ในทางคณิตศาสตร์โดเมนเดเดคินด์หรือวงแหวนเดเดคินด์ซึ่งตั้งชื่อตามริชาร์ด เดเดคิน ด์ คือโดเมนเชิงจำนวนเต็มที่อุดมคติแท้ที่ไม่เป็นศูนย์ทุก ตัวสามารถแยก ตัวประกอบเป็นผลคูณของอุดมคติเฉพาะได้ สามารถแสดงได้ว่าการแยกตัวประกอบดังกล่าวจะต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงอันดับของตัวประกอบ นอกจากนี้ยังมีลักษณะเฉพาะของโดเมนเดเดคินด์อย่างน้อยสามแบบที่บางครั้งถูกนำมาใช้เป็นนิยาม ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง

ฟิลด์คือริงสลับที่ซึ่งไม่มีไอเดียลแท้ที่ไม่ใช่ไอเดียลธรรมดา ดังนั้นฟิลด์ใดๆ ก็เป็นโดเมนเดเดคินด์ได้ แม้ว่าจะในลักษณะที่ค่อนข้างว่างเปล่าก็ตาม ผู้เขียนบางคนเพิ่มข้อกำหนดว่าโดเมนเดเดคินด์ต้องไม่ใช่ฟิลด์ ผู้เขียนอีกมากมายกล่าวถึงทฤษฎีบทสำหรับโดเมนเดเดคินด์โดยมีข้อแม้โดยนัยว่าอาจต้องมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยสำหรับกรณีของฟิลด์

ผลที่ตามมาโดยตรงจากนิยามนี้คือโดเมนอุดมคติหลัก (PID) ทุกโดเมนเป็นโดเมนเดเดคินด์ อันที่จริง โดเมนเดเดคินด์จะเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ (UFD) ก็ต่อเมื่อมันเป็น PID เท่านั้น

ในศตวรรษที่ 19 เทคนิคนี้กลายเป็นที่นิยมในการหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการพหุนามโดยใช้กลุ่มของจำนวนพีชคณิตที่มีดีกรีสูงกว่า ตัวอย่างเช่น กำหนดจำนวนเต็มบวกจำนวน หนึ่ง${\displaystyle m}$ในการพยายามหาว่าจำนวนเต็มใดบ้างที่แสดงโดยรูปแบบกำลังสอง${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะแยกตัวประกอบของรูปแบบกำลังสองออกเป็น${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$การแยกตัวประกอบเกิดขึ้นในวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์กำลังสอง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนเต็มบวก${\displaystyle n}$พหุนาม${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$(ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับการแก้สมการแฟร์มาต์)${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$) สามารถแยกตัวประกอบได้บนวงแหวน${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, ที่ไหน${\displaystyle \zeta _{n}}$เป็น ราก ที่nดั้งเดิมของเอกภาพ

