เอนโทรปีของการพันกัน (หรือเอนโทรปีของการพันกัน ) คือการวัดระดับของการพันกันทางควอนตัม ระหว่างสองระบบย่อยที่ประกอบกันเป็น ระบบควอนตัมแบบผสมสองส่วนเมื่อทราบสถานะควอนตัมแบบทวิภาคบริสุทธิ์ของระบบผสมแล้ว ก็สามารถหาเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปได้ซึ่งอธิบายถึงความรู้เกี่ยวกับสถานะของระบบย่อย เอนโทรปีของการพันกันคือเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปสำหรับระบบย่อยใดๆ ถ้าค่าไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าระบบย่อยทั้งสองนั้นพันกัน

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าสถานะที่อธิบายระบบย่อยสองระบบAและB เป็นสถานะผลคูณ เมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปจะเป็นสถานะบริสุทธิ์ดังนั้น เอนโทรปีของสถานะจึงเป็นศูนย์ ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ความหนาแน่นของBก็จะมีเอนโทรปีเป็นศูนย์เช่นกัน ถ้าเอนโทรปีของเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปจะเป็นสถานะผสมซึ่งบ่งชี้ว่าระบบย่อยAและBมีการพัวพันกัน ${\displaystyle |\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle \otimes |\phi _{B}\rangle }$${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|}$

เอนโทรปีของการพันกันได้รับการเสนอครั้งแรกโดยซอร์กินในฐานะแหล่งกำเนิดของ เอนโทรปี ของหลุมดำ^{[ 1 ] [ 2 ]}และยังคงเป็นตัวเลือก^{[ 3 ]}เชื่อกันว่ามีความเชื่อมโยงกับแรงโน้มถ่วง และความเป็นไปได้ของ แรง ^โน้มถ่วงที่เหนี่ยวนำ ตามงานของเจคอบสัน [ ^{4 ]}และแนวคิดของซาคารอฟ^{[ 5 ]}

สมมติว่าระบบควอนตัมประกอบด้วยอนุภาค การแบ่งระบบออกเป็นสองส่วน (bipartition) คือการแบ่งที่แบ่งระบบออกเป็นสองส่วน คือ และซึ่งประกอบด้วย อนุภาค และ ตามลำดับ โดยที่ เอนโทรปีของการพันกัน แบบสองส่วน (Bipartite entanglement entropy) ถูกกำหนดขึ้นโดยสัมพันธ์กับการแบ่งระบบนี้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k+l=N}$

เอนโทรปีการพันกันแบบทวิภาคของฟอน นอยมันน์ถูกกำหนดให้เป็นเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของสถานะลดรูปใดสถานะหนึ่ง เนื่องจากมีค่าเท่ากัน (สามารถพิสูจน์ได้จากการแยกส่วนแบบชมิดท์ของสถานะโดยสัมพันธ์กับการแบ่งแบบทวิภาค) ผลลัพธ์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับว่าเราเลือกสถานะใด กล่าวคือ สำหรับสถานะบริสุทธิ์จะได้จากสูตร: ${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})}$

โดยที่และคือเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปสำหรับแต่ละพาร์ติชัน ${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})}$${\displaystyle \rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})}$

เอนโทรปีของการพันกันสามารถแสดงได้โดยใช้ค่าเอกลักษณ์ของการแยกส่วนแบบ Schmidtของสถานะ สถานะบริสุทธิ์ใดๆ สามารถเขียนได้เป็น โดยที่และ เป็นสถานะตั้งฉากกันในระบบย่อยและระบบย่อยตามลำดับ เอนโทรปีของการพันกันนั้นง่ายๆ คือ: ${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle |u_{i}\rangle _{A}}$${\displaystyle |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\textstyle -\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\log(\alpha _{i}^{2})}$

รูปแบบการเขียนเอนโทรปีแบบนี้ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่า เอนโทรปีของการพันกันนั้นมีค่าเท่ากัน ไม่ว่าเราจะคำนวณร่องรอยบางส่วนเหนือระบบ หลัก หรือระบบย่อยก็ตาม ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

มาตรวัดการพันกันหลายอย่างจะลดรูปเหลือเพียงเอนโทรปีของการพันกันเมื่อประเมินจากสถานะบริสุทธิ์ มาตรวัดเหล่านั้นได้แก่:

• การพันกันที่กลั่นได้
• ต้นทุนการพันกัน
• การพันกันของการก่อตัว
• เอนโทรปีสัมพัทธ์ของการพันกัน
• การพันกันที่ถูกบีบอัด

มาตรวัดการพันกันบางอย่างที่ไม่สามารถลดทอนลงเหลือเพียงเอนโทรปีของการพันกันได้ ได้แก่:

• ความคิดเชิงลบ
• ค่าลบเชิงลอการิทึม
• ความทนทานของการพันกัน^{[ 6 ]}

เอนโทรปีการพันกันของเรนยี (Rényi entanglement entropies) ถูกกำหนดโดยใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปและดัชนีเรนยีโดยจะแสดงเป็นเอนโทรปีเรนยีของเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})}$

โปรดสังเกตว่าในขีดจำกัดเอนโทรปีการพันกันของเรนยีจะเข้าใกล้เอนโทรปีการพันกันของฟอน นอยมันน์ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

พิจารณาควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ สองตัวที่เชื่อมต่อกัน โดยมีตำแหน่งและโมเมนตัมและและแฮมิลโทเนียนของระบบ ${\displaystyle q_{A}}$${\displaystyle q_{B}}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle p_{B}}$

${\displaystyle H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}}$

ด้วย เมทริกซ์ความหนาแน่น สถานะพื้นฐานบริสุทธิ์ของระบบคือซึ่งในฐานตำแหน่งคือจากนั้น^{[ 7 ]}${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}}$${\displaystyle \rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|}$${\displaystyle \langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)}$

${\displaystyle \langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)}$

เนื่องจากมีค่าเท่ากับเมทริกซ์ความหนาแน่นของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมเดี่ยวที่มีความถี่ ที่ สมดุล ทางความร้อนกับอุณหภูมิ (โดยที่คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ ) ค่าไอเกนของ จึงเป็นสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบดังนั้นเอนโทรปีของฟอนนอยมันน์จึงเป็น ${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle -\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})}$.

ในทำนองเดียวกัน เอนโทรปีของเรนยี ${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )}$

สถานะควอนตัมจะสอดคล้องกับกฎพื้นที่หากเทอมนำของเอนโทรปีการพันกันเติบโตอย่างมากที่สุดตามสัดส่วนกับขอบเขตระหว่างพาร์ติชันทั้งสอง กฎพื้นที่พบได้ทั่วไปในสถานะพื้นฐานของระบบควอนตัมหลายอนุภาคที่มีช่องว่างเฉพาะที่ สิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญ การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งคือการลดความซับซ้อนของระบบควอนตัมหลายอนุภาคลงอย่างมากกลุ่มการปรับมาตรฐานเมทริกซ์ความหนาแน่นและสถานะผลคูณเมทริกซ์ตัวอย่างเช่น อาศัยกฎพื้นที่ดังกล่าวโดยปริยาย^{[ 8 ]}