สัญลักษณ์6- jของวิกเนอร์ได้รับการแนะนำโดยยูจีน พอล วิกเนอร์ในปี 1940 และตีพิมพ์ในปี 1965 โดยนิยามว่าเป็นผลรวมของผลคูณของสัญลักษณ์3- jของ วิกเนอร์สี่ตัว

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}&=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}\times \\&\times {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

ผลรวมนั้นครอบคลุมค่าm ทั้งหกค่า ที่อนุญาตโดยกฎการเลือกของสัญลักษณ์ 3- j

สัมประสิทธิ์เหล่านี้ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสัมประสิทธิ์ Racah Wซึ่งใช้สำหรับการเชื่อมต่อโมเมนตัมเชิงมุม 3 ตัว แม้ว่าสัญลักษณ์ Wigner 6- jจะมีสมมาตรสูงกว่าและจึงเป็นวิธีการจัดเก็บสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่มีประสิทธิภาพมากกว่า^{[ 1 ]} ความสัมพันธ์ของพวกมันกำหนดโดย:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

สัญลักษณ์ 6- jไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่งคอลัมน์ใดๆ:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

สัญลักษณ์ 6- jยังคงไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าตัวอาร์กิวเมนต์บนและล่างจะสลับกันในสองคอลัมน์ใดๆ ก็ตาม:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

สมการเหล่านี้สะท้อนถึงการดำเนินการสมมาตร 24 อย่างของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมซึ่งทำให้กราฟยูทซิสทรงสี่เหลี่ยม ที่เกี่ยวข้อง มีขอบ 6 ขอบที่ไม่เปลี่ยนแปลง ได้แก่ การดำเนินการสะท้อนที่สลับจุดยอดสองจุด และการสลับขอบที่อยู่ติดกันหนึ่งคู่

สัญลักษณ์6- j

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

จะเป็นศูนย์ เว้นแต่ว่าj , j และj จะตรงตามเงื่อนไขสามเหลี่ยม กล่าวคือ

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

เมื่อรวมกับความสัมพันธ์สมมาตรสำหรับการสลับอาร์กิวเมนต์บนและล่าง จะแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขสามเหลี่ยมจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับไตรแอด ( j , j , j ), ( j , j , j ) และ ( j , j , j ) ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ผลรวมขององค์ประกอบในแต่ละไตรแอดจะต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น สมาชิกของแต่ละไตรแอดจึงเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด หรือประกอบด้วยจำนวนเต็มหนึ่งตัวและครึ่งจำนวนเต็มสองตัว

เมื่อj = 0 นิพจน์สำหรับสัญลักษณ์ 6- jคือ:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

ค่าเดลต้าสามเหลี่ยม { j j j }    จะมีค่าเท่ากับ 1 เมื่อกลุ่มสามตัว ( j , j , j ) ตรงตามเงื่อนไขของสามเหลี่ยม และมีค่าเท่ากับศูนย์ในกรณีอื่น ๆ ความสัมพันธ์สมมาตรสามารถนำมาใช้เพื่อหาค่าเมื่อj อีกตัวหนึ่ง มีค่าเท่ากับศูนย์ได้

ค่าสำหรับj = e = 0, 1/2, 1, 3/2 และ 2 สามารถหาได้โดยตรงจากสัมประสิทธิ์ Racah W (Brink & Satchler 1994, ตารางที่ 4, j = e = 0, 1/2 และ 1; Biedenharn, Blatt, & Rose, 1952, j = e = 0, 1/2, 1, 3/2 และ 2) ค่าสำหรับj = 1/2 และ 1 แสดงไว้ด้านล่าง สูตรสำหรับการจับคู่ใหม่สำหรับค่าj อื่นๆ สามารถอนุมานได้ง่ายจากค่าเหล่านี้โดยใช้สมมาตรของ สัญลักษณ์ j ทั้ง 6 ตัว และการแทนที่ที่เหมาะสม

