การอนุพันธ์เชิงเส้นRบนSคือ โฮโมมอร์ฟิ ซึมโมดูลR${\displaystyle d:S\to M}$ไปยังโมดูลS Mที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$(จากคำจำกัดความนี้จึงสรุปได้โดยอัตโนมัติว่าภาพของRอยู่ในเคอร์เนลของd ^{[ 1 ]} ) โมดูลของอนุพันธ์ Kähler ถูกกำหนดให้เป็นโมดูลS${\displaystyle \Omega _{S/R}}$ซึ่งมีที่มาสากล${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$เช่นเดียวกับคุณสมบัติสากล อื่นๆ นี่หมายความว่าdคือ การอนุมาน ที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในแง่ที่ว่าการอนุมานอื่นๆ สามารถได้มาจากการอนุมานนี้โดยการประกอบกับ โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Sกล่าวอีกนัยหนึ่งการประกอบกับd จะให้ ไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลSสำหรับทุกโมดูลS M

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

การสร้างΩ และd อย่างหนึ่ง ดำเนินการโดยการสร้างS-โมดูลอิสระที่มีตัวสร้างอย่างเป็นทางการds หนึ่งตัว สำหรับแต่ละsในSและกำหนดความสัมพันธ์

• dr = 0 ,
• d ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) = s dt + t ds ,

สำหรับทุกrในRและทุกsและtในSการอนุพันธ์สากลส่งsไปยังdsความสัมพันธ์เหล่านี้บ่งชี้ว่าการอนุพันธ์สากลเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลR

วิธีการสร้างอีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดให้Iเป็นอุดมคติในผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle S\otimes _{R}S}$กำหนดให้เป็นแกนหลักของแผนที่การคูณ

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

จากนั้นโมดูลของอนุพันธ์ Kähler ของSสามารถกำหนดได้อย่างเทียบเท่าโดย^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

และการอนุมานสากลคือโฮโมมอร์ฟิซึมdที่กำหนดโดย

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

โครงสร้างนี้เทียบเท่ากับโครงสร้างก่อนหน้านี้ เนื่องจากIคือแกนหลักของการฉายภาพ

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

ดังนั้นเราจึงได้ว่า:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

แล้ว${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$อาจระบุได้ด้วยIโดยใช้แผนที่ที่เกิดจากการฉายภาพเสริม

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

สิ่งนี้ระบุว่าIคือ โมดูล Sที่สร้างขึ้นโดยตัวสร้างเชิงรูปธรรมdsสำหรับsในSโดยมีเงื่อนไขว่าdเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของ โมดูล Rซึ่งส่งแต่ละองค์ประกอบของRไปยังศูนย์ การหาผลหารด้วย^I² จะทำให้กฎของไลบ์นิซมีผลบังคับใช้อย่างแม่นยำ

เช่นเดียวกับครั้งก่อน ให้แก้ไขแผนที่${\displaystyle X\to Y}$รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีดีกรีสูงกว่าจะถูกกำหนดให้เป็นกำลังภายนอก (เหนือ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$),

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

การสืบหาที่มา${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$ขยายไปสู่ลำดับของแผนที่อย่างเป็นธรรมชาติ

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

น่าพอใจ${\displaystyle d\circ d=0.}$นี่คือสารประกอบโคเชนที่รู้จักกันในชื่อสารประกอบเดอแรม (de Rham complex )

กลุ่มสารประกอบเดอแรมมีโครงสร้างการคูณเพิ่มเติมอีกอย่างหนึ่ง คือผลิตภัณฑ์รูปทรงลิ่ม

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

สิ่งนี้เปลี่ยนคอมเพล็กซ์เดอแรมให้เป็นพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบสลับที่ได้เกรดนอกจากนี้ยังมี โครงสร้าง โคอัลจีบราที่สืบทอดมาจากโครงสร้างบนพีชคณิตภายนอก^{[ 3 ]}

ไฮเปอร์โคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์เดอแรมของชีฟเรียกว่าโคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิตของXเหนือYและใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$หรือเพียงแค่${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$ถ้าYชัดเจนจากบริบท (ในหลายสถานการณ์Yคือสเปกตรัมของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์) โคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิตได้รับการแนะนำโดยGrothendieck (1966a)มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับโคฮอโมโลยีผลึก

ดังที่คุ้นเคยจากโคฮอโมโลยีที่สอดคล้องกันของชีฟกึ่งสอดคล้องกันอื่นๆ การคำนวณโคฮอโมโลยีของเดอแรมจะง่ายขึ้นเมื่อX = Spec SและY = Spec Rเป็นสกีมเชิงเส้น ในกรณีนี้ เนื่องจากสกีมเชิงเส้นไม่มีโคฮอโมโลยีระดับสูง${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$สามารถคำนวณได้จากโคฮอโมโลยีของกลุ่มเชิงซ้อนของกลุ่มอาเบเลียน

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

ซึ่งก็คือ ส่วนทั่วโลกของกลุ่มข้อมูล (sheaves) นั่นเอง${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$.

ยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจงสักตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่า${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$คือกลุ่มการคูณเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$เนื่องจากนี่เป็นแผนผังเชิงเส้นตรง ไฮเปอร์โคฮอโมโลยีจึงลดรูปเป็นโคฮอโมโลยีธรรมดา คอมเพล็กซ์เดอแรมเชิงพีชคณิตคือ

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

อนุพันธ์dเป็นไปตามกฎแคลคูลัสทั่วไป ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$เคอร์เนลและโคเคอร์เนลคำนวณโคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิต ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

และกลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิตอื่นๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ กลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$มีขนาดใหญ่กว่ามาก กล่าวคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

Since the Betti numbers of these cohomology groups are not what is expected, crystalline cohomology was developed to remedy this issue; it defines a Weil cohomology theory over finite fields.

If X is a smooth complex algebraic variety, there is a natural comparison map of complexes of sheaves

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

between the algebraic de Rham complex and the smooth de Rham complex defined in terms of (complex-valued) differential forms on ${\displaystyle X^{\text{an}}}$, the complex manifold associated to X. Here, ${\textstyle (-)^{\text{an}}}$ denotes the complex analytification functor. This map is far from being an isomorphism. Nonetheless, Grothendieck (1966a) showed that the comparison map induces an isomorphism

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

from algebraic to smooth de Rham cohomology (and thus to singular cohomology ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$ by de Rham's theorem). In particular, if X is a smooth affine algebraic variety embedded in ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$, then the inclusion of the subcomplex of algebraic differential forms into that of all smooth forms on X is a quasi-isomorphism. For example, if

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$,

then as shown above, the computation of algebraic de Rham cohomology gives explicit generators ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$ for ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$ and ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$, respectively, while all other cohomology groups vanish. Since X is homotopy equivalent to a circle, this is as predicted by Grothendieck's theorem.

Counter-examples in the singular case can be found with non-Du Bois singularities such as the graded ring ${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$ with ${\displaystyle y}$ where ${\displaystyle \deg(y)=3}$ and ${\displaystyle \deg(x)=2}$.^[4] Other counterexamples can be found in algebraic plane curves with isolated singularities whose Milnor and Tjurina numbers are non-equal.^[5]

A proof of Grothendieck's theorem using the concept of a mixed Weil cohomology theory was given by Cisinski & Déglise (2013).

If X is a smooth variety over a field k, then ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$ is a vector bundle (i.e., a locally free ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-module) of rank equal to the dimension of X. This implies, in particular, that

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

คือกลุ่มเส้นตรงหรือเทียบเท่ากับตัวหารเรียกอีกอย่างว่า ตัวหาร มาตรฐานตัวหารมาตรฐานนั้นเป็นคอมเพล็กซ์คู่ขนานและด้วยเหตุนี้จึงปรากฏในทฤษฎีบทสำคัญต่างๆ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เช่นทฤษฎีบทคู่ขนานของแซร์หรือทฤษฎีบทคู่ขนานของแวร์ดิเยร์

เจนัสเชิงเรขาคณิตของวาไรตี้พีชคณิต เรียบ Xที่มีมิติdเหนือฟิลด์kถูกกำหนดให้เป็นมิติ

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

สำหรับเส้นโค้ง นิยามเชิงพีชคณิตล้วนๆ นี้สอดคล้องกับนิยามเชิงโทโพโลยี (สำหรับ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$) ในฐานะ "จำนวนด้ามจับ" ของพื้นผิวรีมันน์ที่เกี่ยวข้องกับXมีการแบ่งแยกคุณสมบัติทางเรขาคณิตและทางเลขคณิตที่ค่อนข้างชัดเจนสามประการขึ้นอยู่กับจีนัสของเส้นโค้ง โดยที่gเป็น 0 ( เส้นโค้งเชิงตรรกะ ), 1 ( เส้นโค้งวงรี ) และมากกว่า 1 (พื้นผิวรีมันน์ไฮเปอร์โบลิก รวมถึงเส้นโค้งไฮเปอร์วงรี ) ตามลำดับ

