ในอัลกอริธึมการแทรกสอดของ PIA ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 9 ] [ 16 ]}จุดข้อมูลทุกจุดถูกใช้เป็นจุดควบคุม เพื่ออำนวยความสะดวกในการอธิบายรูปแบบการวนซ้ำของ PIA สำหรับเส้นโค้งและพื้นผิวรูปแบบต่างๆ จึงใช้สูตรต่อไปนี้อย่างสม่ำเสมอ: $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}B_{i}(\mathbf {t} )}$$ ตัวอย่างเช่น:

• ถ้า${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$ถ้าเป็นเส้นโค้ง B-spline แล้ว${\displaystyle \mathbf {t} }$เป็นปริมาณสเกลาร์${\displaystyle B_{i}(t)}$เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน B-spline และ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$หมายถึงจุดควบคุม^{[ 8 ]}
• ถ้า${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$เป็นแพทช์ B-spline ที่มี${\displaystyle n_{u}\times n_{v}}$จุดควบคุม จากนั้น${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v)}$และ${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)}$, ที่ไหน${\displaystyle N_{i}(u)}$และ${\displaystyle N_{i}(v)}$เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน B-spline; ^{[ 8 ]}
• ถ้า${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$เป็นทรงตัน B-spline สามตัวแปรที่มี${\displaystyle n_{u}\times n_{v}\times n_{w}}$จุดควบคุม จากนั้น${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v,w)}$และ${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)N_{i}(w)}$, ที่ไหน${\displaystyle N_{i}(u)}$,${\displaystyle N_{i}(v)}$, และ${\displaystyle N_{i}(w)}$เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน B-spline ^{[ 17 ]}

นอกจากนี้ ยังสามารถนำไปใช้กับเส้นโค้งและพื้นผิว NURBS พื้นผิว T-spline และพื้นผิวสามเหลี่ยม Bernstein–Bézier ได้อีกด้วย^{[ 18 ]}

เมื่อกำหนดชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว${\displaystyle \mathbf {Q} _{i}}$ด้วยพารามิเตอร์${\displaystyle t_{i}}$น่าพอใจ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\cdots }$สำหรับ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$เส้นโค้งการปรับเบื้องต้นคือ: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{(0)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(0)}B_{i}(t)}$$ โดยที่จุดควบคุมเริ่มต้นของเส้นโค้งการปรับเบื้องต้น${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(0)}}$สามารถเลือกแบบสุ่มได้ สมมติว่าหลังจากนั้น${\displaystyle k}$การทำซ้ำครั้งที่ th${\displaystyle k}$เส้นโค้งที่เหมาะสม${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)}$ถูกสร้างขึ้นโดย

เพื่อสร้าง${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้ง st เราจะคำนวณเวก เตอร์ความแตกต่าง ก่อน$${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,n}$$ และใช้ข้อมูลเหล่านั้นเพื่ออัปเดตจุดควบคุมโดย $${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}}$$ ซึ่งนำไปสู่${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้งที่เหมาะสม: $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(k+1)}B_{i}(t).}$$ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ลำดับของเส้นโค้ง${\textstyle \mathbf {P} ^{(\alpha )}(t),\alpha =0,1,2,\cdots }$ซึ่งลู่เข้าสู่เส้นโค้งจำกัดที่แทรกจุดข้อมูลที่กำหนด^{[ 1 ] [ 9 ]}เช่น $${\displaystyle \lim \limits _{\alpha \rightarrow \infty }\mathbf {P} ^{(\alpha )}(t_{i})=\mathbf {Q} _{i},\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$

สำหรับปัญหาการปรับเส้นโค้งและพื้นผิว B-spline นั้น Deng และ Lin ได้เสนอการประมาณค่าแบบวนซ้ำก้าวหน้ากำลังสองน้อยที่สุด (LSPIA) ^{[ 10 ] [ 19 ]}ซึ่งช่วยให้จำนวนจุดควบคุมน้อยกว่าจำนวนจุดข้อมูลและเหมาะสมกว่าสำหรับปัญหาการปรับข้อมูลขนาดใหญ่^{[ 10 ]}

