ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบกำลังสองคือพหุนามที่มีพจน์ทุกพจน์มีดีกรีสอง (" รูปแบบ " เป็นอีกชื่อหนึ่งของพหุนามเอกพันธุ์ ) ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$$

เป็นรูปแบบกำลังสองในตัวแปรxและyสัมประสิทธิ์มักอยู่ในฟิลด์ คงที่ Kเช่น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและเราพูดถึงรูปแบบกำลังสองบนKบนจำนวนจริง รูปแบบกำลังสองจะเรียกว่าเป็นรูปแบบแน่นอน (definite)ถ้ามีค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวแปรทั้งหมดเป็นศูนย์พร้อมกันเท่านั้น มิฉะนั้น จะเรียกว่าเป็นรูปแบบไอโซโทรปิก (isotropic )

รูปแบบกำลังสองมีบทบาทสำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ รวมถึงทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเชิงเส้นทฤษฎีกลุ่ม ( กลุ่มเชิงตั้งฉาก ) เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ( เมตริกรีมันน์รูปแบบพื้นฐานที่สอง ) โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ( รูปแบบการตัดกันของแมนิโฟลด์โดยเฉพาะแมนิโฟลด์สี่มิติ ) ทฤษฎีลี ( รูปแบบคิลลิง ) และสถิติ (ซึ่งเลขชี้กำลังของการแจกแจงปกติหลายตัวแปรที่ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ มีรูปแบบกำลังสองเป็น(−1/2) x ^T ‍ Σ⁻¹ ‍ x )

รูปแบบกำลังสองไม่ควรสับสนกับ สมการกำลังสองซึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอาจมีพจน์ที่มีดีกรีน้อยกว่าสอง รูปแบบกำลังสองเป็นตัวอย่างเฉพาะของแนวคิดทั่วไปเรื่องรูป แบบ

รูปแบบกำลังสอง คือ พหุนามกำลังสองเอกพันธุ์ใน ตัวแปร nตัว ในกรณีที่มีตัวแปรหนึ่ง สอง และสามตัว จะเรียกว่ารูปแบบเอกภาครูปแบบทวิภาคและรูปแบบไตร ภาค ตามลำดับ และมีรูปแบบที่ชัดเจนดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}}$$

โดยที่a , ^... , fคือสัมประสิทธิ์ [ ^{1 ]}

ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองและวิธีการที่ใช้ในการศึกษาขึ้นอยู่กับธรรมชาติของสัมประสิทธิ์เป็นอย่างมาก ซึ่งอาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน จำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็มในพีชคณิตเชิงเส้นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ และในการประยุกต์ใช้รูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ สัมประสิทธิ์จะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ในทฤษฎีพีชคณิต ของรูปแบบกำลังสอง สัมประสิทธิ์จะเป็นองค์ประกอบของฟิลด์ ที่กำหนด ในทฤษฎีเลขคณิตของรูปแบบกำลังสอง สัมประสิทธิ์จะเป็นของวงแหวนสลับ ที่คงที่ ซึ่งมักจะ เป็นจำนวนเต็มZหรือจำนวนเต็มp -adic Z ^{[ 2 ]}รูปแบบกำลังสองแบบไบนารีได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีของฟิลด์กำลังสองเศษส่วนต่อเนื่องและรูปแบบมอ ดูลาร์ ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์ใน ตัวแปร nตัวมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

โดยใช้พิกัดเอกพันธุ์รูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ใน ตัวแปร nตัว กำหนด ควอดริก เชิงโปรเจกทีฟมิติ( n − 2)ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติ( n − 1)ด้วยวิธีนี้ เราสามารถมองเห็นรูปแบบกำลังสองจริงสามมิติเป็นภาคตัดกรวย ได้ ตัวอย่างหนึ่งคือ ปริภูมิยุคลิดสามมิติและกำลังสองของนอร์มยุคลิดที่แสดงระยะห่างระหว่างจุดที่มีพิกัด( x , y , z )กับจุดกำเนิด: $${\displaystyle q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความหมายเชิงเรขาคณิตคือปริภูมิกำลังสองซึ่งเป็นคู่( V , q )โดยที่V เป็น ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kและq  : V → Kเป็นรูปแบบกำลังสองบนVดูคำจำกัดความของรูปแบบกำลังสองบนปริภูมิเวกเตอร์ได้ ในหัวข้อ § คำจำกัดความ ด้านล่าง

การศึกษารูปแบบกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำถามที่ว่าจำนวนเต็มที่กำหนดสามารถเป็นค่าของรูปแบบกำลังสองเหนือจำนวนเต็มได้หรือไม่ มีมานานหลายศตวรรษแล้ว กรณีหนึ่งคือทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน^ซึ่งกำหนดว่าเมื่อใดจำนวนเต็มสามารถแสดงในรูปx² ⁺ y² ได้ โดยที่xและyเป็นจำนวนเต็ม ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการค้นหาสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนซึ่งปรากฏขึ้นในช่วงสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช^{[ 3 ]}

^{ใน ปี}ค.ศ. 628 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อBrahmaguptaได้เขียนBrāhmasphuṭasiddhāntaซึ่งรวมถึงการศึกษาเกี่ยวกับสมการในรูปแบบ x² − ny² = c ในบรรดาเรื่องอื่นๆ อีกมากมาย^เขาได้พิจารณาสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าสมการของ Pell คือ x² − ny² ⁼ 1และพบวิธีการแก้สม^การนี้ [ 4 ^{]ในยุโรป}ปัญหา นี้ได้รับการศึกษาโดยBrouncker , EulerและLagrange

ในปี ค.ศ. 1801 เกาส์ได้ตีพิมพ์หนังสือDisquisitiones Arithmeticaeซึ่งส่วนสำคัญส่วนหนึ่งนั้นอุทิศให้กับทฤษฎีที่สมบูรณ์ของรูปแบบกำลังสองแบบไบนารีบนจำนวนเต็มนับตั้งแต่นั้นมา แนวคิดนี้ได้รับการขยายความ และความเชื่อมโยงกับฟิลด์จำนวนกำลังสองกลุ่มมอดูลาร์และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็ได้รับการอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

เมทริกซ์A ขนาด n × nใดๆจะกำหนดรูปแบบกำลังสองq ใน ตัวแปร nตัว โดย ที่A = ( a )และ โดยที่เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ขนาด n × 1$${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,}$$${\displaystyle \mathbf {x} }$

พิจารณากรณีของรูปแบบกำลังสองในสามตัวแปรx , y , zเมทริกซ์Aมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.}$$

สูตรข้างต้นให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.}$$

ดังนั้น เมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่แตกต่างกันจะกำหนดรูปแบบกำลังสองเดียวกันได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทั้งสองมีองค์ประกอบบนแนวทแยงมุมเหมือนกัน และมีค่าผลรวมb + d , c + gและf + h เหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบกำลังสองq ถูกกำหนดโดยเมทริกซ์สมมาตรที่ ไม่ซ้ำกันเพียงเมทริกซ์เดียว$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.}$$

หลักการนี้สามารถนำไปใช้กับตัวแปรจำนวนใดๆ ก็ได้ ดังนี้

กำหนดให้รูปแบบกำลังสองq บนจำนวนจริง ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์A = [ a ]^{n , n} โดยที่ดัชนีiและjเปลี่ยนแปลงอย่างอิสระจาก1ถึงn ≥ 2เมทริกซ์

$${\displaystyle B\equiv \left[{\frac {a_{\;\!ij}+a_{\;\!ji}}{2}}\right]_{i,j=1,1}^{n,n}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)}$$

เป็นเมทริกซ์สมมาตรกำหนดรูปแบบกำลังสองแบบเดียวกับA และเป็นเมทริกซ์สมมาตรเพียงหนึ่งเดียวที่กำหนดq

ดังนั้น บนจำนวนจริง (และโดยทั่วไป บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะแตกต่างจากสอง) จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างรูปแบบกำลังสองและเมทริกซ์สมมาตรที่กำหนดรูปแบบเหล่านั้น

ปัญหาพื้นฐานประการหนึ่งคือการจำแนกประเภทของรูปแบบกำลังสองจริงภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น

