ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันกำลังสอง ของ ตัวแปรเดียวคือฟังก์ชันในรูปแบบ^{[ 1 ]} โดยที่⁠ ⁠คือตัวแปร และ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠และ⁠ ⁠คือสัมประสิทธิ์นิพจน์⁠ ⁠โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อถือว่าเป็นวัตถุในตัวเองมากกว่าเป็นฟังก์ชัน จะเป็นพหุนามกำลัง สอง ซึ่งเป็นพหุ นาม ดีกรีสอง ในคณิตศาสตร์เบื้องต้นพหุนามและฟังก์ชันพหุนาม ที่เกี่ยวข้อง มักจะไม่แตกต่างกัน และคำว่าฟังก์ชันกำลังสองและพหุนามกำลังสอง เกือบจะมีความหมายเหมือนกันและมักจะ ย่อ เป็นกำลังสอง$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \textstyle ขวาน^{2}+bx+c}$

กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสองตัวแปรเดียวที่ เป็น จำนวน จริงคือพาราโบลาถ้าฟังก์ชันกำลังสองเท่ากับศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการกำลังสองคำตอบของสมการกำลังสองคือค่าศูนย์ (หรือราก ) ของฟังก์ชันกำลังสองที่สอดคล้องกัน ซึ่งอาจมีสองตัว หนึ่งตัว หรือศูนย์ตัว คำตอบเหล่านี้อธิบายได้ด้วยสูตรกำลังสอง

พหุนามกำลังสองหรือฟังก์ชันกำลังสองสามารถมีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันกำลังสองสองตัวแปรของตัวแปร⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y}$จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

โดยที่อย่างน้อยหนึ่งใน⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b}$และ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ต้องไม่เท่ากับศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว ค่าศูนย์ของฟังก์ชันกำลังสองดังกล่าวจะอธิบายภาคตัดกรวย ( วงกลมหรือวงรี อื่นๆ พาราโบลาหรือ ไฮ เปอร์โบลา ) ใน ระนาบ ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ – ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ฟังก์ชันกำลังสองสามารถมีตัวแปรได้จำนวนมากตามอำเภอใจ เซตของค่าศูนย์ของฟังก์ชันนี้จะประกอบกันเป็นควอด ริก ซึ่งเป็นพื้นผิวในกรณีที่มีตัวแปรสามตัว และเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซในกรณีทั่วไป

คำคุณศัพท์quadraticมาจากคำภาษาละตินquadrātum (" สี่เหลี่ยม ") พจน์ที่ยกกำลังสอง เช่น⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}}$เรียกว่ากำลัง สองในพีชคณิต เพราะมันคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว⁠ ⁠${\displaystyle x}$

สัมประสิทธิ์ ของฟังก์ชันกำลังสองมักจะถูก กำหนดให้เป็น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแต่ก็อาจกำหนดให้อยู่ในวงแหวน ใดก็ได้ ในกรณีนั้นโดเมนและโคโดเมนจะเป็นวงแหวนนั้น (ดูการประเมินค่าพหุนาม )

เมื่อใช้คำว่า "พหุนามกำลังสอง" ผู้เขียนบางครั้งหมายถึง "มีดีกรีเท่ากับ 2 พอดี" และบางครั้งหมายถึง "มีดีกรีไม่เกิน 2" หากดีกรีน้อยกว่า 2 อาจเรียกว่า " กรณีเสื่อมสภาพ " โดยปกติแล้วบริบทจะเป็นตัวกำหนดว่าหมายถึงความหมายใดในสองความหมายนี้

บางครั้งคำว่า "อันดับ" ถูกใช้ในความหมายเดียวกับ "ดีกรี" เช่น พหุนามอันดับสอง อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ " ดีกรีของพหุนาม " หมายถึง ดีกรี สูงสุดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ของพหุนามนั้น "อันดับ" มักหมายถึง ดีกรี ต่ำสุดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ของอนุกรมกำลังมากกว่า