สมมติว่ามีอยู่จริง${\displaystyle m}$จุดข้อมูลและ${\displaystyle n}$จุดควบคุม ซึ่ง${\displaystyle n\leq m}$เริ่มต้นด้วยสมการ ( 1 ) ซึ่งให้${\displaystyle k}$เส้นโค้งที่เหมาะสมคือ $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t).}$$ เพื่อสร้าง${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้งที่เหมาะสม ขั้นแรกให้คำนวณเวกเตอร์ความแตกต่างสำหรับจุดข้อมูล^{[ 10 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m}$$ จากนั้นเวกเตอร์ผลต่างสำหรับจุดควบคุม $${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{j}^{(k)}={\frac {\sum _{i\in I_{j}}{c_{i}B_{j}(t_{i}){\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}}}{\sum _{i\in I_{j}}c_{i}B_{j}(t_{i})}},\quad j=1,2,\cdots ,n}$$ ที่ไหน${\displaystyle I_{j}}$คือชุดดัชนีของจุดข้อมูลใน${\displaystyle j}$กลุ่มที่ th ซึ่งมีพารามิเตอร์อยู่ในช่วงการสนับสนุนในท้องถิ่นของ${\displaystyle j}$ฟังก์ชันพื้นฐานที่ th เช่น${\displaystyle B_{j}(t_{i})\neq 0}$. เดอะ${\displaystyle c_{i}}$คือค่าน้ำหนักที่รับประกันการลู่เข้าของอัลกอริทึม ซึ่งโดยปกติจะถือเป็นค่าดังนี้${\displaystyle c_{i}=1,i\in I_{j}}$.

สุดท้าย จุดควบคุมของ${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้งจะได้รับการอัปเดตโดย${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{j}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{j}^{(k)},}$นำไปสู่${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้งที่เหมาะสม${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)}$ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ลำดับของเส้นโค้ง และเส้นโค้งลิมิตจะลู่เข้าสู่ ผลลัพธ์ การปรับค่ากำลังสองน้อยที่สุดสำหรับจุดข้อมูลที่กำหนด^{[ 10 ] [ 19 ]}

ในวิธีการ PIA ท้องถิ่น^{[ 12 ]}จุดควบคุมจะถูกแบ่งออกเป็นจุดควบคุมที่ใช้งานอยู่และจุดควบคุมคงที่ ซึ่งตัวห้อยจะถูกกำหนดเป็น${\textstyle I=\left\{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{I}\right\}}$และ${\textstyle J=\left\{j_{1},j_{2},\cdots ,j_{J}\right\}}$ตามลำดับ สมมติว่า${\textstyle k}$เส้นโค้งที่เหมาะสมคือ${\textstyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t)}$โดยที่จุดควบคุมคงที่นั้นเป็นไปตามเงื่อนไข $${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k)}=\mathbf {P} _{j}^{(0)},\quad j\in J,\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ จากนั้น ในอีกด้านหนึ่ง สูตรการวนซ้ำของเวกเตอร์ผลต่าง${\textstyle \mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}}$ซึ่งสอดคล้องกับจุดควบคุมคงที่คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j\in J}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\left(\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}\right)B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {\Delta } _{h}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h}),\quad h\in J.\end{aligned}}}$$ ในทางกลับกัน สูตรการวนซ้ำของเวกเตอร์ผลต่าง${\textstyle \mathbf {D} _{l}^{(k+1)}}$ซึ่งสอดคล้องกับจุดควบคุมที่ใช้งานอยู่คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{l}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{l})\\&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{l})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=-\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k)}B_{i_{1}}(t_{l})-\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k)}B_{i_{2}}(t_{l})-\cdots +\left(1-B_{l}(t_{l})\right)\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\cdots -\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k)}B_{i_{I}}(t_{l}),\quad l\in I.\end{aligned}}}$$ เมื่อนำเวกเตอร์ผลต่างข้างต้นมาเรียงต่อกันเป็นลำดับหนึ่งมิติ $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\left[\mathbf {\Delta } _{j_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{j_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{j_{J}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k+1)}\right]^{T},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ รูปแบบการวนซ้ำเฉพาะที่ในรูปแบบเมทริกซ์คือ $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {D} ^{(k)},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ ที่ไหน${\textstyle \mathbf {T} }$คือเมทริกซ์การวนซ้ำ: $${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{J}&-\mathbf {B} _{1}\\0&\mathbf {E} _{I}-\mathbf {B} _{2}\end{bmatrix}},}$$ ที่ไหน${\textstyle \mathbf {E} _{J}}$และ${\textstyle \mathbf {E} _{I}}$คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และ $${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{j_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{j_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{j_{J}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{J}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{J}}\right)\\\end{bmatrix}},\mathbf {B} _{2}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{i_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{i_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{i_{I}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{I}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{I}}\right)\\\end{bmatrix}}.}$$ รูปแบบการวนซ้ำในท้องถิ่นข้างต้นจะบรรจบกันและสามารถขยายไปยังพื้นผิวการผสม^{[ 12 ]}และพื้นผิวการแบ่งย่อย^{[ 20 ]}

