของแถว

อาร์ฉัน=∑เจ=1nโอฉันเจ,ฉัน=1,…,ม,{\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}O_{ij},\quad i=1,\dots ,m,}

ผลรวมของคอลัมน์

ซีเจ=∑ฉัน=1มโอฉันเจ,เจ=1,…,n,{\displaystyle C_{j}=\sum _{i=1}^{m}O_{ij},\quad j=1,\dots ,n,}

และยอดรวมทั้งหมด

ที=∑ฉัน=1ม∑เจ=1nโอฉันเจ.{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}O_{ij}.}

สมมติฐานว่างคือ

ชม0:π1เจ=π2เจ=⋯=πมเจ,∀เจ∈1,…,n,{\displaystyle H_{0}:\pi _{1j}=\pi _{2j}=\cdots =\pi _{mj},\quad \forall j\in {1,\dots ,n},}

ที่ไหนπฉันเจ∈[0,1]{\displaystyle \pi _{ij}\in [0,1]}แสดงถึงสัดส่วนของบุคคลในกลุ่มฉัน{\displaystyle i}ตกอยู่ในหมวดหมู่เจ{\displaystyle j}, กับ∑เจ=1nπฉันเจ=1{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\pi _{ij}=1}สำหรับแต่ละคนฉัน{\displaystyle i}.

ภายใต้ชม0{\displaystyle H_{0}}ความถี่ที่คาดหวังในเซลล์(ฉัน,เจ){\displaystyle (i,j)}เป็น

อีฉันเจ=อาร์ฉันซีเจที,ฉัน=1,…,ม;;เจ=1,…,n.{\displaystyle E_{ij}={\tfrac {R_{i}C_{j}}{T}},\quad i=1,\dots ,m;;j=1,\dots ,n.}

ค่าสถิติการทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันคือ

χสถิติ2=∑ฉัน=1ม∑เจ=1n(โอฉันเจ−อีฉันเจ)2อีฉันเจ.{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}.}

ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีนักเรียนสองกลุ่ม (กลุ่มที่ 1 และกลุ่มที่ 2) และมีวิธีการเรียนสามแบบ (เรียนคนเดียว เรียนกับเพื่อน เรียนกับติวเตอร์) ให้โอฉันเจ{\displaystyle O_{ij}}ระบุความถี่ที่สังเกตได้ในแถวฉัน{\displaystyle i}(ความชอบ) และคอลัมน์เจ{\displaystyle j}(กลุ่ม).

ความถี่ที่ตรวจพบมีดังนี้:

ความพึงใจกลุ่มที่ 1กลุ่ม 2ผลรวมแถว
ตามลำพัง12820
กับเพื่อนๆ182240
การสอนพิเศษ103040
ผลรวมคอลัมน์4060100

ภายใต้สมมติฐานว่างชม0{\displaystyle H_{0}}แถวต่างๆ มีสัดส่วนที่เท่ากันในแต่ละกลุ่ม

ความถี่ที่คาดหวังจะคำนวณโดยใช้:

อีฉันเจ=อาร์ฉัน⋅ซีเจที,{\displaystyle E_{ij}={\frac {R_{i}\cdot C_{j}}{T}},}

ที่ไหนอาร์ฉัน{\displaystyle R_{i}}คือผลรวมของแถวซีเจ{\displaystyle C_{j}}คือผลรวมของคอลัมน์ และที{\displaystyle T}คือยอดรวมทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับแถวแรกและคอลัมน์แรก:

อี11=20⋅40100=8.{\displaystyle E_{11}={\frac {20\cdot 40}{100}}=8.}

ความถี่ที่คาดการณ์ไว้มีดังนี้:

ความพึงใจกลุ่มที่ 1กลุ่ม 2
ตามลำพัง812
กับเพื่อนๆ1624
การสอนพิเศษ1624

ค่าสถิติไคกำลังสองของเพียร์สันคือ:

χสถิติ2=∑ฉัน=13∑เจ=12(โอฉันเจ−อีฉันเจ)2อีฉันเจ=7.5.{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}=7.5.}

กับ(3−1)(2−1)=2{\displaystyle (3-1)(2-1)=2}ค่าองศาอิสระนี้ สามารถนำไปเปรียบเทียบกับการแจกแจงไคกำลังสองเพื่อทดสอบสมมติฐานว่างได้

ข้อผิดพลาดของการทดสอบ

การประมาณค่าการแจกแจงไคกำลังสองจะล้มเหลวหากความถี่ที่คาดหวังต่ำเกินไป[ 14 ] [ 15 ]

โดยปกติจะยอมรับได้ตราบใดที่เหตุการณ์ไม่เกิน 20% มีความถี่ที่คาดหวังต่ำกว่า 5 [ 7 ]ในกรณีที่มีองศาอิสระเพียง 1 องศา การประมาณค่าจะไม่น่าเชื่อถือหากความถี่ที่คาดหวังต่ำกว่า 10 ในกรณีนี้ สามารถหาค่าประมาณที่ดีกว่าได้โดยการลดค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างความถี่ที่สังเกตได้และความถี่ที่คาดหวังลง 0.5 ก่อนยกกำลังสอง ซึ่งเรียกว่าการแก้ไขความต่อเนื่องของ Yates

