ในทางเรขาคณิตกลุ่ม ของ รูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติร่วมกันอย่างหนึ่งคือ "เซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในระนาบ " หรือเซตของวงกลมที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดในระนาบ

แม้ว่าคำจำกัดความของดินสอจะค่อนข้างคลุมเครือ แต่ลักษณะทั่วไปคือดินสอถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ซึ่งค่าสามารถกำหนดได้จากสมาชิกสองตัวใดๆ ก็ได้ เพื่อเน้นลักษณะสองมิติของดินสอดังกล่าว บางครั้งจึงเรียกว่าดินสอแบน^{[ 1 ]}

วัตถุทางเรขาคณิตใดๆ ก็สามารถใช้ในชุดจุดได้ วัตถุที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่ เส้นตรง ระนาบ วงกลม กรวย ทรงกลม และเส้นโค้งทั่วไป แม้แต่จุดก็สามารถใช้ได้ชุดจุดคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด^{[ 2 ]}คำที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเซตนี้คือช่วงของจุด

ในเครื่องบินให้${\displaystyle \ell }$และ${\displaystyle \ell '}$เป็นเส้นตัดสองเส้นที่แตกต่างกัน เพื่อความชัดเจน สมมติว่า${\displaystyle \ell }$มีสมการ${\displaystyle aX+bY+c=0}$และ${\displaystyle \ell '}$มีสมการ${\displaystyle a'X+b'Y+c'=0}$. แล้ว $${\displaystyle \lambda \ell +\mu \ell '=0,}$$ แสดงถึงค่าสเกลาร์ที่เหมาะสม${\displaystyle \lambda }$และ${\displaystyle \mu }$เส้นใดๆ ที่ผ่านจุดตัดของ${\displaystyle \ell =0}$และ${\displaystyle \ell '=0}$ชุดของเส้นที่ผ่านจุดร่วมเรียกว่ากลุ่มเส้น^{[ 3 ]}จุดร่วมของกลุ่มเส้นเรียกว่าจุดยอดของกลุ่มเส้น

ในระนาบแอฟฟินที่มีรูปแบบสะท้อนกลับของความขนานชุดของเส้นขนานจะก่อตัวเป็นชั้นสมมูลที่เรียกว่าดินสอของเส้นขนาน^{[ 4 ]}คำศัพท์นี้สอดคล้องกับคำจำกัดความข้างต้น เนื่องจากในการขยายเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่ซ้ำกันของระนาบแอฟฟินไปยังระนาบเชิงโปรเจก ทีฟ จะมีการเพิ่ม จุดเดียว ( จุดที่อนันต์ ) ให้กับแต่ละเส้นในดินสอของเส้นขนาน ทำให้เป็นดินสอในความหมายข้างต้นในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ

เส้นครึ่งที่เรียกว่า " ดินสอครึ่ง " คือชุดของเส้นครึ่งที่มีจุดยอดร่วมกัน^{[ 5 ] [ 6 ]}ใช้ในทัศนศาสตร์เป็นแบบจำลองสำหรับลำแสงดินสอ

กลุ่ม ระนาบที่เรียกว่า "ดินสอของระนาบ"คือเซตของระนาบที่ลากผ่านเส้นตรงที่กำหนดในปริภูมิสามมิติ เรียกว่าแกนของกลุ่มระนาบ บางครั้งกลุ่มระนาบนี้เรียกว่า " ดินสอแกน" ^{[ 7 ]}หรือ"พัดของระนาบ"หรือ " มัดของระนาบ" [ ^{8 ] ตัวอย่าง}เช่นเส้นเมริเดียนของโลกถูกกำหนดโดยกลุ่มระนาบที่อยู่บนแกนการหมุนของโลก

ระนาบสองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรงในปริภูมิสามมิติ ดังนั้นจงหาแกนและระนาบทั้งหมดในรูปดินสอ

พื้นที่สี่มิติของควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มระนาบเชิงซ้อนที่เรียง ตัวตามแกน โดยทั้งหมดใช้เส้นจำนวนจริงเดียวกัน ที่จริงแล้ว ควอเทอร์เนียนประกอบด้วยทรงกลมของหน่วยจินตนาการ กล่าวคือ${\displaystyle \{b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |(b,c,d)\in S^{2}\}}$และ จุดตรงข้ามสอง จุด บนทรงกลมนี้ เมื่อรวมกับแกนจริง จะสร้างระนาบเชิงซ้อนขึ้น การรวมกันของระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดเหล่านี้จะก่อให้เกิดพีชคณิต 4 มิติของควอเทอร์เนียน