พหุนามกำลังสองอาจเกี่ยวข้องกับตัวแปร เดียวคือ x ( กรณี ตัวแปรเดียว ) หรือหลายตัวแปร เช่นx , yและz (กรณีหลายตัวแปร)

พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียวใดๆ สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

โดยที่xคือตัวแปร และa , bและcคือสัมประสิทธิ์พหุนามดังกล่าว มักปรากฏในสมการกำลังสอง คำตอบของสมการนี้เรียกว่ารากและสามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง พหุนามกำลังสองแต่ละตัวจะมีฟังก์ชันกำลังสองที่เกี่ยวข้อง ซึ่งกราฟ ของฟังก์ชันนั้น จะเป็นรูป พาราโบลา${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

พหุนามกำลังสองใดๆ ที่มีตัวแปรสองตัว สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

โดยที่xและyเป็นตัวแปร และa , b , c , d , e , fเป็นสัมประสิทธิ์ และหนึ่งในa , bและcต้องไม่เป็นศูนย์ พหุนามดังกล่าวมีความสำคัญต่อการศึกษาภาคตัดกรวยเนื่องจากสมการโดยปริยายของภาคตัดกรวยได้มาจากการกำหนดให้พหุนามกำลังสองเท่ากับศูนย์ และค่าศูนย์ของฟังก์ชันกำลังสองจะก่อให้เกิดภาคตัดกรวย (ซึ่งอาจเป็นภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพ)

ในทำนองเดียวกัน พหุนามกำลังสองที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไปจะสอดคล้องกับ พื้นผิว กำลังสองหรือไฮเปอร์เซอร์เฟซ

พหุนามกำลังสองที่มีเฉพาะพจน์ดีกรีสองเรียกว่ารูปแบบกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสองแบบตัวแปรเดียวสามารถแสดงได้ในสามรูปแบบ: ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ เรียกว่า รูป แบบมาตรฐาน
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$เรียกว่ารูปแบบแยกตัวประกอบโดยที่r และr คือรากของฟังก์ชันกำลังสองและคำตอบของสมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน
• ${\displaystyle f(x)=a(xh)^{2}+k}$เรียกว่ารูปแบบจุดยอดโดยที่hและkคือ พิกัด xและyของจุดยอด ตามลำดับ

สัมประสิทธิ์aมีค่าเท่ากันในทั้งสามรูปแบบ ในการแปลงรูปแบบมาตรฐานเป็นรูปแบบแยกตัวประกอบเราเพียงแค่ใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาค่ารากสองค่าr₁และr₂ในการแปลงรูปแบบมาตรฐานเป็นรูปแบบจุดยอดเราต้องใช้กระบวนการที่เรียกว่าการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์การแปลงรูปแบบแยกตัวประกอบ (หรือรูปแบบจุดยอด) กลับไปเป็นรูปแบบมาตรฐาน เราจำเป็นต้องคูณ ขยาย และ/หรือกระจายตัวประกอบ

ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใด กราฟของฟังก์ชันกำลังสองตัวแปรเดียวจะเป็นรูปพาราโบลา (ดังแสดงในภาพด้านขวา) หรือ กล่าว อีกนัยหนึ่ง นี่คือกราฟของสมการกำลังสองตัวแปร${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• ถ้าa > 0พาราโบลาจะเปิดขึ้นด้านบน
• ถ้าa < 0พาราโบลาจะเปิดลงด้านล่าง

สัมประสิทธิ์aควบคุมระดับความโค้งของกราฟ ยิ่งค่า a มากเท่าไหร่ กราฟก็จะยิ่งดูปิดมากขึ้น (โค้งมาก)

สัมประสิทธิ์bและaร่วมกันควบคุมตำแหน่งของแกนสมมาตรของพาราโบลา (รวมถึง พิกัด xของจุดยอดและ พารามิเตอร์ hในรูปแบบจุดยอด) ซึ่งอยู่ที่

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

สัมประสิทธิ์cควบคุมความสูงของพาราโบลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือความสูงของพาราโบลา ณ จุดที่มันตัดกับแกน y

