ในกลศาสตร์งานเสมือนเกิดขึ้นในการประยุกต์ใช้หลักการกระทำน้อยที่สุดในการศึกษาแรงและการเคลื่อนที่ของระบบกลไกงานของแรงที่กระทำต่ออนุภาคขณะที่มันเคลื่อนที่ไปตามระยะการกระจัดจะแตกต่างกันสำหรับระยะการกระจัดที่แตกต่างกัน ในบรรดาระยะการกระจัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อนุภาคอาจเคลื่อนที่ไปตาม ซึ่งเรียกว่าระยะการกระจัดเสมือนจะมีระยะหนึ่งที่ทำให้การกระทำน้อยที่สุด ดังนั้นระยะการกระจัดนี้จึงเป็นระยะการกระจัดที่อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามหลักการกระทำน้อยที่สุด

งานเสมือน คือ งานที่แรงกระทำต่ออนุภาคตามการกระจัดเสมือน

ในอดีต งานเสมือนและแคลคูลัสของการแปรผัน ที่เกี่ยวข้อง ได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อวิเคราะห์ระบบของวัตถุแข็ง^{[ 1 ]}แต่ก็ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อศึกษากลศาสตร์ของวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้เช่นกัน^{[ 2 ]}

หลักการของงานเสมือนถูกนำมาใช้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งมาตั้งแต่สมัยโบราณในการศึกษาสถิตศาสตร์ ชาวกรีก ชาวอาหรับและชาวละตินในยุคกลาง และชาวอิตาลีในยุคเรเนสซองส์ใช้หลักการนี้ในชื่อ "กฎของคาน" ^{[ 3 ]}แนวคิดเรื่องงานเสมือนถูกนำมาใช้โดยนักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงหลายคนในศตวรรษที่ 17 เช่น กาลิเลโอ เดส์การ์ต ทอร์ริเชลลี วอลลิส และฮุยเกนส์ ในระดับความทั่วไปที่แตกต่างกัน เมื่อแก้ปัญหาในสถิตศาสตร์^{[ 3 ]} โยฮันน์ เบอร์นูลลี ได้จัดระบบหลักการของงานเสมือนและทำให้แนวคิดของการกระจัดที่เล็กมากชัดเจนขึ้น โดยใช้แนวคิดของไล บ์นิซเขาสามารถแก้ปัญหาได้ทั้งสำหรับวัตถุแข็งและของเหลว กฎงานเสมือนของเบอร์นูลลีปรากฏในจดหมายของเขาถึงปิแอร์ วาริญงในปี 1715 ซึ่งต่อมาได้ตีพิมพ์ในเล่มที่สองของNouvelle mécanique ou Statique ของวาริญง ในปี 1725 การกำหนดหลักการนี้ในปัจจุบันรู้จักกันในชื่อหลักการของความเร็วเสมือนและโดยทั่วไปถือว่าเป็นต้นแบบของหลักการงานเสมือนร่วมสมัย^{[ 3 ]}ในปี 1743 ดาเลมเบิร์ตได้ตีพิมพ์Traité de Dynamique ของเขา ซึ่งเขาได้ประยุกต์ใช้หลักการงานเสมือนโดยอิงจากงานของเบอร์นูลลีเพื่อแก้ปัญหาต่างๆ ในพลศาสตร์ แนวคิดของเขาคือการแปลงปัญหาพลศาสตร์ให้เป็นปัญหาสถิตโดยการแนะนำแรงเฉื่อย [ ^{4 ​​] ใน}ปี 1768 ลากรองจ์ได้นำเสนอหลักการงานเสมือนในรูปแบบที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการแนะนำพิกัดทั่วไปและนำเสนอเป็นหลักการทางเลือกของกลศาสตร์ซึ่งสามารถแก้ปัญหาสมดุลทั้งหมดได้ การอธิบายอย่างเป็นระบบของโปรแกรมของลากรองจ์ในการประยุกต์ใช้แนวทางนี้กับกลศาสตร์ทั้งหมด ทั้งสถิตและพลศาสตร์ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือหลักการของดาล็องแบร์ ​​ได้รับการนำเสนอในMécanique Analytique ของเขา ในปี 1788 ^{[ 3 ]}แม้ว่าลากรองจ์จะนำเสนอหลักการการกระทำน้อยที่สุด ในเวอร์ชันของเขา ก่อนหน้านี้ในงานชิ้นนี้ แต่เขาก็ยอมรับว่าหลักการงานเสมือนมีความสำคัญมากกว่า เนื่องจากสามารถถือได้ว่าเป็นพื้นฐานเพียงอย่างเดียวสำหรับกลศาสตร์ทั้งหมด ซึ่งแตกต่างจากความเข้าใจสมัยใหม่ที่ว่าการกระทำน้อยที่สุดไม่ได้คำนึงถึงแรงที่ไม่อนุรักษ์^{[ 3 ]}

