การพันกันของควอนตัมเป็นปรากฏการณ์ที่สถานะควอนตัมของแต่ละอนุภาคในกลุ่มไม่สามารถอธิบายได้อย่างอิสระจากสถานะของอนุภาคอื่น ๆ แม้ว่าอนุภาคจะอยู่ห่างกันเป็นระยะทางมากก็ตาม หัวข้อของการพันกันของควอนตัมเป็นหัวใจสำคัญของความแตกต่างระหว่างฟิสิกส์คลาสสิกและฟิสิกส์ควอนตัม : การพันกันเป็นคุณลักษณะหลักของกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่มีอยู่ในกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 1 ] : 867}

การวัดคุณสมบัติทางกายภาพเช่นตำแหน่งโมเมนตัมสปินและ โพ ลาไรเซชันที่กระทำกับอนุภาคที่พันกัน ในบางกรณีอาจพบว่ามีความสัมพันธ์กัน อย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น หากสร้างอนุภาคที่พันกันคู่หนึ่งโดยที่ทราบว่าสปินรวมของพวกมันเป็นศูนย์ และพบว่าอนุภาคหนึ่งมีสปินตามเข็มนาฬิกาบนแกนแรก สปินของอนุภาคอีกตัวหนึ่งที่วัดบนแกนเดียวกันจะพบว่าเป็นทวนเข็มนาฬิกา พฤติกรรมนี้ก่อให้เกิดผลกระทบที่ดูเหมือนขัดแย้ง กัน กล่าว คือ การวัดคุณสมบัติของอนุภาคใดๆ ก็ตามจะส่งผลให้ฟังก์ชันคลื่น ของอนุภาค นั้นยุบตัวลงอย่างเห็นได้ชัดและไม่สามารถย้อนกลับได้ และเปลี่ยนแปลงสถานะควอนตัมดั้งเดิม สำหรับอนุภาคที่พันกัน การวัดดังกล่าวจะส่งผลกระทบต่อระบบที่พันกันโดยรวม

ปรากฏการณ์ดังกล่าวเป็นหัวข้อของบทความในปี 1935 โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ , บอริส โพดอลสกีและ นาธาน โรเซน^{[ 2 ]}และบทความหลายฉบับโดยเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ในเวลาต่อมาไม่นาน^{[ 3 ] [ 4 ]}ซึ่งอธิบายสิ่งที่ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อปรากฏการณ์ EPRไอน์สไตน์และคนอื่นๆ พิจารณาว่าพฤติกรรมดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากมันขัดกับ มุมมอง สัจนิยมเฉพาะที่ของความเป็นเหตุเป็นผล^{[ 5 ]}และโต้แย้งว่าสูตรที่ยอมรับกันของกลศาสตร์ควอนตัมจึงต้องไม่สมบูรณ์

ต่อมา การคาดการณ์ที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณของกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการตรวจสอบในการทดสอบที่วัดโพลาไรเซชันหรือสปินของอนุภาคที่พันกันในตำแหน่งที่แยกจากกัน ซึ่งละเมิดอสมการของเบลล์ทาง สถิติ ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}สิ่งนี้ได้พิสูจน์แล้วว่าความสัมพันธ์ที่เกิดจากการพันกันของควอนตัมไม่สามารถอธิบายได้ในแง่ของตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่

การพันกันสามารถสร้างความสัมพันธ์ ทางสถิติ ระหว่างเหตุการณ์ในสถานที่ที่ห่างไกลกันได้ แต่ไม่สามารถใช้สำหรับการสื่อสารที่เร็วกว่าแสงได้ [ ^{10 ] [ 11 ] [ 12 ] : 453} การพันกันของควอนตัมได้รับการสาธิตในเชิงทดลองด้วยโฟตอน^{[ 13} ] ^{[ 14 ]อิเล็กตรอน[} 15 ] ^{[ 16 ] ควาร์}กท็อป [ ^{17 ] โมเลกุล} [ ^{18 ] และ}แม้แต่เพชรขนาดเล็ก[ 19 ^{]การใช้}การพันกันของควอนตัมในการสื่อสารและการคำนวณเป็นพื้นที่การวิจัยและพัฒนาที่กำลังดำเนินอยู่

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์และนีลส์ โบห์รได้โต้แย้งกันเป็นเวลานานในเรื่องการตีความกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการโต้วาทีโบห์ร-ไอน์สไตน์ในระหว่างการโต้วาทีเหล่านี้ ไอน์สไตน์ได้นำเสนอการทดลองทางความคิดเกี่ยวกับกล่องที่ปล่อยโฟตอนออกมา เขาตั้งข้อสังเกตว่าการเลือกของผู้ทำการทดลองว่าจะทำการวัดใดกับกล่องนั้น จะเปลี่ยนสิ่งที่สามารถทำนายได้เกี่ยวกับโฟตอน แม้ว่าโฟตอนจะอยู่ไกลมากก็ตาม ข้อโต้แย้งนี้ซึ่งไอน์สไตน์ได้กำหนดขึ้นในปี 1931 เป็นการรับรู้เบื้องต้นของสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าการพัวพัน^{[ 20 ]}ในปีเดียวกันนั้นเฮอร์มันน์ เวย์ลได้สังเกตในตำราของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่ม และกลศาสตร์ควอนตัมว่าระบบควอนตัมที่ประกอบด้วยส่วนที่โต้ตอบกันหลายส่วนแสดงให้เห็นถึง เกสตัลต์ชนิดหนึ่งซึ่ง "ส่วนรวมนั้นยิ่งใหญ่กว่าผลรวมของส่วนต่างๆ" ^{[ 21 ] [ 22 ]}ในปี พ.ศ. 2475 เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ได้กำหนดสมการของการพัวพันควอนตัม แต่ไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่^{[ 23 ]}ในปี พ.ศ. 2478 เกรเต เฮอร์มันน์ได้ศึกษาคณิตศาสตร์ของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนกับโฟตอน และสังเกตเห็นปรากฏการณ์ที่ต่อมาเรียกว่าการพัวพัน^{[ 24 ]}ต่อมาในปีเดียวกันนั้น ไอน์สไตน์บอริส โพดอลสกีและนาธาน โรเซนได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ไอน์สไตน์-โพดอลสกี-โรเซน (EPR)ซึ่งเป็นการทดลองทางความคิดที่พยายามแสดงให้เห็นว่า " คำอธิบาย ทางกลศาสตร์ควอนตัมของความเป็นจริงทางกายภาพที่กำหนดโดยฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่สมบูรณ์" ^{[ 2 ]}การทดลองทางความคิดของพวกเขาพิจารณาระบบสองระบบที่ปฏิสัมพันธ์กันแล้วแยกออกจากกัน และพวกเขาโต้แย้งว่าหลังจากนั้น กลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถอธิบายระบบทั้งสองแยกกันได้

ไม่นานหลังจากที่บทความนี้ปรากฏเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ได้เขียนจดหมายถึงไอน์สไตน์เป็นภาษาเยอรมันโดยใช้คำว่าVerschränkung (ซึ่งเขาแปลว่าการพัวพัน ) เพื่ออธิบายสถานการณ์ต่างๆ เช่น สถานการณ์ EPR ^{[ 25 ]}ชโรดิงเกอร์ได้เขียนบทความฉบับเต็มเพื่อกำหนดและอธิบายแนวคิดเรื่องการพัวพัน^{[ 26 ]}โดยกล่าวว่า "ผมจะไม่เรียก [การพัวพัน] ว่าเป็นหนึ่งเดียวแต่เป็นลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเป็นสิ่งที่บังคับให้มันเบี่ยงเบนไปจากแนวคิดแบบคลาสสิกโดยสิ้นเชิง " ^{[ 3 ]} เช่นเดียวกับไอน์สไตน์ ชโรดิงเกอร์ไม่พอใจกับแนวคิดเรื่องการพัวพัน เพราะดูเหมือนว่าจะละเมิดข้อจำกัดด้านความเร็วในการส่งข้อมูลที่แฝงอยู่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 27 ]}ต่อมาไอน์สไตน์ได้วิพากษ์วิจารณ์กลศาสตร์ควอนตัมว่าดูเหมือนจะแสดง " spukhafte Fernwirkung " ^{[ 28 ]}หรือ " การกระทำที่น่าขนลุกในระยะไกล " ซึ่งหมายถึงการได้รับค่าของคุณสมบัติ ณ ตำแหน่งหนึ่งอันเป็นผลมาจากการวัด ณ ตำแหน่งที่ห่างไกล^{[ 29 ]}