จาโคบีพิสูจน์ว่าสำหรับรูปแบบกำลังสองจริงทุกรูปแบบ จะมีการทำให้เป็นแนวทแยงมุมเชิงตั้งฉากนั่นคือการเปลี่ยนตัวแปรเชิงตั้งฉากที่ทำให้รูปแบบกำลังสองอยู่ใน " รูปแบบแนวทแยงมุม " โดยที่เมทริกซ์สมมาตรที่เกี่ยวข้องเป็น เมทริกซ์ แนวทแยงมุมยิ่งไปกว่านั้น สัมประสิทธิ์λ , λ , ..., λ จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงการเรียงสับเปลี่ยน^{[ 5 ]}$${\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}__{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}__{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}__{n}^{2},}$$

ถ้าการเปลี่ยนตัวแปรถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ผกผันที่ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก เราสามารถสมมติได้ว่าสัมประสิทธิ์ λi ทั้งหมดเป็น , +1 หรือ −1 กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์กล่าวว่าจำนวนของ0 , +1และ−1 แต่ละตัว เป็นค่าคงที่ของรูปแบบกำลังสอง ในแง่ที่ว่าการทำให้เป็นแนวทแยงมุมอื่นๆ จะมีจำนวนของแต่ละค่าเท่าเดิมลายเซ็นของรูปแบบกำลังสองคือสามตัว( n0 n , n− โดยที่ส่วนประกอบเหล่านี้คือจำนวนของ0 , จำนวนของ+1และจำนวนของ−1ตามลำดับ กฎความเฉื่อยของ ซิลเวสเตอร์แสดงให้เห็นว่านี่เป็นปริมาณที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งเกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง

กรณีที่λi ทุก มีเครื่องหมายเดียวกันนั้นมีความสำคัญเป็นพิเศษ ในกรณีนี้ รูปแบบกำลังสองจะเรียกว่า รูปแบบบวกแน่นอน (λi ทุกตัวเป็น +1 ) หรือรูปแบบลบแน่นอน (λi ทุกตัวเป็น −1 ) หากไม่มีพจน์ใดเป็น0รูปแบบนั้นจะเรียกว่าไม่เสื่อมสภาพ (nondegenerate ) ซึ่งรวมถึงรูปแบบกำลังสองบวกแน่นอน (positive definite),รูปแบบกำลังสองลบแน่นอน (negative definite) และรูปแบบกำลังสองไอโซโทรปิก (isotropic quadratic(ส่วนผสมของ+1และ−1) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพคือรูปแบบที่มีรูปแบบสมมาตรที่เกี่ยวข้องnondegenerate bilinear form) ปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพแบบไม่จำกัดดัชนี( p , q )(จำนวนpของ+1และจำนวน qของ−1) มักจะถูกแทนด้วยℝ ^{p , q}โดยเฉพาะในทฤษฎีฟิสิกส์ของปริภูมิเวลา

ตัวแยกแยะของรูปแบบกำลังสอง ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือคลาสของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ตัวแทนในK / ( K ^× ) ² (จนถึงกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์) สามารถกำหนดได้เช่นกัน และสำหรับรูปแบบกำลังสองจริงนั้นเป็นค่าคงที่ที่หยาบกว่าลายเซ็น โดยมีค่าเพียง "บวก ศูนย์ หรือลบ" ศูนย์สอดคล้องกับรูปแบบที่เสื่อมสภาพ ในขณะที่สำหรับรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพ ค่านี้คือความเท่าเทียมกันของจำนวนสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบ(−1) ⁿ .

ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการเรียบเรียงใหม่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไปดังต่อไปนี้

ให้qเป็นรูปแบบกำลังสองที่กำหนดบน ปริภูมิเวกเตอร์ จริงnมิติให้Aเป็นเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองqในฐานที่กำหนด นั่นหมายความว่าA เป็น เมทริกซ์สมมาตรn × nโดยที่ x คือเวกเตอร์คอลัมน์ของพิกัดของvในฐานที่เลือก ภายใต้การเปลี่ยนฐาน คอลัมน์xจะถูกคูณทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผันn × n Sและเมทริก ซ์จัตุรัสสมมาตร Aจะถูกแปลงเป็นเมทริก ซ์จัตุรัสสมมาตร B อีกเมทริกซ์หนึ่ง ที่มีขนาดเท่ากันตามสูตร $${\displaystyle q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax,}$$$${\displaystyle A\to B=S^{\mathsf {T}}AS~.}$$