ถ้ามีแรงกระทำต่ออนุภาคขณะที่มันเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง สำหรับแต่ละวิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของอนุภาคนั้น เราสามารถคำนวณงานทั้งหมดที่ทำโดยแรงตามเส้นทางนั้นได้หลักการของงานเสมือนซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของหลักการของการกระทำน้อยที่สุดที่นำมาใช้กับระบบเหล่านี้ ระบุว่า เส้นทางที่อนุภาคเคลื่อนที่จริง ๆ คือเส้นทางที่ผลต่างระหว่างงานตามเส้นทางนี้กับเส้นทางใกล้เคียงอื่น ๆ เป็นศูนย์ (ในอันดับแรก) ขั้นตอนอย่างเป็นทางการสำหรับการคำนวณผลต่างของฟังก์ชันที่ประเมินบนเส้นทางใกล้เคียงนั้นเป็นการวางนัยทั่วไปของอนุพันธ์ที่รู้จักกันในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเรียกว่าแคลคูลัสของการแปรผัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

พิจารณาอนุภาคจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันจากจุดโดยที่ไปยังจุด โดยที่ เป็นไปได้ที่อนุภาคจะเคลื่อนที่จากไปยังตามเส้นทางใกล้เคียงซึ่งอธิบายโดย โดยที่เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงของ การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นไปตามเงื่อนไขส่วนประกอบสเกลาร์ของการเปลี่ยนแปลง และเรียกว่าการกระจัดเสมือน ซึ่งสามารถขยายไปสู่ระบบกลไกใดๆ ที่กำหนดโดยพิกัดทั่วไปและได้ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงของวิถีการเคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยการกระจัดเสมือนและ. ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle i=1,2,...,n}$${\displaystyle q_{i}(t)}$${\displaystyle \delta q_{i}}$${\displaystyle i=1,2,...,n}$

งานเสมือนคืองานทั้งหมดที่เกิดจากแรงที่กระทำและแรงเฉื่อยของระบบกลไกขณะเคลื่อนที่ผ่านชุดของการกระจัดเสมือน เมื่อพิจารณาแรงที่กระทำต่อวัตถุที่อยู่ในสมดุลสถิต หลักการของการกระทำน้อยที่สุดกำหนดให้งานเสมือนของแรงเหล่านั้นเป็นศูนย์

พิจารณาอนุภาคPที่เคลื่อนที่จากจุดAไปยังจุดBตามวิถีr ( t )ในขณะที่มีแรงF ( r ( t ))กระทำต่ออนุภาคนั้น งานที่ทำโดยแรงF หาได้จากปริพันธ์ โดยที่ dr คือองค์ประกอบ เชิง อนุพันธ์ตามเส้นโค้งซึ่งเป็นวิถีการเคลื่อนที่ของPและvคือความเร็วของอนุภาค สิ่งสำคัญที่ควรสังเกตคือ ค่าของงานWขึ้นอยู่กับวิถีr ( t )$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

ทีนี้ลองพิจารณาอนุภาคPที่เคลื่อนที่จากจุดAไปยังจุดB อีกครั้ง แต่คราวนี้มันเคลื่อนที่ไปตามวิถีใกล้เคียงที่แตกต่างจาก r(t) โดยการเปลี่ยนแปลง δr(t) = εh ( t )โดยที่ εเป็นค่าคงที่การปรับขนาดที่สามารถทำให้มีค่าน้อยได้ตามต้องการ และh ( t )เป็นฟังก์ชันใดๆ ที่สอดคล้องกับ_h ( t0 ) = h ( t1 ) = 0สมมติว่าแรงF ( r ( t ) + εh ( t ))เท่ากับF ( r ( t )) งานที่ทำโดยแรง _นั้นกำหนดโดยปริพันธ์ การเปลี่ยนแปลงของงานδWที่เกี่ยวข้องกับเส้นทางใกล้เคียงนี้ ซึ่งเรียกว่างานเสมือนสามารถคำนวณได้ดังนี้ $${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$$${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

หากไม่มีข้อจำกัดใดๆ ในการเคลื่อนที่ของPจะต้องใช้พารามิเตอร์ 3 ตัวเพื่ออธิบาย ตำแหน่ง ของPในเวลาใดๆt ได้อย่างสมบูรณ์ หากมีแรงจำกัดk ( k ≤ 3 ) แรง จะต้องใช้พารามิเตอร์ n = (3 − k )ตัว ดังนั้น เราสามารถกำหนดพิกัดทั่วไปn ตัว q _i ( t ) ( i = 1,..., n ) และแสดงr ( t )และδ r = ε h ( t )ในรูปของพิกัดทั่วไปได้ นั่นคือ จากนั้น อนุพันธ์ของการเปลี่ยนแปลงδ r = ε h ( t )จะได้จาก จากนั้นเราจะได้ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$$${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$$${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