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}+{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3}+2)(j_{1}+j_{2}-j_{3}+1)}{(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{3}+j_{1}-j_{2})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3})(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{1}+j_{2}-j_{3}-1)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {2(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1})(j_{1}-j_{2}+j_{3}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}-j_{2}+j_{3}-1)(j_{1}-j_{2}+j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)(j_{2}+j_{3}-j_{1}+2)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)(2j_{2}+3)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}{\frac {j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)-j_{3}(j_{3}+1)}{[(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(j_{2})(j_{2}+1)(2j_{2}+1)]^{1/2}}}}$

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะใช้ตารางสัญลักษณ์ 6j เราควรใช้เครื่องคิดเลขและรหัสคอมพิวเตอร์ที่มีอยู่ซึ่งระบุไว้ในส่วนลิงก์ภายนอกด้านล่าง หรือสำหรับอาร์กิวเมนต์เฉพาะ ให้ค้นหาในชุดตาราง (Varshalovic, Moskalev, & Khersonskii 1988, บทที่ 9)

สัญลักษณ์ 6- jเป็นไปตามความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากนี้:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

สูตรที่น่าทึ่งสำหรับพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของสัญลักษณ์ 6- jได้รับการคาดเดาครั้งแรกโดย Ponzano และ Regge ^{[ 2 ]}และต่อมาได้รับการพิสูจน์โดย Roberts ^{[ 3 ]}สูตรเชิงอะซิมโทติกใช้ได้เมื่อเลขควอนตัมทั้งหกj , ..., j ถือว่ามีขนาดใหญ่และเชื่อมโยงสัญลักษณ์ 6- j กับ เรขาคณิตของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า หากสัญลักษณ์ 6- jถูกกำหนดโดยเลขควอนตัมj , ..., j ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้องจะมีขอบยาวJ = j +1/2 (i=1,...,6) และสูตรเชิงอะซิมโทติกจะกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

สัญลักษณ์ที่ใช้มีดังนี้: θ มุมไดเฮดรัลภายนอกรอบขอบJ ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้อง และตัวประกอบแอมพลิจูดแสดงในรูปของปริมาตรVของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่านี้

ในทฤษฎีการแทน 6- jสัญลักษณ์คือสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของไอโซมอร์ฟิซึมของตัวเชื่อมโยงในหมวดหมู่เทนเซอร์ [ ^{4 ] ตัวอย่าง} เช่น หากเราได้รับสามการแทนV , V , V ของกลุ่ม (หรือกลุ่มควอนตัม ) จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

ของการแสดงแทนผลคูณเทนเซอร์ ซึ่งเกิดจากคุณสมบัติการร่วมสัมพันธ์ของไบอัลจีบรา ที่สอดคล้องกัน หนึ่งในสัจพจน์ที่กำหนดหมวดหมู่โมโนอิดัลคือ ตัวเชื่อมโยงต้องสอดคล้องกับเอกลักษณ์ห้าเหลี่ยม ซึ่งเทียบเท่ากับเอกลักษณ์บีเดนฮาร์น-เอลเลียตสำหรับสัญลักษณ์ 6- j

เมื่อหมวดหมู่โมโนอิดัลเป็นแบบกึ่งง่าย เราสามารถจำกัดความสนใจของเราไปที่วัตถุที่ไม่สามารถลดทอนได้ และกำหนดพื้นที่ความหลากหลายได้

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

ดังนั้น ผลคูณเทนเซอร์จึงถูกแยกส่วนดังนี้:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมคลาสไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของวัตถุที่ไม่สามารถลดทอนได้ ดังนั้น:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

ไอโซมอร์ฟิซึมของการเชื่อมโยงเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

และสัญลักษณ์ 6j ถูกกำหนดให้เป็นแผนที่ส่วนประกอบ:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

เมื่อปริภูมิพหุคูณมีองค์ประกอบฐานมาตรฐานและมิติไม่เกินหนึ่ง (เช่นในกรณีของSU (2) ในการตั้งค่าแบบดั้งเดิม) แผนที่ส่วนประกอบเหล่านี้สามารถตีความได้ว่าเป็นตัวเลข และสัญลักษณ์ 6- jจะกลายเป็นสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ธรรมดา

