ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตคอมพิวเตอร์และทฤษฎีการกำจัดโซ่ปกติ (Regular chain)คือเซตสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งของพหุนามหลายตัวแปรบนฟิลด์ โดยที่เซตสามเหลี่ยมคือลำดับจำกัดของพหุนามซึ่งแต่ละตัวมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวมากกว่าตัวก่อนหน้า เงื่อนไขที่เซตสามเหลี่ยมต้องมีเพื่อให้เป็นโซ่ปกติคือ สำหรับทุกkรากร่วมทุกตัว (ในฟิลด์ปิดทางพีชคณิต ) ของ พหุนาม kตัวแรกสามารถขยายไปเป็นรากร่วมของ พหุนามตัวที่ ( k + 1)ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โซ่ปกติช่วยให้สามารถแก้ระบบสมการพหุนาม ได้ โดยการแก้สมการตัวแปรเดียวต่อเนื่องกันโดยไม่ต้องพิจารณากรณีต่างๆ

ลำดับเลขคณิตปกติช่วยเสริมแนวคิดของเซตลักษณะเฉพาะของ Wuในแง่ที่ว่ามันให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าด้วยวิธีการคำนวณที่คล้ายคลึงกัน

เมื่อกำหนดระบบเชิงเส้นเราสามารถแปลงระบบนั้นให้เป็นระบบสามเหลี่ยม ได้ โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์สำหรับกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้น เมื่อกำหนดระบบพหุนาม F บนฟิลด์ เราสามารถแปลง (แยกส่วนหรือทำให้เป็นสามเหลี่ยม) ระบบนั้นให้เป็นเซตของเซตสามเหลี่ยมจำนวนจำกัดในแง่ที่ว่าวาไรตี้พีชคณิตV (F) ถูกอธิบายโดยเซตสามเหลี่ยมเหล่านี้

เซตสามเหลี่ยมอาจอธิบายเฉพาะเซตว่าง เท่านั้น เพื่อแก้ไขกรณีที่เสื่อมสภาพนี้ แนวคิดของโซ่ปกติจึงถูกนำมาใช้โดย Kalkbrener (1993) ^{[ 1 ]} Yang และ Zhang (1994) อย่างอิสระ โซ่ปกติยังปรากฏใน Chou และ Gao (1992) โซ่ปกติเป็นเซตสามเหลี่ยมพิเศษที่ใช้ในอัลกอริทึมต่างๆ สำหรับการคำนวณการแยกส่วนมิติที่ไม่ผสมของวาไรตี้พีชคณิต โดยไม่ต้องใช้การแยกตัวประกอบ การแยกส่วนเหล่านี้มีคุณสมบัติที่ดีกว่าที่ได้จากอัลกอริทึมของ Wuคำจำกัดความดั้งเดิมของ Kalkbrener ขึ้นอยู่กับการสังเกตต่อไปนี้: วาไรตี้ที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกตัวถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยจุดทั่วไปจุด ใดจุดหนึ่ง และวาไรตี้สามารถแสดงได้โดยการอธิบายจุดทั่วไปของส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ จุดทั่วไปเหล่านี้กำหนดโดยโซ่ปกติ

ให้Q เป็น ฟิลด์จำนวนตรรกยะในQ [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ] โดยมีการเรียงลำดับตัวแปรx ₁ < x ₂ < x ₃ ,

${\displaystyle T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1})\}}$

เป็นเซตสามเหลี่ยมและเป็นโซ่ปกติด้วย จุดทั่วไปสองจุดที่กำหนดโดยTคือ ( a , a , a ) และ ( a , − a , a ) โดยที่aเป็นจำนวนอดิศัยเหนือQดังนั้นจึงมีส่วนประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้สองส่วน ซึ่งกำหนดโดย{ x ₂ − x ₁ , x ₃ − x ₁ }และ{ x ₂ + x ₁ , x ₃ − x ₁ }ตามลำดับ โปรดทราบว่า: (1) เนื้อหาของพหุนามตัวที่สองคือx ₂ซึ่งไม่ได้มีส่วนช่วยในจุดทั่วไปที่แสดง และสามารถลบออกได้ (2) มิติของแต่ละส่วนประกอบคือ 1 ซึ่งเป็นจำนวนตัวแปรอิสระในโซ่ปกติ