จุดยอดของพาราโบลาคือจุดที่พาราโบลาเปลี่ยนทิศทาง ดังนั้นจึงเรียกว่าจุดเปลี่ยนทิศทาง ด้วย ถ้าฟังก์ชันกำลังสองอยู่ในรูปจุดยอด จุดยอดคือ( h , k )โดยใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราสามารถเปลี่ยนรูปมาตรฐานให้เป็นพาราโบลาได้

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

เข้าไปข้างใน

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

ดังนั้นจุดยอด( h , k )ของพาราโบลาในรูปแบบมาตรฐานคือ

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^{[ 3 ]}

ถ้าฟังก์ชันกำลังสองอยู่ในรูปแยกตัวประกอบ

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

ค่าเฉลี่ยของรากทั้งสอง คือ

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

คือ พิกัด xของจุดยอด ดังนั้นจุดยอด( h , k )คือ

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

จุดยอดจะเป็นจุดสูงสุดหากa < 0หรือเป็นจุดต่ำสุดหากa > 0

เส้นแนวตั้ง

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

เส้นที่ผ่านจุดยอดนั้น ยังเป็นแกนสมมาตรของพาราโบลา อีกด้วย

โดยใช้แคลคูลัสจุดยอด ซึ่งเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน สามารถหาได้โดยการหาค่ารากของอนุพันธ์ :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

xเป็นรากของ f '( x )ถ้า f '( x ) = 0 ซึ่งส่งผลให้

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

โดยมีค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

ดังนั้นพิกัดจุดยอด( h , k )จึงสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

ราก(หรือศูนย์ ) r และr ของฟังก์ชันกำลังสองตัวแปร เดียว

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

คือค่าของxที่ทำให้f ( x ) = 0

เมื่อสัมประสิทธิ์a , bและcเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนรากจะเป็น

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

ค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการกำลังสองต้องไม่เกินค่าที่เป็นอัตราส่วนทองคำ^{[ 5 ]}${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

การ หา ค่ารากที่สอง ของฟังก์ชันกำลังสองแบบตัวแปรเดียว จะได้ผลลัพธ์เป็น ภาคตัดกรวย แบบใดแบบหนึ่งในสี่แบบ ซึ่งโดยส่วนใหญ่แล้วจะได้เป็นวงรีหรือไฮเปอร์โบลา

ถ้าสมการนั้นอธิบายถึงไฮเปอร์โบลา ดังที่เห็นได้จากการยกกำลังสองทั้งสองข้าง ทิศทางของแกนของไฮเปอร์โบลาจะถูกกำหนดโดยค่าพิกัด yของ จุด ต่ำสุดของพาราโบลาที่สอดคล้องกันถ้าค่าพิกัด y เป็นลบ แกนหลักของไฮเปอร์โบลา (ที่ผ่านจุดยอด) จะเป็นแนวนอน ในขณะที่ถ้าค่าพิกัด y เป็นบวก แกนหลักของไฮเปอร์โบลาจะเป็นแนวตั้ง ${\displaystyle a>0,}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

ถ้าเช่นนั้นสมการจะอธิบายถึงวงกลมหรือวงรีอื่น ๆ หรือไม่ก็ไม่มีอะไรเลย ถ้าค่าพิกัด y ของ จุด สูงสุดของพาราโบลาที่สอดคล้องกัน เป็นบวก รากที่สองของค่าพิกัด y จะอธิบายถึงวงรี แต่ถ้าค่าพิกัด y เป็นลบ มันจะอธิบายถึง บริเวณ ว่างเปล่าของจุด ${\displaystyle a<0,}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

การวนซ้ำฟังก์ชัน คือการนำฟังก์ชันนั้นมาใช้ซ้ำๆ โดยใช้ผลลัพธ์จากการวนซ้ำครั้งหนึ่งเป็นอินพุตสำหรับการวนซ้ำครั้งถัดไป ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