ในปี พ.ศ. 2489 จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์เสนอให้ศึกษาการโพลาไรเซชันของคู่ โฟ ตอนรังสีแกมมาที่เกิดจากการทำลายล้าง ของอิเล็กตรอน และโพซิตรอน^{[ 30 ]}เชียน-ชิอุง อู๋และ ไอ. ชักนอฟ ได้ทำการทดลองนี้ในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 31 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคู่ของอนุภาคที่พันกันซึ่งพิจารณาโดย EPR สามารถสร้างขึ้นได้ในห้องปฏิบัติการ^{[ 32 ]}แม้ว่าชโรดิงเกอร์จะอ้างถึงความสำคัญของมัน แต่ก็มีงานวิจัยเกี่ยวกับการพันกันน้อยมากที่ได้รับการตีพิมพ์เป็นเวลาหลายทศวรรษหลังจากที่บทความของเขาได้รับการตีพิมพ์^{[ 26 ]}ในปี พ.ศ. 2507 จอห์น เอส. เบลล์ได้แสดงให้เห็นถึงขีดจำกัดบนที่เห็นในอสมการของเบลล์เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ที่สามารถสร้างขึ้นได้ในทฤษฎีใดๆ ที่ปฏิบัติตามสัจนิยมเฉพาะที่และแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีควอนตัมทำนายการละเมิดขีดจำกัดนี้สำหรับระบบที่พันกันบางระบบ^{[ 33 ] [ 34 ] : 405} ความไม่เท่าเทียมกันของเขาสามารถทดสอบได้ด้วยการทดลอง และมีการทดลองที่เกี่ยวข้อง มากมาย เริ่มต้นด้วยงานบุกเบิกของStuart FreedmanและJohn Clauserในปี 1972 ^{[ 6 ]}และการทดลองของAlain Aspect ในปี 1982 ^{[ 35 ] [ 36 ]}

ในขณะที่เบลล์พยายามห้ามปรามไม่ให้นักเรียนศึกษาผลงานของเขาเพราะมองว่าลึกลับเกินไป แต่หลังจากการบรรยายที่ออกซ์ฟอร์ด นักเรียนคนหนึ่งชื่ออาร์ตูร์ เอเคิร์ตได้เสนอแนะว่าการละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์สามารถใช้เป็นทรัพยากรสำหรับการสื่อสารได้^{[ 37 ] : 315} เอเคิร์ตได้ติดตามผลโดยการตีพิมพ์ โปรโตคอล การกระจายคีย์ควอนตัม ที่เรียกว่าE91โดยอิงจากสิ่งนี้^{[ 38 ] [ 1 ] : 874}ในปี 1992 แนวคิดเรื่องการพัวพันถูกนำมาใช้เพื่อเสนอการเทเลพอร์ตควอนตัม [ ^{39 ] ซึ่ง}เป็นผลที่เกิดขึ้นจริงในเชิงทดลองในปี 1997 ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}ตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 1990 แอนตัน ไซลิงเกอร์ได้ใช้การสร้างการพัวพันผ่านการแปลงพารามิเตอร์ลงเพื่อพัฒนาการแลกเปลี่ยนการพัวพัน^{[ 37 ] : 317} และสาธิตการเข้ารหัสควอนตัมด้วยโฟตอนที่พัวพันกัน^{[ 43 ] [ 44 ]}ในปี 2022 รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ได้มอบให้แก่ Aspect, Clauser และ Zeilinger "สำหรับการทดลองกับโฟตอนที่พันกัน การสร้างการละเมิดอสมการของเบลล์ และการบุกเบิกวิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม" ^{[ 45 ]}

เช่นเดียวกับที่พลังงานเป็นทรัพยากรที่อำนวยความสะดวกในการดำเนินงานเชิงกล การพัวพันก็เป็นทรัพยากรที่อำนวยความสะดวกในการปฏิบัติงานที่เกี่ยวข้องกับการสื่อสารและการคำนวณ^{[ 46 ] : 106 [ 47 ] : 218 [ 48 ] : 435 [ 49 ]}นิยามทางคณิตศาสตร์ของการพัวพันสามารถสรุปได้ว่า ความรู้สูงสุดเกี่ยวกับระบบทั้งหมดไม่ได้หมายความถึงความรู้สูงสุดเกี่ยวกับแต่ละส่วนของระบบนั้น^{[ 50 ]}หากสถานะควอนตัมที่อธิบายคู่ของอนุภาคมีการพัวพันกัน ผลลัพธ์ของการวัดบนครึ่งหนึ่งของคู่สามารถมีความสัมพันธ์อย่างมากกับผลลัพธ์ของการวัดบนอีกครึ่งหนึ่ง อย่างไรก็ตาม การพัวพันไม่เหมือนกับ "ความสัมพันธ์" ตามที่เข้าใจในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกและในชีวิตประจำวัน แต่การพัวพันสามารถคิดได้ว่าเป็น ความสัมพันธ์ ที่เป็นไปได้ที่สามารถใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์ที่แท้จริงในการทดลองที่เหมาะสม^{[ 51 ] : 130} ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจากสถานะควอนตัมที่พันกันโดยทั่วไปไม่สามารถจำลองได้ด้วยความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก^{[ 52 ] : 33}

ตัวอย่างหนึ่งของการพันกันคืออนุภาคย่อยอะตอมที่สลายตัวเป็นคู่ของอนุภาคอื่นที่พันกัน การสลายตัวเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์ ต่างๆ และเป็นผลให้ผลการวัดของอนุภาคลูกสาวตัวหนึ่งต้องมีความสัมพันธ์กันอย่างมากกับผลการวัดของอนุภาคลูกสาวอีกตัวหนึ่ง (เพื่อให้โมเมนตัมรวม โมเมนตัมเชิงมุม พลังงาน และอื่นๆ ยังคงใกล้เคียงกันก่อนและหลังกระบวนการนี้) ตัวอย่างเช่น อนุภาค สปินศูนย์อาจสลายตัวเป็นคู่ของอนุภาคสปิน 1/2 หากไม่มีโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร โมเมนตัมเชิงมุมสปินรวมหลังจากการสลายตัวนี้จะต้องเป็นศูนย์ (ตามการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ) เมื่อใดก็ตามที่อนุภาคตัวแรกถูกวัดว่ามีสปินขึ้นบนแกนใดแกนหนึ่ง อนุภาคอีกตัวหนึ่งเมื่อวัดบนแกนเดียวกัน จะพบว่ามีสปินลง เสมอ กรณีนี้เรียกว่ากรณีสปินผกผัน และคู่ของอนุภาคจะอยู่ในสถานะซิงเกล็ตความสัมพันธ์ผกผันที่สมบูรณ์แบบเช่นนี้สามารถอธิบายได้ด้วย "ตัวแปรที่ซ่อนอยู่" ภายในอนุภาค ตัวอย่างเช่น เราอาจตั้งสมมติฐานว่าอนุภาคถูกสร้างขึ้นเป็นคู่ โดยที่อนุภาคหนึ่งมีค่าเป็น "ขึ้น" ในขณะที่อีกอนุภาคหนึ่งมีค่าเป็น "ลง" จากนั้น เมื่อทราบผลการวัดสปินของอนุภาคหนึ่งแล้ว เราก็สามารถทำนายได้ว่าอีกอนุภาคหนึ่งจะมีค่าตรงกันข้าม เบลล์ได้ยกตัวอย่างเรื่องนี้ด้วยเรื่องราวของเพื่อนร่วมงานของเขา เบิร์ตล์มันน์ ซึ่งมักจะสวมถุงเท้าสีที่ไม่เข้ากันเสมอ "สีที่เขาจะสวมในแต่ละวันนั้นคาดเดาได้ยาก" เบลล์เขียน แต่เมื่อสังเกต "ว่าถุงเท้าข้างแรกเป็นสีชมพู คุณก็มั่นใจได้แล้วว่าถุงเท้าข้างที่สองจะไม่ใช่สีชมพู" ^{[ 53 ]}การเปิดเผยคุณสมบัติที่น่าทึ่งของการพัวพันควอนตัมจำเป็นต้องพิจารณาการทดลองที่แตกต่างกันหลายอย่าง เช่น การวัดสปินตามแกนต่างๆ และเปรียบเทียบความสัมพันธ์ที่ได้รับในรูปแบบต่างๆ เหล่านี้^{[ 54 ] : §18.8}

ระบบควอนตัมสามารถเกิดการพันกันได้ผ่านปฏิสัมพันธ์หลายประเภท สำหรับวิธีการบางอย่างที่อาจทำให้เกิดการพันกันเพื่อวัตถุประสงค์ในการทดลอง โปรดดูส่วนด้านล่างเกี่ยวกับวิธีการการพันกันจะถูกทำลายเมื่ออนุภาคที่พันกันสลายตัวเนื่องจากการปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการวัด ในรายละเอียดเพิ่มเติม กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการที่อนุภาคเกิดการพันกันกับสิ่งแวดล้อม ซึ่งเป็นผลให้สถานะควอนตัมที่อธิบายอนุภาคเหล่านั้นเองไม่พันกันอีกต่อไป^{[ 55 ] : 369 [ 56 ]}ในทางคณิตศาสตร์ ระบบที่พันกันสามารถนิยามได้ว่าเป็นระบบที่มีสถานะควอนตัมที่ไม่สามารถแยกออกเป็นผลคูณของสถานะของส่วนประกอบเฉพาะที่ได้ กล่าวคือ พวกมันไม่ใช่อนุภาคแต่ละตัว แต่เป็นส่วนรวมที่แยกจากกันไม่ได้ เมื่อมีการพันกันเกิดขึ้น ส่วนประกอบหนึ่งจะไม่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์หากไม่พิจารณาส่วนประกอบอื่นๆ^{[ 57 ] : 18–19 [ 54 ] : §1.5} สถานะของระบบประกอบสามารถแสดงได้เสมอในรูปผลรวมหรือการซ้อนทับของผลคูณของสถานะขององค์ประกอบท้องถิ่น ระบบจะพันกันหากผลรวมนี้ไม่สามารถเขียนเป็นพจน์ผลคูณเดียวได้^{[ 47 ] : 39}