ตัวแปรในวงแหวนพหุนาม

${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

ค่า ต่างๆ จะถูกเรียงลำดับเสมอเป็นx ₁ < ⋯ < x _n พหุนาม fที่ไม่ใช่ค่าคงที่ใน สามารถมองได้ว่าเป็นพหุนามเอกตัวแปรในตัวแปรที่ใหญ่ที่สุดของมัน ตัวแปรที่ใหญ่ที่สุดในfเรียกว่าตัวแปรหลัก ซึ่งเขียนแทนด้วยmvar ( f ) ให้uเป็นตัวแปรหลักของfและเขียนเป็น ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0},}$

โดยที่eคือดีกรีของfเทียบกับu และคือสัมประสิทธิ์นำของfเทียบกับuดังนั้น ค่าเริ่มต้นของfคือและeคือดีกรีหลักของมัน ${\displaystyle a_{e}}$${\displaystyle a_{e}}$

• ชุดสามเหลี่ยม

เซตย่อย Tที่ไม่ว่างของเรียกว่าเซตสามเหลี่ยม ถ้าพหุนามในTไม่ใช่ค่าคงที่และมีตัวแปรหลักที่แตกต่างกัน ดังนั้น เซตสามเหลี่ยมจึงเป็นเซตจำกัด และมีจำนวนสมาชิกไม่เกิน n${\displaystyle R}$

• โซ่ปกติ

ให้T = { t ₁ , ..., t _s } เป็นเซตสามเหลี่ยม โดยที่mvar ( t ₁ ) < ⋯ < mvar ( t _s ) , ให้ i เป็นค่าเริ่มต้นของt _iและhเป็นผลคูณของh _iแล้วTเป็นโซ่ปกติถ้า ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {resultant} (h,T)=\mathrm {resultant} (\cdots (\mathrm {resultant} (h,t_{s}),\ldots ,t_{i})\cdots )\neq 0,}$

โดยที่ ผลลัพธ์แต่ละอย่างจะถูกคำนวณโดยสัมพันธ์กับตัวแปรหลักt _iตามลำดับ คำจำกัดความนี้มาจาก Yang และ Zhang ซึ่งมีลักษณะเชิงอัลกอริทึมเป็นอย่างมาก

• ส่วนประกอบเสมือนและอุดมคติอิ่มตัวของโซ่ปกติ

ส่วนประกอบเสมือนW ( T ) ที่อธิบายโดยโซ่ปกติTคือ

${\displaystyle W(T)=V(T)\setminus V(h)}$นั่นคือ

ผลต่างเซตของความหลากหลายV ( T ) และV ( h ) วัตถุพีชคณิตที่แนบมากับโซ่ปกติคืออุดมคติอิ่มตัว ของมัน

${\displaystyle \mathrm {sat} (T)=(T):h^{\infty }.}$

ผลลัพธ์คลาสสิกประการหนึ่งคือการปิดแบบ ZariskiของW ( T ) เท่ากับวาไรตี้ที่กำหนดโดย sat( T ) นั่นคือ

${\displaystyle {\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat} (T)),}$

และมิติของมันคือn − | T | ซึ่งเป็นผลต่างระหว่างจำนวนตัวแปรและจำนวนพหุนามใน T

• การแบ่งส่วนแบบสามเหลี่ยม

โดยทั่วไป มีสองวิธีในการแยกส่วนระบบพหุนามFวิธีแรกคือการแยกส่วนแบบไม่เร่งรีบ กล่าวคือ แสดงเฉพาะจุดทั่วไปในความหมาย (ของ Kalkbrener) เท่านั้น

${\displaystyle {\sqrt {(F)}}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat} (T_{i})}}.}$