สำหรับค่าเล็กๆ บางค่าของ${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตเหล่านี้คือ PID และสิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นคำอธิบายของความสำเร็จแบบคลาสสิกของแฟร์มาต์ (${\displaystyle m=1,n=4}$) และออยเลอร์ (${\displaystyle m=2,3,n=3}$(ในเวลานั้น มีขั้นตอนในการพิจารณาว่าวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต ทั้งหมด ของฟิลด์กำลังสองที่กำหนดให้นั้น เป็นอย่างไร)${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$PID เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกาส์ได้พิจารณากรณีของฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการ: เขาพบค่าเก้าค่า ที่แน่นอน ของ${\displaystyle D<0}$ซึ่งวงแหวนของจำนวนเต็มเป็น PID และคาดการณ์ว่าไม่มีค่าอื่นใดอีก (การคาดการณ์ของเกาส์ได้รับการพิสูจน์แล้วกว่าหนึ่งร้อยปีต่อมาโดยเคิร์ต ฮีกเนอร์ , อลัน เบเกอร์และแฮโรลด์ สตาร์ก ) อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นที่เข้าใจ (เฉพาะ) ในภาษาของชั้นสมมูลของรูปแบบกำลังสอง ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งความคล้ายคลึงกันระหว่างรูปแบบกำลังสองและสมการของแฟร์มาต์ดูเหมือนจะไม่ได้รับการรับรู้ ในปี 1847 กาเบรียล ลาเมประกาศคำตอบของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับทุกค่า${\displaystyle n>2}$กล่าวคือ สมการของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ แต่ปรากฏว่าคำตอบของเขานั้นขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ว่าวงแหวนไซโคลโทมิ ก${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$เป็น UFD เอิร์นส์ คุมเมอร์ได้แสดงให้เห็นแล้วเมื่อสามปีก่อนหน้านั้นว่าไม่ใช่เช่นนั้น${\displaystyle n=23}$(รายการค่าทั้งหมดที่มีขอบเขตจำกัดซึ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$(ซึ่งปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็น UFD) ในขณะเดียวกัน คุมเมอร์ได้พัฒนาวิธีการใหม่ที่มีประสิทธิภาพเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างน้อยสำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะ กลุ่มใหญ่${\displaystyle n}$โดยใช้สิ่งที่เรารู้กันในปัจจุบันว่าเป็นความจริงที่ว่าแหวน${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$เป็นโดเมนของเดเดคินด์ อันที่จริง คุมเมอร์ไม่ได้ทำงานกับอุดมคติ แต่ทำงานกับ " จำนวนอุดมคติ " และนิยามสมัยใหม่ของอุดมคติก็มาจากเดเดคินด์

ในศตวรรษที่ 20 นักพีชคณิตและนักทฤษฎีจำนวนได้ตระหนักว่าเงื่อนไขของการเป็น PID นั้นค่อนข้างละเอียดอ่อน ในขณะที่เงื่อนไขของการเป็นโดเมนเดเดคินด์นั้นค่อนข้างแข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่น วงแหวนของจำนวนเต็มธรรมดาเป็น PID แต่ดังที่เห็นข้างต้น วงแหวนนั้นเป็น PID${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$ของจำนวนเต็มพีชคณิตในฟิลด์จำนวน${\displaystyle K}$ไม่จำเป็นต้องเป็น PID (จำนวนเฉพาะที่มีรหัสเฉพาะ) อันที่จริง แม้ว่าเกาส์จะตั้งสมมติฐานว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์ก็ตาม${\displaystyle p}$โดยที่วงแหวนของจำนวนเต็มของ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$เป็น PID ซึ่งยังไม่ทราบแน่ชัดว่ามีฟิลด์ตัวเลขจำนวนอนันต์หรือไม่${\displaystyle K}$(ในระดับใดๆ) เช่นนั้น${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$เป็น PID ในทางกลับกัน วงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนจะเป็นโดเมนเดเดคินด์เสมอ

อีกตัวอย่างหนึ่งของความแตกต่างระหว่างความละเอียดอ่อนและความแข็งแกร่ง คือข้อเท็จจริงที่ว่าการเป็นโดเมนของเดเดคินด์นั้น ในบรรดาโดเมนของโนเธอร์เรียน ถือ เป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ : โดเมนของโนเธอร์เรียน${\displaystyle R}$คือ Dedekind iff สำหรับทุกอุดมคติสูงสุด${\displaystyle M}$ของ${\displaystyle R}$การแปลเป็นภาษาท้องถิ่น${\displaystyle R_{M}}$เป็นวงแหวนเดเดคินด์ แต่โดเมนท้องถิ่นจะเป็นวงแหวนเดเดคินด์ก็ต่อเมื่อเป็น PID ก็ต่อเมื่อเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง (DVR) ดังนั้นลักษณะเฉพาะท้องถิ่นแบบเดียวกันจึงใช้ไม่ได้กับ PID: กล่าวอีกนัยหนึ่ง อาจกล่าวได้ว่าแนวคิดของวงแหวนเดเดคินด์คือการขยายแนวคิดของ DVR ไปสู่ระดับสากล

สำหรับโดเมนอินทิกรัล${\displaystyle R}$นั่นไม่ใช่ฟิลด์ เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเทียบเท่ากัน: ^{[ 1 ]}

(DD1)ไอเดียลแท้ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้

(DD2)${\displaystyle R}$เป็นแบบโนเธอร์เรียน และการกำหนดตำแหน่งที่อุดมคติสูงสุดแต่ละอันคือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง

(DD3) อุดมคติเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของ${\displaystyle R}$สามารถผกผันได้

(DD4)${\displaystyle R}$เป็นโดเมนแบบปิดโดยสมบูรณ์ ตามแนวคิดของโนเธอร์เรียส โดยมี มิติครูลล์เท่ากับหนึ่ง (นั่นคือ ไอเดียลเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวเป็นไอเดียลสูงสุด)

(DD5)สำหรับอุดมคติสองประการใดๆ${\displaystyle I}$และ${\displaystyle J}$ใน${\displaystyle R}$,${\displaystyle I}$บรรจุอยู่ใน${\displaystyle J}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle J}$ แบ่งแยก${\displaystyle I}$ในฐานะอุดมคติ กล่าวคือ มีอุดมคติอยู่จริง${\displaystyle H}$โดยที่${\displaystyle I=JH}$วงแหวนสลับเปลี่ยน (ไม่จำเป็นต้องเป็นโดเมน) ที่มีเอกลักษณ์ซึ่งตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าวงแหวนแบ่งส่วนการบรรจุ (CDR) ^{[ 2 ]}

ดังนั้น โดเมนเดเดคินด์จึงเป็นโดเมนที่เป็นฟิลด์ หรือตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง หรือทั้งห้าข้อของ (DD1) ถึง (DD5) การจะเลือกเงื่อนไขใดมาใช้เป็นนิยามนั้นจึงขึ้นอยู่กับความชอบส่วนบุคคล ในทางปฏิบัติ มักจะง่ายที่สุดที่จะตรวจสอบ (DD4)

อุดมคติใดๆ ในโดเมน Dedekind ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบไม่เกินสองตัว^{[ 3 ]} ในความเป็นจริง เงื่อนไขที่เข้มงวดกว่านั้นให้ลักษณะเฉพาะอีกอย่างหนึ่งของโดเมน Dedekind นั่นคือโดเมนอินทิกรัล${\displaystyle R}$โดเมน Dedekind เป็นโดเมน Dedekind ก็ต่อเมื่อสำหรับไอเดียลที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ${\displaystyle I\subset R}$และไม่เป็นศูนย์${\displaystyle a\in I}$มีอยู่จริง${\displaystyle b\in I}$โดยที่${\displaystyle I=(a,b)}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

โดเมนKrullเป็นอนาล็อกมิติสูงกว่าของโดเมน Dedekind: โดเมน Dedekind ที่ไม่ใช่ฟิลด์คือโดเมน Krull ที่มีมิติ 1 แนวคิดนี้สามารถนำมาใช้ศึกษาลักษณะต่างๆ ของโดเมน Dedekind ได้ อันที่จริง นี่คือคำจำกัดความของโดเมน Dedekind ที่ใช้ในหนังสือ"พีชคณิตสลับที่" ของBourbaki

โดเมน Dedekind สามารถระบุลักษณะได้ในแง่ของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี เช่นกัน : โดเมนจำนวนเต็มเป็นโดเมน Dedekind ก็ต่อเมื่อเป็นวงแหวนสืบทอดกล่าวคือ ทุกโมดูลย่อยของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเหนือโดเมนนี้เป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ในทำนองเดียวกัน โดเมนจำนวนเต็มเป็นโดเมน Dedekind ก็ต่อเมื่อทุกโมดูลที่หารลงตัวเหนือโดเมนนี้เป็นโมดูลฉีด^{[ 6 ]}

โดเมนอุดมคติหลักทั้งหมด และด้วยเหตุนี้ วงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมด จึงเป็นโดเมนเดเดคินด์