วงกลมสองวงใดๆ บนระนาบจะมีแกนรากซึ่งเป็นเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีกำลัง เดียวกัน เมื่อเทียบกับวงกลมทั้งสองดินสอของวงกลม (หรือระบบแกนร่วม ) คือเซตของวงกลมทั้งหมดบนระนาบที่มีแกนรากเดียวกัน^{[ 9 ]}เพื่อให้ครอบคลุม วงกลมศูนย์กลางร่วมจะกล่าวได้ว่ามีเส้นที่อนันต์เป็นแกนราก

มีดินสอวงกลมอยู่ห้าประเภท^{[ 10 ]}วงกลมอพอลโลเนียนสองตระกูลในภาพประกอบด้านบนแสดงถึงสองประเภท แต่ละประเภทถูกกำหนดโดยวงกลมสองวงที่เรียกว่าตัวสร้างดินสอ เมื่ออธิบายทางพีชคณิต สมการอาจมีคำตอบเชิงจินตนาการได้ ประเภทต่างๆ ได้แก่:

• กลุ่มวงกลมวงรี (กลุ่มวงกลมสีแดงในรูป) ถูกกำหนดโดยเส้นกำเนิดสองเส้นที่ตัดกันที่ จุด สองจุดพอดี วงกลมทุกวงในกลุ่มวงกลมวงรีจะผ่านจุดสองจุดเดียวกันนี้ กลุ่มวงกลมวงรีนี้ไม่รวมวงกลมสมมุติใดๆ
• กลุ่มวงกลมไฮเปอร์โบลิก (กลุ่มวงกลมสีน้ำเงินในรูป) ถูกกำหนดโดยเส้นกำเนิดสองเส้นที่ไม่ตัดกัน ณ จุด ใดๆประกอบด้วยวงกลมจริง วงกลมจินตนาการ และวงกลมจุดสองวงที่เสื่อมสภาพ เรียกว่าจุดปองเซเลต์ของกลุ่มวงกลมไฮเปอร์โบลิก แต่ละจุดในระนาบจะอยู่ในวงกลมเพียงวงเดียวของกลุ่มวงกลมไฮเปอร์โบลิกนี้
• กลุ่มวงกลมพาราโบลา (ในกรณีจำกัด) ถูกกำหนดขึ้นโดยที่วงกลมสองวงที่ก่อกำเนิดกลุ่มนี้สัมผัสกันที่ จุด เดียวกลุ่มวงกลมนี้ประกอบด้วยกลุ่มของวงกลมจริงทั้งหมดที่สัมผัสกันที่จุดร่วมจุดเดียว วงกลมเสื่อมสภาพที่มีรัศมีเป็นศูนย์ที่จุดนั้นก็เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มวงกลมนี้ด้วย
• กลุ่มของวงกลมศูนย์กลางร่วมกัน (อาจถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของกลุ่มไฮเปอร์โบลิก โดยที่จุดอีกจุดหนึ่งคือจุดที่ระยะอนันต์)
• กลุ่มของเส้นตรงที่ผ่านจุดร่วมจุดหนึ่ง ควรตีความว่าเส้นตรงเหล่านี้เป็นวงกลมที่ผ่านจุดอนันต์ทั้งหมด (อาจถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของดินสอวงรี) ^{[ 11 ] [ 12 ]}

รูปหัวใจคล้ายซองจดหมายที่ห่อหุ้มด้วยดินสอที่ประกอบด้วยวงกลมหลายวง

กลุ่มวงกลมอีกประเภทหนึ่งสามารถหาได้ดังนี้ พิจารณาวงกลมที่กำหนด (เรียกว่าวงกลมกำเนิด ) และจุดP ที่กำหนดไว้ บนวงกลมกำเนิด เซตของวงกลมทั้งหมดที่ผ่านจุดPและมีจุดศูนย์กลางอยู่บนวงกลมกำเนิดจะประกอบกันเป็นกลุ่มวงกลม เส้นโค้งห่อหุ้มของกลุ่มวงกลมนี้คือรูปหัวใจ

ทรงกลมถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยจุดสี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว ทรงกลมถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยเงื่อนไขสี่ประการ เช่น ผ่านจุดหนึ่ง สัมผัสกับระนาบ เป็นต้น^{[ 15 ]}คุณสมบัตินี้คล้ายคลึงกับคุณสมบัติที่ว่าจุดสาม จุด ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันสามารถกำหนดวงกลมที่ไม่ซ้ำกันในระนาบได้

ดังนั้น ทรงกลมจึงถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดย (กล่าวคือ ผ่าน) วงกลมและจุดที่ไม่Hอยู่ในระนาบของวงกลมนั้น

