ตั้งแต่ 400 ปีก่อนคริสตกาลในอินเดียและกรีซนักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาตัวเลขที่เกิดขึ้นจาก กรณี n  =  2 ของสมการของ Pell และจากสมการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด เนื่องจากการเชื่อมโยงของสมการเหล่านี้กับรากที่สองของ 2 [ ^{5 ] อัน}ที่จริง หากxและyเป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการนี้x / yจะเป็นค่าประมาณของ√ 2ตัวเลขxและyที่ปรากฏในการประมาณเหล่านี้ เรียกว่าตัวเลขด้านและเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นที่รู้จักของชาวพีทาโกเรียนและโพรคลัสสังเกตว่าในทิศทางตรงกันข้าม ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามสมการใดสมการหนึ่งในสองสมการนี้^{[ 5 ]}ในทำนองเดียวกันBaudhayanaค้นพบว่าx = 17, y = 12 และx = 577, y = 408 เป็นสองคำตอบของสมการ Pell และ 17/12 และ 577/408 เป็นค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับรากที่สองของ 2 มาก^{[ 6 ]}$${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$$$${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$$

ต่อมาอาร์คิมิดีสประมาณค่ารากที่สองของ 3ด้วยจำนวนตรรกยะ 1351/780 แม้ว่าเขาจะไม่ได้อธิบายวิธีการของเขา แต่การประมาณค่านี้อาจได้มาด้วยวิธีเดียวกัน ซึ่งเป็นคำตอบของสมการของเพลล์^{[ 5 ]} ในทำนองเดียวกันปัญหาวัวของอาร์คิมิดีส ซึ่งเป็น ปัญหาคำถามโบราณเกี่ยวกับการหาจำนวนวัวที่เป็นของเทพเจ้าแห่งดวงอาทิตย์ เฮลิออสสามารถแก้ไขได้โดยการปรับเปลี่ยนรูปแบบเป็นสมการของเพลล์ ต้นฉบับที่บรรจุปัญหาดังกล่าวระบุว่าอาร์คิมิดีสเป็นผู้คิดค้นและบันทึกไว้ในจดหมายถึง^เอราโตสเธเนส [ ^{7 ]}และการระบุว่าเป็นของอาร์คิมิดีสนั้นเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

ประมาณ ค.ศ. 250 ดิโอแฟนตัสพิจารณาสมการ ที่aและcเป็นจำนวนคงที่ และxและyเป็นตัวแปรที่จะต้องหาคำตอบ สมการนี้มีรูปแบบที่แตกต่างจากสมการของเพลล์ แต่เทียบเท่ากัน ดิโอแฟนตัสแก้สมการสำหรับ ( a , c ) เท่ากับ (1, 1), (1, −1), (1, 12) และ (3, 9) อัล-คาราจีนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 10 ทำงานในปัญหาที่คล้ายคลึงกับดิโอแฟนตัส^{[ 10 ]}$${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$$     

ในคณิตศาสตร์อินเดียพราหมณคุปตะค้นพบ รูปแบบหนึ่งของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเอกลักษณ์ของพราหมณคุปตะโดยใช้สิ่งนี้ เขาจึงสามารถ "ประกอบ" สามตัวเลขและที่เป็นคำตอบของเพื่อสร้างสามตัวเลขใหม่ขึ้นมาได้$${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$$${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$และ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

วิธีนี้ไม่เพียงแต่สร้างวิธีการสร้างคำตอบได้ไม่จำกัดจำนวนโดยเริ่มต้นจากคำตอบเดียวเท่านั้น แต่ยังสามารถทำให้ได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือ "เกือบเป็นจำนวนเต็ม" ได้บ่อยครั้งด้วยการหารองค์ประกอบดังกล่าวด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับBrahmagupta ได้ประกอบสามตัว (10, 1, 8) (เนื่องจาก) กับตัวเองเพื่อให้ได้สามตัวใหม่ (192, 20, 64) การหารตลอดด้วย 64 ("8" สำหรับและ) ทำให้ได้สามตัว (24, 5/2, 1) ซึ่งเมื่อประกอบกับตัวเองจะได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่ต้องการ (1151, 120, 1) Brahmagupta แก้สมการของ Pell หลายสมการด้วยวิธีนี้ พิสูจน์ว่าวิธีนี้ให้คำตอบโดยเริ่มต้นจากคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสำหรับk = ±1, ±2 หรือ ±4 ^{[ 11 ]}${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$${\displaystyle N=92}$  ${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$  ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$    ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