เมทริกซ์สมมาตรใดๆAสามารถแปลงเป็นเมทริกซ์แนวทแยงได้ โดยการเลือกเมทริกซ์เชิงตั้งฉากS ที่เหมาะสม และค่าในแนวทแยงของBจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน – นี่คือทฤษฎีบทของจาโคบี ( ดูเมทริกซ์สมมาตรเฉียง) ถ้าอนุญาตให้ S เป็นเมทริกซ์ผกผันใดๆ B จะมีเพียง 0, +1 และ -1 บนแนวทแยงเท่านั้น และจำนวนของค่าแต่ละประเภท (n₀ สำหรับ 0, n⁺ สำหรับ +1 และn⁻สำหรับ-1 )ขึ้นอยู่กับAเท่านั้นนี่คือหนึ่งในแบบของกฎความเฉื่อยของซิเวส  เตอร์  และ n⁺ และ n⁻ ว่าดัชนีความเฉื่อยบวกและลบแม้ว่าคำของพวกมันจะเกี่ยวข้องกับการเลือกฐานและการพิจารณาเมทริกซ์สมมาตรจริงA ที่สอดคล้องกัน แต่กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์หมายความว่าพวกมันเป็นค่าคงที่ของรูปแบบกำลัง  สอง q$${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$$

รูปแบบกำลังสองqเป็นแบบบวกแน่นอน ถ้าq ( v ) > 0 (ในทำนองเดียวกัน เป็นแบบลบแน่นอน ถ้าq ( v ) < 0 ) สำหรับทุกเวกเตอร์vที่ ไม่ใช่ศูนย์ ^{[ 6 ]}เมื่อq ( v )มีค่าทั้งบวกและลบqจะเป็นรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิกทฤษฎีบทของ Jacobi และSylvesterแสดงให้เห็นว่ารูปแบบกำลังสองแบบบวกแน่นอนใดๆ ใน ตัวแปร nตัว สามารถนำมาสร้างเป็นผลรวมของ กำลังสอง n ตัวได้ โดยการแปลงเชิงเส้นแบบผกผันที่เหมาะสม: ในทางเรขาคณิต มีเพียงรูปแบบกำลังสองจริงแบบบวกแน่นอนเพียงรูปแบบเดียว ในทุกมิติ กลุ่มไอโซเมตรี ของมัน เป็นกลุ่มออร์โธโกนอลแบบกะทัดรัด ซึ่ง โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์O( n )ซึ่งแตกต่างจากกรณีของรูปแบบไอโซโทรปิก เมื่อกลุ่มที่สอดคล้องกันกลุ่มออร์โธโกนอลแบบไม่แน่นอนO( p , q )นั้นไม่กะทัดรัด นอกจากนี้กลุ่มไอโซเมตรีของQและ− Qเหมือนกัน ( O( p , q ) ≈ O( q , p ) ) แต่พีชคณิตคลิฟฟอร์ด ที่เกี่ยวข้อง (และด้วยเหตุนี้กลุ่มพิน ) แตกต่างกัน

รูปแบบกำลังสองเหนือฟิลด์Kคือแผนที่q  : V → K จาก ปริภูมิเวกเตอร์Kมิติจำกัด ไปยัง Kโดยที่q ( av ) = a ² q ( v )สำหรับทุกa ∈ K , v ∈ Vและฟังก์ชันq ( u + v ) − q ( u ) − q ( v )เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น

กล่าวโดยละเอียดแล้วรูปแบบกำลังสอง n ตัวแปรเหนือฟิลด์ K คือพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี 2 ใน ตัวแปร nตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในK : $${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$$

สูตรนี้สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้เมทริกซ์: ให้xเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีส่วนประกอบx , ..., x และA = ( a )เป็น เมทริกซ์ n × nบนKซึ่งมีสมาชิกเป็นสัมประสิทธิ์ของqแล้ว $${\displaystyle q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.}$$

เวกเตอร์v = ( x , ..., x )เป็นเวกเตอร์ศูนย์ถ้าq ( v ) = 0

รูปแบบกำลัง สองnตัวแปรφและψเหนือKจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีการแปลงเชิงเส้นไม่เอกฐานC ∈ GL ( n , K )อยู่จริง โดยที่ $${\displaystyle \psi (x)=\varphi (Cx).}$$