ตามนิยามแล้ว บันเดิลแทนเจนต์ของวาไรตี้เรียบXคือ บันเดิลคู่ของชีฟโคแทนเจนต์${\displaystyle \Omega _{X/k}}$ทฤษฎีบทRiemann–Rochและการขยายความในวงกว้างของมัน คือทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochนั้น มีส่วนประกอบที่สำคัญอย่างหนึ่งคือกลุ่ม Toddของมัดสัมผัส

ชีฟของอนุพันธ์มีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดทางพีชคณิตเรขาคณิตต่างๆ มอร์ฟิซึม${\displaystyle f:X\to Y}$แผนการต่างๆ จะไม่แตกแขนงออกไปก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$เป็นศูนย์^{[ 6 ]}กรณีพิเศษของการยืนยันนี้คือสำหรับฟิลด์k${\displaystyle K:=k[t]/f}$สามารถแยกได้ตามkก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$ซึ่งสามารถอ่านได้จากการคำนวณข้างต้นเช่นกัน

มอร์ฟิซึมfที่มีชนิดจำกัด เรียกว่า มอร์ ฟิซึมเรียบถ้ามันเป็น มอร์ฟิซึมแบบ แบนราบและถ้า${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$เป็นบริการฟรีในท้องถิ่น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลที่มีลำดับที่เหมาะสม การคำนวณของ${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ด้านบนแสดงให้เห็นว่าเป็นการฉายภาพจากปริภูมิเชิงเส้นตรง${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$เรียบเนียน

โดยทั่วไปแล้ว คาบคือปริพันธ์ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดทางเลขคณิตบางอย่าง ^{[ 7 ]}ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของคาบคือ${\displaystyle 2\pi i}$ซึ่งเกิดขึ้นดังนี้

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

โคฮอโมโลยีเดอแรมเชิงพีชคณิตใช้ในการสร้างคาบดังต่อไปนี้: ^{[ 8 ]}สำหรับวาไรตี้เชิงพีชคณิตXที่กำหนดเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ความเข้ากันได้กับการเปลี่ยนฐานที่กล่าวถึงข้างต้นทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

ในทางกลับกัน กลุ่มโคฮอโมโลยีด้านขวาจะสมมูลกับโคฮอโมโลยีเดอแรมของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน${\displaystyle X^{\text{an}}}$ที่เกี่ยวข้องกับXซึ่งแสดงไว้ในที่นี้${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$ผลลัพธ์คลาสสิกอีกประการหนึ่งคือทฤษฎีบทของเดอ แรมซึ่งยืนยันถึงความเหมือนกันของกลุ่มโคฮอโมโลยีแบบหลังกับโคฮอโมโลยีเอกฐาน (หรือโคฮอโมโลยีชีฟ ) ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$ซึ่งตามทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากลแล้วจะมีลักษณะสมมาตรกับ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$การประกอบไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้เข้าด้วยกันจะทำให้ได้ปริภูมิเวกเตอร์เชิง ตรรกะสองปริภูมิ ซึ่งหลังจากทำการเทนเซอร์ด้วย${\displaystyle \mathbb {C} }$กลายเป็นไอโซมอร์ฟิก การเลือกฐานของปริภูมิย่อยเชิงตรรกะเหล่านี้ (เรียกอีกอย่างว่าแลตทิซ) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การเปลี่ยนฐานจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดไว้อย่างดีจนถึงการคูณด้วยจำนวนเชิงตรรกะ จำนวนดังกล่าวเรียกว่าคาบ

ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ดิฟเฟอเรนเชียล Kähler อาจใช้เพื่อศึกษาการแตกแขนงในส่วนขยายของฟิลด์จำนวนพีชคณิตหากL / Kเป็นส่วนขยายจำกัดที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มRและSตามลำดับไอเดียลที่แตกต่างกันδ ซึ่งเข้ารหัสข้อมูลการแตกแขนง จะเป็นตัวทำลายของโมดูลR Ω : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$