รูปแบบ PIA สำหรับการสร้างเส้นโค้งและพื้นผิวโดยปริยายมีดังต่อไปนี้^{[ 11 ]}เมื่อกำหนดกลุ่มจุดเรียงลำดับแล้ว${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$และเวกเตอร์ปกติหน่วย${\textstyle \left\{\mathbf {n} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$เราต้องการสร้างเส้นโค้งโดยปริยายขึ้นใหม่จากกลุ่มจุด ข้อมูลที่กำหนด เพื่อหลีกเลี่ยงคำตอบที่ง่ายเกินไป จึงจำเป็นต้องมีจุดชดเชยบางจุด${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{l}\right\}_{l=n+1}^{2n}}$จะถูกเพิ่มเข้าไปในกลุ่มจุด^{[ 11 ]}พวกมันจะถูกเลื่อนออกไปตามระยะทาง${\textstyle \sigma }$ตามแนวเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากของแต่ละจุด $${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}=\mathbf {Q} _{i}+\sigma \mathbf {n} _{i},\quad l=n+i,\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$ สมมติว่า${\textstyle \epsilon }$คือค่าของฟังก์ชันโดยนัย ณ จุดออฟเซ็ต $${\displaystyle f\left(\mathbf {Q} _{l}\right)=\epsilon ,\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.}$$ ให้เส้นโค้งโดยนัยหลังจากนั้น${\textstyle \alpha }$การวนซ้ำครั้งที่ th $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y),}$$ ที่ไหน${\textstyle C_{ij}^{(\alpha )}}$เป็นจุดควบคุม

กำหนดเวกเตอร์ความแตกต่างของจุดข้อมูลเป็น^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )}&=0-f^{(\alpha )}(x_{k},y_{k}),\quad k=1,2,\cdots ,n,\\{\boldsymbol {\delta }}_{l}^{(\alpha )}&=\epsilon -f^{(\alpha )}(x_{l},y_{l}),\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.\end{aligned}}}$$ ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณเวกเตอร์ผลต่างของสัมประสิทธิ์ควบคุม $${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )}=\mu \sum _{k=1}^{2n}B_{i}(x_{k})B_{j}(y_{k}){\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )},\quad i=1,2,\cdots ,N_{u},\quad j=1,2,\cdots ,N_{v},}$$ ที่ไหน${\textstyle \mu }$คือค่าสัมประสิทธิ์การลู่เข้า ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การควบคุมใหม่จึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle C_{ij}^{(\alpha +1)}=C_{ij}^{(\alpha )}+{\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )},}$$ ซึ่งนำไปสู่เส้นโค้ง B-spline พีชคณิตแบบใหม่ $${\displaystyle f^{(\alpha +1)}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha +1)}B_{i}(x)B_{j}(y).}$$ ขั้นตอนข้างต้นจะดำเนินการซ้ำๆ เพื่อสร้างลำดับของฟังก์ชัน B-spline เชิงพีชคณิต${\textstyle \left\{f^{(\alpha )}(x,y),\quad \alpha =0,1,2,\cdots \right\}}$ลำดับจะลู่เข้าสู่ปัญหาการหาค่าต่ำสุดที่มีข้อจำกัด เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ควบคุมเริ่มต้น${\textstyle C_{ij}^{(0)}=0}$[ ^{11 ]​}

สมมติว่าพื้นผิวโดยปริยายที่สร้างขึ้นหลังจากนั้น${\textstyle \alpha }$การวนซ้ำครั้งที่ th คือ $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}\sum _{k=1}^{N_{w}}C_{ijk}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y)B_{k}(z),}$$ รูปแบบการวนซ้ำจะคล้ายกับกรณีของเส้นโค้ง^{[ 11 ] [ 21 ]}