ให้ลักษณะเฉพาะของKแตกต่างจาก2 [ ^{7 ] เมท}ริกซ์สัมประสิทธิ์Aของqอาจถูกแทนที่ด้วยเมทริกซ์สมมาตร( A + A ^T )/2ที่มีรูปแบบกำลังสองเดียวกัน ดังนั้นจึงอาจสันนิษฐานได้ตั้งแต่เริ่มต้นว่าAเป็นเมทริกซ์สมมาตร ยิ่งไปกว่านั้น เมทริกซ์สมมาตรAจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยรูปแบบกำลังสองที่สอดคล้องกัน ภายใต้ความสมมูลCเมทริกซ์สมมาตรAของφและเมทริกซ์สมมาตรBของψมีความสัมพันธ์กันดังนี้: $${\displaystyle B=C^{\mathsf {T}}AC.}$$

รูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสองqถูกกำหนดโดย $${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}ขวาน}$$

ดังนั้นb จึง เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบนKที่มีเมทริกซ์Aในทางกลับกัน รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรใดๆbจะกำหนดรูปแบบกำลังสอง และกระบวนการทั้งสองนี้เป็นส่วนกลับของกันและกัน ผลที่ตามมาคือ บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 ทฤษฎีของรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรและรูปแบบกำลังสองใน ตัวแปร nตัวจึงเหมือนกันโดยพื้นฐาน $${\displaystyle q(x)=b(x,x),}$$

กำหนดให้V เป็น ปริภูมิเวกเตอร์nมิติเหนือฟิลด์KรูปแบบกำลังสองบนVคือฟังก์ชันQ  : V → Kที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับฐานบางฐาน ฟังก์ชันqที่แมปพิกัดของv ∈ VไปยังQ ( v )เป็นรูปแบบกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าV = Knที่มีฐานมาตรฐานจะได้ ^ว่า$${\displaystyle q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{สำหรับ}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.}$$

สูตรการเปลี่ยนฐานแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติของการเป็นรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานเฉพาะในVแม้ว่ารูปแบบกำลังสองqจะขึ้นอยู่กับการเลือกฐานก็ตาม

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดและมีรูปแบบกำลังสอง เรียกว่าปริภูมิกำลังสอง

แผนที่Qเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรี 2 ซึ่งหมายความว่ามีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกค่าaในKและvในV : $${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v).}$$

เมื่อค่าลักษณะเฉพาะของKไม่เท่ากับ 2 แผนที่ทวิเชิงเส้นB  : V × V → KบนKจะถูกกำหนดดังนี้: รูปแบบทวิเชิงเส้น B นี้เป็นแบบสมมาตร นั่นคือB ( x , y ) = B ( y , x )สำหรับทุกx , yในVและมันจะกำหนดQ : Q ( x ) = B ( x , x )สำหรับ ทุกxในV$${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).}$$

เมื่อลักษณะเฉพาะของKคือ 2 ซึ่ง 2 ไม่ใช่หน่วยก็ยังคงสามารถใช้รูปแบบกำลังสองเพื่อกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรB ′( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y )ได้ อย่างไรก็ตามQ ( x )ไม่สามารถกู้คืนจากB ′ นี้ ด้วยวิธีเดียวกันได้อีกต่อไป เนื่องจากB ′( x , x ) = 0สำหรับทุกx (และจึงเป็นแบบสลับ) ^{[ 8 ]}หรืออีกทางหนึ่ง จะมีรูปแบบทวิเชิงเส้น B ″ อยู่เสมอ( โดยทั่วไปแล้วไม่เฉพาะเจาะจงหรือสมมาตร) ซึ่งB ″( x , x ) = Q ( x )

คู่( V , Q )ที่ประกอบด้วยปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVเหนือKและแผนที่กำลังสองQจากVไปยังKเรียกว่าปริภูมิกำลังสองและBตามที่นิยามไว้ในที่นี้คือรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่เกี่ยวข้องของQแนวคิดของปริภูมิกำลังสองเป็นรูปแบบที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของแนวคิดของรูปแบบกำลังสอง บางครั้งQก็ถูกเรียกว่ารูปแบบกำลังสองเช่นกัน