แหวน${\displaystyle R={\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$ของจำนวนเต็มพีชคณิตในฟิลด์จำนวนKเป็น Noetherian ปิดอย่างสมบูรณ์ และมีมิติหนึ่ง: เพื่อดูคุณสมบัติสุดท้าย ให้สังเกตว่าสำหรับอุดมคติเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆIของRนั้นR / Iเป็นเซตจำกัด และจำไว้ว่าโดเมนจำนวนเต็มจำกัดเป็นฟิลด์ ดังนั้นโดย (DD4) Rจึงเป็นโดเมน Dedekind ดังที่กล่าวมาข้างต้น นี่รวมถึงตัวอย่างทั้งหมดที่ Kummer และ Dedekind พิจารณา และเป็นกรณีที่กระตุ้นให้เกิดคำจำกัดความทั่วไป และสิ่งเหล่านี้ยังคงเป็นตัวอย่างที่ได้รับการศึกษามากที่สุด

วงแหวนเดเดคินด์อีกประเภทหนึ่งที่อาจมีความสำคัญไม่แพ้กัน มาจากเรขาคณิต: ให้Cเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงเส้น แบบไม่เอกฐานและสมบูรณ์ทางเรขาคณิต เหนือฟิลด์kแล้ววงแหวนพิกัดk [ C ] ของฟังก์ชันปกติบนCก็คือโดเมนเดเดคินด์ สิ่งนี้ค่อนข้างชัดเจนเพียงแค่แปลคำศัพท์ทางเรขาคณิตเป็นพีชคณิต: วงแหวนพิกัดของวาไรตี้เชิงเส้นใดๆ ตามคำนิยามแล้วคือ พีชคณิต k ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ดังนั้นจึงเป็นโนเธอร์เรียน ยิ่งไปกว่านั้นเส้นโค้งหมายถึงมิติหนึ่งและแบบไม่เอกฐานหมายถึง (และในมิติหนึ่ง เทียบเท่ากับ) ปกติซึ่งตามคำนิยามหมายถึงปิดอย่างสมบูรณ์

โครงสร้างทั้งสองนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์พื้นฐานดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท : ให้Rเป็นโดเมนเดเดคินด์ที่มีฟิลด์เศษส่วนKให้L เป็น ส่วนขยายฟิลด์ดีกรีจำกัดของKและให้S แทน การปิดอินทิกรัลของRในLแล้วSเองก็เป็นโดเมนเดเดคินด์^{[ 7 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้เมื่อRเป็น PID เอง จะทำให้เราสามารถสร้างโดเมนเดเดคินด์จาก PID ได้ โดยกำหนดให้R = Zการสร้างนี้กล่าวอย่างแม่นยำว่าวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนเป็นโดเมนเดเดคินด์ โดยกำหนดให้R = k [ t ] จะได้กรณีข้างต้นของเส้นโค้งแอฟฟินที่ไม่เอกฐานในฐานะการครอบคลุมแบบแตกแขนงของเส้นตรงแอฟฟิน

ZariskiและSamuelประทับใจกับการสร้างนี้มากพอที่จะถามว่าโดเมน Dedekind ทุกโดเมนเกิดขึ้นจากสิ่งนี้หรือไม่ กล่าวคือ เริ่มต้นด้วย PID และใช้การปิดอินทิกรัลในส่วนขยายฟิลด์ระดับจำกัด^{[ 8 ]} L. Claborn ได้ให้คำตอบเชิงลบที่เรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ^{[ 9 ]}

ถ้าสถานการณ์เป็นดังข้างต้น แต่ส่วนขยายLของKเป็นพีชคณิตที่มีดีกรีอนันต์ ก็ยังเป็นไปได้ที่ส่วนปิดเชิงอินทิกรัล SของRในLจะเป็นโดเมนเดเดคินด์ แต่ก็ไม่รับประกัน ตัวอย่างเช่น สมมติให้R = Z , K = Qและตอนนี้ให้Lเป็นฟิลด์${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ของจำนวนพีชคณิตทั้งหมด การปิดเชิงอินทิกรัลจึงเป็นวงแหวน${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ของจำนวนเต็มพีชคณิตทั้งหมด เนื่องจากรากที่สองของจำนวนเต็มพีชคณิตก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน จึงไม่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มพีชคณิตที่ไม่ใช่ศูนย์และไม่ใช่หน่วยใดๆ ให้เป็นผลคูณจำกัดขององค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ไม่ใช่แม้แต่แบบ Noetherian ด้วยซ้ำ โดยทั่วไปแล้ว การปิดเชิงปริพันธ์ของโดเมน Dedekind ในส่วนขยายพีชคณิตอนันต์คือโดเมน Prüferปรากฏว่าวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตนั้นพิเศษกว่านี้เล็กน้อย นั่นคือมันเป็นโดเมนBézout