เพื่อพัฒนา fairing-PIA ก่อนอื่นเราต้องกำหนดฟังก์ชันดังต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{r,j}(f)=\int _{t_{1}}^{t_{m}}B_{r,j}(t)fdt,\quad j=1,2,\cdots ,n,\quad r=1,2,3,}$$ ที่ไหน${\textstyle B_{r,j}(t)}$แสดงถึง${\textstyle r}$อนุพันธ์ลำดับที่ของฟังก์ชันพื้นฐาน${\textstyle B_{j}(t)}$[ ^{8 ]} (เช่นฟังก์ชันพื้นฐาน B- ^spline )

ปล่อยให้เส้นโค้งหลังจากนั้น${\textstyle k}$การวนซ้ำครั้งที่ th $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ เพื่อสร้างเส้นโค้งใหม่${\textstyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)}$ขั้นแรกเราคำนวณ${\textstyle (k+1)}$เวกเตอร์ความแตกต่าง st สำหรับจุดข้อมูล^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {d} _{i}^{[k]}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{[k]}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m.}$$ จากนั้น เวกเตอร์ความแตกต่างที่เหมาะสมและเวกเตอร์แฟริ่งสำหรับจุดควบคุมจะถูกคำนวณโดย^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{h\in I_{j}}B_{j}(t_{h})\mathbf {d} _{h}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{l=1}^{n}{\mathcal {F}}_{r,l}\left(B_{r,j}(t)\right)\mathbf {P} _{l}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\\end{aligned}}}$$ สุดท้าย จุดควบคุมของ${\displaystyle (k+1)}$เส้นโค้ง st ถูกสร้างขึ้นโดย^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{[k+1]}=\mathbf {P} _{j}^{[k]}+\mu _{j}\left[\left(1-\omega _{j}\right){\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}-\omega _{j}{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}\right],\quad j=1,2,\cdots ,n,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu _{j}}$เป็นน้ำหนักการปรับค่ามาตรฐาน และ${\displaystyle \omega _{j}}$เป็นน้ำหนักการปรับเรียบที่สอดคล้องกับ${\displaystyle j}$จุดควบคุมที่ th สามารถใช้ค่าน้ำหนักการปรับเรียบเพื่อปรับความเรียบทีละส่วน ทำให้มีความยืดหยุ่นสูงในการปรับเรียบ^{[ 13 ]}ยิ่งค่าน้ำหนักการปรับเรียบมากเท่าไร เส้นโค้งที่สร้างขึ้นก็จะยิ่งเรียบมากขึ้นเท่านั้น เส้นโค้งใหม่จะได้รับดังต่อไปนี้ $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k+1]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ลำดับของเส้นโค้ง${\textstyle \left\{\mathbf {P} ^{[k]}(t),\;k=1,2,3,\cdots \right\}}$ลำดับจะลู่เข้าสู่คำตอบของวิธีการปรับความเรียบแบบดั้งเดิมโดยอาศัยการลดพลังงานให้น้อยที่สุดเมื่อน้ำหนักการปรับเรียบทั้งหมดเท่ากัน (${\textstyle \omega _{j}=\omega }$). ^{[ 13 ]}ในทำนองเดียวกัน fairing-PIA สามารถขยายไปยังกรณีพื้นผิวได้

การประมาณค่าแบบวนซ้ำกำลังสองน้อยที่สุดแบบไอโซจีโอเมตริก (IG-LSPIA) ^{[ 14 ]}เมื่อกำหนดปัญหาค่าขอบเขต^{[ 15 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u=f,&\quad {\text{in}}\;\Omega ,\\{\mathcal {G}}u=g,&\quad {\text{on}}\;\partial \Omega ,\end{aligned}}\right.}$$ ที่ไหน${\textstyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$คือคำตอบที่ไม่ทราบค่า${\textstyle {\mathcal {L}}}$คือ ตัวดำเนินการ เชิงอนุพันธ์${\textstyle {\mathcal {G}}}$คือตัวดำเนินการขอบเขต และ${\textstyle f}$และ${\textstyle g}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในวิธีการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกฟังก์ชันพื้นฐาน NURBS ^{[ 8 ]}ถูกใช้เป็นฟังก์ชันรูปร่างเพื่อแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาค่าขอบเขตนี้^{[ 15 ]}ฟังก์ชันพื้นฐานเดียวกันนี้ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงผลลัพธ์เชิงตัวเลข${\textstyle u_{h}}$และการแมปทางเรขาคณิต${\textstyle G}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}\left({\hat {\tau }}\right)&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})u_{j},\\G({\hat {\tau }})&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})P_{j},\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\textstyle R_{j}({\hat {\tau }})}$หมายถึงฟังก์ชันพื้นฐาน NURBS${\textstyle u_{j}}$คือสัมประสิทธิ์ควบคุม หลังจากแทนที่จุดการจัดเรียง^{[ 22 ]}${\textstyle {\hat {\tau }}_{i},i=1,2,...,{m}}$ในรูปแบบที่แข็งแกร่งของPDEเราจะได้ปัญหาแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 22 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u_{h}({\hat {\tau }}_{i})=f(G({\hat {\tau }}_{i})),&\quad i\in {\mathcal {I_{L}}},\\{\mathcal {G}}u_{h}({\hat {\tau }}_{j})=g(G({\hat {\tau }}_{j})),&\quad j\in {\mathcal {I_{G}}},\end{aligned}}\right.}$$ ที่ไหน${\textstyle {\mathcal {I_{L}}}}$และ${\textstyle {\mathcal {I_{G}}}}$แทนตัวห้อยของจุดการจัดเรียงภายในและจุดการจัดเรียงที่ขอบเขต ตามลำดับ