ปริภูมิกำลัง สองnมิติ( V , Q )และ( V ′, Q ′) สองปริภูมิ เป็นไอโซเมตริกกันถ้ามีการแปลงเชิงเส้นผกผันได้T  : V → V ′ ( ไอโซเมตริก ) อยู่จริง โดยที่ $${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ สำหรับทุก }}v\in V.}$$

ชั้นไอโซเมตรีของปริภูมิ กำลังสองมิติn เหนือ Kสอดคล้องกับชั้นสมมูลของรูปแบบกำลังสองn ตัวแปรเหนือ K

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ M เป็นโมดูลR และ b :  M × M → R เป็นรูปแบบเชิงเส้นคู่R ^{[ 9 ]}การแมปq  : M → R  : v ↦ b ( v , v )เป็นรูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้องของbและB  : M × M → R  : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) − q ( u ) − q ( v )เป็นรูปแบบเชิงขั้วของq

รูปแบบกำลังสองq  : M → Rสามารถอธิบายได้ในวิธีที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

• มี รูปแบบ R -bilinear b  : M × M → Rอยู่จริง โดยที่q ( v )เป็นรูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้อง
• q ( av ) = a2q ( v )สำหรับทุก a ∈ Rและ v ∈ Mและรูปแบบเชิงขั้วของ^qเป็น R - bilinear

สมาชิกสองตัวv และ w ของ V เรียกว่าตั้งฉากกัน ถ้า B(v, w) = 0 เคอร์เนลของรูปแบบทวิเชิงเส้นBประกอบด้วยสมาชิกที่ตั้งฉากกับทุกสมาชิกของV Q ไม่เป็นเอกฐานถ้าเคอร์เนลของรูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องคือ{0} ถ้ามีv ที่ไม่เป็นศูนย์ ในVซึ่งทำให้Q ( v ) = 0รูปแบบกำลังสองQจะเป็นไอโซโทรปิกมิฉะนั้นจะเป็นดีเจนต์ ศัพท์เฉพาะนี้ยังใช้กับเวกเตอร์และปริภูมิย่อยของปริภูมิกำลังสองด้วย ถ้าการจำกัดของQบนปริภูมิย่อยUของVเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์แล้วUจะเป็นเอกฐานโดยสมบูรณ์

กลุ่มออร์โธโกนอลของฟอร์มกำลังสองที่ไม่เอกฐานQคือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นของVที่รักษาQ ไว้ กล่าวคือ กลุ่มของไอโซเมตรีของ( V , Q )ไปยังตัวมันเอง

ถ้าปริภูมิกำลังสอง( A , Q )มีผลคูณที่ทำให้Aเป็นพีชคณิตเหนือฟิลด์และสอดคล้องกับเงื่อนไข แล้วปริภูมินั้นจะเป็นพีชคณิต การประกอบ$${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),}$$

รูปแบบกำลังสอง qทุกรูป แบบ ใน ตัวแปร nตัว บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 นั้นเทียบเท่ากับรูปแบบแนวทแยง$${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$$

รูปแบบแนวทแยงดังกล่าว มักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์⟨ a , ..., a ⟩ดังนั้น การจำแนกรูปแบบของกำลังสองทั้งหมดจนถึงความเท่าเทียมกัน จึงสามารถลดทอนลงเหลือเพียงกรณีของรูปแบบแนวทแยงได้

โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนในสามมิติ ให้x ≡ [ x , y , z ] ^Tและให้Aเป็น เมทริกซ์ สมมาตรขนาด 3x3 ลักษณะทางเรขาคณิตของเซตคำตอบของสมการx ^T A x + b ^T x = 1ขึ้นอยู่กับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริก  ซ์ A

ถ้า ค่าไอเกนทั้งหมดของ เมทริกซ์ Aไม่เป็นศูนย์ เซตคำตอบจะเป็นทรงรีหรือทรงไฮเปอร์โบโลอิดถ้าค่าไอเกนทั้งหมดเป็นบวก เซตคำตอบจะเป็นทรงรี ถ้าค่าไอเกนทั้งหมดเป็นลบ เซตคำตอบจะเป็นทรงรีจินตภาพ (เราจะได้สมการของทรงรีแต่มีรัศมีเป็นจินตภาพ) ถ้าค่าไอเกนบางค่าเป็นบวกและบางค่าเป็นลบ เซตคำตอบจะเป็นทรงไฮเปอร์โบโลอิด ถ้าค่าไอเกนทั้งหมดเท่ากันและเป็นบวก เซตคำตอบจะเป็นทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงรีที่มีแกนทุกแกนเท่ากัน ซึ่งสอดคล้องกับการมีค่าไอเกนเท่ากัน)