ข้อกำหนดที่ว่างานเสมือนต้องเป็นศูนย์สำหรับการเปลี่ยนแปลงใดๆδ r ( t ) = ε h ( t )นั้นเทียบเท่ากับชุดข้อกำหนด เทอมQ _iเรียกว่าแรงทั่วไปที่ เกี่ยวข้องกับการกระจัดเสมือนδ r$${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

สมดุลสถิตคือสภาวะที่แรงลัพธ์และแรงบิดลัพธ์ที่กระทำต่อระบบเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทั้งโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมของระบบจะถูกอนุรักษ์ไว้ หลักการงานเสมือนกล่าวว่างานเสมือนของแรงที่กระทำเป็นศูนย์สำหรับการเคลื่อนที่เสมือน ทั้งหมด ของระบบจากสมดุลสถิตหลักการนี้สามารถขยายให้ ครอบคลุม การหมุน สามมิติได้ กล่าว คือ งานเสมือนของแรงและแรงบิดที่กระทำเป็นศูนย์สำหรับการเคลื่อนที่เสมือน ทั้งหมด ของระบบจากสมดุลสถิต นั่นคือ โดยที่F _{_i} , i = 1, 2, ..., mและM _{_j} , j = 1, 2, ..., nคือแรงและแรงบิดที่กระทำตามลำดับ และδ _r , i = 1, 2, ..., mและδ _φ , j = 1, 2, ..., nคือการกระจัดเสมือนและการหมุนเสมือนตามลำดับ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0,}$$

สมมติว่าระบบประกอบด้วย อนุภาค N ตัวและมีองศาอิสระf ( f ≤ 6 N ) การใช้พิกัดเพียงf ตัวก็เพียงพอ ที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ของระบบได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึง มี การกำหนดพิกัดทั่วไปf ตัว q _k , k = 1, 2, ..., fเพื่อให้สามารถแสดง การเคลื่อนที่เสมือน ในรูปของ พิกัดทั่วไป เหล่านี้ ได้ นั่นคือ $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$$${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

จากนั้นงานเสมือนสามารถกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ได้โดยใช้พิกัดทั่วไปโดย ที่แรงทั่วไปQ _kถูกกำหนดไว้ดังนี้ Kane ^{[ 5 ]}แสดงให้เห็นว่าแรงทั่วไป เหล่านี้ สามารถกำหนดได้ในรูปของอัตราส่วนของอนุพันธ์เทียบกับเวลา นั่นคือ $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

หลักการงานเสมือนกำหนดว่า งานเสมือนที่กระทำต่อระบบโดยแรงF _iและโมเมนต์M _jจะเป็นศูนย์หากระบบอยู่ในสภาวะสมดุลดังนั้น แรงทั่วไปQ _kจึงเป็นศูนย์ นั่นคือ $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

ประโยชน์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของหลักการงานเสมือนคือ เราต้องการ เพียงแรงที่ทำงานขณะที่ระบบเคลื่อนที่ผ่าน การกระจัดเสมือนเท่านั้น เพื่อกำหนดกลไกของระบบ มีแรงหลายอย่างในระบบกลไกที่ไม่ทำงานระหว่าง การกระจัดเสมือนซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องนำมาพิจารณาในการวิเคราะห์นี้ ตัวอย่างที่สำคัญสองประการคือ (i) แรงภายในในวัตถุแข็งเกร็งและ (ii) แรงยึดเหนี่ยวที่ข้อต่อ ใน อุดมคติ

Lanczos ^{[ 1 ]}นำเสนอสิ่งนี้เป็นสมมติฐานว่า: "งานเสมือนของแรงปฏิกิริยาจะเป็นศูนย์เสมอสำหรับการกระจัดเสมือน ใดๆ ที่สอดคล้องกับข้อจำกัดทางจลนศาสตร์ที่กำหนด" เหตุผลมีดังนี้ หลักการของงานเสมือนระบุว่า ณสภาวะสมดุลงานเสมือนของแรงที่กระทำต่อระบบจะเป็นศูนย์ กฎของนิวตันระบุว่า ณสภาวะสมดุลแรงที่กระทำจะมีค่าเท่ากันและตรงข้ามกับแรงปฏิกิริยาหรือแรงข้อจำกัด ซึ่งหมายความว่างานเสมือนของแรงข้อจำกัดจะต้องเป็นศูนย์เช่นกัน