การจัดเรียงสัมประสิทธิ์ควบคุม${\textstyle u_{j}}$ของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข${\textstyle u_{h}({\hat {\tau }})}$เข้าไปใน${\textstyle 1}$เวกเตอร์คอลัมน์มิติ${\textstyle \mathbf {U} =[u_{1},u_{2},...,u_{n}]^{T}}$ปัญหาที่ถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {AU} =\mathbf {b} }$$ ที่ไหน${\textstyle \mathbf {A} }$คือเมทริกซ์การจัดเรียงและ${\textstyle \mathbf {b} }$คือเวกเตอร์แรงกระทำ

สมมติว่าค่าโหลดแบบไม่ต่อเนื่องเป็นจุดข้อมูล${\textstyle \left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$เพื่อทำการปรับแต่ง โดยพิจารณาจากการคาดเดาเบื้องต้นของสัมประสิทธิ์การควบคุม${\textstyle \left\{u_{j}^{(0)}\right\}_{j=1}^{n},n<m}$เราจึงได้ฟังก์ชันการผสมเริ่มต้น^{[ 14 ]}$${\displaystyle U^{(0)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(0)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}],}$$ ที่ไหน${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$,${\textstyle j=1,2,\cdots ,n}$แสดงถึงการรวมกันของอนุพันธ์ลำดับต่างๆ ของฟังก์ชันพื้นฐาน NURBS ที่กำหนดโดยใช้ตัวดำเนินการ${\textstyle {\mathcal {L}}}$และ${\textstyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle A_{j}({\hat {\tau }})=\left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{in},\\{\mathcal {G}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{bd},\quad j=1,2,\cdots ,n,\end{aligned}}\right.}$$ ที่ไหน${\textstyle \Omega _{p}^{in}}$และ${\textstyle \Omega _{p}^{bd}}$ระบุพื้นที่ภายในและขอบเขตของโดเมนพารามิเตอร์ตามลำดับ แต่ละ${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$สอดคล้องกับ${\textstyle j}$สัมประสิทธิ์การควบคุมที่ th สมมติว่า${\textstyle J_{in}}$และ${\textstyle J_{bd}}$คือชุดดัชนีของสัมประสิทธิ์การควบคุมภายในและขอบเขต ตามลำดับโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเรายังสมมติเพิ่มเติมว่าสัมประสิทธิ์การควบคุมขอบเขตได้มาจากการใช้การกำหนดแบบเข้มงวดหรือแบบอ่อน และมีค่าคงที่ กล่าวคือ $${\displaystyle u_{j}^{(k)}=u_{j}^{*},\quad j\in J_{bd},\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ เดอะ${\textstyle k}$ฟังก์ชันการผสมผสานที่ th ซึ่งสร้างขึ้นหลังจากนั้น${\textstyle k}$การวนซ้ำครั้งที่ th ของ IG-LSPIA ^{[ 14 ]}ถือว่ามีดังต่อไปนี้: $${\displaystyle U^{(k)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}].}$$ จากนั้น เวกเตอร์ผลต่างสำหรับจุดร่วมการจัดเรียง (DCP) ใน${\textstyle (k+1)}$การวนซ้ำ st ได้รับโดยใช้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}&=b_{i}-\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}\\&=b_{i}-\sum _{j\in J_{bd}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}-\sum _{j\in J_{in}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)},\quad i=1,2,...,m.\end{aligned}}}$$ นอกจากนี้ ให้จัดกลุ่มค่าโหลดทั้งหมดที่มีพารามิเตอร์อยู่ในช่วงการรองรับเฉพาะที่ของ${\textstyle j}$ฟังก์ชันอนุพันธ์ลำดับที่ th เช่น${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }}_{i})\neq 0}$เข้าไปใน${\textstyle j}$กลุ่มที่สอดคล้องกับ${\textstyle j}$สัมประสิทธิ์ควบคุมที่ th และแสดงถึงชุดดัชนีของ${\textstyle j}$กลุ่มค่าโหลดดังกล่าว${\textstyle I_{j}}$สุดท้ายนี้ ความแตกต่างสำหรับสัมประสิทธิ์การควบคุม (DCC) สามารถสร้างได้ดังนี้: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle d_{j}^{(k)}=\mu \sum _{h\in I_{j}}A_{j}({\hat {\tau }}_{h}){\boldsymbol {\delta }}_{h}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ ที่ไหน${\textstyle \mu }$เป็นค่าถ่วงน้ำหนักมาตรฐานเพื่อรับประกันการลู่เข้าของอัลกอริทึม

ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ควบคุมใหม่จึงได้รับการปรับปรุงโดยใช้สูตรต่อไปนี้ $${\displaystyle u_{j}^{(k+1)}=u_{j}^{(k)}+d_{j}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ ดังนั้น${\textstyle (k+1)}$ฟังก์ชันการผสม st ถูกสร้างขึ้นดังนี้: $${\displaystyle U^{(k+1)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k+1)}.}$$ กระบวนการวนซ้ำข้างต้นจะดำเนินการต่อไปจนกว่าจะได้ความแม่นยำในการปรับแต่งที่ต้องการ และได้ลำดับของฟังก์ชันการผสมผสาน $${\displaystyle \left\{U^{(k)}({\hat {\tau }}),k=0,1,\dots \right\}.}$$ IG-LSPIA ลู่เข้าสู่คำตอบของปัญหาการจัดเรียงแบบกำลังสองน้อยที่สุดที่มีข้อจำกัด^{[ 14 ]}

ให้nเป็นจำนวนจุดควบคุม และmเป็นจำนวนจุดข้อมูล

ถ้า${\textstyle n=m}$รูปแบบการวนซ้ำของ PIA ในรูปแบบเมทริกซ์คือ ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\\&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} \end{aligned}}}$$ ที่ไหน $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Q} &=\left[\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\cdots ,\mathbf {Q} _{m}\right]^{T}\\\mathbf {P^{(\alpha )}} &=\left[\mathbf {P} _{1}^{(\alpha )},\mathbf {P} _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {P} _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}&=\left[\mathbf {\Delta } _{1}^{(\alpha )},\mathbf {\Delta } _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}B_{1}(t_{1})&B_{2}(t_{1})&\cdots &B_{n}(t_{1})\\B_{1}(t_{2})&B_{2}(t_{2})&\cdots &B_{n}(t_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{1}(t_{m})&B_{2}(t_{m})&\cdots &B_{n}(t_{m})\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ การลู่เข้าของ PIA เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเมทริกซ์การจัดเรียง หากรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การวนซ้ำ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {B} }$น้อยกว่า${\displaystyle 1}$ดังนั้น PIA จึงลู่เข้า มีการแสดงให้เห็นว่าวิธีการ PIA ลู่เข้าสำหรับเส้นโค้งและพื้นผิว Bézier, เส้นโค้งและพื้นผิว B-spline, เส้นโค้งและพื้นผิว NURBS, พื้นผิว Bernstein–Bézier รูปสามเหลี่ยม และพื้นผิวการแบ่งย่อย (Loop, Catmull-Clark, Doo-Sabin) ^{[ 2 ]}

ถ้า${\textstyle n<m}$LSPIA ในรูปแบบเมทริกซ์คือ^{[ 10 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\left(\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\right)\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\end{aligned}}}$$ เมื่อเมทริกซ์${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$หากไม่เอกฐานผลลัพธ์ต่อไปนี้สามารถได้รับ: ^{[ 23 ]}

หลักฐานตั้งแต่${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$เป็นเอกพจน์ และ${\textstyle \mu >0}$, แล้ว${\textstyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )>0}$. นอกจากนี้, $${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )=\mu \lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2{\frac {\lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )}{\lambda _{0}}}<2.}$$ โดยสรุปแล้ว${\textstyle 0<\lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2}$.

