วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 10 นาที

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์

ในวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ ใดๆ คำว่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และความแตกต่างสัมพัทธ์ใช้เพื่อเปรียบเทียบปริมาณ สองอย่าง โดยคำนึงถึง "ขนาด" ของสิ่งที่กำลังเปรียบเทียบ กล่าวคือ

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์

ในวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ ใดๆ คำว่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และความแตกต่างสัมพัทธ์ใช้เพื่อเปรียบเทียบปริมาณ สองอย่าง โดยคำนึงถึง "ขนาด" ของสิ่งที่กำลังเปรียบเทียบ กล่าวคือ หารด้วยค่ามาตรฐานค่าอ้างอิงหรือค่าเริ่มต้น[ 1 ]การเปรียบเทียบจะแสดงเป็นอัตราส่วนและเป็นจำนวนที่ไม่มีหน่วย โดยการคูณอัตราส่วนเหล่านี้ด้วย 100 จะสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ได้ ดังนั้นคำว่าการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ความแตกต่างเป็นเปอร์เซ็นต์หรือความแตกต่างเป็นเปอร์เซ็นต์สัมพัทธ์จึงมักใช้กันทั่วไป คำว่า "การเปลี่ยนแปลง" และ "ความแตกต่าง" ใช้แทนกันได้[ 2 ]

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์มักใช้เป็นตัวบ่งชี้เชิงปริมาณในการประกันคุณภาพและการควบคุมคุณภาพสำหรับการวัดซ้ำๆ ซึ่งคาดว่าผลลัพธ์จะเหมือนกัน กรณีพิเศษของการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ (การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์) เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นในสถานการณ์การวัดที่ค่าอ้างอิงคือค่าที่ยอมรับได้หรือค่าจริง (อาจกำหนดขึ้นตามทฤษฎี) และค่าที่นำมาเปรียบเทียบนั้นได้มาจากการทดลอง (โดยการวัด)

สูตรการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ไม่ทำงานได้ดีภายใต้เงื่อนไขหลายประการมีการเสนอ สูตรทางเลือกต่างๆ ที่เรียกว่า ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ในเอกสารทางวิชาการ ผู้เขียนหลายคนพบว่า การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมและจุดลอการิทึมเป็นตัวบ่งชี้ที่น่าพอใจ แต่สิ่งเหล่านี้ยังไม่ได้รับการใช้งานอย่างแพร่หลาย[ 3 ]

คำนิยาม

กำหนดให้ปริมาณเชิงตัวเลขสองปริมาณ คือv และvโดยที่v เป็น ค่าอ้างอิงการเปลี่ยนแปลงจริงผลต่างจริงหรือการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของปริมาณทั้งสองนี้คืออะไร

Δ v = v − v .

คำว่า " ความแตกต่างสัมบูรณ์"บางครั้งก็ถูกนำมาใช้แม้ว่าจะไม่ได้ใช้ค่าสัมบูรณ์ก็ตาม โดยทั่วไปแล้วเครื่องหมายของΔจะสม่ำเสมอ เช่น ในอนุกรมข้อมูลที่เพิ่มขึ้น หากความสัมพันธ์ของค่ากับค่าอ้างอิง (นั่นคือ มากกว่าหรือน้อยกว่า) ไม่สำคัญในการใช้งานเฉพาะนั้น ๆ อาจใช้ค่าสัมบูรณ์แทนการเปลี่ยนแปลงจริงในสูตรข้างต้นเพื่อสร้างค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ซึ่งจะเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ ความแตกต่างจริงมักไม่ใช่วิธีที่ดีในการเปรียบเทียบตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันขึ้นอยู่กับหน่วยวัดตัวอย่างเช่น1 เมตร เท่ากับ100 ซม. แต่ความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่าง2 และ 1  เมตรเท่ากับ 1 ในขณะที่ผลต่างสัมบูรณ์ระหว่าง200 และ 100  ซม.เท่ากับ 100 ทำให้เกิดความรู้สึกว่ามีความแตกต่างมากขึ้น[ 4 ]แต่ถึงแม้จะมีหน่วยคงที่ การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ก็ช่วยให้สามารถตัดสินความสำคัญของการเปลี่ยนแปลงนั้นๆ ได้ ตัวอย่างเช่น การเพิ่มขึ้นของราคาของของมีค่ามูลค่า 100 ดอลลาร์ถือว่าเยอะถ้าหากเปลี่ยนจาก...50 ถึง 150แต่ค่อนข้างน้อยเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนจาก10,000 ถึง 10,100 ดอลลาร์สหรัฐ