คานถูกจำลองเป็นแท่งแข็งที่เชื่อมต่อกับโครงพื้นด้วยข้อต่อแบบบานพับที่เรียกว่าจุดหมุน คานทำงานโดยการออกแรงป้อนเข้า F _Aที่จุดAซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์พิกัดr _A บนแท่ง จากนั้น คานจะออกแรงป้อนออกF _Bที่จุดBซึ่งกำหนดโดยr _BการหมุนของคานรอบจุดหมุนPถูกกำหนดโดยมุมการหมุน θ

ให้เวกเตอร์พิกัดของจุดPที่กำหนดจุดหมุนเป็นr _Pและแนะนำความยาว ซึ่งเป็นระยะทางจากจุดหมุนไปยังจุดป้อนเข้าAและไปยังจุดส่งออกBตามลำดับ $${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

ต่อไปนี้ เราจะแนะนำเวกเตอร์หน่วยe _Aและe _BจากจุดหมุนไปยังจุดAและBดังนี้ สัญลักษณ์นี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดความเร็วของจุดAและBได้ดังนี้ โดย ที่e _A ^⊥และe _B ^⊥เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับe _Aและe _Bตามลำดับ $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

มุมθคือพิกัดทั่วไปที่กำหนดการจัดเรียงของคาน ดังนั้นเมื่อใช้สูตรข้างต้นสำหรับแรงที่กระทำต่อกลไกที่มีองศาอิสระหนึ่งองศา แรงทั่วไปจึงกำหนดโดย $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

ต่อไปนี้ ให้F _AและF _Bเป็นส่วนประกอบของแรงที่ตั้งฉากกับส่วนของเส้นรัศมีPAและPBแรงเหล่านี้กำหนดโดย สัญลักษณ์นี้และหลักการของงานเสมือนทำให้ได้สูตรสำหรับแรงทั่วไปดังนี้ $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$$${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

อัตราส่วนของแรงส่งออกF _Bต่อแรงป้อนเข้าF _Aคือข้อได้เปรียบเชิงกลของคาน ซึ่งได้มาจากหลักการของงานเสมือนดังนี้ $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

สมการนี้แสดงให้เห็นว่า ถ้าช่วงระยะทางaจากจุดหมุนถึงจุดAที่ออกแรงป้อนเข้ามากกว่าช่วงระยะทางbจากจุดหมุนถึงจุดBที่ออกแรงส่งออก คานจะเพิ่มแรงป้อนเข้า ในทางกลับกัน ถ้าช่วงระยะทางจากจุดหมุนถึงจุดAน้อยกว่าช่วงระยะทางจากจุดหมุนถึงจุดBคานจะลดขนาดของแรงป้อนเข้า

นี่คือกฎของคานซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยอาร์คิมิดีสโดยใช้เหตุผลทางเรขาคณิต^{[ 6 ]}

ชุดเฟืองประกอบด้วยการติดตั้งเฟืองบนโครงเพื่อให้ฟันของเฟืองแต่ละชิ้นประกบกัน ฟันเฟืองได้รับการออกแบบมาเพื่อให้มั่นใจได้ว่าวงกลมพิตช์ของเฟืองที่ประกบกันจะหมุนไปพร้อมกันโดยไม่ลื่นไถล ซึ่งจะทำให้การส่งผ่านการหมุนจากเฟืองหนึ่งไปยังอีกเฟืองหนึ่งเป็นไปอย่างราบรื่น สำหรับการวิเคราะห์นี้ เราพิจารณาชุดเฟืองที่มีองศาอิสระหนึ่งองศา ซึ่งหมายความว่าการหมุนเชิงมุมของเฟืองทั้งหมดในชุดเฟืองนั้นถูกกำหนดโดยมุมของเฟืองป้อนเข้า

ขนาดของเฟืองและลำดับการทำงานของเฟืองจะเป็นตัวกำหนดอัตราส่วนของความเร็วเชิงมุม_{ωA ของเฟืองตัวป้อนต่อความเร็วเชิงมุม ωB}ของเฟืองตัว ส่งออก ซึ่งเรียกว่าอัตราส่วนความเร็ว หรืออัตราส่วนเกียร์ของชุดเฟือง ให้_Rเป็นอัตราส่วนความเร็ว แล้ว $${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

แรงบิดขาเข้าT _Aที่กระทำต่อเฟืองขาเข้าG _Aจะถูกแปลงโดยชุดเฟืองเป็นแรงบิดขาออกT _Bที่กระทำโดยเฟืองขาออกG _Bหากเราสมมติว่าเฟืองมีความแข็งเกร็งและไม่มีการสูญเสียในการเข้าคู่กันของฟันเฟือง หลักการของงานเสมือนสามารถนำมาใช้ในการวิเคราะห์สมดุลสถิตของชุดเฟืองได้