ประการที่สองคือการอธิบายเลขศูนย์ทั้งหมดในความหมายของ ลาซาร์ด

${\displaystyle V(F)=\บิ๊กคัพ _{i=1}^{e}W(T_{i}).}$

มีอัลกอริธึมหลายแบบที่ใช้ได้สำหรับการแบ่งรูปสามเหลี่ยมในทั้งสองทิศทาง

ให้Tเป็นโซ่ปกติในวงแหวนพหุนาม R

• อุดมคติอิ่มตัว sat( T ) คืออุดมคติที่ไม่ผสมกันซึ่งมีมิติn − | T |
• ลำดับเลขคณิตปกติมีคุณสมบัติการกำจัดที่แข็งแกร่งในแง่ที่ว่า:

${\displaystyle \mathrm {sat} (T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}])=\mathrm {sat} (T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].}$

• พหุนามpอยู่ใน sat( T ) ก็ต่อเมื่อ p ถูกลดรูปเสมือนเป็นศูนย์โดยTนั่นคือ

${\displaystyle p\in \mathrm {sat} (T)\iff \mathrm {prem} (p,T)=0.}$

ดังนั้น การทดสอบการเป็นสมาชิกสำหรับ sat( T ) จึงเป็นแบบอัลกอริทึม

• พหุนามpเป็น ตัวหารศูนย์ มอดูล sat( T ) ก็ต่อเมื่อและ.${\displaystyle \mathrm {prem} (p,T)\neq 0}$${\displaystyle \mathrm {resultant} (p,T)=0}$

ดังนั้น การทดสอบความสม่ำเสมอสำหรับ sat( T ) จึงเป็นแบบอัลกอริทึม

• กำหนดให้ไอเดียลเฉพาะP หนึ่งตัว จะมีโซ่ปกติC อยู่จริง โดยที่P = sat( C )
• ถ้าสมาชิกตัวแรกของสายโซ่ปกติCเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และสมาชิกตัวอื่น ๆ เป็นเชิงเส้นในตัวแปรหลักแล้ว sat( C ) จะเป็นไอเดียลเฉพาะ
• ในทางกลับกัน ถ้าPเป็นไอเดียลเฉพาะแล้ว หลังจากการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้นเกือบทั้งหมด จะมีสายโซ่ปกติCที่มีรูปร่างก่อนหน้าอยู่ ซึ่งP = sat( C )
• เซตสามเหลี่ยมจะเป็นโซ่ปกติก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตลักษณะเฉพาะของริตต์ของอุดมคติอิ่มตัวของมัน

• วิธีการกำหนดชุดลักษณะเฉพาะของหวู่
• ฐาน Gröbner
• ระบบกึ่งพีชคณิตปกติ
• การแบ่งส่วนแบบสามเหลี่ยม

• P. Aubry, D. Lazard, M. Moreno Maza. เกี่ยวกับทฤษฎีของเซตสามเหลี่ยมวารสารการคำนวณเชิงสัญลักษณ์, 28(1–2):105–124, 1999.
• F. Boulier และ F. Lemaire และ M. Moreno Maza. ทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับระบบสามเหลี่ยมและหลักการ D5 . Transgressive Computing 2006, กรานาดา, สเปน.
• อี. ฮูเบิร์ต. บันทึกเกี่ยวกับเซตสามเหลี่ยมและอัลกอริธึมการแยกส่วนสามเหลี่ยม ตอนที่ 1: ระบบพหุนาม . LNCS, เล่มที่ 2630, Springer-Verlag Heidelberg.
• F. Lemaire และ M. Moreno Maza และ Y. Xie. ไลบรารี RegularChains. การประชุม Maple ปี 2005.
• M. Kalkbrener: คุณสมบัติเชิงอัลกอริทึมของวงแหวนพหุนาม J. Symb. Comput. 26(5): 525–581 (1998)
• D. Wang. การคำนวณระบบสามเหลี่ยมและระบบปกติวารสารการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ 30(2) (2000) 221–236
• หยาง, แอล., จาง, เจ. (1994). การค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างสมการพีชคณิต: อัลกอริทึมที่ประยุกต์ใช้กับการให้เหตุผลอัตโนมัติปัญญาประดิษฐ์ในคณิตศาสตร์ หน้า 147-15 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด