มีการปรับปรุงขอบเขตของ Gilbert-Varshamov ที่ได้กล่าวถึงไปแล้วข้างต้น โดยใช้ความเชื่อมโยงระหว่างรหัสการเรียงสับเปลี่ยนและเซตอิสระในกราฟบางประเภท ทำให้สามารถปรับปรุงขอบเขตของ Gilbert-Varshamov ในเชิงอะซิมโทติกได้เป็นปัจจัยหนึ่ง${\displaystyle \log(n)}$เมื่อความยาวของรหัสเป็นอนันต์^{[ 8 ]}

อนุญาต${\displaystyle G(n,d)}$แทนกราฟย่อยที่เกิดจากบริเวณใกล้เคียงของเอกลักษณ์ใน${\displaystyle \Gamma (n,d)}$กราฟเคย์ลีย์${\displaystyle \Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))}$ และ${\displaystyle S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)}$.

อนุญาต${\displaystyle m(n,d)}$แสดงถึงระดับสูงสุดใน${\displaystyle G(n,d)}$

ทฤษฎีบทที่ 3 : ให้${\displaystyle m'(n,d)=m(n,d)+1}$และ

${\displaystyle M_{IS}(n,d):=n!.\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{\frac {1}{m'(n,d)}}}{m'(n,d)+[\Delta (n,d)-m'(n,d)]t}}dt}$

แล้ว,${\displaystyle M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}}$.

ขอบเขตของกิลเบิร์ต-วาร์ชามอฟคือ ${\displaystyle M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}}$

ทฤษฎีบทที่ 4 : เมื่อ${\displaystyle d}$ถูกกำหนดไว้แล้วและ${\displaystyle n}$ไปสู่อนันต์ เรามี

${\displaystyle {\frac {M_{IS}(n,d)}{M_{GV}(n,d)}}=\Omega (\log(n))}$

การใช้${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$รหัสบล็อกเชิงเส้นสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีรหัสการเรียงสับเปลี่ยนอยู่ในกลุ่มสมมาตรที่มีดีกรี${\displaystyle n}$โดยมีระยะห่างขั้นต่ำอย่างน้อย${\displaystyle d}$และจำนวนสมาชิกจำนวนมาก[ 9 ^{]ขอบเขตล่าง}สำหรับรหัสการเรียงสับเปลี่ยนที่ให้การปรับปรุงเชิงอะซิมโทติกในบางช่วงของความยาวและระยะทางของรหัสการเรียงสับเปลี่ยน^{[ 9 ]}จะกล่าวถึงด้านล่าง สำหรับเซตย่อยที่กำหนด${\displaystyle \mathrm {K} }$ของกลุ่มสมมาตร${\displaystyle S_{n}}$เราใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle M(\mathrm {K} ,d)}$จำนวนสมาชิกสูงสุดของรหัสการเรียงสับเปลี่ยนที่มีระยะห่างน้อยที่สุดอย่างน้อย${\displaystyle d}$บรรจุอยู่ทั้งหมดภายใน${\displaystyle \mathrm {K} }$, เช่น

${\displaystyle M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}}$.

ทฤษฎีบทที่ 5:ให้${\displaystyle d,k,n}$เป็นจำนวนเต็ม โดยที่${\displaystyle 0<k<n}$และ${\displaystyle 1<d\leq n}$นอกจากนี้ ให้${\displaystyle q}$เป็นมหาอำนาจหลักและ${\displaystyle s,r}$เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่${\displaystyle n=qs+r}$และ${\displaystyle 0\leq r<q}$หากมีอยู่จริง${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$รหัส${\displaystyle C}$โดยที่${\displaystyle C^{\perp }}$มีรหัสลับของน้ำหนักแฮมมิง${\displaystyle n}$, แล้ว

${\displaystyle M(n,d)\geq {\frac {n!M(\mathrm {K} ,d)}{(s+1)!^{r}s!^{q-r}q^{n-k-1}}},}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}}$

บทแทรก 1 : สำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะทุกตัว ${\displaystyle q\geq n}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle 2<d\leq n}$,

${\displaystyle M(n,d)\geq {\frac {n!}{q^{d-2}}}}$.

บทแทรก 2 : สำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะทุกตัว ${\displaystyle q}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle 3<d<q}$,

${\displaystyle M(q+1,d)\geq {\frac {(q+1)!}{2q^{d-2}}}}$.