ให้มุมθของเฟืองอินพุตเป็นพิกัดทั่วไปของชุดเฟือง จากนั้นอัตราส่วนความเร็วRของชุดเฟืองจะกำหนดความเร็วเชิงมุมของเฟืองเอาต์พุตในแง่ของเฟืองอินพุต นั่นคือ $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

สูตรข้างต้นสำหรับหลักการงานเสมือนที่มีแรงบิดกระทำจะให้ผลลัพธ์เป็นแรงทั่วไป $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

ข้อ ได้เปรียบเชิงกลของชุดเฟืองคืออัตราส่วนของแรงบิดเอาต์พุตT _Bต่อแรงบิดอินพุตT _Aและสมการข้างต้นจะได้ดังนี้ $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

ดังนั้น อัตราส่วนความเร็วของชุดเฟืองจึงเป็นตัวกำหนดข้อได้เปรียบเชิงกลด้วย นั่นหมายความว่า ถ้าเฟืองตัวป้อนหมุนเร็วกว่าเฟืองตัวส่ง ชุดเฟืองก็จะเพิ่มแรงบิดของตัวป้อน และถ้าเฟืองตัวป้อนหมุนช้ากว่าเฟืองตัวส่ง ชุดเฟืองก็จะลดแรงบิดของตัวป้อนลง

หากใช้หลักการงานเสมือนสำหรับแรงที่กระทำต่ออนุภาคแต่ละตัวของวัตถุแข็งเกร็งหลักการนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุแข็งเกร็งได้ กล่าวคือเมื่อวัตถุแข็งเกร็งที่อยู่ในสมดุลถูกกระทำด้วยการกระจัดเสมือนที่เข้ากันได้ งานเสมือนรวมของแรงภายนอกทั้งหมดจะเป็นศูนย์ และในทางกลับกัน หากงานเสมือนรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็งเป็นศูนย์ แสดงว่าวัตถุนั้นอยู่ในสมดุล

หากระบบไม่อยู่ในสมดุลสถิต ดาเลมเบิร์ตได้แสดงให้เห็นว่า การนำพจน์ความเร่งของกฎของนิวตันมาใช้เป็นแรงเฉื่อย จะทำให้วิธีการนี้ขยายไปสู่การกำหนดสมดุลพลวัตได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือหลักการงานเสมือนในรูปแบบของดาเลมเบิร์ต ซึ่งใช้ในการหาอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่สำหรับระบบกลไกของวัตถุแข็งเกร็ง

คำว่า " การกระจัดที่เข้ากันได้"หมายความว่าอนุภาคยังคงสัมผัสกันและเคลื่อนที่ไปด้วยกัน ทำให้งานที่ทำโดยแรงปฏิกิริยาระหว่างอนุภาคแต่ละคู่หักล้างกัน หลักการนี้ในรูปแบบต่างๆ ได้รับการยกย่องให้แก่โยฮันน์ (ฌอง) แบร์นูลลี (ค.ศ. 1667–1748) และดาเนียล แบร์นูลลี (ค.ศ. 1700–1782)

ให้ระบบกลไกประกอบด้วยวัตถุแข็งเกร็ง n ชิ้น คือ B _i , i=1,...,n และให้ผลลัพธ์ของแรงที่กระทำต่อแต่ละวัตถุเป็นคู่แรง-แรงบิดF _iและT _i , i = 1,..., nโปรดสังเกตว่าแรงที่กระทำเหล่านี้ไม่รวมแรงปฏิกิริยา ณ จุดที่วัตถุเชื่อมต่อกัน สุดท้าย สมมติว่าความเร็วV _iและความเร็วเชิงมุมω _i , i =1,..., n สำหรับแต่ละวัตถุแข็งเกร็ง ถูกกำหนดโดยพิกัดทั่วไป q เพียง พิกัดเดียว ระบบของวัตถุแข็งเกร็งดังกล่าวเรียกว่ามีหนึ่งองศาอิสระ

พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งชิ้นเดียวที่เคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรงลัพธ์FและแรงบิดTโดยมีองศาอิสระหนึ่งองศาที่กำหนดโดยพิกัดทั่วไป q สมมติว่าจุดอ้างอิงสำหรับแรงลัพธ์และแรงบิดคือจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ดังนั้นแรงเฉื่อยทั่วไป Q* ที่เกี่ยวข้องกับพิกัดทั่วไป q จะกำหนดโดย แรงเฉื่อยนี้สามารถคำนวณได้จากพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็ง โดยใช้สูตร $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