เราสามารถปรับการเปรียบเทียบเพื่อพิจารณา "ขนาด" ของปริมาณที่เกี่ยวข้องได้ โดยการกำหนดค่าสำหรับค่าบวกของv ดังนี้ :

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์(วีอ้างอิง,วี)=การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงค่าอ้างอิง=Δวีวีอ้างอิง=วีวีอ้างอิง−1.{\displaystyle {\text{การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{การเปลี่ยนแปลงจริง}}{\text{ค่าอ้างอิง}}}={\frac {\Delta v}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v}{v_{\text{ref}}}}-1.}

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยวัดที่ใช้ ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จาก2 ถึง 1 เมตร คือ−50%เท่ากับกรณีของ200 ถึง 100  ซม . การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จะไม่สามารถกำหนดได้หากค่าอ้างอิง ( )เป็นศูนย์ และจะให้ค่าลบสำหรับการเพิ่มขึ้นในเชิงบวกหากเป็นลบ ดังนั้นจึงมักไม่สามารถกำหนดได้สำหรับค่าอ้างอิงที่เป็นลบเช่นกัน ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการคำนวณการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จาก -10 เป็น -6 สูตรข้างต้นจะให้⁠ (−6) − (−10) / −10 ⁠ = ⁠ 4 / −10 ⁠ = −0.4ซึ่งบ่งชี้ว่าลดลง แต่ในความเป็นจริงแล้วค่าที่อ่านได้กลับเพิ่มขึ้น

ค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เป็น ตัวเลข ที่ไม่มีหน่วยและแสดงในรูปเศษส่วนค่าการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์จะได้จากการคูณค่าเหล่านี้ด้วย 100 (และเติม เครื่องหมาย % เพื่อระบุว่าเป็นเปอร์เซ็นต์)

โดเมน

ข้อจำกัดของโดเมนของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่เป็นจำนวนบวกมักก่อให้เกิดข้อจำกัด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ จึงนิยมใช้ค่าสัมบูรณ์ เพื่อให้สูตรการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับค่าv ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด :

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์(วีอ้างอิง,วี)=วี−วีอ้างอิง|วีอ้างอิง|.{\displaystyle {\text{การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}

วิธีนี้ก็ยังไม่สามารถแก้ปัญหาได้เมื่อค่าอ้างอิงเป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้วมักจะใช้ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แทน และใช้ค่าสัมบูรณ์ของทั้งvและวีอ้างอิง{\displaystyle v_{\text{reference}}}ดังนั้นกรณีที่มีปัญหาเพียงอย่างเดียวคือวี=วีอ้างอิง=0{\displaystyle v=v_{\text{reference}}=0}ซึ่งโดยปกติสามารถแก้ไขได้โดยการขยายตัวบ่งชี้ให้เหมาะสม ตัวอย่างเช่น สำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถใช้สูตรนี้ได้: [ 5 ]งร(x,y)=|x−y|(|x|+|y|)/2, งร(0,0)=0{\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|xy|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}

การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์

การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร โดยแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ระหว่างค่าเดิมกับค่าใหม่[ 6 ]

ตัวอย่างเช่น หากบ้านหลังหนึ่งมีมูลค่า 100,000 ดอลลาร์ในวันนี้ และในปีถัดไปมูลค่าเพิ่มขึ้นเป็น 110,000 ดอลลาร์ การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ของมูลค่าสามารถแสดงได้ดังนี้ 110000−100000100000=0.1=10%.{\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}

ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่ามูลค่าของบ้านเพิ่มขึ้น 10%

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าV1แทนค่าเดิม และV2 ใหม่ การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์=Δวีวี1=วี2−วี1วี1×100%.{\displaystyle {\text{เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลง}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}

เครื่องคิดเลขบางรุ่นรองรับฟังก์ชันนี้โดยตรงผ่านฟังก์ชัน%CHหรือΔ%

เมื่อตัวแปรที่กล่าวถึงเป็นเปอร์เซ็นต์ ควรใช้หน่วยเป็นจุดเปอร์เซ็นต์ ในการอธิบายการเปลี่ยนแปลง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างความแตกต่างสัมพัทธ์และ ความแตก ต่างสัมบูรณ์

เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด

ค่าความคลาดเคลื่อนร้อยละเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบร้อยละของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ซึ่งคำนวณจากการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ระหว่างค่าทดลอง (ที่วัดได้) และค่าทางทฤษฎี (ที่ยอมรับได้) แล้วหารด้วยค่าทางทฤษฎี (ที่ยอมรับได้)

% ข้อผิดพลาด=|การทดลอง−เชิงทฤษฎี||เชิงทฤษฎี|×100.{\displaystyle \%{\text{ ข้อผิดพลาด}}={\frac {|{\text{ผลการทดลอง}}-{\text{ผลทางทฤษฎี}}|}{|{\text{ผลทางทฤษฎี}}|}}\times 100.}

คำว่า "เชิงทดลอง" และ "เชิงทฤษฎี" ที่ใช้ในสมการข้างต้น มักถูกแทนที่ด้วยคำที่คล้ายคลึงกัน คำอื่นๆ ที่ใช้แทนคำว่า"เชิงทดลอง " อาจเป็น "วัดได้" "คำนวณได้" หรือ "ค่าจริง" และคำอื่นๆ ที่ใช้แทนคำว่า " เชิงทฤษฎี " อาจเป็น "ยอมรับได้" ค่าเชิงทดลองคือค่าที่ได้มาจากการคำนวณและ/หรือการวัด และกำลังได้รับการทดสอบความถูกต้องโดยเปรียบเทียบกับค่าเชิงทฤษฎี ซึ่งเป็นค่าที่ได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ หรือเป็นค่าที่อาจถือได้ว่าเป็นเป้าหมายสำหรับผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จ

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วเรามักจะใช้ค่าสัมบูรณ์ของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เมื่อพูดถึงเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน แต่ในบางสถานการณ์ การตัดค่าสัมบูรณ์ออกไปอาจเป็นประโยชน์ในการให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น หากค่าที่ได้จากการทดลองน้อยกว่าค่าทางทฤษฎี เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนจะเป็นค่าลบ ผลลัพธ์ที่เป็นลบนี้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลการทดลอง ตัวอย่างเช่น การคำนวณความเร็วแสงจากการทดลองและได้เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเป็นค่าลบ แสดงว่าค่าที่ได้จากการทดลองมีความเร็วต่ำกว่าความเร็วแสง ซึ่งแตกต่างอย่างมากจากการได้เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าค่าที่ได้จากการทดลองมีความเร็วมากกว่าความเร็วแสง (ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ) และเป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจ

สมการเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน เมื่อเขียนใหม่โดยตัดค่าสัมบูรณ์ออก จะได้ดังนี้: % ข้อผิดพลาด=การทดลอง−เชิงทฤษฎี|เชิงทฤษฎี|×100.{\displaystyle \%{\text{ ข้อผิดพลาด}}={\frac {{\text{ผลการทดลอง}}-{\text{ผลทางทฤษฎี}}}{|{\text{ผลทางทฤษฎี}}|}}\times 100.}

ค่าทั้งสองในตัวเศษไม่สามารถสลับลำดับกันได้จึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องรักษาลำดับดังที่กล่าวมาข้างต้น คือ ลบค่าทางทฤษฎีออกจากค่าจากการทดลอง ไม่ใช่ในทางกลับกัน