วิธีการทั่วไปวิธีแรกในการแก้สมการของเพลล์ (สำหรับทุกค่าN ) ได้รับการเสนอโดยภัสการะที่ 2ในปี ค.ศ. 1150 โดยต่อยอดจากวิธีการของพรหมคุปตะวิธีนี้เรียกว่า วิธีจักราวาลา (วัฏจักร)เริ่มต้นด้วยการเลือกจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมมาก สองจำนวน คือ และจากนั้นประกอบสามจำนวน(นั่นคือ จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไข) กับสามจำนวนที่ไม่สำคัญเพื่อให้ได้สามจำนวนซึ่งสามารถลดขนาดลงได้เป็น ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b,k)}$${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$${\displaystyle {\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}}$$${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$$

เมื่อเลือกค่า โดยที่เป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขอีกสองตัวในกลุ่มสามตัวนั้นก็จะเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ในบรรดาค่า ดังกล่าววิธีการนี้จะเลือกค่า ที่ทำให้ มีค่าน้อยที่สุดและทำซ้ำกระบวนการ วิธีการนี้จะสิ้นสุดลงด้วยคำตอบเสมอ ภัสการาใช้มันเพื่อให้ได้คำตอบx =${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$  1 766 319 049 , y  = 226 153 980ถึง กรณี N  =  61 ^{[ 11 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปหลายคนค้นพบวิธีแก้สมการของ Pell อีกครั้งในศตวรรษที่ 17 Pierre de Fermatค้นพบวิธีแก้สมการและในจดหมายปี 1657 ได้ท้าทายนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ^{[ 12 ]}ในจดหมายถึงKenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessyกล่าวว่า Fermat พบวิธีแก้ปัญหาที่เล็กที่สุดสำหรับNจนถึง 150 และท้าทายJohn Wallisให้แก้ปัญหาในกรณีที่N = 151 หรือ 313 ทั้ง Wallis และWilliam Brounckerได้ให้คำตอบสำหรับปัญหาเหล่านี้ แม้ว่า Wallis จะแนะนำในจดหมายว่าคำตอบนั้นเป็นผลงานของ Brouncker ^{[ 13 ]}

ความเชื่อมโยงของJohn Pell กับสมการนี้คือ เขาได้แก้ไข การแปลของThomas Branker ^{[ 14 ]}ของหนังสือTeutsche Algebra ของ Johann Rahn ในปี 1659 ^{[หมายเหตุ 2 ]}เป็นภาษาอังกฤษ โดยมีการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีแก้สมการของ Brouncker Leonhard Eulerเข้าใจผิดคิดว่าวิธีแก้สมการนี้เป็นผลงานของ Pell ส่งผลให้เขาตั้งชื่อสมการตามชื่อ Pell ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีทั่วไปของสมการของ Pell ซึ่งอิงตามเศษส่วนต่อเนื่องและการจัดการพีชคณิตกับตัวเลขในรูปแบบได้รับการพัฒนาโดย Lagrange ในปี 1766–1769 ^{[ 15 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Lagrange ได้พิสูจน์ว่าอัลกอริทึม Brouncker–Wallis สิ้นสุดเสมอ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$

ให้แทนลำดับการลู่เข้า ที่ไม่ซ้ำกัน ของเศษส่วนต่อเนื่องปกติสำหรับแล้วคู่ของจำนวนเต็มบวกที่แก้สมการของ Pell และทำให้x มีค่าน้อยที่สุด จะสอดคล้องกับx = h และy = k สำหรับi บาง ค่า คู่นี้เรียกว่าผลเฉลยพื้นฐานลำดับของจำนวนเต็มในเศษส่วนต่อเนื่องปกติของจะเป็นคาบในที่สุดเสมอ สามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่แทนค่าพื้นของจำนวนเต็ม และลำดับจะซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งไปกว่านั้นทูเปิลเป็นพาลินโดรมเหมือนกันจากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้าย^{[ 16 ]}${\displaystyle h_{i}/k_{i}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ ;\;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]} ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1})}$

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานคือ $${\displaystyle (x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{r-1},k_{r-1}),&{\text{ for }}r{\text{ even}}\\(h_{2r-1},k_{2r-1}),&{\text{ for }}r{\text{ odd}}\end{cases}}}$$

เวลาในการคำนวณเพื่อหาคำตอบพื้นฐานโดยใช้วิธีเศษส่วนต่อเนื่อง โดยอาศัยอัลกอริทึม Schönhage–Strassenสำหรับการคูณจำนวนเต็มอย่างรวดเร็ว จะอยู่ภายในปัจจัยลอการิทึมของขนาดคำตอบ ซึ่งก็คือจำนวนหลักในคู่อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่อัลกอริทึมเวลาพหุนามเนื่องจากจำนวนหลักในคำตอบอาจมีขนาดใหญ่ถึง ซึ่งใหญ่กว่าพหุนามในจำนวนหลักในค่าอินพุตnมาก^{[ 17 ]}${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

เมื่อพบวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานแล้ว วิธีแก้ปัญหาที่เหลือทั้งหมดสามารถคำนวณได้ทางพีชคณิตจาก^{[ 17 ]} โดยการขยายด้านขวาเทียบสัมประสิทธิ์ของทั้งสองข้าง และเทียบพจน์อื่นๆ ทั้งสองข้าง ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด$${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$$${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$$$${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$$

แม้ว่าการเขียนคำตอบพื้นฐาน ( x , y ) ออกมาเป็นคู่ของเลขฐานสองอาจต้องใช้จำนวนบิตมาก แต่ในหลายกรณีอาจแสดงได้อย่างกระชับกว่าในรูปแบบที่ ใช้ จำนวนเต็มที่เล็กกว่ามากa , b และc $${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}\left(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}}\right)^{c_{i}}}$$

ตัวอย่างเช่นปัญหาโคของอาร์คิมิดีสเทียบเท่ากับสมการเพลล์ซึ่งคำตอบพื้นฐานของสมการนี้คือ${\displaystyle x^{2}-410\,286\,423\,278\,424\ y^{2}=1}$หากเขียนออกมาอย่างชัดเจนจะ ได้ตัวเลข 206,545หลักอย่างไรก็ตาม คำตอบก็เท่ากับ โดย ที่ และและมีเพียง 45 และ 41 หลักทศนิยมตามลำดับ^{[ 17 ]}$${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$$$${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365\ {\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258\ {\sqrt {7766}})^{2}}$$${\displaystyle x'_{1}}$${\displaystyle y'_{1}}$

วิธีการที่เกี่ยวข้องกับ วิธี การตะแกรงกำลังสองสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มอาจใช้เพื่อรวบรวมความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเฉพาะในฟิลด์จำนวนที่สร้างขึ้นโดยและเพื่อรวมความสัมพันธ์เหล่านี้เพื่อค้นหาการแสดงผลคูณของประเภทนี้ อัลกอริทึมที่ได้สำหรับการแก้สมการของ Pell มีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีการเศษส่วนต่อเนื่อง แม้ว่าจะยังใช้เวลานานกว่าพหุนามก็ตาม ภายใต้สมมติฐานของสมมติฐาน Riemann ทั่วไปสามารถแสดงได้ว่าใช้เวลา โดยที่N = log nคือขนาดอินพุต คล้ายกับตะแกรงกำลังสอง^{[ 17 ]}${\displaystyle {\sqrt {n}}}$$${\displaystyle \exp O\left({\sqrt {\log N\cdot \log \log N}}\right),}$$   

Hallgren แสดงให้เห็นว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถค้นหาการแสดงผลแบบผลิตภัณฑ์ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับคำตอบของสมการของ Pell ในเวลาพหุนาม^{[ 18 ]}อัลกอริทึมของ Hallgren ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นอัลกอริทึมสำหรับการค้นหากลุ่มของหน่วยของฟิลด์จำนวนกำลังสอง จริง ได้รับการขยายไปยังฟิลด์ทั่วไปมากขึ้นโดย Schmidt และ Völlmer ^{[ 19 ]}

สมการของ Pell เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเนื่องจากสูตรนี้ เป็นบรรทัดฐานสำหรับวงแหวนและสำหรับฟิลด์กำลังสอง ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ดังนั้น คู่ของจำนวนเต็มจะแก้สมการของ Pell ได้ก็ต่อเมื่อเป็นหน่วยที่มีบรรทัดฐาน 1 ใน[ ^{21 ] ทฤษฎีบท}หน่วยของ Dirichletที่ว่าหน่วยทั้งหมดของสามารถแสดงได้เป็นกำลังของหน่วยพื้นฐาน เดียว (และการคูณด้วยเครื่องหมาย) เป็นการกล่าวซ้ำทางพีชคณิตของข้อเท็จจริงที่ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการของ Pell สามารถสร้างขึ้นจากคำตอบพื้นฐานได้^{[ 22 ]}โดยทั่วไปแล้ว หน่วยพื้นฐานสามารถหาได้โดยการแก้สมการที่คล้ายกับ Pell แต่ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับคำตอบพื้นฐานของสมการของ Pell โดยตรงเสมอไป เพราะหน่วยพื้นฐานอาจมีบรรทัดฐาน −1 แทนที่จะเป็น 1 และสัมประสิทธิ์อาจเป็นครึ่งจำนวนเต็มแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม$${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$

เดเมเยอร์กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมการของเพลล์และพหุนามเชบิเชฟ : ถ้าและเป็นพหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองตามลำดับ พหุนามเหล่านี้จะสอดคล้องกับรูปแบบของสมการของเพลล์ในวงแหวนพหุนาม ใดๆ โดยมี: ^{[ 23 ]} ดังนั้น พหุนามเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เทคนิคมาตรฐานสำหรับสมการของเพลล์ในการยกกำลังของผลเฉลยพื้นฐาน: นอกจากนี้ยังสามารถสังเกตได้ว่าถ้าเป็นผลเฉลยของสมการของเพลล์จำนวนเต็มใดๆ^แล้วและ^{[ 24} ]${\displaystyle T_{i}(x)}$${\displaystyle U_{i}(x)}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle n=x^{2}-1}$$${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$$$${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$${\displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$

สามารถนำเสนอการพัฒนาทั่วไปของคำตอบของสมการของ Pell ในรูปของเศษส่วนต่อเนื่องได้ เนื่องจากคำตอบ xและyเป็นค่าประมาณของรากที่สองของnและดังนั้นจึงเป็นกรณีพิเศษของการประมาณเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับจำนวนอตรรกยะกำลังสอง^{[ 16 ]}${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

ความสัมพันธ์กับเศษส่วนต่อเนื่องบ่งชี้ว่าคำตอบของสมการของเพลล์ก่อตัวเป็นเซมิกรุปย่อยของกลุ่มมอดูลาร์ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าpและqสอดคล้องกับสมการของเพลล์ แล้ว จะเป็นเมทริกซ์ ที่มีดีเท อร์มิแนน ต์เท่ากับหนึ่ง ผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีรูปแบบเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ ผลคูณทั้งหมดจึงให้คำตอบของสมการของเพลล์ สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้บางส่วนจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันของเศษส่วนต่อเนื่องมีคุณสมบัติเดียวกัน: ถ้าp / q และp / q เป็นค่าลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันสองค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง แล้วเมทริกซ์ จะเป็นเมทริกซ์ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$$

มีดีเทอ ร์มิแนนต์ (−1) ^k

ทฤษฎีบทของ Størmerใช้สมการ Pell เพื่อค้นหาคู่ของจำนวนเรียบที่ ต่อเนื่องกัน ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบเฉพาะที่เล็กกว่าค่าที่กำหนด^{[ 25 ] [ 26 ]}ในส่วนหนึ่งของทฤษฎีนี้Størmerยังได้ตรวจสอบความสัมพันธ์การหารลงตัวระหว่างคำตอบของสมการ Pell โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาแสดงให้เห็นว่าคำตอบแต่ละคำตอบนอกเหนือจากคำตอบพื้นฐานมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่หารnลงตัว^{[ 25 ]}