เราไม่สามารถหาแบบฟอร์มเชิงวิเคราะห์ของ ได้เสมอไปซึ่งหมายถึงการทำซ้ำครั้งที่ⁿ ของ ( ตัวยกสามารถขยายไปถึงจำนวนลบได้ โดยหมายถึงการทำซ้ำของตัวผกผันของถ้าตัวผกผันมีอยู่) แต่ก็มีบางกรณี ที่สามารถหาคำตอบได้ ด้วยวิธีเชิงวิเคราะห์${\displaystyle f^{(n)}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการแบบวนซ้ำ

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

หนึ่งมี

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

ที่ไหน

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$และ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

ดังนั้นโดยวิธีอุปนัย

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

สามารถหาได้ โดยที่สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ดังนี้ ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

สุดท้ายนี้ เรามี

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

เป็นทางออก

ดูหัวข้อการสมมูลเชิงโทโพโลยีสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างfและgและดูหัวข้อ พหุนามกำลังสองเชิงซ้อนสำหรับพฤติกรรมอลวนในการวนซ้ำทั่วไป

แผนที่โลจิสติกส์

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

สมการที่มีพารามิเตอร์ 2 < r < 4 สามารถหาคำตอบได้ในบางกรณี ซึ่งกรณีหนึ่งเป็นแบบอลวนและอีกกรณีหนึ่งไม่ใช่ ในกรณีที่อลวนr = 4 คำตอบคือ

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

โดยที่พารามิเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดโดยสำหรับจำนวนตรรกยะหลังจากจำนวนรอบการทำซ้ำที่จำกัดจะกลายเป็นลำดับคาบ แต่เกือบทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ และสำหรับจำนวนอตรรกยะจะไม่เกิดการซ้ำกันอีกเลย – มันไม่เป็นคาบและแสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาอย่างไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าเป็นความโกลาหล ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{n}}$

คำตอบของแผนที่โลจิสติกส์เมื่อr = 2 คือ

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

เนื่องจากสำหรับค่าใดๆ ของที่ไม่ใช่จุดคงที่ที่ไม่เสถียร 0 เทอมจะเข้าใกล้ 0 เมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์ ดังนั้นจึงเข้าใกล้จุดคงที่ที่เสถียร${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

ฟังก์ชัน กำลังสอง สองตัวแปร คือพหุนามดีกรีสองในรูปแบบ

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

โดยที่A, B, C, DและEเป็นสัมประสิทธิ์ คงที่ และFเป็นพจน์คงที่ฟังก์ชันดังกล่าวอธิบายพื้นผิว กำลังสอง การกำหนดให้เท่ากับศูนย์จะอธิบายจุดตัดของพื้นผิวกับระนาบซึ่งเป็นตำแหน่ง ของจุดที่เทียบเท่ากับภาคตัดกรวย${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle z=0,}$

ถ้าฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด กราฟของฟังก์ชันนั้นจะเป็นรูปพาราโบลา ไฮเปอร์โบลิ ก ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

ถ้าฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดเมื่อทั้งA > 0และB > 0และมีค่าสูงสุดเมื่อทั้งA < 0และB < 0กราฟของฟังก์ชันนั้นจะเป็นรูปพาราโบลาเชิงวงรี ในกรณีนี้ ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดจะเกิดขึ้นที่จุดใดต่อไปนี้: ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

ถ้าฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด กราฟของฟังก์ชันนั้นจะมีลักษณะเป็นทรงกระบอกพาราโบลา ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

ถ้าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด/ต่ำสุดที่เส้นตรง โดยมีค่าต่ำสุดเมื่อA > 0 และมีค่าสูงสุดเมื่อA < 0 กราฟของฟังก์ชันนั้นจะเป็นรูปทรงกระบอกพาราโบลา ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

• รูปแบบกำลังสอง
• สมการกำลังสอง
• การแสดงผลภาคตัดกรวยด้วยเมทริกซ์
• ควอดริก
• จุดคาบของการแมปกำลังสองเชิงซ้อน
• รายชื่อฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์