ตัวอย่าง

สินทรัพย์ที่มีค่า

สมมติว่ารถยนต์Mราคา 50,000 ดอลลาร์ และรถยนต์Lราคา 40,000 ดอลลาร์ เราต้องการเปรียบเทียบราคาเหล่านี้[ 7 ]เมื่อเทียบกับรถยนต์Lความแตกต่างสัมบูรณ์คือ10,000 ดอลลาร์ = 50,000 ดอลลาร์ − 40,000 ดอลลาร์นั่นคือ รถยนต์Mมีราคาแพงกว่ารถยนต์L 10,000 ดอลลาร์ ความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์คือ $10,000$40,000=0.25=25%,{\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,} และเรากล่าวว่ารถยนต์M มีราคา แพงกว่ารถยนต์L 25% นอกจากนี้ยังนิยมแสดงการเปรียบเทียบในรูปอัตราส่วน ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ $50,000$40,000=1.25=125%,{\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,} และเรากล่าวว่ารถยนต์Mมีราคา 125% ของราคารถยนต์L

ในตัวอย่างนี้ เราใช้ต้นทุนของรถยนต์Lเป็นค่าอ้างอิง แต่เราอาจเลือกใช้ต้นทุนของรถยนต์Mเป็นค่าอ้างอิงแทนก็ได้ ผลต่างสัมบูรณ์คือ−$10,000 = $40,000 − $50,000เนื่องจากรถยนต์L มีราคาถูกกว่ารถยนต์ Mอยู่ $10,000 ส่วนผลต่างสัมพัทธ์... −$10,000$50,000=−0.20=−20%{\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%} ผลลัพธ์นี้ยังติดลบด้วย เนื่องจากรถยนต์L มีราคา ถูกกว่ารถยนต์M ถึง 20% รูปแบบอัตราส่วนของการเปรียบเทียบคือ... $40,000$50,000=0.8=80%{\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%} ระบุว่ารถยนต์L มี ราคา80% ของรถยนต์M

การใช้คำว่า "ของ" และ "น้อยกว่า/มากกว่า" เป็นตัวแยกความแตกต่างระหว่างอัตราส่วนและความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์[ 8 ]

เปอร์เซ็นต์ของเปอร์เซ็นต์

หากธนาคารปรับขึ้นอัตราดอกเบี้ยเงินฝากออมทรัพย์จาก 3% เป็น 4% ข้อความที่ว่า "อัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น 1%" นั้นไม่ถูกต้องและอาจทำให้เข้าใจผิดได้ การเปลี่ยนแปลงในเชิงสัมบูรณ์ในกรณีนี้คือ 1 จุดเปอร์เซ็นต์ (4% − 3%) แต่การเปลี่ยนแปลงเชิงสัมพัทธ์ของอัตราดอกเบี้ยคือ: 4%−3%3%=0.333…=3313%.{\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}

โดยทั่วไป คำว่า "เปอร์เซ็นต์จุด" บ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงหรือความแตกต่างของเปอร์เซ็นต์แบบสัมบูรณ์ ในขณะที่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์หรือคำว่า "เปอร์เซ็นต์" หมายถึงการเปลี่ยนแปลงหรือความแตกต่างแบบสัมพัทธ์[ 9 ]

ตัวชี้วัดการเปลี่ยนแปลงเชิงสัมพัทธ์

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (แบบดั้งเดิม) ข้างต้นเป็นเพียงหนึ่งในมาตรวัด/ตัวชี้วัดที่เป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ตัวชี้วัดการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จากx (ค่าเริ่มต้นหรือค่าอ้างอิง) ไปยังy (ค่าใหม่) อาร์(x,y){\displaystyle R(x,y)}เป็นฟังก์ชันค่าจริงไบนารีที่กำหนดสำหรับโดเมนที่สนใจซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: [ 10 ]