สถานะซิงเกล็ตที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นพื้นฐานสำหรับปรากฏการณ์ EPR เวอร์ชันหนึ่ง ในรูปแบบนี้ซึ่งนำเสนอโดยDavid Bohmแหล่งกำเนิดจะปล่อยอนุภาคและส่งไปในทิศทางตรงกันข้าม สถานะที่อธิบายแต่ละคู่จะพันกัน^{[ 58 ]}ในการนำเสนอกลศาสตร์ควอนตัมในตำราเรียนมาตรฐาน การวัดสปินของอนุภาคหนึ่งจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นของทั้งคู่ยุบตัวลงเป็นสถานะที่แต่ละอนุภาคมีสปินที่แน่นอน (ขึ้นหรือลง) ตามแกนการวัด ผลลัพธ์เป็นแบบสุ่ม โดยแต่ละความเป็นไปได้มีโอกาส 50% อย่างไรก็ตาม หากวัดสปินทั้งสองตามแกนเดียวกัน จะพบว่าสปินทั้งสองมีความสัมพันธ์แบบผกผัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์แบบสุ่มของการวัดที่ทำกับอนุภาคหนึ่งดูเหมือนจะถูกส่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่ง เพื่อให้สามารถ "เลือกได้อย่างถูกต้อง" เมื่อมันถูกวัดเช่นกัน^{[ 54 ] : §18.8 [ 12 ] : 447–448}

ระยะทางและเวลาของการวัดสามารถเลือกได้เพื่อให้ช่วงเวลาระหว่างการวัดทั้งสองเป็นแบบสเปซไลค์ดังนั้นผลกระทบเชิงสาเหตุใดๆ ที่เชื่อมโยงเหตุการณ์จะต้องเดินทางเร็วกว่าแสง ตามหลักการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเป็นไปไม่ได้ที่ข้อมูลใดๆ จะเดินทางระหว่างเหตุการณ์การวัดสองเหตุการณ์ดังกล่าว แม้แต่จะบอกไม่ได้ว่าการวัดใดเกิดขึ้นก่อน สำหรับเหตุการณ์ที่แยกจากกันแบบสเปซไลค์สองเหตุการณ์x ₁และx ₂จะมีกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่x ₁มาก่อนและกรอบอ้างอิงอื่นๆ ที่x ₂มาก่อน ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างการวัดทั้งสองจึงไม่สามารถอธิบายได้ว่าการวัดหนึ่งกำหนดอีกการวัดหนึ่ง ผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันจะไม่เห็นด้วยเกี่ยวกับบทบาทของสาเหตุและผลกระทบ^{[ 59 ]}

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับความขัดแย้งคือการสมมติว่าทฤษฎีควอนตัมไม่สมบูรณ์ และผลลัพธ์ของการวัดขึ้นอยู่กับ " ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ " ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ^{[ 60 ]}สถานะของอนุภาคที่กำลังวัดนั้นมีตัวแปรที่ซ่อนอยู่บางตัว ซึ่งค่าของตัวแปรเหล่านั้นจะกำหนดผลลัพธ์ของการวัดสปินได้อย่างมีประสิทธิภาพตั้งแต่ช่วงเวลาที่แยกออกจากกัน ซึ่งหมายความว่าอนุภาคแต่ละตัวจะพกพาข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดไปด้วย และไม่จำเป็นต้องมีการส่งผ่านข้อมูลจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งในขณะที่ทำการวัด ไอน์สไตน์และคนอื่นๆ เดิมเชื่อว่านี่เป็นวิธีเดียวที่จะแก้ปัญหาความขัดแย้งได้ และคำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมที่ยอมรับกัน (ด้วยผลลัพธ์การวัดแบบสุ่ม) จะต้องไม่สมบูรณ์ทฤษฎีตัวแปรที่ซ่อนอยู่แบบโลคอลล้มเหลวเมื่อพิจารณาการวัดสปินของอนุภาคที่พันกันตามแกนที่แตกต่างกัน หากมีการวัดดังกล่าวเป็นจำนวนมากคู่ (กับอนุภาคที่พันกันเป็นจำนวนมากคู่) แล้วในทางสถิติ หากมุมมองของความเป็นจริงแบบโลคอลหรือตัวแปรที่ซ่อนอยู่ถูกต้อง ผลลัพธ์จะสอดคล้องกับอสมการของเบลล์เสมอ การทดลอง หลายครั้งแสดงให้เห็นในทางปฏิบัติว่าอสมการของเบลล์ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข^{[ 6 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อทำการวัดอนุภาคที่พันกันใน กรอบอ้างอิง สัมพัทธ ภาพที่เคลื่อนที่ ซึ่งการวัดแต่ละครั้ง (ในกรอบเวลาสัมพัทธภาพของตัวเอง) เกิดขึ้นก่อนการวัดครั้งอื่น ผลการวัดยังคงมีความสัมพันธ์กัน^{[ 64 ] [ 37 ] : 321–324}

ประเด็นพื้นฐานเกี่ยวกับการวัดสปินตามแกนต่างๆ คือ การวัดเหล่านี้ไม่สามารถมีค่าที่แน่นอนได้ในเวลาเดียวกัน—พวกมันไม่เข้ากันในแง่ที่ว่าความแม่นยำสูงสุดพร้อมกันของการวัดเหล่านี้ถูกจำกัดโดยหลักการความไม่แน่นอนซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่พบในฟิสิกส์คลาสสิก ซึ่งสามารถวัดคุณสมบัติใดๆ ก็ได้พร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ ได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์แล้วว่าการวัดที่เข้ากันได้ไม่สามารถแสดงความสัมพันธ์ที่ละเมิดอสมการเบลล์ได้^{[ 65 ]}ดังนั้นการพันกันจึงเป็นปรากฏการณ์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกโดยพื้นฐาน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การพันกันเป็นสิ่งจำเป็นในการก่อให้เกิดการละเมิดอสมการเบลล์อย่างไรก็ตาม การมีอยู่ของการพันกันเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ^{[ 66 ]}ดังที่เบลล์เองได้กล่าวไว้ในบทความปี 1964 ของเขา^{[ 33 ]}ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้แสดงให้เห็นโดยสถานะเวอร์เนอร์ซึ่งเป็นตระกูลของสถานะที่อธิบายคู่ของอนุภาค สำหรับการเลือกพารามิเตอร์หลักที่เหมาะสมซึ่งระบุสถานะเวอร์เนอร์ที่กำหนดภายในเซตทั้งหมด สถานะเวอร์เนอร์จะแสดงการพันกัน อย่างไรก็ตาม คู่ของอนุภาคที่อธิบายโดยสถานะเวอร์เนอร์จะยอมรับแบบจำลองตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่เสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สถานะเหล่านี้ไม่สามารถขับเคลื่อนการละเมิดอสมการเบลล์ได้ แม้ว่าจะมีการพันกันก็ตาม^{[ 67 ]}สิ่งนี้สามารถขยายจากคู่ของอนุภาคไปยังกลุ่มที่ใหญ่กว่าได้เช่นกัน^{[ 68 ]}

การละเมิดอสมการของเบลล์มักเรียกว่าความไม่เป็นท้องถิ่นเชิงควอนตัมคำนี้ไม่ได้ปราศจากข้อโต้แย้ง^{[ 69 ]}บางครั้งมีการโต้แย้งว่าการใช้คำว่าความไม่เป็นท้องถิ่นนั้นมีความหมายโดยนัยที่ไม่เหมาะสมว่าการละเมิดอสมการของเบลล์จะต้องได้รับการอธิบายโดยสัญญาณทางกายภาพที่เร็วกว่าแสง^{[ 70 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความล้มเหลวของแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นแบบท้องถิ่นในการจำลองกลศาสตร์ควอนตัมไม่ได้หมายความว่าเป็นสัญญาณของความไม่เป็นท้องถิ่นที่แท้จริงในกลศาสตร์ควอนตัมเองเสมอไป^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}แม้จะมีข้อสงวนเหล่านี้ คำว่าความไม่เป็นท้องถิ่นก็กลายเป็นธรรมเนียมที่แพร่หลาย^{[ 70 ]}

บางครั้ง คำว่า"ไม่เป็นท้องถิ่น"ถูกนำไปใช้กับแนวคิดอื่นนอกเหนือจากการไม่มีอยู่ของแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นแบบท้องถิ่น เช่นสถานะต่างๆ สามารถแยกแยะได้ด้วยการวัดแบบท้องถิ่นหรือไม่ [ ^{74 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้นทฤษฎีสนามควอนตัมมักถูกกล่าวว่าเป็นแบบท้องถิ่นเนื่องจากตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งกำหนดไว้ภายในบริเวณของกาลอวกาศที่ แยก จากกันแบบอวกาศจะต้องสลับกันได้^{[ 66 ] [ 75 ]} การใช้คำว่า ท้องถิ่นและไม่เป็นท้องถิ่นในลักษณะอื่นๆ เหล่านี้จะไม่กล่าวถึงเพิ่มเติมในที่นี้

หัวข้อย่อยต่อไปนี้ใช้รูปแบบและกรอบทฤษฎีที่พัฒนาขึ้นในบทความเรื่องสัญกรณ์บรา-เกตและการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม

พิจารณาระบบควอนตัมสองระบบใดๆAและBซึ่งมีปริภูมิฮิลเบิร์ตH _AและH _B ตามลำดับ ปริภูมิฮิลเบิร์ตของระบบประกอบคือผลคูณเทนเซอร์

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

ถ้าหากระบบแรกอยู่ในสถานะและระบบที่สองอยู่ในสถานะสถานะของระบบรวมจะเป็น ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

สถานะของระบบประกอบที่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้เรียกว่า สถานะที่แยกได้ หรือสถานะผลคูณอย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสถานะของระบบประกอบจะเป็นสถานะที่แยกได้ กำหนดฐาน สำหรับH _AและฐานสำหรับH _Bสถานะทั่วไปที่สุดในH _A ⊗ H _Bจะอยู่ในรูปแบบ ${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{|j\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

สถานะนี้สามารถแยกได้หากมีเวกเตอร์อยู่ซึ่งให้ผลลัพธ์และสถานะนี้แยกไม่ได้หากสำหรับเวกเตอร์ใดๆอย่างน้อยหนึ่งคู่พิกัดเรามีหากสถานะใดแยกไม่ได้ จะเรียกว่า 'สถานะพันกัน' ^{[ 47 ] : 218 [ 54 ] : §1.5} ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเวกเตอร์ฐานสองตัวของH _Aและเวกเตอร์ฐานสองตัวของH _Bแล้ว สถานะพันกันจะเป็นดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

หากระบบประกอบอยู่ในสถานะนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดสถานะบริสุทธิ์ที่แน่นอน ให้กับระบบ AหรือระบบBอีกวิธีหนึ่งที่จะกล่าวเช่นนี้คือ ในขณะที่เอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของสถานะทั้งหมดเป็นศูนย์ (เช่นเดียวกับสถานะบริสุทธิ์ใดๆ) เอนโทรปีของระบบย่อยจะมีค่ามากกว่าศูนย์ ในแง่นี้ ระบบจึง "พันกัน" ตัวอย่างข้างต้นเป็นหนึ่งในสี่สถานะเบลล์ซึ่งเป็นสถานะบริสุทธิ์ที่พันกัน (สูงสุด) (สถานะบริสุทธิ์ของ ปริภูมิ H _A ⊗ H _Bแต่ไม่สามารถแยกออกเป็นสถานะบริสุทธิ์ของH _AและH _B แต่ละอันได้ ) ^{[ 54 ] : §18.6}

สมมติว่าอลิซเป็นผู้สังเกตการณ์สำหรับระบบAและบ็อบเป็นผู้สังเกตการณ์สำหรับระบบBหากในสถานะพันกันที่กำหนดข้างต้น อลิซทำการวัดในฐานไอเกนของAจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่าง ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน: อลิซอาจได้ผลลัพธ์ 0 หรืออาจได้ผลลัพธ์ 1 หากเธอได้ผลลัพธ์ 0 เธอก็สามารถทำนายได้อย่างแน่นอนว่าผลลัพธ์ของบ็อบจะเป็น 1 ในทำนองเดียวกัน หากเธอได้ผลลัพธ์ 1 เธอก็สามารถทำนายได้อย่างแน่นอนว่าผลลัพธ์ของบ็อบจะเป็น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ของการวัดบนคิวบิต ทั้งสอง จะมีความสัมพันธ์แบบผกผันอย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงแม้ว่าระบบAและBจะแยกจากกันในเชิงพื้นที่ นี่คือพื้นฐานของความขัดแย้ง EPR ^{[ 46 ] : 113–114} ผลลัพธ์ของการวัดของอลิซเป็นแบบสุ่ม อลิซไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าจะยุบระบบประกอบลงในสถานะใด และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถส่งข้อมูลไปยังบ็อบได้โดยการกระทำกับระบบของเธอ ดังนั้น ความเป็นเหตุเป็นผลจึงยังคงอยู่ ในรูปแบบเฉพาะนี้ สำหรับข้อโต้แย้งทั่วไป โปรดดูทฤษฎีบท การไม่สื่อสาร${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สถานะของระบบควอนตัมจะแสดงด้วยเวกเตอร์หน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยทั่วไปแล้ว หากเรามีข้อมูลเกี่ยวกับระบบน้อยลง เราจะเรียกว่า 'กลุ่ม' และอธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดหรือคลาสร่องรอยเมื่อปริภูมิสถานะมีมิติอนันต์ และมีร่องรอยเท่ากับ 1 ตามทฤษฎีบทสเปกตรัมเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีรูปแบบทั่วไปดังนี้:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

โดยที่w _iคือความน่าจะเป็นที่มีค่าเป็นบวก (ผลรวมเท่ากับ 1) เวกเตอร์α _iคือเวกเตอร์หน่วย และในกรณีมิติอนันต์ เราจะใช้การปิดของสถานะดังกล่าวในบรรทัดฐานร่องรอย เราสามารถตีความρว่าเป็นตัวแทนของกลุ่ม โดยที่คือสัดส่วนของกลุ่มที่มีสถานะเป็นเมื่อสถานะผสมมีอันดับ 1 จึงอธิบายถึง 'กลุ่มบริสุทธิ์' เมื่อมีข้อมูลน้อยกว่าทั้งหมดเกี่ยวกับสถานะของระบบควอนตัม เราจำเป็นต้องใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นเพื่อแสดงสถานะ^{[ 55 ] : 73–74 [ 52 ] : 13–15 [ 54 ] : §22.2} ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$

ในทางทดลอง กลุ่มผสมอาจเกิดขึ้นได้ดังนี้ พิจารณาอุปกรณ์ "กล่องดำ" ที่ปล่อยอิเล็กตรอนไปยังผู้สังเกตการณ์ ปริภูมิฮิลเบิร์ตของอิเล็กตรอนนั้นเหมือนกันอุปกรณ์อาจผลิตอิเล็กตรอนที่มีสถานะเดียวกันทั้งหมด ในกรณีนี้ อิเล็กตรอนที่ผู้สังเกตการณ์ได้รับจะเป็นกลุ่มบริสุทธิ์ อย่างไรก็ตาม อุปกรณ์อาจผลิตอิเล็กตรอนที่มีสถานะต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น อาจผลิตอิเล็กตรอนสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งมีสถานะที่สปินเรียงตัวในทิศทางบวกzและอีกกลุ่มหนึ่งมีสถานะที่สปินเรียงตัวในทิศทางลบyโดยทั่วไป นี่คือกลุ่มผสม เนื่องจากอาจมีประชากรจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่ละกลุ่มสอดคล้องกับสถานะที่แตกต่างกัน ตามคำจำกัดความข้างต้น สำหรับระบบประกอบแบบทวิภาค สถานะผสมก็คือเมทริกซ์ความหนาแน่นบนH _A ⊗ H _Bนั่นคือ มีรูปแบบทั่วไป ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}__{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

โดยที่w _iคือความน่าจะเป็นที่มีค่าเป็นบวกและเวกเตอร์ คือเวกเตอร์หน่วย เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์สมมาตรในตัวเอง มีค่าเป็นบวก และมีร่องรอยเท่ากับ 1 ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$

เมื่อขยายคำจำกัดความของการแยกออกจากกรณีบริสุทธิ์ เรากล่าวว่าสถานะผสมสามารถแยกออกจากกันได้หากสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 76 ] : 131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

โดยที่w _iคือความน่าจะเป็นที่มีค่าเป็นบวก และs และs นั้นเป็นสถานะผสม (ตัวดำเนินการความหนาแน่น) บนระบบย่อยAและBตามลำดับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สถานะจะแยกได้ก็ต่อเมื่อเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะที่ไม่สัมพันธ์กัน หรือสถานะผลคูณ โดยการเขียนเมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นผลรวมของกลุ่มบริสุทธิ์และขยาย เราอาจสมมติได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าและเป็นกลุ่มบริสุทธิ์ สถานะจะเรียกว่าพันกันหากไม่สามารถแยกได้ โดยทั่วไป การค้นหาว่าสถานะผสมพันกันหรือไม่นั้นถือว่ายาก กรณีทวิภาคทั่วไปได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาNP-hard [ ^{77 ] สำหรับ}กรณี2 × 2และ2 × 3เกณฑ์ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการแยกได้นั้นกำหนดโดย เงื่อนไข Positive Partial Transpose (PPT) ที่มีชื่อเสียง ^{[ 78 ]}${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$

แนวคิดของเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ลดลงได้รับการนำเสนอโดยPaul Diracในปี พ.ศ. 2473 ^{[ 79 ]}พิจารณาระบบAและB ข้างต้น โดย แต่ละระบบมีปริภูมิฮิลเบิร์ตH _A , H _Bให้สถานะของระบบประกอบเป็น

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น โดยทั่วไปแล้วไม่มีวิธีใดที่จะเชื่อมโยงสถานะบริสุทธิ์กับระบบส่วนประกอบAได้ อย่างไรก็ตาม ยังคงสามารถเชื่อมโยงเมทริกซ์ความหนาแน่นได้ ให้

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$.