ในกรณีที่ค่าคาดหวัง E มีค่าน้อย (ซึ่งบ่งชี้ถึงความน่าจะเป็นของประชากรพื้นฐานที่น้อย และ/หรือจำนวนการสังเกตที่น้อย) การประมาณค่าแบบปกติของการแจกแจงแบบพหุนามอาจล้มเหลว และในกรณีเช่นนี้ การใช้การทดสอบ Gซึ่ง เป็นสถิติการทดสอบที่อิงตาม อัตราส่วนความน่าจะ เป็น จะเหมาะสมกว่า เมื่อขนาดตัวอย่างทั้งหมดมีขนาดเล็ก จำเป็นต้องใช้การทดสอบที่แม่นยำที่เหมาะสม โดยทั่วไปแล้วจะเป็นการทดสอบแบบทวินามหรือสำหรับตารางความสัมพันธ์การทดสอบที่แม่นยำของฟิชเชอร์การทดสอบนี้ใช้การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของสถิติการทดสอบเมื่อพิจารณาจากผลรวมส่วนขอบ และดังนั้นจึงถือว่าส่วนขอบถูกกำหนดไว้ก่อนการศึกษา ทางเลือกอื่น เช่นการทดสอบของบอชลูซึ่งไม่ได้ตั้งสมมติฐานนี้ จะมีประสิทธิภาพมากกว่าอย่างสม่ำเสมอ

ในการทดสอบความเป็นเอกรูปของเพียร์สัน ถ้าค่าทุกค่าในเมทริกซ์เป็นค่าเอกรูปเอ{\displaystyle A}คูณด้วยค่าคงที่บวกซี{\displaystyle c}ค่าสถิติไคกำลังสองของเพียร์สันยังถูกคูณด้วยซี{\displaystyle c}:

χสถิติ2(ซีเอ)=ซีχสถิติ2(เอ).{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A).}

ดังนั้น หากทุกแถวของเอ{\displaystyle A}เป็นสัดส่วนกันอย่างพอดี

χสถิติ2(ซีเอ)=ซีχสถิติ2(เอ)=0{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A)=0}

สำหรับใดๆซี{\displaystyle c}และระดับนัยสำคัญใด ๆα{\displaystyle \alpha }. มิฉะนั้น,χสถิติ2(ซีเอ){\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)}สามารถมีขนาดใหญ่หรือเล็กได้ตามอำเภอใจซี{\displaystyle c}เพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังนั้น ที่ระดับนัยสำคัญคงที่α{\displaystyle \alpha }สมมติฐานว่างชม0{\displaystyle H_{0}}จะถูกปฏิเสธอย่างมั่นใจ1−α{\displaystyle 1-\alpha }เมื่อไรซี{\displaystyle c}มีขนาดใหญ่เพียงพอ และไม่ถูกปฏิเสธเมื่อซี{\displaystyle c}มีขนาดเล็กพอ[ 15 ]นั่นคือ สถิติไคกำลังสองจะเพิ่มขึ้นเชิงเส้นเมื่อตารางความสัมพันธ์ทั้งหมดถูกคูณด้วยปัจจัยคงที่ ซึ่งสะท้อนถึงการปรับขนาดตามสัดส่วนของความถี่ที่สังเกตได้และที่คาดหวัง

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การทดสอบเป็นการประมาณค่าลำดับต่ำของΨ{\displaystyle \Psi }การทดสอบ[ 16 ]เหตุผลข้างต้นสำหรับปัญหาข้างต้นจะปรากฏชัดเมื่อมีการตรวจสอบเงื่อนไขลำดับที่สูงกว่า