  • ป้ายที่เหมาะสม:{อาร์(x,y)>0ก็ต่อเมื่อ y>xอาร์(x,y)=0ก็ต่อเมื่อ y=xอาร์(x,y)<0ก็ต่อเมื่อ y<x.{\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}
  • Rเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นของyเมื่อxมีค่าคงที่
  • Rเป็นตัวแปรต่อเนื่อง
  • ไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยวัด: สำหรับทุกเอ>0{\displaystyle a>0},อาร์(เอx,เอy)=อาร์(x,y){\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}.
  • ปรับให้เป็นมาตรฐาน:งงyอาร์(1,y)|y=1=1{\displaystyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานนั้นมีที่มาจากการสังเกตว่าRถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่ค>0{\displaystyle c>0}ยังคงตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ นอกเหนือจากการทำให้เป็นมาตรฐาน นอกจากนี้ เนื่องจากเงื่อนไขความเป็นอิสระ ทุกRสามารถเขียนได้เป็นฟังก์ชันH ที่มีอาร์กิวเมนต์เดียว ของอัตราส่วนy/x{\displaystyle y/x}[ 11 ] เงื่อนไขการทำให้เป็น มาตรฐานคือชม′(1)=1{\displaystyle H'(1)=1}นี่หมายความว่าตัวชี้วัดทั้งหมดมีพฤติกรรมเหมือนกับตัวชี้วัดแบบคลาสสิกเมื่อy/x{\displaystyle y/x}อยู่ใกล้1 .

โดยปกติตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จะแสดงเป็นการเปลี่ยนแปลงจริง Δ ที่ ปรับขนาดด้วยฟังก์ชันบางอย่างของค่าxและyเช่นf ( x , y ) [ 2 ]

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์(x,y)=การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงΔเอฟ(x,y)=y−xเอฟ(x,y).{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}

เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบคลาสสิก การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ทั่วไปจะไม่ถูกกำหนดหากf ( x , y ) เป็นศูนย์ มีการเสนอตัวเลือกต่างๆ สำหรับฟังก์ชันf ( x , y ) ดังนี้: [ 12 ]

ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์[ 12 ]
ชื่อเอฟ(x,y){\displaystyle f(x,y)}โดยที่ค่าของตัวบ่งชี้คือy−xเอฟ(x,y){\displaystyle {\tfrac {y-x}{f(x,y)}}}ชม(y/x){\displaystyle H(y/x)}
การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (แบบคลาสสิก)xyx−1{\displaystyle {\frac {y}{x}}-1}
การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบกลับด้านy1−xy{\displaystyle 1-{\frac {x}{y}}}
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเลขคณิต12(x+y){\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+y)}yx−112(1+yx){\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}}
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเรขาคณิตxy{\displaystyle {\sqrt {xy}}}yx−1xy{\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\sqrt {xy}}}}
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก21x+1y{\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}(yx−1)(1+xy)2{\displaystyle {\frac {\left({\frac {y}{x}}-1\right)\left(1+{\frac {x}{y}}\right)}{2}}}
โมเมนต์เฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงลำดับk[12(xเค+yเค)]1เค{\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}(x^{k}+y^{k})\right]^{\frac {1}{k}}}yx−1[12(1+(yx)เค)]1เค{\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}\right)\right]^{\frac {1}{k}}}}}
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยสูงสุดสูงสุด(x,y){\displaystyle \max(x,y)}yx−1สูงสุด(1,yx){\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\max \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยขั้นต่ำนาที(x,y){\displaystyle \min(x,y)}yx−1นาที(1,yx){\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\min \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}
การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึม (ค่าเฉลี่ย){y−xln⁡yxx≠yxx=y{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}&x\neq y\\x&x=y\end{cases}}}ln⁡yx{\displaystyle \ln {\frac {y}{x}}}

ดังที่เห็นได้ในตาราง ตัวชี้วัดทั้งหมด ยกเว้นสองตัวแรก มีค่าเฉลี่ยเป็นตัวหารคุณสมบัติอย่างหนึ่งของฟังก์ชันค่าเฉลี่ยคือ...ม(x,y){\displaystyle m(x,y)}คือ: [ 12 ]ม(x,y)=ม(y,x){\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}ซึ่งหมายความว่าตัวชี้วัดทั้งหมดเหล่านี้มีคุณสมบัติ "สมมาตร" ที่การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบคลาสสิกไม่มี:อาร์(x,y)=−อาร์(y,x){\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}สิ่งนี้สอดคล้องกับสัญชาตญาณที่ว่า การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จากxไปyควรมีขนาดเท่ากับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในทิศทางตรงกันข้าม จากyไปxเช่นเดียวกับความสัมพันธ์ดังกล่าวyx=1xy{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}แนะนำ.