ให้Rเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลที่มีฟิลด์เศษส่วนKไอเดียลเศษส่วนคือโมดูลย่อยIของK ที่ไม่เป็นศูนย์ใน Rซึ่งมีx ที่ไม่เป็นศูนย์ ในKอยู่จริง โดยที่${\displaystyle xI\subset R.}$

เมื่อกำหนดไอเดียลเศษส่วนสองตัวคือIและJเราจะนิยามผลคูณของไอเดียลทั้งสอง คือ IJว่าเป็นเซตของผลรวมจำกัดทั้งหมด${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$: ผลคูณIJเป็นไอเดียลเศษส่วนอีกครั้ง เซต Frac( R ) ของไอเดียลเศษส่วนทั้งหมดที่กำหนดด้วยผลคูณข้างต้นเป็นเซมิกรุปสลับที่และในความเป็นจริงเป็นโมโนอิด : องค์ประกอบเอกลักษณ์คือไอเดียลเศษส่วนR

สำหรับอุดมคติเศษส่วนI ใดๆ เราสามารถกำหนดอุดมคติเศษส่วนได้ดังนี้

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

ดังนั้นจึงมีตรรกะแบบวนซ้ำ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ในความเป็นจริงแล้ว จะมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อIซึ่งเป็นองค์ประกอบของโมโนอิดของ Frac( R ) สามารถผกผันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าIมีตัวผกผันใดๆ ตัวผกผันนั้นจะต้องเป็น${\displaystyle I^{*}}$.

อุดมคติเศษส่วนหลักคืออุดมคติที่มีรูปแบบดังนี้${\displaystyle xR}$สำหรับ xที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัวในKโปรดทราบว่าไอเดียลเศษส่วนหลักแต่ละตัวสามารถผกผันได้ ซึ่งเป็นส่วนกลับของ${\displaystyle xR}$เป็นเพียงแค่${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$เราใช้สัญลักษณ์ Prin( R ) แทน กลุ่มย่อยของอุดมคติเศษส่วนหลัก

โดเมนRเป็น PID ก็ต่อเมื่อไอเดียลเศษส่วนทุกตัวเป็นไอเดียลหลัก ในกรณีนี้ เราจะได้ Frac( R ) = Prin( R ) =${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$เนื่องจากอุดมคติเศษส่วนหลักสองประการ${\displaystyle xR}$และ${\displaystyle yR}$เท่ากันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle xy^{-1}}$เป็นหน่วยในภาษาR

สำหรับโดเมนทั่วไปRนั้น การหาผลหารของโมโนอิด Frac( R ) ของไอเดียลเศษส่วนทั้งหมดโดยซับโมโนอิด Prin( R ) ของไอเดียลเศษส่วนหลักนั้นมีความหมาย อย่างไรก็ตาม ผลหารนี้โดยทั่วไปก็เป็นเพียงโมโนอิดเท่านั้น อันที่จริงแล้ว เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคลาสของไอเดียลเศษส่วน I ใน Frac( R )/Prin( R ) นั้นสามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อ I เองสามารถผกผันได้เช่นกัน

ตอนนี้เราสามารถเข้าใจ (DD3) ได้ว่า ในโดเมนเดเดคินด์ (และเฉพาะในโดเมนเดเดคินด์เท่านั้น) อุดมคติเศษส่วนทุกตัวสามารถผกผันได้ ดังนั้น โดเมนเหล่านี้จึงเป็นกลุ่มของโดเมนที่ Frac( R )/Prin( R ) ก่อตัวเป็นกลุ่มกลุ่มชั้นอุดมคติ Cl( R ) ของRกลุ่มนี้เป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญก็ต่อเมื่อRเป็น PID เท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถมองได้ว่าเป็นการวัดปริมาณอุปสรรคที่ทำให้โดเมนเดเดคินด์ทั่วไปเป็น PID

