ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมสารสนเทศร่วมควอนตัม (QMI)หรือสารสนเทศร่วมของฟอน นอยมันน์ซึ่งตั้งชื่อตามจอห์น ฟอน นอยมันน์คือมาตรวัดความสัมพันธ์ระหว่างระบบย่อยของสถานะควอนตัมมันเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับสารสนเทศร่วม ของ แชนนอนในกลศาสตร์ควอนตั ม

เพื่อความง่าย เราจะถือว่าวัตถุทั้งหมดในบทความนี้มีมิติจำกัด

นิยามของเอนโทรปีร่วมควอนตัมได้รับแรงบันดาลใจจากกรณีคลาสสิก สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสองตัวp ( x , y ) การแจกแจงแบบมาร์จินัลทั้งสองคือ

${\displaystyle p(x)=\sum _{y}p(x,y),\qquad p(y)=\sum _{x}p(x,y)}$

ข้อมูลร่วมแบบคลาสสิกI ( X : Y ) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle I(X:Y)=S(p(x))+S(p(y))-S(p(x,y))}$

โดยที่S ( q ) หมายถึงเอนโทรปีของแชนนอนของการกระจายความน่าจะเป็น q

สามารถคำนวณได้โดยตรง

${\displaystyle {\begin{aligned}S(p(x))+S(p(y))&=-\left(\sum _{x}p_{x}\log p(x)+\sum _{y}p_{y}\log p(y)\right)\\&=-\left(\sum _{x}\left(\sum _{y'}p(x,y')\log \sum _{y'}p(x,y')\right)+\sum _{y}\left(\sum _{x'}p(x',y)\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\left(\log \sum _{y'}p(x,y')+\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)p(y)\end{aligned}}}$

ดังนั้นข้อมูลร่วมกันคือ

${\displaystyle I(X:Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}},}$

โดยที่ลอการิทึมนั้นใช้ฐาน 2 เพื่อให้ได้ข้อมูลร่วมกันในหน่วยบิตแต่สิ่งนี้ก็คือเอนโทรปีสัมพัทธ์ระหว่างp ( x , y ) และp ( x ) p ( y ) นั่นเอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราสมมติว่าตัวแปรxและyไม่มีความสัมพันธ์กัน ข้อมูลร่วมกันก็คือความคลาดเคลื่อนของความไม่แน่นอนที่เกิดจากสมมติฐานนี้ (ซึ่งอาจผิดพลาดได้)

จากคุณสมบัติของเอนโทรปีสัมพัทธ์ จะได้ว่าI ( X : Y ) ≥ 0 และความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อp ( x , y ) = p ( x ) p ( y )

แบบจำลองทางกลศาสตร์ควอนตัมที่เทียบเท่ากับการกระจายความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก นั้น สร้างขึ้นโดยใช้เมทริกซ์ความหนาแน่น

พิจารณาระบบควอนตัมที่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน คือ ส่วน A และส่วน B โดยที่สามารถทำการวัดที่เป็นอิสระต่อกันได้ในแต่ละส่วน ปริภูมิสถานะของระบบควอนตัมทั้งหมดจึงเป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิสำหรับทั้งสองส่วนนั้น

${\displaystyle H_{AB}:=H_{A}\otimes H_{B}.}$

ให้ρ ^ABเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่กระทำต่อสถานะในH _ABเอน โทรปีของ ฟอน นอยมันน์ของเมทริกซ์ความหนาแน่น S( ρ ) คือความคล้ายคลึงกันทางกลศาสตร์ควอนตัมของเอนโทรปีของแชนนอน

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นp ( x , y ) การแจกแจงแบบมาร์จินัลจะได้มาจากการอินทิเกรตตัวแปรxหรือyการดำเนินการที่สอดคล้องกันสำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่นคือร่องรอยบางส่วนดังนั้นจึงสามารถกำหนดสถานะ ให้กับ ρ บนระบบย่อย Aได้โดย

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho ^{AB}}$

โดยที่ Tr _Bคือร่องรอยบางส่วนเทียบกับระบบBนี่คือสถานะลดรูปของρ ^ABบนระบบAเอนโทรปีของฟอนนอยมันน์ลดรูปของρ ^ABเทียบกับระบบAคือ

${\displaystyle \;S(\rho ^{A}).}$

S ( ρ ^B ) ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

จากที่กล่าวมาแล้ว จะเห็นได้ว่านิยามของข้อมูลร่วมควอนตัมที่สอดคล้องกับนิยามแบบคลาสสิก ควรเป็นดังนี้

${\displaystyle \;I(A\!:\!B):=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB}).}$

ข้อมูลร่วมควอนตัมสามารถตีความได้ในลักษณะเดียวกับกรณีคลาสสิก กล่าวคือ สามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{AB}\|\rho ^{A}\otimes \rho ^{B})}$

โดยที่หมายถึงเอนโทรปีสัมพัทธ์ควอนตัมโปรดทราบว่ามีการขยายความทั่วไปของข้อมูลร่วมกันไปยังกรณีควอนตัมอีกทางหนึ่ง ความแตกต่างระหว่างทั้งสองสำหรับสถานะที่กำหนดเรียกว่าความไม่ลงรอยควอนตัมซึ่งเป็นการวัดความสัมพันธ์ควอนตัมของสถานะดังกล่าว ${\displaystyle S(\cdot \|\cdot )}$

เมื่อสถานะบริสุทธิ์ (และดังนั้น) ข้อมูลร่วมจะมีค่าเป็นสองเท่าของเอนโทรปีการพันกันของสถานะนั้น: ${\displaystyle \rho ^{AB}}$${\displaystyle S(\rho ^{AB})=0}$

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})=2S(\rho ^{A})}$

ค่าข้อมูลร่วมควอนตัมที่เป็นบวกไม่ได้หมายความว่าจะเกิดการพันกันเสมอไป ส่วนผสมของสถานะที่แยกออกจากกันได้ แบบคลาสสิก จะมีค่าการพันกันเป็นศูนย์เสมอ แต่สามารถมีค่าข้อมูลร่วมควอนตัมที่ไม่เป็นศูนย์ได้ เช่น

${\displaystyle \rho ^{AB}={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(A\!:\!B)&=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})\\&=S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)+S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)-S\left({\frac {1}{2}}(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)\right)\\&=\log 2+\log 2-\log 2=\log 2\end{aligned}}}$

ในกรณีนี้ สถานะดังกล่าวเป็นเพียงสถานะ ที่มีความสัมพันธ์กันในเชิงคลาสสิก เท่านั้น