ในทางคณิตศาสตร์กฎการผกผันเป็นการขยายความของกฎการผกผันกำลังสองไปยังพหุนามเอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ใดๆที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โปรดจำไว้ว่ากฎการผกผันข้อแรก กฎการผกผันกำลังสอง กำหนดว่าเมื่อใดที่พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะแยกออกเป็นพจน์เชิงเส้นเมื่อลดรูปมอดนั่นคือ มันกำหนดว่าสำหรับจำนวนเฉพาะใดที่ความสัมพันธ์เป็นไปตามเงื่อนไข${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)}$

ถือไว้ สำหรับกฎการแลกเปลี่ยน ทั่วไป ^{[ 1 ]หน้า 3}จะถูกกำหนดให้เป็นกฎที่กำหนดว่าไพรม์ใดที่พหุนามแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{p}}$${\displaystyle {\text{Spl}}\{f(x)\}}$

มีหลายวิธีในการแสดงกฎการแลกเปลี่ยน กฎการแลกเปลี่ยนในยุคแรกๆ ที่พบในศตวรรษที่ 19 มักแสดงในรูปของสัญลักษณ์เศษกำลัง ( p / q ) ซึ่งเป็นการขยายสัญลักษณ์การแลกเปลี่ยนกำลังสองที่อธิบายว่าเมื่อใดที่จำนวนเฉพาะเป็นเศษกำลังn มอ ดูล ของจำนวนเฉพาะ อีกตัวหนึ่ง และให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ( p / q ) และ ( q / p ) ฮิลเบิร์ตได้ปรับปรุงกฎการแลกเปลี่ยนใหม่โดยกล่าวว่า ผลคูณของสัญลักษณ์เศษบรรทัดฐาน ฮิลเบิร์ต ( a , b / p ) บน pซึ่งมีค่าเป็นรากของเอกภาพ เท่ากับ 1 อาร์ตินได้ปรับปรุงกฎการแลกเปลี่ยนใหม่โดยกล่าวว่า สัญลักษณ์อาร์ตินจากอุดมคติ (หรือ ideles) ไปยังองค์ประกอบของกลุ่มกาโลอิสเป็นค่าที่ไม่สำคัญบนกลุ่มย่อยบางกลุ่ม การสรุปทั่วไปล่าสุดหลายประการแสดงกฎการแลกเปลี่ยนโดยใช้โคฮอโมโลยีของกลุ่มหรือการแสดงแทนของกลุ่มอะเดลิกหรือกลุ่ม K พีชคณิต และความสัมพันธ์ของพวกมันกับกฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองดั้งเดิมอาจมองเห็นได้ยาก

ชื่อกฎการตอบแทนถูกบัญญัติโดยLegendreในสิ่งพิมพ์Recherches d'analyse indéterminéeใน ปี 1785 ^{[ 2 ]}เนื่องจากจำนวนเฉพาะคี่ตอบแทนกันหรือไม่ในความหมายของการตอบแทนกำลังสองที่ระบุไว้ด้านล่างตามชั้นเศษเหลือของพวกมันพฤติกรรมการตอบแทนนี้ไม่สามารถสรุปได้ดี แต่พฤติกรรมการแยกส่วนที่เทียบเท่ากันนั้นทำได้ ชื่อกฎการตอบแทนยังคงถูกใช้ในบริบททั่วไปของการแยกส่วน ${\displaystyle {\bmod {4}}}$

ในแง่ของสัญลักษณ์เลอจองเดอร์กฎของการแลกเปลี่ยนกำลังสองระบุว่า

สำหรับจำนวนเฉพาะคี่บวกเรามี${\displaystyle p,q}$${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

เมื่อใช้คำจำกัดความของสัญลักษณ์เลอจองเดอร์แล้ว สิ่งนี้เทียบเท่ากับข้อความพื้นฐานเกี่ยวกับสมการ

สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ที่เป็นบวกความสามารถในการละลายของจะกำหนดความสามารถในการละลายของและในทางกลับกัน โดยใช้เกณฑ์ที่ค่อนข้างง่ายว่าเป็น หรือ หรือ ไม่${\displaystyle p,q}$${\displaystyle n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

จากทฤษฎีบทตัวประกอบและพฤติกรรมของดีกรีในการแยกตัวประกอบความสามารถในการแก้สมการความสอดคล้องกำลังสองดังกล่าวเทียบเท่ากับการแยกพหุนามกำลังสองที่เกี่ยวข้องบนวงแหวนเศษเหลือออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้น ในศัพท์เฉพาะนี้ กฎแห่งการแลกเปลี่ยนกำลังสองระบุไว้ดังนี้

สำหรับจำนวนเฉพาะคี่บวกการแยกพหุนาม ออก เป็น เศษ -residue จะกำหนดการแยกพหุนามออกเป็น เศษ-residue และในทางกลับกันผ่านปริมาณ${\displaystyle p,q}$${\displaystyle x^{2}-p}$${\displaystyle {\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}-q}$${\displaystyle {\bmod {p}}}$${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}}$

สิ่งนี้สร้างสะพานเชื่อมจาก พฤติกรรม ผกผัน ที่ให้ชื่อ ของจำนวนเฉพาะซึ่งแนะนำโดยเลอจองเดอร์ ไปสู่ พฤติกรรมการ แยกส่วนของพหุนามที่ใช้ในการวางนัยทั่วไป

กฎการแลกเปลี่ยนกำลังสามสำหรับจำนวนเต็มของไอเซนสไตน์ระบุว่า ถ้า α และ β เป็นจำนวนเฉพาะหลัก (จำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 2 mod 3) แล้ว

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

ในแง่ของสัญลักษณ์เศษเหลือควอติก กฎการแลกเปลี่ยนควอติกสำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียนระบุว่า ถ้า π และ θ เป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน หลัก (สอดคล้องกับ 1 mod (1+ i ) ^{3 ) แล้ว}

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

สมมติว่า ζ เป็นรากที่ n ของเอกภาพสำหรับจำนวนเฉพาะคี่บางตัว อักขระกำลังคือเลขชี้กำลังของ ζ เช่นนั้น ${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

สำหรับอุดมคติเฉพาะใดๆของZ [ζ] มันถูกขยายไปยังอุดมคติอื่นๆ โดยคุณสมบัติการคูณ กฎการแลกเปลี่ยนของไอเซนสไตน์ระบุว่า ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

สำหรับจำนวนเต็ม ตรรกยะใดๆ ที่ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับและ α เป็นสมาชิกใดๆ ของZ [ζ] ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับaและและสอดคล้องกับจำนวนเต็มตรรกยะ modulo (1–ζ) ²${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

สมมติว่า ζ เป็น รากที่ lของเอกภาพสำหรับจำนวนเฉพาะปกติ คี่ l บางตัว เนื่องจากlเป็นจำนวนเฉพาะปกติ เราจึงสามารถขยายสัญลักษณ์ {} ไปยังไอเดียลได้ในลักษณะเฉพาะ โดยที่

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}}$โดยที่nเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนเต็มของlซึ่งp ⁿเป็นจำนวนเฉพาะหลัก

กฎหมายการแลกเปลี่ยนผลประโยชน์ของ Kummer ระบุว่า

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}}$

สำหรับpและqอุดมคติเฉพาะที่แตกต่างกันของZ [ζ] อื่นที่ไม่ใช่ (1–ζ)

ในแง่ของสัญลักษณ์ฮิลเบิร์ต กฎการแลกเปลี่ยนของฮิลเบิร์ตสำหรับฟิลด์จำนวนพีชคณิตระบุว่า

