ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตคือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นจำนวนเต็มเหนือจำนวนเต็มกล่าวคือ จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นราก เชิงซ้อน ของพหุนามเอกลักษณ์ บางตัว ( พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1) ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตทั้งหมดAปิดภายใต้การบวก การลบ และการคูณ ดังนั้นจึงเป็นวงแหวนย่อยสลับที่ ของจำนวนเชิงซ้อน

วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนKซึ่งเขียนแทนด้วยO คือจุดตัดของKและA : นอกจากนี้ยังสามารถระบุได้ว่าเป็นอันดับ สูงสุด ของฟิลด์Kจำนวนเต็มพีชคณิตแต่ละจำนวนเป็นสมาชิกของวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนบางฟิลด์ จำนวนαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตก็ต่อเมื่อวงแหวน α ∈ A${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดกล่าวคือ เป็น กลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle \mathbb {Z} }$- โมดูล​

ต่อไปนี้เป็นนิยามที่เทียบเท่ากันของจำนวนเต็มพีชคณิต ให้Kเป็นฟิลด์จำนวน (กล่าวคือส่วนขยายจำกัดของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ(ขอบเขตของจำนวนตรรกยะ )${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$สำหรับจำนวนพีชคณิต บางจำนวน${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$โดยทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิม

• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้ามีพหุนามเอกลักษณ์อยู่${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$โดยที่f ( α ) = 0
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้า พหุนามเอกลักษณ์ ขั้นต่ำของ αเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$อยู่ใน${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้า${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$เป็นการสร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle \mathbb {Z} }$-โมดูล
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้ามีจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด${\displaystyle \mathbb {Z} }$- โมดูลย่อย${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$โดยที่αM ⊆ M

จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นกรณีพิเศษขององค์ประกอบจำนวนเต็มของการขยายวงแหวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นองค์ประกอบจำนวนเต็มของการขยายแบบจำกัด${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$.

โปรดทราบว่า ถ้าP ( x )เป็นพหุนามดั้งเดิมที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มแต่ไม่ใช่พหุนามเอกลักษณ์ และPไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ดังนั้น รากของP จึงไม่มีตัวใด เป็นจำนวนเต็มพีชคณิต (แต่เป็นจำนวนพีชคณิต ) ในที่นี้ คำว่า "ดั้งเดิม"ใช้ในความหมายที่ว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์ของPคือ 1 ซึ่งอ่อนกว่าการกำหนดให้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ

• จำนวนเต็มพีชคณิตเพียงจำนวนเดียวที่พบในเซตของจำนวนตรรกยะคือจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จุดตัดของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$และAคืออย่างแน่นอน${\displaystyle \mathbb {Z} }$จำนวนตรรกยะ⁠a / b⁠ไม่ใช่จำนวนเต็มพีชคณิต เว้นแต่ว่าbจะหารa ลงตัว สัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามbx − aคือจำนวนเต็มb
• รากที่สอง${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่จะเป็นจำนวนอตรรกยะเว้นแต่ว่าnจะเป็น กำลัง สองสมบูรณ์
• ถ้าdเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองแล้วส่วนขยาย${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$เป็นฟิลด์กำลังสองของจำนวนตรรกยะ วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตO ประกอบด้วย${\displaystyle {\sqrt {d}}}$^{เนื่องจาก นี่}คือรากของพหุนามเอกลักษณ์x² − dยิ่งไปกว่านั้น ถ้าd ≡ 1 mod 4แล้วองค์ประกอบนั้น${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน มันสอดคล้องกับพหุนามx² − x + 1/4 ( ¹ − d )โดยที่พจน์คงที่1/4 ( 1 − d )เป็นจำนวนเต็ม วงแหวนเต็มของจำนวนเต็มถูกสร้างขึ้นโดย${\displaystyle {\sqrt {d}}}$หรือ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ตามลำดับ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ หัวข้อจำนวนเต็มกำลังสอง
• วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$α = ³ √ m (โดยที่mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสาม)มีฐานอินทิกรัล ดังต่อไปนี้ เขียนm = hk ²สำหรับจำนวนเต็มที่ ไม่มี ตัวประกอบกำลัง สอง hและk : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• ถ้าζ เป็น ราก ที่n ดั้งเดิมของเอกภาพแล้ววงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์ไซโคลโทมิก${\displaystyle \mathbb {Q} (\ซีตา _{n})}$คืออย่างแม่นยำ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$.
• ถ้าαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตแล้วβ = ⁿ √ αก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตอีกตัวหนึ่งเช่นกัน พหุพจน์สำหรับβได้มาจากการแทนx ⁿ ลง ในพหุพจน์สำหรับα

สำหรับα ใดๆ การขยายวงแหวน (ในความหมายที่เทียบเท่ากับการขยายฟิลด์ ) ของจำนวนเต็มโดยαจะถูกแทนด้วย${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]\equiv \left\{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \right\}}$เมทริกซ์ จะถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดก็ต่อเมื่อαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต เท่านั้น