ซึ่งเป็นตัวดำเนินการฉายภาพลงบนสถานะนี้ สถานะของAคือร่องรอยบางส่วนของρ _TบนฐานของระบบB :

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

ผลรวมเกิดขึ้นเหนือและตัวดำเนินการเอกลักษณ์ในρ A _บางครั้งเรียกว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปของρบนระบบย่อยAในภาษาพูด เรา "ติดตาม" หรือ "ติดตามเหนือ" ระบบBเพื่อให้ได้เมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปบนA [ ^{47 ] : 207–212 [ 50 ] : 133 [ 54 ] : §22.4} ${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle H_{A}}$

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ความหนาแน่นลดรูปของAสำหรับสถานะพันกัน

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

อภิปรายข้างต้นคือ^{[ 54 ] : §22.4}

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right)}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ลดลงสำหรับกลุ่มบริสุทธิ์ที่พันกันเป็นกลุ่มผสม ในทางตรงกันข้าม เมทริกซ์ความหนาแน่นของAสำหรับสถานะผลคูณบริสุทธิ์ที่กล่าวถึงข้างต้นคือ^{[ 46 ] : 106} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A},}$

ตัวดำเนินการฉายภาพไปยัง. ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

โดยทั่วไป สถานะบริสุทธิ์แบบทวิภาคρจะพันกันก็ต่อเมื่อสถานะที่ลดลงของมันเป็นสถานะผสมแทนที่จะเป็นสถานะบริสุทธิ์^{[ 50 ] : 131}

ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม สถานะพันกันถือเป็น 'ทรัพยากร' กล่าวคือ สิ่งที่มีต้นทุนในการผลิตสูงและช่วยให้สามารถดำเนินการแปลงที่มีคุณค่าได้^{[ 80 ] [ 81 ]}สถานการณ์ที่มุมมองนี้ชัดเจนที่สุดคือสถานการณ์ของ "ห้องปฏิบัติการระยะไกล" กล่าวคือ ระบบควอนตัมสองระบบที่ติดป้ายว่า "A" และ "B" ซึ่งแต่ละระบบ สามารถดำเนิน การควอนตัม ได้ตามอำเภอใจ แต่ระบบทั้งสองจะไม่โต้ตอบกันในเชิงควอนตัม การโต้ตอบเพียงอย่างเดียวที่อนุญาตคือการแลกเปลี่ยนข้อมูลแบบคลาสสิก ซึ่งเมื่อรวมกับการดำเนินการควอนตัมเฉพาะที่ทั่วไปที่สุด จะทำให้เกิดการดำเนินการประเภทที่เรียกว่าLOCC (การดำเนินการเฉพาะที่และการสื่อสารแบบคลาสสิก) การดำเนินการเหล่านี้ไม่อนุญาตให้สร้างสถานะพันกันระหว่างระบบ A และ B แต่ถ้า A และ B ได้รับสถานะพันกันแล้ว สถานะเหล่านี้ร่วมกับการดำเนินการ LOCC จะช่วยให้สามารถแปลงได้หลากหลายมากขึ้น

ถ้าอลิซและบ็อบมีสถานะพันกัน อลิซสามารถบอกบ็อบทางโทรศัพท์ถึงวิธีการสร้างสถานะควอนตัมที่เธอมีในห้องทดลองของเธอขึ้นมาใหม่ได้ อลิซทำการวัดร่วมกันกับสถานะพันกันครึ่งหนึ่งของเธอและบอกผลลัพธ์ให้บ็อบทราบ โดยใช้ผลลัพธ์ของอลิซ บ็อบดำเนินการกับสถานะพันกันครึ่งหนึ่งของเขาเพื่อให้เท่ากับเนื่องจากการวัดของอลิซจำเป็นต้องลบสถานะควอนตัมของระบบในห้องทดลองของเธอ สถานะจึงไม่ได้ถูกคัดลอก แต่ถูกถ่ายโอน กล่าวได้ว่ามันถูก " เทเลพอร์ต " ไปยังห้องทดลองของบ็อบผ่านโปรโตคอลนี้^{[ 46 ] : 27 [ 1 ] : 875 [ 82 ]}${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

การสลับการพันกันเป็นรูปแบบหนึ่งของการเทเลพอร์ตที่ช่วยให้สองฝ่ายที่ไม่เคยมีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อนสามารถแบ่งปันสถานะพันกันได้ โปรโตคอลการสลับเริ่มต้นด้วยแหล่งกำเนิด EPR สองแหล่ง แหล่งหนึ่งปล่อยอนุภาคคู่พันกัน A และ B ในขณะที่อีกแหล่งหนึ่งปล่อยอนุภาคคู่พันกัน C และ D อนุภาค B และ C จะถูกวัดในฐานของสถานะเบลล์ สถานะของอนุภาคที่เหลือ A และ D จะยุบตัวลงเป็นสถานะเบลล์ ทำให้พวกมันยังคงพันกันอยู่แม้ว่าจะไม่เคยมีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อนก็ตาม^{[ 1 ] [ 84 ]}

การโต้ตอบระหว่างคิวบิตของ A และคิวบิตของ B สามารถเกิดขึ้นได้โดยการเทเลพอร์ตคิวบิตของ A ไปยัง B ก่อน จากนั้นปล่อยให้คิวบิตนั้นโต้ตอบกับคิวบิตของ B (ซึ่งตอนนี้เป็นการดำเนินการ LOCC เนื่องจากคิวบิตทั้งสองอยู่ในห้องปฏิบัติการของ B) แล้วจึงเทเลพอร์ตคิวบิตกลับไปยัง A สถานะที่พันกันสูงสุดสองสถานะของคิวบิตสองตัวถูกใช้ไปในกระบวนการนี้ ดังนั้นสถานะที่พันกันจึงเป็นทรัพยากรที่ช่วยให้การโต้ตอบควอนตัม (หรือช่องสัญญาณควอนตัม) เกิดขึ้นได้ในสภาพแวดล้อมที่มีเพียง LOCC เท่านั้น แต่สถานะเหล่านั้นจะถูกใช้ไปในกระบวนการ มีแอปพลิเคชันอื่นๆ ที่สามารถมองการพันกันเป็นทรัพยากรได้ เช่น การสื่อสารส่วนตัวหรือการแยกแยะสถานะควอนตัม^{[ 1 ]}

สถานะควอนตัมที่อธิบายระบบที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนมากกว่าสองชิ้นก็สามารถพันกันได้เช่นกัน ตัวอย่างของระบบสามคิวบิตคือสถานะ Greenberger–Horne–Zeilinger (GHZ) อีกตัวอย่างหนึ่งของระบบสามคิวบิตคือสถานะ W : การติดตามคิวบิตใดคิวบิตหนึ่งในสามคิวบิตจะเปลี่ยนสถานะ GHZ ให้เป็นสถานะที่แยกออกจากกันได้ ในขณะที่ผลลัพธ์ของการติดตามคิวบิตใดคิวบิตหนึ่งในสามคิวบิตในสถานะ W ยังคงพันกันอยู่ นี่แสดงให้เห็นว่าการพันกันแบบหลายส่วนเป็นหัวข้อที่ซับซ้อนกว่าการพันกันแบบสองส่วน: ระบบที่ประกอบด้วยสามส่วนขึ้นไปสามารถแสดงการพันกันหลายประเภทที่แตกต่างกันในเชิงคุณภาพได้^{[ 48 ] : 493–497} อนุภาคเดี่ยวไม่สามารถพันกันสูงสุดกับอนุภาคมากกว่าหนึ่งอนุภาคในเวลาเดียวกัน ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าmonogamy ^{[ 85 ]}$${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$$${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle }{\sqrt {3}}}.}$$

ไม่ใช่ว่าสถานะควอนตัมทั้งหมดจะมีค่าเท่ากันในฐานะทรัพยากร วิธีหนึ่งในการวัดค่านี้คือการใช้มาตรวัดการพัวพันซึ่งกำหนดค่าตัวเลขให้กับแต่ละสถานะควอนตัม อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่น่าสนใจที่จะเลือกวิธีการเปรียบเทียบสถานะควอนตัมที่หยาบกว่า ซึ่งนำไปสู่รูปแบบการจำแนกประเภทที่แตกต่างกัน คลาสการพัวพันส่วนใหญ่ถูกกำหนดโดยพิจารณาว่าสถานะสามารถแปลงเป็นสถานะอื่นได้หรือไม่โดยใช้ LOCC หรือคลาสย่อยของการดำเนินการเหล่านี้ ยิ่งชุดของการดำเนินการที่อนุญาตน้อยลงเท่าใด การจำแนกประเภทก็จะยิ่งละเอียดมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างที่สำคัญได้แก่:

• หากสถานะสองสถานะสามารถแปลงเป็นอีกสถานะหนึ่งได้ด้วยการดำเนินการเอกภาพเฉพาะที่ สถานะทั้งสองนั้นจะอยู่ในคลาส LU เดียวกัน นี่คือคลาสที่ดีที่สุดที่มักพิจารณา สถานะสองสถานะในคลาส LU เดียวกันจะมีค่าเดียวกันสำหรับการวัดการพันกันและมีค่าเดียวกันในฐานะทรัพยากรในการตั้งค่าห้องปฏิบัติการระยะไกล มีคลาส LU ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนอนันต์ (แม้ในกรณีที่ง่ายที่สุดของคิวบิตสองตัวในสถานะบริสุทธิ์) ^{[ 86 ] [ 87 ]}
• หากสถานะสองสถานะสามารถแปลงเป็นอีกสถานะหนึ่งได้ด้วยการดำเนินการเฉพาะที่รวมถึงการวัดที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 0 สถานะทั้งสองนั้นจะอยู่ใน 'คลาส SLOCC' เดียวกัน ("stochastic LOCC") ในเชิงคุณภาพ สถานะสองสถานะในคลาส SLOCC เดียวกันนั้นมีพลังเท่ากัน เนื่องจากสถานะหนึ่งสามารถแปลงอีกสถานะหนึ่งเป็นอีกสถานะหนึ่งได้ แต่เนื่องจากการแปลงอาจสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน สถานะทั้งสองจึงไม่มีค่าเท่ากันอีกต่อไป ตัวอย่างเช่น สำหรับคิวบิตบริสุทธิ์สองตัวจะมีคลาส SLOCC เพียงสองคลาสเท่านั้น ได้แก่ สถานะพันกัน (ซึ่งประกอบด้วยสถานะเบลล์ (พันกันสูงสุด) และสถานะพันกันอย่างอ่อน เช่น) และสถานะที่แยกออกจากกันได้ (เช่น สถานะผลคูณ เช่น) ^{[ 88 ] [ 89 ]}${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$
• แทนที่จะพิจารณาการแปลงสำเนาเดียวของสถานะ (เช่น) เราสามารถกำหนดคลาสตามความเป็นไปได้ของการแปลงหลายสำเนาได้ เช่น มีตัวอย่างที่ เป็นไปไม่ได้โดย LOCC แต่เป็นไปได้ การจำแนกประเภทที่สำคัญมาก (และหยาบมาก) ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติว่าสามารถแปลงสำเนาจำนวนมากของสถานะให้เป็นสถานะพันกันบริสุทธิ์อย่างน้อยหนึ่งสถานะได้หรือไม่ สถานะที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า สถานะที่กลั่นได้สถานะเหล่านี้เป็นสถานะควอนตัมที่มีประโยชน์มากที่สุด เนื่องจากหากมีจำนวนมากพอ ก็สามารถแปลง (ด้วยการดำเนินการเฉพาะที่) ไปเป็นสถานะพันกันใดๆ ก็ได้ และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้ใช้งานได้ทุกรูปแบบ ในตอนแรกเป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจที่สถานะพันกันทั้งหมดไม่สามารถกลั่นได้ สถานะที่ไม่สามารถกลั่นได้เรียกว่า " พันกันแบบผูกพัน " ^{[ 90 ] [ 1 ]}${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho }$

การจำแนกประเภทการพันกันที่แตกต่างกันนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่ความสัมพันธ์ควอนตัมที่มีอยู่ในสถานะอนุญาตให้ A และ B ทำได้ โดยจะแยกสถานะที่พันกันออกเป็นสามกลุ่มย่อย ได้แก่ (1) สถานะที่ไม่ใช่แบบโลคอลซึ่งสร้างความสัมพันธ์ที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นแบบโลคอล และด้วยเหตุนี้จึงละเมิดอสมการเบลล์ (2) สถานะที่สามารถควบคุมได้ซึ่งมีความสัมพันธ์เพียงพอสำหรับ A ในการปรับเปลี่ยน ("ควบคุม") สถานะลดเงื่อนไขของ B โดยการวัดแบบโลคอลในลักษณะที่ A สามารถพิสูจน์ให้ B เห็นว่าสถานะที่พวกเขามีนั้นพันกันจริง ๆ และสุดท้าย (3) สถานะที่พันกันซึ่งไม่ใช่ทั้งแบบที่ไม่ใช่แบบโลคอลและแบบที่สามารถควบคุมได้ ทั้งสามเซตนี้ไม่ว่างเปล่า^{[ 91 ]}

ในส่วนนี้ จะกล่าวถึงเอนโทรปีของสถานะผสม รวมถึงวิธีการมองว่าเอนโทรปีเป็นตัววัดการพันกันทางควอนตัม

ในทฤษฎีสารสนเทศ แบบคลาสสิก Hเอนโทรปีของแชนนอนเกี่ยวข้องกับการกระจายความน่าจะเป็นในลักษณะดังต่อไปนี้: ^{[ 92 ]}${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

เนื่องจากสถานะผสมρเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือกลุ่ม จึงนำไปสู่คำจำกัดความของเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ โดยธรรมชาติ : ^{[ 55 ] : 264}

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right),}$

ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของค่าลักษณะเฉพาะของρ :

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$.

เนื่องจากเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นเป็น 0 ไม่ควรมีส่วนทำให้เกิดเอนโทรปี และเมื่อพิจารณาว่า

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$

ข้อตกลง0 log(0) = 0ถูกนำมาใช้ เมื่ออนุภาคคู่หนึ่งถูกอธิบายโดยสถานะสปินซิงเกล็ตที่กล่าวถึงข้างต้น เอนโทรปีของฟอนนอยมันน์ของอนุภาคใดอนุภาคหนึ่งคือlog(2)ซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเป็นเอนโทรปีสูงสุดสำหรับสถานะผสม2 × 2 ^{[ 52 ] : 15}

เอนโทรปีเป็นเครื่องมือหนึ่งที่สามารถใช้ในการวัดปริมาณการพันกันได้ แม้ว่าจะมีมาตรวัดการพันกันอื่นๆ อยู่ก็ตาม^{[ 93 ] [ 94 ]}หากระบบโดยรวมบริสุทธิ์ เอนโทรปีของระบบย่อยหนึ่งสามารถใช้ในการวัดระดับการพันกันกับระบบย่อยอื่นๆ ได้ สำหรับสถานะบริสุทธิ์แบบทวิภาค เอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของสถานะที่ลดลงเป็นมาตรวัดการพันกันที่ไม่ซ้ำกันในแง่ที่ว่ามันเป็นฟังก์ชันเดียวบนตระกูลของสถานะที่ตรงตามสัจพจน์บางประการที่จำเป็นสำหรับมาตรวัดการพันกัน^{[ 95 ]}เป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่เอนโทรปีของแชนนอนจะถึงค่าสูงสุดที่ และเฉพาะที่ การกระจายความน่าจะเป็นแบบเอกรูป {1/ n , ..., 1/ n } ^{[ 46 ] : 505} ดังนั้น สถานะบริสุทธิ์แบบทวิภาคρ ∈ H _A ⊗ H _Bเรียกว่าสถานะพันกันสูงสุดหากสถานะที่ลดลงของแต่ละระบบย่อยของρเป็นเมทริกซ์แนวทแยง^{[ 96 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

สำหรับสถานะผสม เอนโทรปีของฟอนนอยมันน์ที่ลดลงไม่ใช่มาตรวัดการพันกันที่สมเหตุสมผลเพียงอย่างเดียว^{[ 48 ] : 471} เอนโทรปีของเรนยีสามารถใช้เป็นมาตรวัดการพันกันได้^{[ 48 ] : 447, 480 [ 97 ]}

การวัดการพันกันจะวัดปริมาณการพันกันในสถานะควอนตัม (ซึ่งมักถูกมองว่าเป็นสถานะทวิภาค) ดังที่กล่าวมาแล้วเอนโทรปีการพันกันเป็นการวัดการพันกันมาตรฐานสำหรับสถานะบริสุทธิ์ (แต่ไม่ใช่การวัดการพันกันสำหรับสถานะผสมอีกต่อไป) สำหรับสถานะผสม มีการวัดการพันกันบางอย่างในเอกสาร^{[ 93 ]}และไม่มีการวัดใดเป็นมาตรฐาน

• ต้นทุนการพันกัน
• การพันกันที่กลั่นได้
• การพันกันของการก่อตัว
• ความเห็นพ้อง
• เอนโทรปีสัมพัทธ์ของการพันกัน
• การพันกันที่ถูกบีบอัด
• ค่าลบเชิงลอการิทึม

มาตรการการพันกันส่วนใหญ่ (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) เหล่านี้จะลดลงสำหรับสถานะบริสุทธิ์เป็นเอนโทรปีการพันกัน และยาก ( NP-hard ) ที่จะคำนวณสำหรับสถานะผสมเมื่อมิติของระบบพันกันเพิ่มขึ้น^{[ 98 ]}

บางครั้งทฤษฎีบท Reeh –Schliederของทฤษฎีสนามควอนตัมถูกตีความว่าการพันกันมีอยู่ทั่วไปในสุญญากาศควอนตัม^{[ 99 ]}

การพัวพันมีแอปพลิเคชันมากมายในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมด้วยความช่วยเหลือของการพัวพัน งานที่เป็นไปไม่ได้อาจบรรลุผลได้ แอปพลิเคชันที่รู้จักกันดีที่สุดของการพัวพัน ได้แก่การเข้ารหัสความหนาแน่นสูงและการเทเลพอร์ตควอนตัม^{[ 41 ]}นักวิจัยส่วนใหญ่เชื่อว่าการพัวพันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณควอนตัม (แม้ว่าจะมีบางคนโต้แย้งเรื่องนี้) ^{[ 100 ]}การพัวพันถูกใช้ในโปรโตคอลบางอย่างของการเข้ารหัสควอนตัม [ ^{38 ] [ 101 ]}แต่การพิสูจน์ความปลอดภัยของการแจกจ่ายกุญแจควอนตัม (QKD) ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานไม่จำเป็นต้องใช้การพัวพัน^{[ 102 ]}อย่างไรก็ตาม ความปลอดภัยที่ไม่ ^ขึ้นกับอุปกรณ์ของ QKD ได้รับการแสดงให้เห็นโดยใช้ประโยชน์จากการพัวพันระหว่างคู่ค้าในการสื่อสาร^{[ 103 ]}ในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2557 นักวิจัยชาวบราซิล Gabriela Barreto Lemos จากมหาวิทยาลัยเวียนนาและทีมงานสามารถ "ถ่ายภาพ" วัตถุโดยใช้โฟตอนที่ไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์กับวัตถุเหล่านั้น แต่พัวพันกับโฟตอนที่มีปฏิสัมพันธ์กับวัตถุเหล่านั้น^{[ 104 ]}แนวคิดนี้ได้รับการปรับปรุงเพื่อสร้างภาพอินฟราเรดโดยใช้เพียงกล้องมาตรฐานที่ไม่ไวต่ออินฟราเรด^{[ 105 ]}

มีสถานะพันกันมาตรฐานหลายสถานะที่ปรากฏให้เห็นบ่อยครั้งทั้งในทางทฤษฎีและการทดลอง

สำหรับ คิวบิตสองตัว สถานะเบลล์คือ

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

สถานะบริสุทธิ์ทั้งสี่นี้ล้วนมีการพันกันสูงสุดและก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉาก ของปริภูมิฮิลเบิร์ตของคิวบิตทั้งสอง^{[ 47 ] : 38–39 [ 46 ] : 98} สถานะ เหล่านี้เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมสามารถละเมิดความไม่เท่าเทียมกันแบบเบลล์ได้ อย่างไร ^{[ 47 ] : 62 [ 46 ] : 116}

สำหรับM > 2คิวบิตสถานะ GHZคือ

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

ซึ่งลดลงเหลือสถานะเบลล์สำหรับM = 2สถานะ GHZ แบบดั้งเดิมถูกกำหนดไว้สำหรับM = 3สถานะ GHZ บางครั้งขยายไปยังควอนตัม ดิต กล่าว คือ ระบบที่มี มิติ dแทนที่จะเป็น 2 มิติ^{[ 106 ] [ 107 ]}นอกจากนี้ สำหรับ คิวบิต M > 2ยังมีสถานะสปินสควี ซซ์ ซึ่งเป็น คลาสของสถานะโคฮีเรนต์แบบสควีซซ์ที่ตรงตามข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของการวัดสปิน ซึ่งจำเป็นต้องมีการพันกัน^{[ 108 ]}สถานะสปินสควีซซ์เป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการเพิ่มความแม่นยำในการวัดโดยใช้การพันกันของควอนตัม^{[ 109 ]}${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

สำหรับ โหมดโบซอนิกสองโหมด สถานะเที่ยงวันคือ

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}.}$

นี่เหมือนกับสถานะเบลล์ยกเว้นสถานะพื้นฐานและถูกแทนที่ด้วย " โฟตอน Nตัวอยู่ในโหมดหนึ่ง" และ " โฟตอน Nตัวอยู่ในโหมดอื่น" ^{[ 110 ]}สุดท้ายนี้ ยังมีสถานะทวินฟ็อคสำหรับโหมดโบซอนิก ซึ่งสามารถสร้างได้โดยการป้อนสถานะฟ็อคเข้าไปในแขนสองข้างที่นำไปสู่ตัวแยกแสง สถานะเหล่านี้เป็นผลรวมของสถานะ NOON หลายสถานะ และสามารถใช้เพื่อให้บรรลุขีดจำกัดไฮเซนเบิร์กได้^{[ 111 ]}สำหรับการวัดการพันกันที่เลือกอย่างเหมาะสม สถานะเบลล์ GHZ และ NOON จะมีการพันกันสูงสุด ในขณะที่สถานะสปินสควีซและทวินฟ็อคจะมีการพันกันเพียงบางส่วนเท่านั้น^{[ 112 ] [ 110 ] [ 113 ]}${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

การพันกันมักเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์โดยตรงระหว่างอนุภาคย่อยอะตอม ปฏิสัมพันธ์เหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้หลายรูปแบบ หนึ่งในวิธีการที่ใช้กันทั่วไปคือการแปลงพาราเมตริกแบบสปอนเท เนียส เพื่อสร้างคู่โฟตอนที่พันกันในโพลาไรเซชัน^{[ 1 ] [ 114 ]}วิธีการอื่นๆ ได้แก่ การใช้ตัวเชื่อมต่อไฟเบอร์เพื่อกักและผสมโฟตอน โฟตอนที่ปล่อยออกมาจากการสลายตัวแบบต่อเนื่องของไบเอ็กซิตอนในค^วอนตัมดอต [ ^{115 ]}หรือการใช้เอฟเฟกต์ Hong–Ou–Mandel [ ^{116 ] การ}พันกันควอนตัมของอนุภาคและปฏิอนุภาคเช่น อิเล็กตรอนและโพซิตรอนสามารถสร้างขึ้นได้โดยการทับซ้อนบางส่วนของฟังก์ชันคลื่นควอนตัม ที่สอดคล้องกัน ใน อินเตอร์เฟอโร เมตรของ Hardy ^{[ 117 ] [ 118 ]}ในการทดสอบทฤษฎีบทของ Bell ในยุคแรกๆ อนุภาคที่พันกันถูกสร้างขึ้นโดยใช้อะตอมแคสเคด^{[ 6 ]}ยังสามารถสร้างการพันกันระหว่างระบบควอนตัมที่ไม่เคยมีปฏิสัมพันธ์กันโดยตรงได้ด้วยการใช้การสลับการพันกันอนุภาคที่เหมือนกันสองอนุภาคที่เตรียมไว้โดยอิสระอาจพันกันได้หากฟังก์ชันคลื่นของพวกมันทับซ้อนกันในเชิงพื้นที่อย่างน้อยบางส่วน^{[ 119 ]}

เมทริกซ์ความหนาแน่นρเรียกว่าเมทริกซ์แยกส่วนได้ ถ้าสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมนูนของสถานะผลคูณ กล่าวคือ ด้วยความน่าจะเป็น ตามนิยาม สถานะจะพันกันถ้าไม่สามารถแยกส่วนได้ $${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$${\displaystyle 0\leq p_{j}\leq 1}$

สำหรับระบบ 2-qubit และ qubit-qutrit (2 × 2 และ 2 × 3 ตามลำดับ) เกณฑ์ Peres–Horodecki ที่เรียบง่าย ให้ทั้งเกณฑ์ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการแยกส่วนได้ และด้วยเหตุนี้จึง—โดยไม่ได้ตั้งใจ—สำหรับการตรวจจับการพันกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีทั่วไป เกณฑ์นี้เป็นเพียงเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการแยกส่วนได้ เนื่องจากปัญหาจะกลายเป็น NP-hard เมื่อขยายความทั่วไป^{[ 120 ] [ 121 ]} เกณฑ์การแยกส่วนได้อื่นๆ ได้แก่ ( แต่ไม่จำกัดเพียง) เกณฑ์ช่วงเกณฑ์การลดและเกณฑ์ที่อิงตามความสัมพันธ์ความไม่แน่นอน^{[ 122 ] [ 123 ] [ 124 ] [ 125 ]}ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 126 ]}สำหรับการทบทวนเกณฑ์การแยกส่วนได้ในระบบตัวแปรไม่ต่อเนื่อง และเอกสารอ้างอิง^{[ 127 ]}สำหรับการทบทวนเทคนิคและความท้าทายในการรับรองการพันกันเชิงทดลองในระบบตัวแปรไม่ต่อเนื่อง

Jon Magne Leinaas , Jan MyrheimและEirik Ovrumได้เสนอแนวทางเชิงตัวเลขสำหรับปัญหานี้ในบทความของพวกเขาเรื่อง "Geometrical aspects of entanglement" ^{[ 128 ]} Leinaas และคณะได้เสนอแนวทางเชิงตัวเลข โดยการปรับปรุงสถานะที่แยกได้โดยประมาณซ้ำๆ ไปสู่สถานะเป้าหมายที่จะทดสอบ และตรวจสอบว่าสามารถเข้าถึงสถานะเป้าหมายได้จริงหรือไม่ ในระบบตัวแปรต่อเนื่อง เกณฑ์ Peres–Horodecki ก็ใช้ได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Simon ^{[ 129 ]}ได้กำหนดเกณฑ์ Peres–Horodecki เวอร์ชันเฉพาะในแง่ของโมเมนต์ลำดับที่สองของตัวดำเนินการแคนอนิก และแสดงให้เห็นว่าเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสถานะ Gaussian แบบ -โหมด (ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 130 ]}สำหรับแนวทางที่ดูเหมือนแตกต่างกัน แต่โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน) ต่อมาพบ ว่า ^{[ 131 ]}เงื่อนไขของ Simon ก็เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสถานะ Gaussian แบบ -โหมดเช่นกัน แต่ไม่เพียงพอสำหรับสถานะ Gaussian แบบ -โหมด อีกต่อไป เงื่อนไขของไซมอนสามารถขยายได้โดยคำนึงถึงโมเมนต์ลำดับที่สูงกว่าของตัวดำเนินการแคนอนิก^{[ 132 ] [ 133 ]}หรือโดยการใช้มาตรวัดเอนโทรปี^{[ 134 ] [ 135 ]}${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$

