ในทางคณิตศาสตร์ตัวหารของจำนวนเต็ม${\displaystyle n,}$เรียกอีกอย่างว่าปัจจัยของ${\displaystyle n,}$เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle m}$ซึ่งอาจคูณด้วยจำนวนเต็มบางจำนวนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์${\displaystyle n.}$^{[ 1 ]}ในกรณีนี้ เราอาจกล่าวได้ว่า${\displaystyle n}$เป็นผลคูณของ${\displaystyle m.}$จำนวนเต็ม${\displaystyle n}$หารลงตัวหรือหารลงตัวด้วยจำนวนเต็มอื่น${\displaystyle m}$ถ้า${\displaystyle m}$เป็นตัวหารของ${\displaystyle n}$; ซึ่งหมายถึงการแบ่ง${\displaystyle n}$โดย${\displaystyle m}$ไม่เหลือเศษใดๆ

แนวคิดเรื่องตัวหารนั้นขยายไปใช้กับองค์ประกอบของริง ใดๆ โดยใช้คำจำกัดความเดียวกัน ดูการหารลงตัว (ทฤษฎีริง )

จำนวนเต็ม​${\displaystyle n}$หารลงตัวด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle m}$ถ้ามีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle k}$โดยที่${\displaystyle n=km.}$นี่คือข้อความที่เขียนไว้ว่า

${\displaystyle m\mid n.}$

อาจตีความได้ว่า${\displaystyle m}$แบ่งแยก${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$เป็นตัวหารของ${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$เป็นปัจจัยหนึ่งของ${\displaystyle n,}$หรือ${\displaystyle n}$เป็นผลคูณของ${\displaystyle m.}$ถ้า${\displaystyle m}$ไม่แบ่งแยก${\displaystyle n,}$ดังนั้นสัญลักษณ์จึงเป็นดังนี้${\displaystyle m\not \mid n.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

มีอนุสัญญาอยู่สองฉบับ ซึ่งแตกต่างกันตรงที่ว่า${\displaystyle m}$อนุญาตให้เป็นศูนย์ได้:

• โดยที่อนุสัญญาไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมใดๆ${\displaystyle m,}$${\displaystyle m\mid 0}$สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว${\displaystyle m.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}
• ด้วยข้อตกลงที่ว่า${\displaystyle m}$ต้องไม่เป็นศูนย์${\displaystyle m\mid 0}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน${\displaystyle m.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

ตัวหารอาจเป็นได้ ทั้ง จำนวนลบและจำนวนบวก แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วคำว่าตัวหารจะจำกัดอยู่เฉพาะตัวหารที่เป็นบวกเท่านั้น ตัวอย่างเช่น มีตัวหารของ 4 อยู่หกตัว ได้แก่ 1, 2, 4, -1, -2 และ -4 แต่โดยปกติแล้วจะกล่าวถึงเฉพาะตัวหารที่เป็นบวก (1, 2 และ 4) เท่านั้น

1 และ -1 หารลงตัว (เป็นตัวหารของ) ทุกจำนวนเต็ม ทุกจำนวนเต็ม (และจำนวนนิเสธของมัน) เป็นตัวหารของตัวมันเอง จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัวเรียกว่าจำนวนคู่และจำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัวเรียกว่าจำนวนคี่

1, −1,${\displaystyle n}$และ${\displaystyle -n}$เรียกว่าตัวหารที่ไม่สำคัญของ${\displaystyle n.}$ตัวหารของ${\displaystyle n}$ตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารธรรมดาเรียกว่าตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารธรรมดา (หรือตัวหารที่เข้มงวด^{[ 6 ]} ) จำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารธรรมดาอย่างน้อยหนึ่งตัวเรียกว่าจำนวนประกอบในขณะที่หน่วย −1 และ 1 และจำนวนเฉพาะไม่มีตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารธรรมดา

มีกฎการหารที่ช่วยให้เราสามารถระบุตัวหารบางตัวของจำนวนใดๆ ได้จากตัวเลขแต่ละหลักของจำนวนนั้น

• 7 เป็นตัวหารของ 42 เพราะว่า${\displaystyle 7\times 6=42,}$ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า${\displaystyle 7\mid 42.}$อาจกล่าวได้ว่า 42 หารด้วย 7 ลงตัว 42 เป็นพหุคูณของ 7 7 หาร 42 ลงตัว หรือ 7 เป็นตัวประกอบของ 42
• ตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ของ 6 ได้แก่ 2, -2 , 3, -3
• ตัวหารบวกของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
• เซตของตัวหารบวกทั้งหมดของ 60${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$เรียงลำดับบางส่วนตามการหารลงตัว มีแผนภาพ Hasse ดังนี้ :

มีกฎพื้นฐานบางประการ:

• ถ้า${\displaystyle a\mid b}$และ${\displaystyle b\mid c,}$แล้ว${\displaystyle a\mid c;}$กล่าวคือ การหารลงตัวเป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดได้
• ถ้า${\displaystyle a\mid b}$และ${\displaystyle b\mid a,}$แล้ว${\displaystyle a=b}$หรือ${\displaystyle a=-b.}$(นั่นคือ${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$(เป็นผู้ร่วมงาน )
• ถ้า${\displaystyle a\mid b}$และ${\displaystyle a\mid c,}$แล้ว${\displaystyle a\mid (b+c)}$ถือไว้ เช่นเดียวกับ${\displaystyle a\mid (bc).}$^[ก]อย่างไรก็ตาม ถ้า${\displaystyle a\mid b}$และ${\displaystyle c\mid b,}$แล้ว${\displaystyle (a+c)\mid b}$ไม่เป็นจริงเสมอไป (ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 2\mid 6}$และ${\displaystyle 3\mid 6}$แต่ 5 หาร 6 ไม่ลงตัว)
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle c}$สิ่งนี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากการเขียน${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$.