สำหรับโดเมนใดๆ เราสามารถกำหนดกลุ่ม Picard Pic( R ) เป็นกลุ่มของไอเดียลเศษส่วนผกผันได้ Inv( R ) โดยพิจารณาโมดูลัสของกลุ่มย่อยของไอเดียลเศษส่วนหลัก สำหรับโดเมน Dedekind แน่นอนว่านี่คือกลุ่มชั้นไอเดียลเดียวกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับโดเมนทั่วไปอื่นๆ รวมถึงโดเมน Noetherian และโดเมน Krull กลุ่มชั้นไอเดียลถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่แตกต่างออกไป และมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิก

Pic( R ) → Cl( R )

ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือฟังก์ชันทั่วถึงนี่คือการเปรียบเทียบเชิงอัฟฟินของความแตกต่างระหว่างตัวหารคาร์เทียร์และตัวหารไวล์บนวาไรตีพีชคณิตเอกฐาน

ทฤษฎีบทของ L. Claborn ^{[ 10 ]}ยืนยันว่าสำหรับกลุ่มอาเบเลียนG ใดๆ ก็ตาม จะมีโดเมน Dedekind Rซึ่งกลุ่มชั้นอุดมคติของมันสมมาตรกับGต่อมาCR Leedham-Green แสดงให้เห็นว่า Rดังกล่าวสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้การปิดเชิงอินทิกรัลของ PID ในส่วนขยายฟิลด์กำลังสอง^{[ 11 ]} ในปี 1976 M. Rosen ได้แสดงวิธีการสร้างกลุ่มอาเบเลียนที่นับได้ใดๆ โดยใช้กลุ่มชั้นของโดเมน Dedekind ซึ่งเป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะของเส้นโค้งวงรีและตั้งข้อสันนิษฐานว่าการสร้าง "วงรี" ดังกล่าวน่าจะเป็นไปได้สำหรับกลุ่มอาเบเลียนทั่วไป^{[ 12 ]} ข้อสันนิษฐานของ Rosen ได้รับการพิสูจน์ในปี 2008 โดย PL Clark ^{[ 13 ]}

ในทางตรงกันข้าม หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตกล่าวว่า กลุ่มชั้นของวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนนั้นมีจำนวนจำกัด จำนวนสมาชิกของกลุ่มชั้นนี้เรียกว่าจำนวนชั้น

เมื่อพิจารณาจากทฤษฎีโครงสร้างที่เป็นที่รู้จักกันดีและมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนโดเมนอุดมคติหลัก (PID) จึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะถามถึงทฤษฎีที่สอดคล้องกันสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนโดเมนเดเดคินด์

เรามาทบทวนทฤษฎีโครงสร้างในกรณีของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยสังเขปกัน${\displaystyle M}$เหนือ PID${\displaystyle R}$เรากำหนดโมดูลย่อยการบิด${\displaystyle T}$เพื่อเป็นเซตขององค์ประกอบ${\displaystyle m}$ของ${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle rm=0}$สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์บางค่า${\displaystyle r}$ใน${\displaystyle R}$. แล้ว:

(M1)${\displaystyle T}$สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของ โมดูลแรงบิด แบบวงจรโดยแต่ละโมดูลมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle R/I}$สำหรับอุดมคติที่ไม่เป็นศูนย์บางค่า${\displaystyle I}$ของ${\displaystyle R}$ตามทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนแต่ละ${\displaystyle R/I}$สามารถแยกย่อยออกเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลย่อยในรูปแบบต่อไปนี้ได้อีก${\displaystyle R/P^{i}}$, ที่ไหน${\displaystyle P^{i}}$เป็นกำลังของอุดมคติเฉพาะ การแยกส่วนนี้ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์ แต่การแยกส่วนสองแบบใดๆ ก็ได้

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

แตกต่างกันเพียงแค่ลำดับของตัวประกอบเท่านั้น

(M2) โมดูลย่อยทอร์ชั่นเป็นส่วนประกอบโดยตรง นั่นคือ มีโมดูลย่อยเสริมอยู่${\displaystyle P}$ของ${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle M=T\oplus P}$.