ในเชิงนามธรรม สัญลักษณ์ 6- jคือข้อมูลที่สูญหายไปเมื่อเปลี่ยนจากหมวดหมู่โมโนอิดัล แบบกึ่งง่ายไป เป็นวงแหวน Grothendieckเนื่องจากสามารถสร้างโครงสร้างโมโนอิดัลขึ้นใหม่ได้โดยใช้ตัวเชื่อมโยง สำหรับกรณีของการแสดงแทนของกลุ่มจำกัดเป็นที่ทราบกันดีว่าตารางอักขระ เพียงอย่างเดียว (ซึ่งกำหนด หมวดหมู่อาเบเลียนพื้นฐานและโครงสร้างวงแหวน Grothendieck) ไม่สามารถกำหนดกลุ่มได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ในขณะที่โครงสร้างหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบสมมาตรทำได้โดยอาศัยความเป็นคู่ของ Tannaka-Kreinโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนสองกลุ่มที่มีอันดับ 8 มีหมวดหมู่อาเบเลียนของการแสดงแทนที่เทียบเท่ากันและวงแหวน Grothendieck ที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึม แต่สัญลักษณ์ 6- jของหมวดหมู่การแสดงแทนนั้นแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าหมวดหมู่การแสดงแทนของพวกมันไม่เทียบเท่ากันในฐานะหมวดหมู่โมโนอิดัล ดังนั้น สัญลักษณ์ 6- jจึงให้ข้อมูลระดับกลาง ซึ่งในความเป็นจริงแล้วกำหนดกลุ่มได้อย่างเฉพาะเจาะจงในหลายกรณี เช่น เมื่อกลุ่มมีอันดับคี่หรือเรียบง่าย^{[ 5 ]}

• สัมประสิทธิ์เคล็บช์-กอร์แดน
• สัญลักษณ์ 3-j
• สัมประสิทธิ์ W ของ Racah
• สัญลักษณ์ 9-j
• ภาพแทนของกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก

• Dumont, Joey. "wignerSymbols" . GitHub .(ถูกต้อง; C++)
• ไลบรารีวิทยาศาสตร์ GNU . "สัมประสิทธิ์การเชื่อมโยง" .
• โฮลต์, ริชาร์ด. "สัมประสิทธิ์การเชื่อมโยงโมเมนตัมเชิงมุมของวิกเนอร์ 6j "(ถูกต้อง; Matlab)
• โจแฮนสัน, HT; ฟอร์สเซ่น, ซี. "(WIGXJPF)" .(แม่นยำ; C, Fortran, Python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" .(ค้นหาข้อมูลได้รวดเร็ว แม่นยำ; ภาษา C, Fortran)
• Mathar, RJ "ตารางสัญลักษณ์ 6j " GitHub .(แม่นยำ; PARI/GP)
• ห้องปฏิบัติการพลาสมา สถาบันวิทยาศาสตร์ไวซ์มันน์"เครื่องคำนวณสัญลักษณ์ 369j "
• Regge, T. (1959). "คุณสมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ของ Racah". Nuovo Cimento . 11 (1): 116– 7. Bibcode : 1959NCim...11..116R . doi : 10.1007/BF02724914 . S2CID 121333785 . 
• Simons, Frederik J. "คลังซอฟต์แวร์ Matlab รหัส SIXJ.M "
• สโตน, แอนโทนี. "เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์วิกเนอร์" .(ให้คำตอบที่ถูกต้องแม่นยำ)
• Volya, A. "เครื่องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ Clebsch-Gordan, 3-j และ 6-j บนเว็บ" .{{cite web}}: CS1 maint: บริการเก็บถาวรที่เลิกใช้แล้ว ( ลิงก์ )
• SymPy. "ไลบรารี Python สำหรับคณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ "(แม่นยำ; ไพธอน)
• WolframAlpha. "เครื่องคิดเลข WolframAlpha Wigner 6j "(แม่นยำ)

??