จากการตรวจสอบคำตอบทั่วไปของสมการของทรงกลมสองลูกจะเห็นได้ว่าทรงกลมสองลูกตัดกันเป็นวงกลม และระนาบที่บรรจุวงกลมนั้นเรียกว่าระนาบรากของทรงกลมที่ตัดกัน^{[ 16 ]}แม้ว่าระนาบรากจะเป็นระนาบจริง แต่วงกลมอาจเป็นระนาบจินตนาการ (ทรงกลมไม่มีจุดจริงร่วมกัน) หรือประกอบด้วยจุดเดียว (ทรงกลมสัมผัสกันที่จุดนั้น) ^{[ 17 ]}

ถ้า${\displaystyle f(x,y,z)=0}$และ${\displaystyle g(x,y,z)=0}$สมการเหล่านี้เป็นสมการของทรงกลมสองลูกที่แตกต่างกันใช่หรือไม่ $${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$$ นอกจากนี้ยังเป็นสมการของทรงกลมสำหรับค่าพารามิเตอร์ใดๆ ด้วย${\displaystyle \lambda }$และ${\displaystyle \mu }$เซตของทรงกลมทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการนี้เรียกว่ากลุ่มทรงกลมที่กำหนดโดยทรงกลมสองลูกแรก ในคำจำกัดความนี้ ทรงกลมสามารถเป็นระนาบได้ (รัศมีอนันต์ จุดศูนย์กลางอยู่ที่อนันต์) และถ้าทรงกลมทั้งสองลูกแรกเป็นระนาบ ทรงกลมทั้งหมดในกลุ่มทรงกลมก็จะเป็นระนาบ มิฉะนั้นจะมีเพียงระนาบเดียว (ระนาบราก) ในกลุ่มทรงกลม^{[ 18 ]}

หากดินสอของทรงกลมไม่ได้ประกอบด้วยระนาบทั้งหมด ก็จะมีดินสอสามประเภท: ^{[ 17 ]}

• ถ้าทรงกลมตัดกันเป็นวงกลมจริงCแล้ว กลุ่มทรงกลมนั้นจะประกอบด้วยทรงกลมทั้งหมดที่บรรจุ วงกลม Cรวมถึงระนาบรากด้วย จุดศูนย์กลางของทรงกลมธรรมดาทุกดวงในกลุ่มทรงกลมนั้นจะอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมCและตั้งฉากกับระนาบราก
• ถ้าทรงกลมตัดกันเป็นวงกลมสมมติ ทรงกลมทั้งหมดในดินสอจะผ่านวงกลมสมมตินี้ด้วย แต่เนื่องจากเป็นทรงกลมธรรมดา ทรงกลมเหล่านั้นจึงแยกจากกัน (ไม่มีจุดจริงร่วมกัน) เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดศูนย์กลางของทรงกลมจะตั้งฉากกับระนาบราก ซึ่งเป็นระนาบจริงในดินสอที่บรรจุวงกลมสมมตินั้นอยู่
• ถ้าทรงกลมทั้งสามตัดกันที่จุดAทรงกลมทั้งหมดในชุดทรงกลมนั้นจะสัมผัสกันที่จุดAและระนาบรากที่สองจะเป็นระนาบสัมผัสร่วมของทรงกลมทั้งหมดเหล่านั้น เส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางจะตั้งฉากกับระนาบรากที่สองที่จุดA

เส้นสัมผัสทั้งหมดจากจุดคงที่ของระนาบรากที่ไปยังทรงกลมของดินสอมีความยาวเท่ากัน^{[ 17 ]}

ระนาบรากเป็นตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของทรงกลมทั้งหมดที่ตั้งฉากกับทรงกลมทั้งหมดในดินสอ นอกจากนี้ ทรงกลมที่ตั้งฉากกับทรงกลมสองลูกใดๆ ในดินสอของทรงกลมจะตั้งฉากกับทรงกลมทั้งหมดในดินสอนั้น และจุดศูนย์กลางของทรงกลมนั้นจะอยู่ในระนาบรากของดินสอ^{[ 17 ]}

กรวย (ที่ไม่เสื่อมสภาพ) ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดห้าจุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป (ไม่มีสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) ในระนาบ และระบบของกรวยที่ผ่านชุดจุดสี่จุดที่กำหนดไว้ (อีกครั้งในระนาบและไม่มีสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) เรียกว่ากลุ่มกรวย[ ^{19 ] จุด}ร่วมทั้งสี่จุดเรียกว่าจุดฐานของกลุ่มกรวย กรวยเพียงอันเดียวในกลุ่มกรวยจะผ่านจุดใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่จุดฐาน แนวคิดนี้เป็นการขยายแนวคิดของกลุ่มวงกลม

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตกรวยสองอันใดๆ จะมาบรรจบกันที่สี่จุด (นับรวมความซ้ำซ้อน) ดังนั้น ให้กำหนดกลุ่มกรวยตามจุดทั้งสี่นี้ ยิ่งไปกว่านั้น จุดฐานทั้งสี่จะกำหนดคู่เส้นตรงสามคู่ ( กรวยเสื่อมสภาพที่ผ่านจุดฐาน โดยแต่ละเส้นตรงของคู่จะมีจุดฐานสองจุดพอดี) ดังนั้น กลุ่มกรวยแต่ละกลุ่มจะมีกรวยเสื่อมสภาพอย่างมากที่สุดสามอัน^{[ 20 ]}

กลุ่มของภาคตัดกรวยสามารถแสดงได้ทางพีชคณิตในลักษณะต่อไปนี้ ให้${\displaystyle C_{1}}$และ${\displaystyle C_{2}}$เป็นภาคตัดกรวยสองภาคที่แตกต่างกันในระนาบเชิงโปรเจกทีฟซึ่งกำหนดไว้เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle K}$สำหรับทุกคู่${\displaystyle (\แลมบ์ดา ,\mu )}$ขององค์ประกอบของ${\displaystyle K}$ไม่ใช่ศูนย์ทั้งคู่ นิพจน์: $${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$$ แสดงถึงรูปทรงกรวยในดินสอที่กำหนดโดย${\displaystyle C_{1}}$และ${\displaystyle C_{2}}$. การแสดงสัญลักษณ์นี้สามารถทำให้เป็นรูปธรรมได้ด้วย การใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย(โดยใช้สัญลักษณ์เดียวกันในการแสดงทั้งวัตถุและสมการที่กำหนดวัตถุนั้น) ลองนึกถึง${\displaystyle C_{1}}$เช่น ในรูปแบบกำลังสองสามตัวแปรจากนั้น${\displaystyle C_{1}=0}$คือสมการของ "ภาคตัดกรวย"${\displaystyle C_{1}}$"การตระหนักรู้ที่เป็นรูปธรรมอีกประการหนึ่งจะเกิดขึ้นได้จากการคิดถึง...${\displaystyle C_{1}}$ในฐานะเมทริกซ์สมมาตรขนาด 3×3ที่แสดงถึงมัน ถ้า${\displaystyle C_{1}}$และ${\displaystyle C_{2}}$หากใครมีข้อเท็จจริงที่เป็นรูปธรรมเช่นนี้ สมาชิกทุกคนในกลุ่มข้างต้นก็จะมีเช่นกัน เนื่องจากการตั้งค่าใช้พิกัดเอกพันธุ์ในระนาบเชิงฉาย การแสดงผลที่เป็นรูปธรรมสองแบบ (ไม่ว่าจะเป็นสมการหรือเมทริกซ์) จะให้ภาคตัดกรวยเดียวกัน หากแตกต่างกันด้วยค่าคงที่ตัวคูณที่ไม่เป็นศูนย์

โดยทั่วไปแล้วกลุ่มเส้นโค้ง (pencil)คือกรณีพิเศษของระบบตัวหารเชิงเส้นซึ่งปริภูมิพารามิเตอร์คือเส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟตัวอย่างเช่น กลุ่มเส้นโค้งทั่วไปในระนาบเชิงโปรเจคทีฟ จะเขียนได้ดังนี้$${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0}$$

ที่ไหน${\displaystyle C=0}$,${\displaystyle C'=0}$เป็นเส้นโค้งระนาบ

Girard Desarguesได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นคำว่า "ดินสอเส้น" ( ordonnance de lignes ) ^{[ 21 ]}

GB Halstedผู้เขียนเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟสมัยใหม่ในยุคแรกได้แนะนำคำว่าcopunctalและflat-pencilเพื่อกำหนดมุมโดยกล่าวว่า "เส้นตรงที่มีจุดตัดเดียวกันเรียกว่า copunctal" นอกจากนี้ "ผลรวมของเส้นตรง coplanar และ copunctal ทั้งหมดเรียกว่าflat-pencil " และ "ส่วนหนึ่งของ flat-pencil ที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรงสองเส้นเป็นด้านเรียกว่ามุม " ^{[ 22 ]}

• การปรับชุด
• ดินสอเลฟเชตซ์
• ดินสอเมทริกซ์
• ลำแสงดินสอ
• การเกิดพังผืด
• ตำแหน่ง

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ดินสอ" , แมธเวิลด์