ระบบของวัตถุแข็งเกร็ง n ชิ้นที่มีพิกัดทั่วไป m ตัว มีพลังงานจลน์ ซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณแรงเฉื่อยทั่วไป m ตัวได้^{[ 7 ]}$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

หลักการงานเสมือนของดาล็องแบร์กล่าวว่า ระบบของวัตถุแข็งเกร็งจะอยู่ในสมดุลพลวัตเมื่อ งานเสมือนของผลรวมของแรงที่กระทำและแรงเฉื่อยเป็นศูนย์สำหรับการกระจัดเสมือนใดๆ ของระบบ ดังนั้น สมดุลพลวัตของระบบวัตถุแข็งเกร็ง n ตัวที่มีพิกัดทั่วไป m ตัว ต้องมีเงื่อนไขว่า สำหรับการกระจัดเสมือนδq _j ใดๆ เงื่อนไขนี้ทำให้เกิดสม การ mสมการ ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบว่า ผลลัพธ์คือชุดสมการการเคลื่อนที่ m สมการที่กำหนดพลวัตของระบบวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการของลากรองจ์หรือสมการการเคลื่อนที่ทั่วไป $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ถ้าแรงทั่วไป Q _jสามารถหาได้จากพลังงานศักยภาพV ( q ₁ ,..., q _m ) แล้วสมการการเคลื่อนที่เหล่านี้จะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ในกรณีนี้ ให้แนะนำLagrangian , L = T − Vดังนั้นสมการการเคลื่อนที่เหล่านี้จึงกลายเป็น สม การเหล่านี้เรียกว่าสมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับระบบที่มี m องศาอิสระ หรือ สมการลาก ราง จ์ชนิดที่สอง$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาแผนภาพแรงอิสระของวัตถุที่สามารถเปลี่ยนรูปได้ซึ่งประกอบด้วยลูกบาศก์เชิงอนุพันธ์จำนวนอนันต์ ให้เรากำหนดสถานะที่ไม่เกี่ยวข้องกันสองสถานะสำหรับวัตถุนี้:

• สถานะ-State : สถานะนี้แสดงแรงภายนอกที่พื้น ผิว Tแรงภายในfและความเค้นภายในที่อยู่ในสภาวะสมดุล${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• สถานะ-State : แสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องและความเครียดที่สม่ำเสมอ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

เครื่องหมาย * ที่ยกขึ้นมาเน้นย้ำว่าสถานะทั้งสองไม่เกี่ยวข้องกัน นอกเหนือจากเงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้นแล้ว ไม่จำเป็นต้องระบุว่าสถานะใดเป็นสถานะจริงหรือสถานะเสมือน

ลองจินตนาการว่าแรงและความเค้นในสถานะ - ส่งผลให้เกิดการเคลื่อนที่และการเปลี่ยนรูปในสถานะ -: เราสามารถคำนวณงานเสมือน (จินตนาการ) ทั้งหมดที่ทำโดยแรงทั้งหมดที่กระทำต่อหน้าของลูกบาศก์ทั้งหมดได้สองวิธีที่แตกต่างกัน: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• ประการแรก โดยการรวมงานที่ทำโดยแรงต่างๆ เช่นแรงที่กระทำต่อหน้าทั่วไปแต่ละหน้า (รูป c): เนื่องจากวัสดุมีการเคลื่อนที่ ที่เข้ากันได้ งานดังกล่าวจึงหักล้างกัน เหลือเพียงงานเสมือนที่ทำโดยแรงบนพื้นผิวT (ซึ่งเท่ากับความเค้นบนหน้าของลูกบาศก์ตามหลักสมดุล)${\displaystyle F_{A}}$
• ประการที่สอง โดยการคำนวณงานสุทธิที่ทำโดยความเค้นหรือแรงต่างๆ เช่นที่กระทำต่อลูกบาศก์แต่ละลูก เช่น สำหรับกรณีหนึ่งมิติในรูป (c): โดย ใช้ความสัมพันธ์สมดุล และละเลยพจน์อันดับสอง${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$$${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  เมื่อรวมผลลัพธ์ตลอดทั้งร่างกายจะได้: – งานที่ทำโดยแรงของร่างกายf .$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$

เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งสองมาเทียบเท่ากัน จะได้หลักการของงานเสมือนสำหรับวัตถุที่สามารถเปลี่ยนรูปได้:

$${\displaystyle {\text{Total external virtual work}}=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