แนะนำให้ใช้การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยสูงสุดเมื่อเปรียบเทียบค่าจุดลอยตัว ใน ภาษาโปรแกรมเพื่อความเท่าเทียมกันด้วยค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนด[ 13 ]การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือการคำนวณข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเมื่อต้องการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการวัดแนะนำให้ใช้การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยต่ำสุดในเศรษฐศาสตร์[ 14 ] [ 15 ] แนะนำให้ใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมแทนการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์โดยทั่วไป และจะกล่าวถึงเพิ่มเติมด้านล่าง

Tenhunen กำหนดฟังก์ชันความแตกต่างสัมพัทธ์ทั่วไปจากL (ค่าอ้างอิง) ไปยังK : [ 16 ]ชม(เค,แอล)={∫1เค/แอลทีค−1งทีเมื่อไร เค>แอล−∫เค/แอล1ทีค−1งทีเมื่อไร เค<แอล{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}

ซึ่งนำไปสู่

ชม(เค,แอล)={1ค⋅((เค/แอล)ค−1)ค≠0ln⁡(เค/แอล)ค=0,เค>0,แอล>0{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีพิเศษค=±1{\displaystyle c=\pm 1},

ชม(เค,แอล)={(เค−แอล)/เคค=−1(เค−แอล)/แอลค=1{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}

การเปลี่ยนแปลงลอการิทึม

ในบรรดาตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เหล่านี้ อาจกล่าวได้ว่าตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือลอการิทึมธรรมชาติ (ln) ของอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว (สุดท้ายและเริ่มต้น) ซึ่งเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม[ 2 ]แท้จริงแล้ว เมื่อ|วี1−วี0วี0|≪1{\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}ดังนั้น การประมาณค่าต่อไปนี้จึงใช้ได้: ln⁡วี1วี0=∫วี0วี1งวีวี≈∫วี0วี1งวีวี0=วี1−วี0วี0=การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบคลาสสิก{\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}

เพราะln⁡วี1วี0=ln⁡(วี1)−ln⁡(วี0){\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\ln(V_{1})-\ln(V_{0})}ดังนั้น เมื่อเงื่อนไขก่อนหน้านี้เป็นจริง ผลต่างระหว่างลอการิทึม (ธรรมชาติ) จะมีค่าประมาณเท่ากับเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลง

ในทำนองเดียวกันกับการคูณการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ด้วย 100 เพื่อให้ได้เป็นเปอร์เซ็นต์ln⁡วี1วี0{\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}สามารถปรับขนาดด้วย 100 เพื่อให้ได้สิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าจุดลอการิทึม [ 17 ] จุดลอการิทึมเทียบเท่ากับหน่วยเซนติเนอร์ (cNp) เมื่อวัดสำหรับปริมาณรากกำลัง[ 18 ] [ 19 ]ปริมาณนี้ยังถูกเรียกว่าเปอร์เซ็นต์ลอการิทึมและใช้สัญลักษณ์L% [ 2 ] เนื่องจาก อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติที่ 1 คือ 1 จุดลอการิทึมจึงมีค่าประมาณเท่ากับการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์สำหรับความแตกต่างเล็กน้อย เช่น การเพิ่มขึ้น 1% เท่ากับการเพิ่มขึ้น 0.995 cNp และการเพิ่มขึ้น 5% เท่ากับการเพิ่มขึ้น 4.88 cNp คุณสมบัติการประมาณค่า นี้ ใช้ไม่ได้กับฐานลอการิทึมอื่นๆ ซึ่งจะนำปัจจัยการปรับขนาดเข้ามาเนื่องจากอนุพันธ์ไม่ใช่ 1 ดังนั้นจุดลอการิทึมจึงสามารถใช้แทนการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ได้[ 20 ] [ 18 ]