บทพิสูจน์จากรูปแบบเมทริกซ์ของรูปแบบการวนซ้ำ เราจะได้สิ่งต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\left[\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} \right]+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{2}\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\sum _{i=0}^{1}\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\cdots \\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha +1}\mathbf {P} ^{(0)}+\sum _{i=0}^{\alpha }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\\\end{aligned}}}$$ ตามทฤษฎีบทช่วยข้างต้น รัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์${\textstyle \mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$พอใจ $${\displaystyle 0<\rho \left({\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<2}$$ ดังนั้นรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การวนซ้ำจึงเป็นไปตามเงื่อนไข $${\displaystyle 0<\rho \left({\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<1.}$$ เมื่อไร${\textstyle \alpha \rightarrow \infty }$$${\displaystyle \left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\infty }=0,\ \sum _{i=0}^{\infty }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }={\frac {1}{\mu }}\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}.}$$ ด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(\infty )}=\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,}$$ เช่น,${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\infty )}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} }$ซึ่งเทียบเท่ากับสมการปกติของปัญหาการปรับให้เหมาะสม ดังนั้น อัลกอริทึม LSPIA จึงลู่เข้าสู่ผลลัพธ์กำลังสองน้อยที่สุดสำหรับลำดับจุดที่กำหนด

Lin และคณะแสดงให้เห็นว่า LSPIA ลู่เข้าแม้ว่าเมทริกซ์การวนซ้ำจะเป็นเมทริกซ์เอกฐานก็ตาม^{[ 18 ]}

• การปรับข้อมูลแบบปรับได้: จุดควบคุมจะถูกแบ่งออกเป็นจุดควบคุมที่ใช้งานอยู่และจุดควบคุมคงที่ในแต่ละรอบของการวนซ้ำ หากข้อผิดพลาดในการปรับข้อมูลถึงจุดความแม่นยำที่กำหนด จุดควบคุมที่เกี่ยวข้องจะถูกตรึงและไม่ได้รับการอัปเดต กระบวนการวนซ้ำนี้จะทำซ้ำจนกว่าจุดควบคุมทั้งหมดจะถูกตรึง อัลกอริทึมนี้ทำงานได้ดีในการปรับข้อมูลขนาดใหญ่โดยการลดจำนวนจุดควบคุมที่ใช้งานอยู่แบบปรับได้^{[ 31 ]}
• การปรับข้อมูลขนาดใหญ่: ด้วยการรวม T-spline กับ PIA จึงมีการเสนออัลกอริทึมการปรับแบบเพิ่มขึ้นที่เหมาะสมสำหรับการปรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ ในระหว่างการวนซ้ำแบบเพิ่มขึ้น แต่ละรอบการวนซ้ำใหม่จะนำข้อมูลจากการวนซ้ำรอบที่แล้วมาใช้ซ้ำเพื่อประหยัดการคำนวณ ในขณะที่ความเร็วในการบรรจบกันของอัลกอริทึมการวนซ้ำแบบจุดต่อจุดแบบดั้งเดิมจะลดลงเมื่อจำนวนจุดควบคุมเพิ่มขึ้น ใน PIA การคำนวณในแต่ละขั้นตอนการวนซ้ำจะไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนจุดควบคุม ซึ่งทำให้ PIA มีความสามารถที่ทรงพลังสำหรับการปรับข้อมูล^{[ 10 ]}
• การปรับให้เข้ากับท้องถิ่น: โดยอิงจากคุณสมบัติเฉพาะที่ของ PIA ได้มีการเสนอรูปแบบ PIA เฉพาะที่หลายรูปแบบ^{[ 12 ] [ 32 ]}

สำหรับการสร้างเส้นโค้งและพื้นผิวโดยปริยาย PIA หลีกเลี่ยงชุดระดับ ศูนย์เพิ่มเติม และเทอมการปรับค่า ซึ่งช่วยปรับปรุงความเร็วของอัลกอริธึมการสร้างใหม่ได้อย่างมาก^{[ 11 ]}