ง

โดยที่งานเสมือนภายนอกทั้งหมดนั้นกระทำโดยTและfดังนั้น

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

อี

ด้านขวามือของ ( d , e ) มักเรียกว่างานเสมือนภายใน หลักการของงานเสมือนจึงกล่าวว่างานเสมือนภายนอกเท่ากับงานเสมือนภายในเมื่อแรงและความเค้นที่สมดุลกันมีการเคลื่อนที่และความเครียดที่ไม่เกี่ยวข้องกันแต่สอดคล้องกันหลักการนี้รวมถึงหลักการของงานเสมือนสำหรับวัตถุแข็งเกร็งเป็นกรณีพิเศษที่งานเสมือนภายในเป็นศูนย์

เราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาปริมาณงานทั้งหมดที่เกิดจากแรงดึงบนพื้นผิวของวัตถุขณะที่เกิดการเปลี่ยนรูปตามที่กำหนด: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

เมื่อนำทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์มา ใช้ กับด้านขวามือจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

ตอนนี้ให้เปลี่ยนไปใช้สัญกรณ์ดัชนีเพื่อความสะดวกในการพิสูจน์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

เพื่อดำเนินการต่อในการพิสูจน์ เราจะแทนค่าลงในสมการสมดุลจากนั้น ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

พจน์แรกทางด้านขวามือจำเป็นต้องแยกออกเป็นส่วนสมมาตรและส่วนเฉียงดังนี้: โดยที่คือความเครียดที่สอดคล้องกับสนามการกระจัดที่ระบุไว้ ความเท่าเทียมกันข้อที่สองจากท้ายมาจากการที่เมทริกซ์ความเค้นเป็นเมทริกซ์สมมาตร และผลคูณของเมทริกซ์เฉียงและเมทริกซ์สมมาตรเป็นศูนย์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

สรุปแล้ว เราได้แสดงให้เห็นผ่านการพิสูจน์ข้างต้นแล้วว่า $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

ย้ายพจน์ที่ 2 ทางด้านขวามือของสมการไปทางด้านซ้าย: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

การตีความทางกายภาพของสมการข้างต้นคืองานเสมือนภายนอกจะเท่ากับงานเสมือนภายใน เมื่อแรงและความเค้นที่อยู่ในสมดุลมีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งและความเครียดที่ไม่เกี่ยวข้องกันแต่สอดคล้องกัน

สำหรับการใช้งานจริง:

• เพื่อให้เกิดสมดุลกับความเค้นและแรงจริง เราจึงใช้การกระจัดและความเครียดเสมือนที่สอดคล้องกันในสมการงานเสมือน
• เพื่อให้สามารถกำหนดการเคลื่อนตัวและความเครียดได้อย่างสม่ำเสมอ เราจึงใช้แรงและแรงเสมือนที่สมดุลกันในสมการงานเสมือน

สถานการณ์ทั่วไปทั้งสองนี้ก่อให้เกิดหลักการแปรผันสองประการที่กล่าวถึงกันบ่อย ซึ่งหลักการเหล่านี้ใช้ได้ไม่ว่าพฤติกรรมของวัสดุจะเป็นอย่างไรก็ตาม

เราอาจปรับแต่งสมการงานเสมือนให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์ได้ ตัวอย่างเช่น ในการหาหลักการของการกระจัดเสมือนในสัญกรณ์แปรผันสำหรับวัตถุที่รองรับ เราจะระบุ:

• การกระจัดและความเครียดเสมือนเป็นการเปลี่ยนแปลงของการกระจัดและความเครียดจริงโดยใช้สัญลักษณ์การแปรผัน เช่นและ${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• การกระจัดเสมือนจะเป็นศูนย์ในส่วนของพื้นผิวที่มีการกระจัดที่กำหนดไว้ ดังนั้นงานที่ทำโดยแรงปฏิกิริยาจึงเป็นศูนย์ เหลือเพียงแรงภายนอกที่กระทำต่อพื้นผิวส่วนที่ทำงาน เท่านั้น${\displaystyle S_{t}}$

สมการงานเสมือนจึงกลายเป็นหลักการของการกระจัดเสมือน:

$${\displaystyle \int _{S_{t}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

เอฟ

ความสัมพันธ์นี้เทียบเท่ากับชุดสมการสมดุลที่เขียนขึ้นสำหรับองค์ประกอบเชิงอนุพันธ์ในตัววัตถุที่เปลี่ยนรูปได้ เช่นเดียวกับเงื่อนไขขอบเขตความเค้นบนส่วนของพื้นผิว ในทางกลับกัน ( f ) สามารถเข้าถึงได้ แม้ว่าจะไม่ใช่วิธีที่ง่ายนัก โดยเริ่มต้นจากสมการสมดุลเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขขอบเขตความเค้นบนและดำเนินการในลักษณะที่คล้ายกับ ( a ) และ ( b ) ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$