ถ้ามีค่าไอเกนอย่างน้อยหนึ่งค่าλ = 0รูปร่างของเซตคำตอบจะขึ้นอยู่กับค่าb ที่สอดคล้องกัน ถ้าค่าb ที่สอดคล้องกัน ≠ 0เซตคำตอบจะเป็นพาราโบลา (ทั้งแบบวงรีหรือแบบไฮเปอร์โบลา) แต่ถ้าค่าb ที่สอดคล้องกัน = 0มิติiจะลดลงและไม่มีผล ความหมายทางเรขาคณิตจะถูกกำหนดโดยค่าไอเกนอื่นๆ และส่วนประกอบอื่นๆ ของbเมื่อเซตคำตอบเป็นพาราโบลาจะเป็นแบบวงรีหรือแบบไฮเปอร์โบลาจะถูกกำหนดโดยว่าค่าไอเกนที่ไม่เป็นศูนย์อื่นๆ ทั้งหมดมีเครื่องหมายเดียวกันหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นจะเป็นแบบวงรี มิฉะนั้นจะเป็นแบบไฮเปอร์โบลา

รูปแบบกำลังสองบนวงแหวนของจำนวนเต็มเรียกว่ารูปแบบกำลังสองเชิงอินทิกรัลในขณะที่โมดูลที่สอดคล้องกันเรียกว่าแลตทิซกำลังสอง (บางครั้งเรียกว่าแลตทิซ เฉยๆ ) พวกมันมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวนและโทโพโลยี

รูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์จะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม เช่นx² + xy + y² ^{หรือกล่าว}อีกนัยหนึ่งคือ เมื่อกำหนดแลตทิซΛในปริภูมิเวกเตอร์V (เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 เช่นQหรือR ) รูปแบบกำลังสองQจะเป็นปริพันธ์เทียบกับΛก็ต่อเมื่อมีค่าเป็นจำนวนเต็มบนΛ เท่านั้น นั่นหมายความว่าQ ( x , y ) ∈ Zถ้าx , y ∈ Λ

นี่คือความหมายที่ใช้ในปัจจุบัน ในอดีตอาจมีการใช้คำนี้ในความหมายที่แตกต่างออกไป ดังรายละเอียดด้านล่าง

ในอดีตเคยมีความสับสนและข้อโต้แย้งเกี่ยวกับความหมายของรูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์ ว่า ควรมีความหมายอย่างไร:

สองใน

รูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สมมาตรที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

สองออก

พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม (ดังนั้นเมทริกซ์สมมาตรที่เกี่ยวข้องอาจมีสัมประสิทธิ์ครึ่งจำนวนเต็มอยู่นอกแนวทแยงมุม)

การถกเถียงนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความสับสนระหว่างรูปแบบกำลังสอง (ซึ่งแทนด้วยพหุนาม) และรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตร (ซึ่งแทนด้วยเมทริกซ์) และปัจจุบัน "สองเอาด์ออก" กลายเป็นธรรมเนียมที่ยอมรับกัน ในขณะที่ "สองอิน" เป็นทฤษฎีของรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรเชิงปริพันธ์ (เมทริกซ์สมมาตรเชิงปริพันธ์)

^{ใน รูป}แบบ "สองใน" รูปแบบกำลังสองแบบไบนารีจะมีรูปแบบเป็น^ax² + 2bxy + cy² ซึ่งแทนด้วยเมทริกซ์สมมาตร นี่คือแบบแผนที่เกาส์ใช้ในDisquisitiones Arithmeticae $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$$

^{ในระบบเลขฐานสองแบบ "สองออก" รูปแบบกำลังสอง จะ}มีรูปแบบเป็น^ax² + bxy + cy² ซึ่งแทนด้วยเมทริกซ์สมมาตร $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.}$$