(M3PID)${\displaystyle P}$ไอโซมอร์ฟิกกับ${\displaystyle R^{n}}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งกำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจง${\displaystyle n}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle P}$เป็นโมดูลอิสระที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle M}$เป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนเดเดคินด์ใดๆ${\displaystyle R}$จากนั้น (M1) และ (M2) จะเป็นจริงทุกประการ อย่างไรก็ตาม จาก (M3PID) จะเห็นได้ว่าโมดูลไร้แรงบิดที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle P}$เหนือ PID นั้นเป็นอิสระ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันยืนยันว่าอุดมคติเศษส่วนทั้งหมดเป็นหลัก ซึ่งเป็นข้อความที่เป็นเท็จเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle R}$ไม่ใช่ PID กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ความไม่ธรรมดาของกลุ่มคลาส${\displaystyle Cl(R)}$ทำให้ (M3PID) ล้มเหลว ที่น่าทึ่งคือ โครงสร้างเพิ่มเติมในโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยปราศจากแรงบิดเหนือโดเมน Dedekind ใดๆ นั้นถูกควบคุมอย่างแม่นยำโดยกลุ่มคลาส ดังที่เราจะอธิบายต่อไปนี้ เหนือโดเมน Dedekind ใดๆ นั้นจะมี

(เอ็ม3ดีดี)${\displaystyle P}$มีโครงสร้างสมมาตรกับผลรวมโดยตรงของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่ง:${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$นอกจากนี้ สำหรับโมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่งใดๆ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$หนึ่งมี

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle r=s}$

และ

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

โมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่งสามารถระบุได้ด้วยไอเดียลเศษส่วน และเงื่อนไขสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

ดังนั้น โมดูลไร้แรงบิดที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดที่มีอันดับ${\displaystyle n>0}$สามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$, ที่ไหน${\displaystyle I}$เป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่งคลาส Steinitzสำหรับ${\displaystyle P}$เกิน${\displaystyle R}$คือชั้นเรียน${\displaystyle [I]}$ของ${\displaystyle I}$ใน${\displaystyle Cl(R)}$: มันถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 14 ]} ผลที่ตามมาคือ:

ทฤษฎีบท: ให้${\displaystyle R}$เป็นโดเมน Dedekind จากนั้น${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$, ที่ไหน${\displaystyle K_{0}(R)}$กลุ่มGrothendieckของโมโนอิดสลับที่ของโปรเจคทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle R}$โมดูล

ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการพิสูจน์โดยเอิร์นส์ สไตน์นิทซ์ในปี 1912

ผลที่ตามมาเพิ่มเติมจากโครงสร้างนี้ ซึ่งไม่ได้ปรากฏโดยนัยในทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ คือ หากโมดูลเชิงโปรเจกทีฟสองโมดูลเหนือโดเมนเดเดคินด์มีคลาสเดียวกันในกลุ่มโกรเทนดีคแล้ว โมดูลทั้งสองนั้นจะสม isomorphic กันในเชิงนามธรรม

มีโดเมนจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle R}$ที่เป็นระดับท้องถิ่นแต่ไม่ใช่ระดับโลก เดเดคินด์: การกำหนดตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ของ${\displaystyle R}$ที่อุดมคติสูงสุดแต่ละอันจะมีวงแหวนเดเดคินด์ (หรือเทียบเท่ากับ DVR) แต่${\displaystyle R}$ตัวมันเองไม่ใช่ Dedekind อย่างที่กล่าวไว้ข้างต้น แหวนแบบนี้ไม่สามารถเป็น Noetherian ได้ ดูเหมือนว่าตัวอย่างแรกของแหวนประเภทนี้ถูกสร้างขึ้นโดย N. Nakano ในปี 1953 ในเอกสารทางวิชาการ แหวนประเภทนี้บางครั้งถูกเรียกว่า "แหวนที่เกือบจะเป็น Dedekind อย่างแท้จริง"

• ค่าคงที่เดเวนพอร์ต

• เอ็ดเวิร์ดส์, ฮาโรลด์ เอ็ม. (1990), ทฤษฎีตัวหาร , บอสตัน: เบิร์คเฮาเซอร์ เวอร์แลก, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl 0689.12001 

• "วงแหวนเดเดคินด์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]