เนื่องจากการกระจัดเสมือนจะเข้ากันได้โดยอัตโนมัติเมื่อแสดงในรูปของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่มีค่าเดียวเราจึงมักกล่าวถึงเฉพาะความจำเป็นในการสอดคล้องกันระหว่างความเครียดและการกระจัดเท่านั้น หลักการงานเสมือนยังใช้ได้กับการกระจัดจริงขนาดใหญ่ด้วย อย่างไรก็ตาม สมการ ( f ) จะถูกเขียนโดยใช้มาตรวัดความเค้นและความเครียดที่ซับซ้อนกว่า

ในที่นี้ เราขอระบุรายละเอียดดังนี้:

• แรงและความเครียดเสมือนจริง คือ รูปแบบต่างๆ ของแรงและความเครียดจริง
• แรงเสมือนจะมีค่าเป็นศูนย์ในส่วนของพื้นผิวที่มีการกำหนดแรงไว้ ดังนั้นจะมีเพียงแรงปฏิกิริยาบนพื้นผิว(บริเวณที่มีการกำหนดการเคลื่อนที่ไว้) เท่านั้นที่จะทำงาน${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle S_{u}}$

สมการงานเสมือนกลายเป็นหลักการของแรงเสมือน:

$${\displaystyle \int _{S_{u}}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}\delta {\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

จี

ความสัมพันธ์นี้เทียบเท่ากับชุดสมการความเข้ากันได้ของความเครียด รวมถึงเงื่อนไขขอบเขตการกระจัดบนชิ้นส่วน นอกจากนี้ยังมีชื่อเรียกอีกอย่างว่า หลักการของงานเสมือนเสริม ${\displaystyle S_{u}}$

หลักการเฉพาะทางของแรงเสมือนคือวิธีแรงเสมือนหน่วยซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณการกระจัดในระบบโครงสร้าง ตามหลักการของดาล็องแบร์ ​​การรวมแรงเฉื่อยเป็นแรงภายนอกเพิ่มเติมจะทำให้ได้สมการงานเสมือนที่ใช้ได้กับระบบพลวัต หลักการทั่วไปอื่นๆ สามารถอนุมานได้โดย:

• อนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงปริมาณทั้งหมดได้
• โดยใช้ตัวคูณลากรางจ์เพื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขตและ/หรือเพื่อผ่อนปรนเงื่อนไขที่ระบุไว้ในสองสถานะ

รายละเอียดเหล่านี้ได้อธิบายไว้ในเอกสารอ้างอิงบางฉบับแล้ว

ในบรรดาหลักการด้านพลังงานมากมายในกลศาสตร์โครงสร้างหลักการงานเสมือนสมควรได้รับความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากความครอบคลุมของหลักการนี้ ซึ่งนำไปสู่การประยุกต์ใช้งานที่มีประสิทธิภาพในด้านการวิเคราะห์โครงสร้างกลศาสตร์ของแข็งและวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ในกลศาสตร์โครงสร้าง

• วิธีการยืดหยุ่น
• วิธีการแรงจำลองหน่วย
• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ในกลศาสตร์โครงสร้าง
• แคลคูลัสของการแปรผัน
• กลศาสตร์ลากรางจ์
• หลักการของมุลเลอร์-เบรสเลา
• หลักการของดาเลมเบิร์ต

• ตัวอย่างการประยุกต์ใช้หลักการทำงานเสมือนจริง(เก็บถาวรเมื่อ 2022-12-01 ที่Wayback Machine)

• Bathe, KJ "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
• Charlton, TM หลักการพลังงานในทฤษฎีโครงสร้างสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 1973 ISBN 0-19-714102-1
• Dym, CL และ IH Shames, กลศาสตร์ของแข็ง: แนวทางเชิงแปรผัน , McGraw-Hill, 1973
• กรีนวูด, โดนัลด์ ที. พลวัตคลาสสิก , สำนักพิมพ์โดเวอร์, 1977, ISBN 0-486-69690-1
• Hu, H. หลักการแปรผันของทฤษฎีความยืดหยุ่นพร้อมการประยุกต์ใช้ , Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
• Langhaar, HL วิธีการใช้พลังงานในกลศาสตร์ประยุกต์ , Krieger, 1989
• Reddy, JN หลักการพลังงานและวิธีการแปรผันในกลศาสตร์ประยุกต์ สำนักพิมพ์ John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
• Shames, IH และ Dym, CL พลังงานและวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์ในกลศาสตร์โครงสร้าง , Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
• Tauchert, TR หลักการพลังงานในกลศาสตร์โครงสร้าง , McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. วิธีการแปรผันในความยืดหยุ่นและความเป็นพลาสติก , สำนักพิมพ์ Pergamon, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. กลศาสตร์ของโครงสร้าง: วิธีการแปรผันและวิธีการคำนวณ , CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7