ขั้นแรก จุดข้อมูลจะถูกสุ่มตัวอย่างบนเส้นโค้งเดิม จากนั้น เส้นโค้งการประมาณพหุนามเริ่มต้นหรือเส้นโค้งการประมาณเชิงตรรกะของเส้นโค้งออฟเซ็ตจะถูกสร้างขึ้นจากจุดที่สุ่มตัวอย่างเหล่านี้ สุดท้าย เส้นโค้งออฟเซ็ตจะถูกประมาณซ้ำๆ โดยใช้วิธี PIA ^{[ 33 ]}

เมื่อกำหนดโมเดลตาข่ายสามเหลี่ยมเป็นอินพุต อัลกอริทึมจะสร้างตาข่ายหกเหลี่ยมเริ่มต้นก่อน จากนั้นจึงดึงตาข่ายสี่เหลี่ยมของพื้นผิวออกมาเป็นตาข่ายขอบเขตเริ่มต้น ในระหว่างการวนซ้ำ การเคลื่อนที่ของจุดยอดตาข่ายแต่ละจุดจะถูกจำกัดเพื่อให้แน่ใจว่าตาข่ายมีความถูกต้อง สุดท้าย โมเดลหกเหลี่ยมจะถูกปรับให้เข้ากับโมเดลอินพุตที่กำหนด อัลกอริทึมสามารถรับประกันความถูกต้องของตาข่ายหกเหลี่ยมที่สร้างขึ้นได้ กล่าวคือ ค่า Jacobi ที่จุดยอดตาข่ายแต่ละจุดมีค่ามากกว่าศูนย์^{[ 34 ]}

ขั้นแรก ข้อมูลภาพจะถูกแปลงเป็นลำดับหนึ่งมิติโดยการสแกนฮิลเบิร์ต จากนั้น จุดข้อมูลเหล่านี้จะถูกปรับให้เข้ากับ LSPIA เพื่อสร้างเส้นโค้งฮิลเบิร์ต สุดท้าย เส้นโค้งฮิลเบิร์ตจะถูกสุ่มตัวอย่าง และสามารถสร้างภาพที่บีบอัดขึ้นใหม่ได้ วิธีนี้สามารถรักษาข้อมูลบริเวณใกล้เคียงของพิกเซลได้เป็นอย่างดี^{[ 35 ]}

เมื่อกำหนดชุดจุดข้อมูล เราจะกำหนดฟังก์ชันการปรับความเรียบก่อน จากนั้นคำนวณเวกเตอร์ความแตกต่างที่เหมาะสมและเวกเตอร์การปรับความเรียบของจุดควบคุม จากนั้นปรับจุดควบคุมด้วยน้ำหนักการปรับความเรียบ ตามขั้นตอนข้างต้น เส้นโค้งและพื้นผิวการปรับความเรียบสามารถสร้างขึ้นได้แบบวนซ้ำ เนื่องจากมีพารามิเตอร์การปรับความเรียบที่เพียงพอ วิธีนี้จึงสามารถปรับความเรียบได้ทั้งในระดับทั่วโลกและระดับท้องถิ่น นอกจากนี้ยังสามารถปรับเวกเตอร์ปม น้ำหนักการปรับความเรียบ หรือการกำหนดพารามิเตอร์ข้อมูลได้อย่างยืดหยุ่นหลังจากการวนซ้ำแต่ละรอบ วิธีการลดพลังงานแบบดั้งเดิมเป็นกรณีพิเศษของวิธีนี้ กล่าวคือ เมื่อน้ำหนักความเรียบทั้งหมดเหมือนกัน^{[ 13 ]}

ค่าโหลดแบบไม่ต่อเนื่องถือเป็นชุดของจุดข้อมูล และการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานและฟังก์ชันอนุพันธ์จะถูกใช้เป็นฟังก์ชันผสมสำหรับการปรับให้เหมาะสม วิธีการนี้จะปรับระดับความเป็นอิสระของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการอนุพันธ์ย่อยโดยอัตโนมัติตามผลลัพธ์การปรับให้เหมาะสมของฟังก์ชันผสมกับค่าโหลด นอกจากนี้ เวลาการวนซ้ำเฉลี่ยต่อขั้นตอนจะเกี่ยวข้องกับจำนวนจุดข้อมูล (เช่น จุดการจัดเรียง) เท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนสัมประสิทธิ์ควบคุม^{[ 14 ]}