หนึ่งในตัวอย่างพื้นฐานของบรรทัดฐานมาจากส่วนขยายของฟิลด์กำลังสอง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ที่ไหน${\displaystyle a}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง

จากนั้น แผนที่การคูณโดย${\displaystyle {\sqrt {a}}}$บนองค์ประกอบ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$เป็น

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

องค์ประกอบ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

เนื่องจากมีการแยกส่วนผลรวมโดยตรง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ในฐานะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ปริภูมิเวกเตอร์

เมทริกซ์ของ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$แล้ว

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

และบรรทัดฐานคือ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$เนื่องจากเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์นี้

ตัวอย่างง่ายๆ อีกประเภทหนึ่งมาจากการขยายฟิลด์ในรูปแบบ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$โดยที่การแยกตัวประกอบเฉพาะของ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ไม่มี${\displaystyle p}$เลขยกกำลัง -th สำหรับ${\displaystyle p}$จำนวนเฉพาะคี่คงที่

แผนที่การคูณโดย${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$ขององค์ประกอบคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

การให้เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

ตัวกำหนดจะให้บรรทัดฐาน

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

ค่ามาตรฐานของฟิลด์จากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนจริงส่ง

x + iy

ถึง

x ² + y ² ,

เนื่องจากกลุ่มกาโลอิสของ${\displaystyle \mathbb {C} }$เกิน${\displaystyle \mathbb {R} }$ประกอบด้วยสององค์ประกอบ

• องค์ประกอบเอกลักษณ์และ
• การคอนจูเกชันเชิงซ้อน

และเมื่อนำผลคูณมาจะได้( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ²

ให้L = GF( q ⁿ ) เป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์จำกัดK = GF( q )

เนื่องจากL / Kเป็นส่วนขยายของ Galois ถ้าαอยู่ในLแล้วค่าปกติของαคือผลคูณของ Galois conjugates ทั้งหมดของαนั่นคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

ในการตั้งค่านี้เรามีคุณสมบัติเพิ่มเติม^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

นอร์มN   : L * → K * คือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มการคูณของLไปยังกลุ่มการคูณของKนั่นคือ

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

นอกจากนี้ หาก${\displaystyle a\in K}$:

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L,}$และ

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

นอกจากนี้ ค่ามาตรฐานยังทำงานได้ดีในหอคอยของสนามต่างๆ :

ถ้าMเป็นส่วนขยายจำกัดของLแล้ว ค่าบรรทัดฐานจากMไปยังKก็คือการประกอบกันของค่าบรรทัดฐานจากMไปยังLกับค่าบรรทัดฐานจากLไปยังKกล่าวคือ

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

ค่ามาตรฐานขององค์ประกอบในส่วนขยายฟิลด์ใดๆ สามารถลดทอนให้เหลือการคำนวณที่ง่ายขึ้นได้ หากทราบระดับของส่วนขยายฟิลด์นั้นแล้ว นี่คือ

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^{[ 6 ]}

ตัวอย่างเช่น สำหรับ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ในการขยายสาขา${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$บรรทัดฐานของ${\displaystyle \alpha }$เป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

เนื่องจากระดับของการขยายขอบเขตสนาม${\displaystyle L/K(\alpha )}$เป็น${\displaystyle 2}$.

สำหรับ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนพีชคณิต${\displaystyle K}$องค์ประกอบหนึ่ง${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ถือเป็นหน่วยก็ต่อเมื่อ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$.

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

ที่ไหน

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

ดังนั้น ฟิลด์ตัวเลขใดๆ${\displaystyle K}$วงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ประกอบด้วย${\displaystyle \zeta _{3}}$มีเป็นหน่วยหนึ่ง