ถ้า${\displaystyle a\mid bc,}$และ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$แล้ว${\displaystyle a\mid c.}$^[ข]นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของยูคลิด

ถ้า${\displaystyle p}$เป็นจำนวนเฉพาะและ${\displaystyle p\mid ab}$แล้ว${\displaystyle p\mid a}$หรือ${\displaystyle p\mid b.}$

ตัวหารบวกของ${\displaystyle n}$ซึ่งแตกต่างจาก${\displaystyle n}$เรียกว่าตัวหารแท้หรือตัวหารแท้ส่วนแบ่งย่อยของ${\displaystyle n}$(ตัวอย่างเช่น ตัวหารแท้ของ 6 คือ 1, 2 และ 3) จำนวนที่ไม่สามารถหาร 6 ลงตัวได้${\displaystyle n}$แต่การเหลือเศษไว้บางครั้งเรียกว่าเศษเหลือส่วนที่เท่ากันของ${\displaystyle n.}$

จำนวนเต็ม${\displaystyle n>1}$จำนวนที่มีตัวหารแท้เพียงตัวเดียวคือ 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะ หรืออีกนัยหนึ่ง จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบบวกเพียงสองตัว คือ 1 และตัวมันเอง

ตัวหารบวกใดๆ ของ${\displaystyle n}$เป็นผลคูณของตัวหารเฉพาะของ${\displaystyle n}$โดยแต่ละจำนวนจะถูกยกกำลังด้วยค่าใดค่าหนึ่ง นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต

หมายเลข${\displaystyle n}$กล่าวได้ว่าจำนวนสมบูรณ์ คือ จำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ของจำนวนนั้น และกล่าวได้ ว่าจำนวน ขาดคือจำนวนที่น้อยกว่าผลรวมของตัวหารแท้ของจำนวนนั้น${\displaystyle n,}$และจะมากมายมหาศาลหากผลรวมนี้เกินกว่านี้${\displaystyle n.}$

จำนวนตัวหารบวกทั้งหมดของ${\displaystyle n}$เป็นฟังก์ชันการคูณ${\displaystyle d(n),}$หมายความว่าเมื่อตัวเลขสองตัว${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$จึงเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ตัวอย่างเช่น${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ตัวหารทั้งแปดของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 อย่างไรก็ตาม จำนวนตัวหารที่เป็นบวกไม่ได้เป็นฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์: ถ้าจำนวนสองจำนวนนั้น${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$หากมีตัวหารร่วมกัน ก็อาจจะไม่เป็นความจริงเสมอไปว่า${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ผลรวมของตัวหารบวกของ${\displaystyle n}$เป็นฟังก์ชันการคูณอีกแบบหนึ่ง${\displaystyle \sigma (n)}$(ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$ฟังก์ชันทั้งสองนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันตัวหาร

ถ้าการแยกตัวประกอบเฉพาะของ${\displaystyle n}$ได้รับจาก

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

จากนั้นจำนวนตัวหารบวกของ${\displaystyle n}$เป็น

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

และตัวหารแต่ละตัวมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

ที่ไหน${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

สำหรับธรรมชาติทุกอย่าง${\displaystyle n,}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

นอกจากนี้^{[ 7 ]}

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีการตีความหนึ่งของผลลัพธ์นี้คือ จำนวนเต็มบวกn ที่เลือกแบบสุ่ม จะมีจำนวนตัวหารโดยเฉลี่ยประมาณ${\displaystyle \ln n.}$อย่างไรก็ตาม นี่เป็นผลมาจากการมีส่วนร่วมของตัวเลขที่มีตัวหาร "มากผิดปกติ "

ในนิยามที่อนุญาตให้ตัวหารเป็น 0 ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวจะเปลี่ยนเซต${\displaystyle \mathbb {N} }$แลตทิซคือ เซตของจำนวนเต็มที่ไม่ เป็นลบเรียงลำดับบางส่วน ซึ่งเป็นแลตทิซแบบกระจายสมบูรณ์สมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของแลตทิซนี้คือ 0 และสมาชิกที่เล็กที่สุดคือ 1 การดำเนินการหาค่าร่วม(∧)กำหนดโดยตัวหารร่วมมากและการดำเนินการเชื่อม(∨)กำหนดโดยตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดแลตทิซนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกับแล ตทิ ซคู่ของแลตทิซของกลุ่มย่อย ของ กลุ่มวัฏจักรอนันต์Z

• ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• อัลกอริทึมแบบยูคลิด
• เศษส่วน (คณิตศาสตร์)
• การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
• ตารางตัวหาร–ตารางแสดงตัวหารเฉพาะและตัวหารที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับ 1–1000
• ตารางตัวประกอบเฉพาะ–ตารางตัวประกอบเฉพาะสำหรับตัวเลข 1–1000
• ตัวหารเอกภาพ