ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแผนผัง GorensteinคือแผนผังNoetherian เฉพาะ ที่ซึ่งวงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดเป็นGorenstein ^{[ 1 ]}บันเดิลเส้นแคนอนิกถูกกำหนดสำหรับแผนผัง Gorenstein ใดๆ บนฟิลด์ และคุณสมบัติของ มันคล้ายคลึงกับกรณีพิเศษของแผนผังเรียบ

สำหรับแผนผัง Gorenstein Xที่มีประเภทจำกัดเหนือฟิลด์f : X → Spec( k ) คอมเพล็กซ์คู่f ^! ( k ) บนXคือบันเดิลเส้น (เรียกว่าบันเดิลแคนอนิกK ) ซึ่งมองได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์ในระดับ −dim( X ) ^{[ 2 ]}ถ้าXเรียบในมิติnเหนือkบันเดิลแคนอนิกK สามารถระบุได้กับบันเดิลเส้น Ω ⁿ ของ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ระดับสูงสุด^{[ 3 ]}

เมื่อใช้บันเดิลมาตรฐานความเป็นคู่ของ Serreจะมีรูปแบบเดียวกันสำหรับแผนผัง Gorenstein เช่นเดียวกับแผนผังเรียบ

ให้Xเป็นสกีมปกติชนิดจำกัดบนฟิลด์kแล้วXจะเป็น สกี มปกติภายนอกเซตปิดที่มีมิติร่วมอย่างน้อย 2 ให้Uเป็นเซตเปิดที่Xเป็นสกีมปกติ แล้วบันเดิลแคนอนิกK จะเป็นบันเดิลเส้น การจำกัดจากกลุ่มชั้นตัวหาร Cl( X ) ไปยัง Cl( U ) เป็นไอโซมอร์ฟิซึม และ (เนื่องจากUเรียบ) Cl( U ) สามารถระบุได้กับกลุ่ม Picard Pic( U ) ดังนั้นK จึง กำหนด ชั้น สมมูลเชิงเส้นของตัวหาร WeilบนXตัวหารดังกล่าวเรียกว่าตัวหารแคนอนิกK สำหรับสกีมปกติXตัวหารแคนอนิกK เรียกว่าQ-Cartierถ้าตัวคูณบวกบางตัวของตัวหาร Weil K เป็นCartier (คุณสมบัตินี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวหาร Weil ในชั้นสมมูลเชิงเส้น) หรืออีกทางหนึ่ง สกีมปกติXที่มีK Q -Cartier บางครั้งเรียกว่าQ- Gorenstein

นอกจากนี้ ยังเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาแผนผังปกติXซึ่งตัวหารมาตรฐานK คือCartierแผนผังดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าQ-Gorenstein ที่มีดัชนี 1 (ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "Gorenstein" สำหรับคุณสมบัตินี้ แต่อาจทำให้เกิดความสับสนได้) แผนผังปกติXเป็น Gorenstein (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) ก็ต่อเมื่อK คือ Cartier และXคือCohen– Macaulay ^{[ 4 ]}

• วาไรตี้พีชคณิตที่มี จุดเอกฐาน ของการตัดกันแบบสมบูรณ์เฉพาะที่เช่นไฮเปอร์เซอร์เฟซ ใดๆ ในวาไรตี้เรียบ เรียกว่า โกเรนสไตน์^{[ 5 ]}
• วาไรตี้Xที่มีเอกฐานผลหารเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์คือ Cohen–Macaulay และK คือQ -Cartier วาไรตี้ผลหารของปริภูมิเวกเตอร์Vโดยการกระทำเชิงเส้นของกลุ่มจำกัดGคือ Gorenstein ถ้าGแมปไปยังกลุ่มย่อย SL( V ) ของการแปลงเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 ในทางตรงกันข้าม ถ้าXเป็นผลหารของC ²โดยกลุ่มวัฏจักร อันดับ nที่กระทำโดยสเกลาร์แล้วK ไม่ใช่ Cartier (และดังนั้นXไม่ใช่ Gorenstein) สำหรับn ≥ 3
• เมื่อขยายตัวอย่างก่อนหน้านี้ วาไรตี้X ทุกตัว ที่มี จุดเอกฐาน klt (Kawamata log terminal) เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์คือ Cohen–Macaulay และK คือQ -Cartier ^{[ 6 ]}
• ถ้าความหลากหลายXมี เอกฐาน แบบลอการิทึมแคนอนิกแล้วK จะเป็นQ -Cartier แต่Xไม่จำเป็นต้องเป็น Cohen–Macaulay ตัวอย่างเช่นกรวยแอฟฟินX ใดๆ เหนือความหลากหลายอาเบลYจะเป็นลอการิทึมแคนอนิก และK จะเป็น Cartier แต่Xไม่ใช่ Cohen–Macaulay เมื่อYมีมิติอย่างน้อย 2 ^{[ 7 ]}

• ผู้เขียนโครงการ Stacks Project, โครงการ Stacks Project