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ↑ เพียร์สัน, คาร์ล (1900). "เกี่ยวกับเกณฑ์ที่ว่าระบบการเบี่ยงเบนที่กำหนดจากความน่าจะเป็นในกรณีของระบบตัวแปรที่สัมพันธ์กันนั้นสามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่าเกิดขึ้นจากการสุ่มตัวอย่าง"วารสารปรัชญาชุดที่ 5. 50 (302): 157– 175. doi : 10.1080/14786440009463897
  2. ↑ Loukas, Orestis; Chung, Ho Ryun (2022). "การกำหนดลักษณะข้อจำกัดของการสร้างแบบจำลองโดยใช้เอนโทรปี" arXiv : 2206.14105 [ stat.ME ]
  3. ↑ Loukas, Orestis; Chung, Ho Ryun (2023). "Total Empiricism: Learning from Data". arXiv : 2311.08315 [ math.ST ].
  4. 1 2 3 David E. Bock, Paul F. Velleman, Richard D. De Veaux (2007). "สถิติ การสร้างแบบจำลองโลก" หน้า 606-627, Pearson Addison Wesley, Boston, ISBN 0-13-187621-X
  5. ↑ "1.3.6.7.4. ค่าวิกฤตของการแจกแจงไคกำลังสอง" สืบค้นเมื่อ 14 ตุลาคม 2557
  6. ↑ "ค่าวิกฤตของการแจกแจงไคกำลังสอง" . คู่มือวิธีการทางสถิติ NIST/SEMATECH . สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ
  7. 1 2 McHugh, Mary (15 มิถุนายน 2013). "การทดสอบไคสแควร์ของความเป็นอิสระ" . Biochemia Medica . 23 (2): 143– 149. doi : 10.11613/BM.2013.018 . PMC 3900058 . PMID 23894860 .  
  8. ↑ดู Field, Andy. Discovering Statistics Using SPSS .สำหรับข้อสมมติฐานเกี่ยวกับค่าไคสแควร์
  9. ↑ Cash, W. (1979). "การประมาณค่าพารามิเตอร์ในทางดาราศาสตร์โดยการประยุกต์ใช้อัตราส่วนความน่าจะเป็น"วารสารดาราศาสตร์ฟิสิกส์ 228 : 939. Bibcode : 1979ApJ...228..939C . doi : 10.1086/156922 . ISSN 0004-637X . 
  10. ↑ "สถิติเงินสดและการปรับล่วงหน้า" hesperia.gsfc.nasa.gov สืบค้นเมื่อ19 ตุลาคม 2021
  11. ↑ "การกำหนดสูตรแบบเบย์เซียนสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสำรวจและการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลอง" (PDF)วารสารสถิติระหว่างประเทศ หน้า375 
  12. ↑สถิติสำหรับการประยุกต์ใช้ MIT OpenCourseWareบทที่ 23ทฤษฎีบทของเพียร์สัน สืบค้นเมื่อ 21 มีนาคม 2550
  13. ↑ Benhamou, Eric; Melot, Valentin (3 กันยายน 2018). "เจ็ดวิธีพิสูจน์การทดสอบความเป็นอิสระของ Pearson Chi-Squared และการตีความเชิงกราฟ" หน้า5–6 . arXiv : 1808.09171 [ math.ST ] 
  14. ↑ Franke, TM; Ho, T; Christie, CA (2012). "การทดสอบไคสแควร์: ถูกใช้บ่อยและมักถูกตีความผิด" American Journal of Evaluation . 33 (3): 448– 458.
  15. 1 2 Gurvich, V.; Naumova, M. (2025). "ประเด็นสำคัญเกี่ยวกับการทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สัน"วิธีการทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่3 (2): 101– 109. doi : 10.64700/mmm.75 .
  16. ↑ Jaynes, ET (2003). ทฤษฎีความน่าจะเป็น: ตรรกะของวิทยาศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยซี. หน้า298. ISBN  978-0-521-59271-0.( ลิงก์นี้เชื่อมโยงไปยังฉบับที่ไม่สมบูรณ์ของเดือนมีนาคม 1996 )
  • เชอร์นอฟฟ์, เอช. ; เลห์มันน์, อีแอล (1954). "การใช้การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดในχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การทดสอบความ เหมาะสมของแบบจำลอง”วารสารสถิติคณิตศาสตร์ 25 ( 3): 579– 586. doi : 10.1214/aoms/1177728726
  • Plackett, RL (1983). "Karl Pearson และการทดสอบไคสแควร์". International Statistical Review . 51 (1). International Statistical Institute (ISI): 59– 72. doi : 10.2307/1402731 . JSTOR 1402731 . 
  • Greenwood, PE ; Nikulin, MS (1996). คู่มือการทดสอบไคสแควร์ . นิวยอร์ก: Wiley. ISBN 0-471-55779-X.
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pearson%27s_chi-squared_test&oldid=1343379172 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สัน

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันหรือเพียร์สันχ2{\displaystyle \chi ^{2}}การทดสอบ ไคสแควร์

การใช้งาน

การทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันใช้เพื่อประเมินการเปรียบเทียบสามประเภท ได้แก่ ความเหมาะสมของแบบจำลอง ความ เป็น เอกรูป และ ความเป็น อิสระ

การแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

ในกรณีนี้ เอ็น {\displaystyle N} การสังเกตการณ์ถูกแบ่งออกเป็น n {\displaystyle n} เซลล์ การประยุกต์ใช้อย่างง่ายคือการทดสอบสมมติฐานที่ว่า ในประชากรทั่วไป ค่าต่างๆ จะปรากฏในแต่ละเซลล์ด้วยความถี่เท่ากัน ดังนั้น "ความถี่เชิงทฤษฎี" สำหรับเซลล์ใดๆ...

การแจกจ่ายอื่นๆ

เมื่อทำการทดสอบว่าข้อมูลที่สังเกตได้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายตัวอยู่ในตระกูลการกระจายตัวที่กำหนดหรือไม่นั้น จะคำนวณ "ความถี่เชิงทฤษฎี" โดยใช้การกระจายตัวจากตระกูลนั้นที่ปรับให้เข้ากับวิธีการมาตรฐานบางอย่าง การลดลงของระดับความเป็นอิสระจะคำนวณได้ดังนี้ พี =...