มีความขัดแย้งพื้นฐานที่เรียกว่าปัญหาของเวลาระหว่างวิธีการใช้แนวคิดเรื่องเวลาในกลศาสตร์ควอนตัม และบทบาทที่เวลาเล่นใน ทฤษฎีสัม พัทธภาพทั่วไปในทฤษฎีควอนตัมมาตรฐาน เวลาทำหน้าที่เป็นพื้นหลังอิสระที่สถานะต่างๆ วิวัฒนาการ ในขณะที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปถือว่าเวลาเป็นตัวแปรไดนามิกที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับสสาร ส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะประสานแนวทางเหล่านี้เกี่ยวกับเวลาส่งผลให้เกิดสมการ Wheeler–DeWittซึ่งทำนายว่าสถานะของจักรวาลนั้นไร้กาลเวลาหรือคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับประสบการณ์ทั่วไป^{[ 136 ]} งานที่เริ่มต้นโดยDon PageและWilliam Wootters ^{[ 137 ] [ 138 ] [ 139 ]}ชี้ให้เห็นว่าจักรวาลดูเหมือนจะวิวัฒนาการสำหรับผู้สังเกตการณ์ภายในเนื่องจากการพัวพันของพลังงานระหว่างระบบที่กำลังวิวัฒนาการและระบบนาฬิกา ซึ่งทั้งสองอย่างอยู่ภายในจักรวาล^{[ 136 ]}ด้วยวิธีนี้ ระบบโดยรวมสามารถคงความไร้กาลเวลาได้ ในขณะที่บางส่วนประสบกับเวลาผ่านการพัวพัน ประเด็นนี้ยังคงเป็นคำถามที่ยังเปิดอยู่ ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความพยายามในการสร้างทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัม^{[ 140 ] [ 141 ]}

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แรงโน้มถ่วงเกิดขึ้นจากความโค้งของปริภูมิเวลา และความโค้งนั้นได้มาจากการกระจายตัวของสสาร อย่างไรก็ตาม สสารถูกควบคุมโดยกลศาสตร์ควอนตัม การบูรณาการทฤษฎีทั้งสองนี้เผชิญกับปัญหามากมาย ในปริภูมิจำลอง (ที่ไม่สมจริง) ที่เรียกว่าปริภูมิแอนติ-เดอ ซิตเตอร์ ความ สอดคล้อง AdS /CFTช่วยให้ระบบแรงโน้มถ่วงควอนตัมสามารถเชื่อมโยงกับทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่มีแรงโน้มถ่วงได้^{[ 142 ]}โดยใช้ความสอดคล้องนี้มาร์ค แวน รามส์ดองก์เสนอว่าปริภูมิเวลาเกิดขึ้นเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นใหม่ของระดับความเป็นอิสระควอนตัมที่พันกันและอาศัยอยู่ในขอบเขตของปริภูมิเวลา^{[ 143 ]}

การทดสอบเบลล์หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์หรือการทดลองเบลล์เป็นการทดลองทางฟิสิกส์ในโลกแห่งความเป็นจริงที่ออกแบบมาเพื่อทดสอบทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัมกับสมมติฐานของตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ การทดสอบเหล่านี้ประเมินผลลัพธ์ของทฤษฎีบทของเบลล์ใน เชิง ประจักษ์ จนถึงปัจจุบัน การทดสอบเบลล์ทั้งหมดพบว่าสมมติฐานของตัวแปรซ่อนเร้นเฉพาะที่ไม่สอดคล้องกับพฤติกรรมของระบบทางกายภาพ มีการทดสอบเบลล์หลายประเภทที่ดำเนินการในห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ โดยมักมีเป้าหมายเพื่อแก้ไขปัญหาของการออกแบบหรือการจัดตั้งการทดลองที่อาจส่งผลต่อความถูกต้องของผลการค้นพบของการทดสอบเบลล์ก่อนหน้านี้ ซึ่งเรียกว่า "การปิดช่องโหว่ในการทดสอบเบลล์" ในการทดสอบก่อนหน้านี้ ไม่สามารถตัดความเป็นไปได้ที่ผลลัพธ์ ณ จุดหนึ่งอาจถูกส่งต่อไปยังจุดที่ห่างไกลอย่างละเอียดอ่อน ส่งผลต่อผลลัพธ์ ณ ตำแหน่งที่สองได้^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม การทดสอบเบลล์ที่ "ปราศจากช่องโหว่" ได้ถูกดำเนินการในภายหลัง โดยที่ตำแหน่งต่างๆ แยกจากกันมากพอที่การสื่อสารด้วยความเร็วแสงจะใช้เวลานานกว่า—ในกรณีหนึ่ง นานกว่าถึง 10,000 เท่า—ช่วงเวลาระหว่างการวัด^{[ 8 ] [ 7 ] [ 15 ]}

ในปี 2017 Yin และคณะได้รายงานการสร้างสถิติระยะทางควอนตัมเอนแทงเกิลเมนต์ใหม่ที่ 1,203 กิโลเมตร โดยแสดงให้เห็นถึงการคงอยู่ของคู่โฟตอนสองตัวและการละเมิดอสมการเบลล์ ซึ่งทำให้ได้ค่า CHSHที่...2.37 ± 0.09ภายใต้เงื่อนไขตำแหน่งไอน์สไตน์ที่เข้มงวด จากดาวเทียม Miciusไปยังฐานใน Lijian มณฑลยูนนาน และ Delingha มณฑลชิงไห่ เพิ่มประสิทธิภาพการส่งสัญญาณเหนือการทดลองไฟเบอร์ออปติกก่อนหน้านี้ถึงหนึ่งลำดับขนาด^{[ 144 ] [ 145 ]}

ในปี 2023 LHCใช้เทคนิคจากควอนตัมโทโมกราฟีในการวัดการพันกันที่พลังงานสูงสุดเท่าที่เคยมีมา^{[ 146 ] [ 147 ] [ 148 ]}ซึ่งเป็นจุดตัดที่หายากระหว่างข้อมูลควอนตัมและฟิสิกส์พลังงานสูงโดยอิงจากงานทางทฤษฎีที่เสนอครั้งแรกในปี 2021 ^{[ 149 ]}การทดลองนี้ดำเนินการโดย เครื่องตรวจจับ ATLASซึ่งวัดสปินของการผลิตคู่ควาร์กท็อป และสังเกตเห็นผลกระทบที่ระดับนัยสำคัญมากกว่า 5 σควาร์กท็อปเป็นอนุภาคที่หนักที่สุดที่รู้จักและดังนั้นจึงมีอายุขัยสั้นมาก ( ≈ )${\displaystyle \tau }$10 ⁻²⁵  วินาที ) เป็นควาร์กเพียงชนิดเดียวที่สลายตัวก่อนที่จะเกิดกระบวนการแฮดรอนไนเซชัน (~ 10 ⁻²³  วินาที ) และการลดความสัมพันธ์ของสปิน (~ 10 ⁻²¹  วินาที ) ดังนั้นข้อมูลสปินจึงถูกถ่ายโอนโดยไม่สูญเสียมากนักไปยังผลิตภัณฑ์การสลายตัวของเลปตอนิกที่จะถูกจับโดยเครื่องตรวจจับ^{[ 150 ]}การโพลาไรเซชันสปินและความสัมพันธ์ของอนุภาคได้รับการวัดและทดสอบสำหรับการพันกันด้วยความสอดคล้องเช่นเดียวกับเกณฑ์ Peres–Horodeckiและต่อมาผลกระทบได้รับการยืนยันในเครื่องตรวจจับ CMS ด้วย ^{[ 151 ] [ 152 ]}

ในปี 2020 นักวิจัยรายงานการพัวพันเชิงควอนตัมระหว่างการเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์เชิงกลขนาดมิลลิเมตรและระบบสปินที่อยู่ห่างไกลกันของกลุ่มอะตอม^{[ 153 ]}งานวิจัยในภายหลังได้เสริมงานนี้ด้วยการพัวพันเชิงควอนตัมระหว่างออสซิลเลเตอร์เชิงกลสองตัว^{[ 154 ] [ 155 ] [ 156 ]}

นักฟิสิกส์ที่ห้องปฏิบัติการแห่งชาติบรูคเฮเวนได้สาธิตการพันกันของควอนตัมภายในโปรตอนโดยแสดงให้เห็นว่าควาร์กและกลูออนมีความสัมพันธ์กัน ไม่ใช่เป็นอนุภาคที่แยกจากกัน^{[ 157 ]}โดยใช้การชนกันของอิเล็กตรอนและโปรตอนพลังงานสูง พวกเขาได้เปิดเผยการพันกันสูงสุด ซึ่งเป็นการปรับเปลี่ยนความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโครงสร้างของโปรตอน^{[ 158 ]}

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ควอนตัมเอนแทงเกิลเมนต์

• วิดีโออธิบายโดยนิตยสารScientific American
• การทดลองการพันกันของคู่โฟตอน – แบบโต้ตอบ
• เสียงประกอบ – Cain/Gay (2009) Astronomy Cast Entanglement
• "ปรากฏการณ์ลึกลับจากระยะไกล?": การบรรยายของออปเพนไฮเมอร์ โดยศาสตราจารย์เดวิด เมอร์มิน (มหาวิทยาลัยคอร์เนลล์) มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ ปี 2008การบรรยายยอดนิยมที่ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เผยแพร่บน YouTube เมื่อเดือนมีนาคม 2008
• "การพัวพันควอนตัมเทียบกับความสัมพันธ์แบบคลาสสิก" (การสาธิตแบบโต้ตอบ)