ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตไอเดียลที่แตกต่างกัน ( บางครั้งเรียกง่ายๆ ว่าไอเดียลที่แตกต่างกัน ) ถูกกำหนดขึ้นเพื่อวัดการขาดความเป็นคู่ (ที่เป็นไปได้) ในวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนพีชคณิตKโดยสัมพันธ์กับร่องรอยของฟิลด์จากนั้นมันจะเข้ารหัส ข้อมูล การแตกแขนงสำหรับไอเดียลเฉพาะของวงแหวนของจำนวนเต็ม ไอเดียลนี้ถูกนำเสนอโดยRichard Dedekindในปี 1882 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ถ้าO คือวงแหวนของจำนวนเต็มของKและtrแทนร่องรอยของฟิลด์จากKไปยังฟิลด์จำนวนตรรกยะQแล้ว

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}}$

เป็นรูปแบบกำลังสองเชิงอินทิกรัลบนO ค่า ดิสคริมิแนนต์ของมันในฐานะรูปแบบกำลังสองไม่จำเป็นต้องเป็น +1 (อันที่จริงสิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่K = Q เท่านั้น ) กำหนด อินเวอร์ สดิฟ เฟอเรนซ์ หรือ โคดิ ฟเฟอเรนซ์^{[ 3 ] [ 4 ]}หรือโมดูลเสริมของเดเดคินด์^{[ 5 ]}เป็นเซตIของx ∈ Kโดยที่ tr( xy ) เป็นจำนวนเต็มสำหรับy ทั้งหมด ในO แล้วIเป็นอุดมคติเศษส่วนของKที่มีO ตามคำนิยามอุดมคติดิฟเฟอเรนซ์ δ K อุดมคติเศษส่วนผกผันI ⁻¹ : มันเป็นอุดมคติของO

บรรทัดฐานในอุดมคติของδ เท่ากับอุดมคติของZที่สร้างขึ้นโดยดิ สคริมิแน น ต์สนามD ของ  K

ความแตกต่างขององค์ประกอบ α ของKกับพหุนามขั้นต่ำfถูกกำหนดให้เป็น δ(α) = f ′(α) ถ้า α สร้างฟิลด์K (และเป็นศูนย์ในกรณีอื่น): ^{[ 6 ]}เราอาจเขียนได้ว่า

${\displaystyle \delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\ }$

โดยที่ α ^{( i )}วิ่งผ่านรากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะของ α ยกเว้น α เอง^{[ 7 ]} อุดมคติที่แตกต่างกันถูกสร้างขึ้นโดยความแตกต่างของจำนวนเต็ม α ทั้งหมดในO K ^{6 ] [ 8 ] นี่} คือคำจำกัดความดั้งเดิมของ Dedekind ^{[ 9 ]}

ความแตกต่างนี้ยังถูกกำหนดไว้สำหรับการขยายระดับจำกัดของฟิลด์เฉพาะที่ด้วยมันมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินสำหรับฟิลด์ p- adic

ความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์ δ ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันสำหรับการขยายฟิลด์จำนวนL  /  Kบรรทัดฐานเชิงสัมพัทธ์ของความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์จะเท่ากับดิสคริมิแนนต์เชิงสัมพัทธ์ Δ ^{L / K [ 10 ]ฟิลด์ L} / K / ^Fความ  แตก  ต่าง  เชิง  สัมพัทธ์มีความสัมพันธ์กันโดย δ = δ δ ^{[ 5} ] ^{[ 11 ]}

ความแตกต่างสัมพัทธ์เท่ากับตัวทำลายของโมดูลเชิงอนุพันธ์ Kähler สัมพัทธ์ : ^{[ 10 ] [ 12 ]}${\displaystyle \โอเมก้า _{O_{L}/O_{K}}^{1}}$

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ สำหรับทุก }}y\in O_{L}\}.}$

ชั้นอุดมคติของความแตกต่างสัมพัทธ์ δ ^เป็นกำลังสองในกลุ่มชั้นของO เสมอ ซึ่งเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของL ^{[ 13} ] เนื่องจากดิสคริมิแนนต์สัมพัทธ์คือบรรทัดฐานของความ ^แตก ต่างสัมพัทธ์ จึงเป็นกำลังสองของชั้นในกลุ่มชั้นของO [ ^{14 ]}อันที่จริง มันคือกำลังสองของชั้น SteinitzสำหรับO ในฐานะโมดูลO ^{[ 15 ]}

ความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์เข้ารหัส ข้อมูล การแตกแขนงของส่วนขยายฟิลด์L  /  KอุดมคติเฉพาะpของKจะแตกแขนงในL ก็ต่อ เมื่อการแยกตัวประกอบของpในLประกอบด้วยจำนวนเฉพาะของLที่มีกำลังมากกว่า 1: ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อpหารค่าดิสคริมิแนนต์เชิงสัมพัทธ์ ΔL กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ถ้า

p = P ^{e (1)} ... P ^{e ( k )}

หากการแยกตัวประกอบของpเป็นอุดมคติเฉพาะของLแล้วP จะหารความแตกต่างสัมพัทธ์ δ ก็ต่อเมื่อP มีการแตกแขนง นั่นคือ ก็ต่อเมื่อดัชนีการแตกแขนงe ( i ) มากกว่า 1 ^{[ 11 ] [ 16 ]} เลขชี้กำลังที่แน่นอนซึ่งจำนวนเฉพาะที่แตกแขนงP หาร δ เรียกว่าเลขชี้กำลังเชิงอนุพันธ์ของPและเท่ากับe  − 1 ถ้าPมีการแตกแขนงแบบสงบนั่นคือ เมื่อPไม่หารe ^{[ 17 ]} ในกรณีที่P มี การ แตกแขนงแบบรุนแรง เลขชี้กำลังเชิง อนุพันธ์จะอยู่ในช่วงeถึงe  +  e ν (e) − 1 ^{[ 16 ] [ 18 ] [ 19 ]} เลขชี้กำลังเชิงอนุพันธ์สามารถคำนวณได้จากลำดับของกลุ่มการแตกแขนงที่สูงกว่าสำหรับส่วนขยายกาโลอิส : ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$$

ความแตกต่างอาจถูกกำหนดสำหรับส่วนขยายของฟิลด์ท้องถิ่นL  /  Kในกรณีนี้ เราอาจถือว่าส่วนขยายนั้นเรียบง่ายสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบดั้งเดิม α ซึ่งสร้างฐานปริพันธ์กำลัง ด้วยเช่นกัน ถ้าfเป็นพหุนามขั้นต่ำสำหรับ α แล้ว ความแตกต่างจะถูกสร้างขึ้นโดย  f' (α)