มีหลายมุมมองที่ทำให้ การใช้ กฎสองข้อ (twos out)กลายเป็นมาตรฐาน ซึ่งได้แก่:

• ความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎี 2-adic ของรูปแบบกำลังสอง ซึ่งเป็นแหล่งที่มาของความยากลำบากในระดับ 'ท้องถิ่น'
• ความสามารถในการแสดงรูปแบบกำลังสองใดๆ ในลักษณะเฉพาะที่ 2 ผ่านเมทริกซ์ (ไม่จำเป็นต้องสมมาตร)
• มุม มองแบบโครง ข่ายซึ่งโดยทั่วไปแล้วผู้เชี่ยวชาญด้านเลขคณิตของรูปแบบกำลังสองได้นำมาใช้ในช่วงทศวรรษ 1950;
• ความต้องการที่แท้จริงของทฤษฎีรูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์ในทางโทโพโลยีสำหรับทฤษฎีจุดตัด
• กลุ่มลีและแง่มุมของกลุ่มพีชคณิต

^{รูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์ที่ มี}ภาพประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทั้งหมด บางครั้งเรียกว่ารูป แบบสากล ทฤษฎีบทกำลังสองสี่เท่าของลากรองจ์แสดงให้เห็นว่า w² + x² + y² + z²เป็น^รูปแบบ^สากลรามานุ^จันได้ขยาย^ความaw² + bx² + cy² + ^dz²นี้และพบมัลติเซต{ a , b , c , d ^{} จำนวน 54 เซต ซึ่งแต่ละ} เซต สามารถสร้างจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ^ได้ได้แก่

นอกจากนี้ยังมีรูปแบบที่ภาพของมันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ยกเว้นเพียงจำนวนเดียว ตัวอย่างเช่น{1, 2, 5, 5}มี 15 เป็นข้อยกเว้น เมื่อไม่นานมานี้ทฤษฎีบท 15 และ 290ได้ให้ลักษณะเฉพาะของรูปแบบกำลังสองเชิงปริพันธ์สากลอย่างสมบูรณ์: ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม มันจะแทนจำนวนเต็มบวกทั้งหมดก็ต่อเมื่อมันแทนจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 290; ถ้ามันมีเมทริกซ์เชิงปริพันธ์ มันจะแทนจำนวนเต็มบวกทั้งหมดก็ต่อเมื่อมันแทนจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 15

• รูปแบบกำลังสองε
• รูปทรงลูกบาศก์
• ตัวแยกแยะของรูปแบบกำลังสอง
• ทฤษฎีบท Hasse–Minkowski
• ควอดริก
• รูปแบบกำลังสองสามตัวของรามานุจัน
• คลาสสี่เหลี่ยม
• กลุ่มวิทท์
• ทฤษฎีบทของวิทท์

• Cassels, JWS (1978). รูปแบบกำลังสองเชิงตรรกะ . เอกสารทางคณิตศาสตร์ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน เล่มที่ 13. สำนักพิมพ์ Academic Press . ISBN 0-12-163260-1. Zbl  0395.10029 .
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). เลขคณิตของรูปแบบกำลังสอง . Cambridge Tracts in Mathematics. เล่มที่ 106. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). บทนำสู่รูปแบบกำลังสองเหนือฟิลด์การศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์เล่มที่ 67 สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN 0-8218-1095-2. นาย 2104929 . Zbl  1068.11023 .
• มิลเนอร์ เจ. ; Husemoller, D. (1973) แบบฟอร์ม Bilinear แบบสมมาตรErgebnisse der Mathematik และ Grenzgebiete ฉบับที่ 73. สปริงเกอร์-แวร์แล็ก . ไอเอสบีเอ็น 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .
• โอเมียรา OT (1973) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสอง Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ฉบับที่ 117. สปริงเกอร์-แวร์แล็ก . ไอเอสบีเอ็น 3-540-66564-1. Zbl  0259.10018 .
• Pfister, Albrecht (1995). รูปแบบกำลังสองกับการประยุกต์ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน เล่มที่ 217 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-46755-1. Zbl  0847.11014 .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง

• AVMalyshev (2001) [1994], "รูปแบบกำลังสอง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• AVMalyshev (2001) [1994], "รูปแบบกำลังสองไบนารี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press