การพิสูจน์นั้นคล้ายคลึงกับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องกับจำนวนพีชคณิตโดยมี${\displaystyle \mathbb {Q} }$ถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle \mathbb {Z} }$ในที่นี้ แนวคิดเรื่องระดับการขยายสนามถูกแทนที่ด้วยการสร้างแบบจำกัด (โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle \mathbb {Z} }$(ซึ่งถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดด้วยตัวมันเอง) การเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นเพียงอย่างเดียวคือ มีเพียงกำลังที่ไม่เป็นลบของα เท่านั้น ที่เกี่ยวข้องในการพิสูจน์

การเปรียบเทียบนี้เป็นไปได้เพราะทั้งจำนวนเต็มพีชคณิตและจำนวนพีชคณิตต่างก็ถูกนิยามว่าเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์เหนือตัวใดตัวหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} }$หรือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ตามลำดับ

ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนเต็มพีชคณิตสองจำนวน ล้วนเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่โดยทั่วไปแล้ว ผลหารของจำนวนทั้งสองจะไม่ใช่จำนวนเต็มพีชคณิต ดังนั้น จำนวนเต็มพีชคณิตจึงประกอบกันเป็นริง

สามารถแสดงได้ในลักษณะเดียวกันกับการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับจำนวนพีชคณิตโดยใช้จำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$แทนที่จะเป็นพวกที่มีเหตุผล${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

^{นอกจาก นี้}เรายังสามารถสร้างพหุนามเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องได้อย่างชัดเจน ซึ่งโดยทั่วไปจะมีดีกรี สูง กว่าดีกรีของจำนวนเต็มพีชคณิตดั้งเดิม โดยการหาผลลัพธ์และแยกตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น ถ้าx² − x − 1 = 0 , y³ − y − 1 = 0และz = xyแล้ว การกำจัดxและyจากz − xy = 0และพหุนามที่ x และ y สอดคล้องโดย^ใช้ผลลัพธ์จะได้ z⁶ − ^3z⁴ − ^4z³ + z² + z − 1 = 0 ซึ่งเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบ ได้ และ ^{เป็นสม}การเอกลักษณ์ที่ผลคูณสอดคล้อง (เพื่อให้เห็นว่าxyเป็นรากของ ผลลัพธ์ xของz − xyและx² ⁻ x − 1เราอาจใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์นั้นบรรจุอยู่ในไอเดียลที่สร้างขึ้นจากพหุนามอินพุตสองตัว)

• จำนวนใดๆ ที่สร้างขึ้นได้จากจำนวนเต็มที่มีราก การบวก และการคูณ ถือเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่ไม่ใช่ว่าจำนวนเต็มพีชคณิตทั้งหมดจะสร้างขึ้นได้เช่นนั้น ในความหมายอย่างง่ายๆ รากส่วนใหญ่ของพหุคูณ กำลังห้าที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้นั้นสร้างขึ้น ไม่ได้ นี่คือทฤษฎีบทของอาเบล-รัฟฟินี
• วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตเป็นโดเมนเบซูต์ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทอุดมคติหลัก
• ถ้าพหุนามเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มพีชคณิตมีพจน์คงที่เท่ากับ 1 หรือ −1 แล้วส่วนกลับของจำนวนเต็มพีชคณิตนั้นก็จะเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน และแต่ละตัวจะเป็นหน่วยซึ่งเป็นสมาชิกของกลุ่มหน่วยในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต
• ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิตแล้วa xจะเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต โดยที่xสอดคล้องกับพหุนามp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และa x ⁿคือพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดของp ( x )ค่าy = a xเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเพราะเป็นรากของq ( y ) = a ^{n − 1} p ( y / a )โดยที่q ( y )เป็นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
• ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิต ก็สามารถเขียนได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็มพีชคณิตกับจำนวนเต็มพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์ ที่จริงแล้ว ตัวส่วนสามารถเลือกให้เป็นจำนวนเต็มบวกได้เสมอ อัตราส่วนคือ| a | x / | a |โดยที่xสอดคล้องกับพหุนามp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และa x ⁿ คือพจน์ ที่มีดีกรีสูงสุดของp ( x )
• จำนวนเต็มพีชคณิตตรรกยะเพียงอย่างเดียวคือจำนวนเต็ม นั่นคือ ถ้าxเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตและ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$แล้ว${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$นี่เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทรากตรรกยะสำหรับกรณีของพหุนามเอกลักษณ์

• จำนวนเต็มเกาส์เซียน
• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• รากแห่งความเป็นหนึ่งเดียว
• ทฤษฎีบทหน่วยของดิริชเลต์
• หน่วยพื้นฐาน