คุณสมบัติการบวก

การใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมมีข้อดีของการบวกเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์[ 2 ] [ 18 ]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึม การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดหลังจากการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งจะเท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่การใช้เปอร์เซ็นต์ การรวมการเปลี่ยนแปลงเป็นเพียงการประมาณค่าเท่านั้น โดยจะมีข้อผิดพลาดมากขึ้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่มากขึ้น[ 18 ]ตัวอย่างเช่น:

การเปลี่ยนแปลงบันทึก 0 (cNp)การเปลี่ยนแปลงบันทึก 1 (cNp)การเปลี่ยนแปลงลอการิทึมรวม (cNp)การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 0 (%)การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 1 (%)การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์โดยรวม (%)
1051510515.5
10−5510−54.5
101020101021
10−10010−10−1
50501005050125
50-50050-50−25

โปรดทราบว่าในตารางข้างต้น เนื่องจากค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 0 (หรือค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 1 ) มีค่าตัวเลขเท่ากับค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม 0 (หรือค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม 1 ) จึงไม่ได้หมายความว่าค่าทั้งสองนั้นแตกต่างกัน การแปลงระหว่างค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึมสามารถคำนวณได้ดังนี้การเปลี่ยนแปลงบันทึก=ln⁡(1+การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์){\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}.

โดยอาศัยคุณสมบัติการบวกln⁡วี1วี0+ln⁡วี0วี1=0{\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}และด้วยเหตุนี้ คุณสมบัติการบวกจึงหมายถึงคุณสมบัติสมมาตรชนิดหนึ่ง กล่าวคือln⁡วี1วี0=−ln⁡วี0วี1{\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}ดังนั้นขนาดของการเปลี่ยนแปลงที่แสดงในรูปของการเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมจึงเท่ากันไม่ว่าV หรือV จะถูกเลือกเป็นค่าอ้างอิง ก็ตาม [ 18 ]ในทางตรงกันข้าม สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์วี1−วี0วี0≠−วี0−วี1วี1{\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}โดยมีความแตกต่างกัน(วี1−วี0)2วี0วี1{\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}จะมีค่ามากขึ้นเมื่อV หรือV เข้าใกล้ 0 ในขณะที่อีกค่าหนึ่งคงที่ ตัวอย่างเช่น:

วีว. การเปลี่ยนแปลงบันทึก (cNp)การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (%)
109−10.5-10.0
910+10.5+11.1
101−230-90
110+230+900
100 +−∞−100
0 +10+∞+∞

ในที่นี้ 0 +หมายถึงการหาลิมิตจากค่าสูงสุดเข้าหา 0

ความเป็นเอกลักษณ์และการต่อยอด

การเปลี่ยนแปลงของลอการิทึมเป็นฟังก์ชันสองตัวแปรที่ไม่เหมือนใครซึ่งเป็นแบบบวก และการแปลงเป็นเชิงเส้นของฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ มีตระกูลของฟังก์ชันผลต่างแบบบวกอยู่เอฟλ(x,y){\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}สำหรับใดๆλ∈อาร์{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }โดยที่การเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์คือเอฟ0{\displaystyle F_{0}}และการเปลี่ยนแปลงบันทึกคือเอฟ1{\displaystyle F_{1}}[ 21 ]​

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ↑ "IEC 60050 — รายละเอียดสำหรับหมายเลข IEV 112-03-07: "สัมพัทธ์"" . คำศัพท์ทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้าสากล (ภาษาญี่ปุ่น) . สืบค้นเมื่อ2023-09-24 .
  2. 1 2 3 4 5เทอร์นควิสต์, วาร์เทียและวาร์เทีย 1985 .
  3. ↑ Törnqvist, Vartia & Vartia 1985 , หน้า11 : "เราแนะนำว่าควรใช้ตัวชี้วัดนี้อย่างกว้างขวางมากขึ้น" 
  4. ↑วาร์เทีย 1976หน้า 9
  5. ↑ Miller, H. Ronald (29 มีนาคม 2011). การเพิ่มประสิทธิภาพ: พื้นฐานและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03118-6.
  6. ↑คาซมี, คูเมล (26 มีนาคม 2021). "เครื่องคำนวณอัตราการเพิ่มขึ้นเป็นเปอร์เซ็นต์" . สมาเดนต์ - เว็บไซต์การศึกษาที่ดีที่สุดของปากีสถาน . สำนักพิมพ์สมาเดนต์. สืบค้นเมื่อ26 มีนาคม 2021 .
  7. ↑ Bennett & Briggs 2005 , หน้า 137 – 139
  8. ↑ Bennett & Briggs 2005 , หน้า 140
  9. ↑ Bennett & Briggs 2005 , หน้า 141
  10. ↑วาร์เทีย 1976หน้า 10
  11. ↑วาร์เทีย 1976หน้า 14
  12. 1 2 3 Törnqvist, Vartia และ Vartia 1985 , หน้า. 5.
  13. ↑วิธีที่ดีในการตรวจสอบความเท่าเทียมกันของค่าทศนิยมที่ใกล้เคียงกัน คืออะไร
  14. ↑ Rao, Potluri; Miller, Roger LeRoy (1971). เศรษฐศาสตร์ประยุกต์ . เบลมอนต์, แคลิฟอร์เนีย, สำนักพิมพ์ Wadsworth. หน้า17. ISBN  978-0-534-00031-8.
  15. ↑วาร์เทีย 1976 , หน้า 17–18.
  16. ↑ Tenhunen 1990 , หน้า 20.
  17. ↑เบเกส, กาบอร์; Kézdi, Gábor (6 พฤษภาคม 2021) การวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อธุรกิจ เศรษฐศาสตร์ และนโยบาย สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. พี203. ไอเอสบีเอ็น  978-1-108-48301-8.
  18. 1 2 3 4 5 Karjus, Andres; Blythe, Richard A.; Kirby, Simon; Smith, Kenny (10 กุมภาพันธ์ 2020). "การวัดปริมาณพลวัตของความผันผวนของหัวข้อในภาษา" . พลวัตและการเปลี่ยนแปลงของภาษา . 10 (1). ส่วน A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 . 
  19. ↑ Roe, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (26 เมษายน 2561). คณิตศาสตร์เพื่อความยั่งยืน . Springer. หน้า190. doi : 10.1007/978-3-319-76660-7_4 . ISBN  978-3-319-76660-7.
  20. ↑ดอยล์, แพทริค (2016-08-24). "ข้อโต้แย้งสำหรับตัวชี้วัดประสิทธิภาพแบบลอการิทึม" . วีนา โซลูชั่นส์ .
  21. ↑เบราเอน, ซิลวาน; เออร์พฟ์, ฟิลิปป์; วาเซม, มิชา (2020) "การเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์และการเปลี่ยนแปลงเชิงสัมพัทธ์" วารสารอิเล็กทรอนิกส์ SSRN . arXiv : 2011.14807 . ดอย : 10.2139/ssrn.3739890 . S2CID 227228720 . 
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Relative_change&oldid=1361442536#Percent_error "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์

ในวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ ใดๆ คำว่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และความแตกต่างสัมพัทธ์ใช้เพื่อเปรียบเทียบปริมาณ สองอย่าง โดยคำนึงถึง "ขนาด" ของสิ่งที่กำลังเปรียบเทียบ กล่าวคือ

คำนิยาม

กำหนดให้ปริมาณเชิงตัวเลขสองปริมาณ คือ v และ v โดยที่ v เป็น ค่า อ้างอิง การ เปลี่ยนแปลงจริง ผลต่างจริง หรือ การเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ ของปริมาณทั้งสองนี้คืออะไร

โดเมน

ข้อจำกัดของโดเมนของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่เป็นจำนวนบวกมักก่อให้เกิดข้อจำกัด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ จึงนิยมใช้ค่าสัมบูรณ์ เพื่อให้สูตรการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับค่า v ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด :

การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์

การ เปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร โดยแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ระหว่างค่าเดิมกับค่าใหม่ [ 6 ]