${\displaystyle \prod _{v}(ก,ข)_{v}=1}$

โดยที่ผลคูณนั้นครอบคลุมทั้งตำแหน่งจำกัดและอนันต์ สำหรับจำนวนตรรกยะแล้ว สิ่งนี้เทียบเท่ากับกฎการผกผันกำลังสอง เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองสมมติให้aและbเป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน แล้วกฎของฮิลเบิร์ตจะกลายเป็น แต่ ( p , q ) เท่ากับสัญลักษณ์เลอจองเดอร์ ( p , q ) มีค่าเป็น 1 ถ้าpหรือq ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นบวก และ –1 ถ้าไม่ใช่ และ ( p , q ) มีค่าเป็น (–1) ^{( p –1)( q –1)/4}ดังนั้น สำหรับpและqที่เป็นจำนวนเฉพาะคี่บวก กฎของฮิลเบิร์ตจึงเป็นกฎการผกผันกำลังสอง ${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1}$

ในภาษาของidelesกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin สำหรับส่วนขยายจำกัดL / Kระบุว่าแผนที่ Artinจากกลุ่มชั้น idele C ไปยังการทำให้เป็นอาเบล Gal( L / K ) ^abของกลุ่ม Galois จะหายไปบนN ( C ) และเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.}$

ถึงแม้ว่าจะไม่ชัดเจนในทันที แต่กฎการแลกเปลี่ยนของ Artin สามารถอนุมานกฎการแลกเปลี่ยนที่ค้นพบก่อนหน้านี้ทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย โดยการนำไปใช้กับส่วนขยายL / K ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น ในกรณีพิเศษเมื่อKประกอบด้วย รากที่ nของเอกภาพ และL = K [ a ^{1/ n} ] เป็นส่วนขยาย Kummer ของKข้อเท็จจริงที่ว่าแผนที่ Artin หายไปบนN ( C ) บ่งชี้ถึงกฎการแลกเปลี่ยนของ Hilbert สำหรับสัญลักษณ์ Hilbert

Hasse ได้นำเสนอแนวคิดที่คล้ายคลึงกับกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin ในระดับท้องถิ่น ซึ่งเรียกว่ากฎการแลกเปลี่ยนในระดับท้องถิ่น รูปแบบหนึ่งของกฎนี้ระบุว่า สำหรับส่วนขยายอาเบเลียนจำกัดของL / Kของฟิลด์ท้องถิ่น แผนที่ Artin เป็นไอโซมอร์ฟิซึมจากไปยังกลุ่มGalois ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$${\displaystyle Gal(L/K)}$

เพื่อให้ได้กฎการแลกเปลี่ยนแบบคลาสสิกจากกฎการแลกเปลี่ยนของฮิลเบิร์ต Π( a , b ) =1 จำเป็นต้องทราบค่าของ ( a , b ) สำหรับpที่หารn ลงตัว สูตรที่ชัดเจนสำหรับสิ่งนี้บางครั้งเรียกว่ากฎการแลกเปลี่ยนแบบชัดเจน

กฎการตอบแทนกำลังอาจถูกกำหนดเป็นอนาล็อกของกฎการตอบแทนกำลังสองในแง่ของสัญลักษณ์ฮิลเบิร์ตดังนี้^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .}$

กฎการแลกเปลี่ยนแบบตรรกยะ คือกฎที่ระบุในรูปของจำนวนเต็มตรรกยะโดยไม่ต้องใช้รากที่หนึ่งของเอกภาพ

โครงการLanglandsประกอบด้วยข้อสันนิษฐานหลายประการสำหรับกลุ่มพีชคณิตลดรูปทั่วไป ซึ่งสำหรับกลุ่มพิเศษ GL นั้น บ่งชี้ถึงกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin

กฎการแลกเปลี่ยนของยามาโมโตะเป็นกฎการแลกเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนชั้นของฟิลด์จำนวนกำลังสอง

• ปัญหาข้อที่เก้าของฮิลเบิร์ต
• ทฤษฎีการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันของสแตนลีย์