ในวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ ใดๆ คำว่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และความแตกต่างสัมพัทธ์ใช้เพื่อเปรียบเทียบปริมาณ สองอย่าง โดยคำนึงถึง "ขนาด" ของสิ่งที่กำลังเปรียบเทียบ กล่าวคือ หารด้วยค่ามาตรฐานค่าอ้างอิงหรือค่าเริ่มต้น^{[ 1 ]}การเปรียบเทียบจะแสดงเป็นอัตราส่วนและเป็นจำนวนที่ไม่มีหน่วย โดยการคูณอัตราส่วนเหล่านี้ด้วย 100 จะสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ได้ ดังนั้นคำว่าการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ความแตกต่างเป็นเปอร์เซ็นต์หรือความแตกต่างเป็นเปอร์เซ็นต์สัมพัทธ์จึงมักใช้กันทั่วไป คำว่า "การเปลี่ยนแปลง" และ "ความแตกต่าง" ใช้แทนกันได้^{[ 2 ]}

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์มักใช้เป็นตัวบ่งชี้เชิงปริมาณในการประกันคุณภาพและการควบคุมคุณภาพสำหรับการวัดซ้ำๆ ซึ่งคาดว่าผลลัพธ์จะเหมือนกัน กรณีพิเศษของการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ (การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์) เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นในสถานการณ์การวัดที่ค่าอ้างอิงคือค่าที่ยอมรับได้หรือค่าจริง (อาจกำหนดขึ้นตามทฤษฎี) และค่าที่นำมาเปรียบเทียบนั้นได้มาจากการทดลอง (โดยการวัด)

สูตรการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ไม่ทำงานได้ดีภายใต้เงื่อนไขหลายประการมีการเสนอ สูตรทางเลือกต่างๆ ที่เรียกว่า ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ในเอกสารทางวิชาการ ผู้เขียนหลายคนพบว่า การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมและจุดลอการิทึมเป็นตัวบ่งชี้ที่น่าพอใจ แต่สิ่งเหล่านี้ยังไม่ได้รับการใช้งานอย่างแพร่หลาย^{[ 3 ]}

กำหนดให้ปริมาณเชิงตัวเลขสองปริมาณ คือv _refและvโดยที่v _ref เป็น ค่าอ้างอิงการเปลี่ยนแปลงจริงผลต่างจริงหรือการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของปริมาณทั้งสองนี้คืออะไร

Δ v = v − v _ref .

The term absolute difference is sometimes also used even though the absolute value is not taken; the sign of Δ typically is uniform, e.g. across an increasing data series. If the relationship of the value with respect to the reference value (that is, larger or smaller) does not matter in a particular application, the absolute value may be used in place of the actual change in the above formula to produce a value for the relative change which is always non-negative. The actual difference is not usually a good way to compare the numbers, in particular because it depends on the unit of measurement. For instance, 1 m is the same as 100 cm, but the absolute difference between 2 and 1 m is 1 while the absolute difference between 200 and 100 cm is 100, giving the impression of a larger difference.^[4] But even with constant units, the relative change helps judge the importance of the respective change. For example, an increase in price of $100 of a valuable is considered big if changing from $50 to 150 but rather small when changing from $10,000 to 10,100.

We can adjust the comparison to take into account the "size" of the quantities involved, by defining, for positive values of v_ref :

$${\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v}{v_{\text{ref}}}}-1.}$$

The relative change is independent of the unit of measurement employed; for example, the relative change from 2 to 1 m is −50%, the same as for 200 to 100 cm. The relative change is not defined if the reference value (v_ref) is zero, and gives negative values for positive increases if v_ref is negative, hence it is not usually defined for negative reference values either. For example, we might want to calculate the relative change of −10 to −6. The above formula gives ⁠(−6) − (−10)/ −10⁠ = ⁠4/ −10⁠ = −0.4, indicating a decrease, yet in fact the reading increased.

Measures of relative change are unitless numbers expressed as a fraction. Corresponding values of percent change would be obtained by multiplying these values by 100 (and appending the % sign to indicate that the value is a percentage).

The domain restriction of relative change to positive numbers often poses a constraint. To avoid this problem it is common to take the absolute value, so that the relative change formula works correctly for all nonzero values of v_ref:

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}$$

วิธีนี้ยังคงไม่สามารถแก้ปัญหาได้เมื่อค่าอ้างอิงเป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้วมักจะใช้ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แทน และใช้ค่าสัมบูรณ์ของทั้งvและจากนั้นกรณีที่มีปัญหาเพียงอย่างเดียวคือซึ่งโดยปกติแล้วสามารถแก้ไขได้โดยการขยายตัวบ่งชี้ให้เหมาะสม ตัวอย่างเช่น สำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจใช้สูตรนี้ได้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle v_{\text{reference}}}$${\displaystyle v=v_{\text{reference}}=0}$$${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}$$

การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร โดยแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ระหว่างค่าเดิมกับค่าใหม่^{[ 6 ]}

ตัวอย่างเช่น หากบ้านหลังหนึ่งมีมูลค่า 100,000 ดอลลาร์ในวันนี้ และในปีถัดไปมูลค่าเพิ่มขึ้นเป็น 110,000 ดอลลาร์ การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ของมูลค่าสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$$

ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่ามูลค่าของบ้านเพิ่มขึ้น 10%

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าV1แทนค่าเดิม และV2 _{แทนค่า}ใหม่ $${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

เครื่องคิดเลขบางรุ่นรองรับฟังก์ชันนี้โดยตรงผ่านฟังก์ชัน %CHหรือΔ%

เมื่อตัวแปรที่กล่าวถึงเป็นเปอร์เซ็นต์ ควรใช้หน่วยเป็นจุดเปอร์เซ็นต์ ในการอธิบายการเปลี่ยนแปลง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างความแตกต่างสัมพัทธ์และ ความแตก ต่าง สัมบูรณ์

ค่าความคลาดเคลื่อนร้อยละเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบร้อยละของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ซึ่งคำนวณจากการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ระหว่างค่าทดลอง (ที่วัดได้) และค่าทางทฤษฎี (ที่ยอมรับได้) แล้วหารด้วยค่าทางทฤษฎี (ที่ยอมรับได้)

$${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

คำว่า "เชิงทดลอง" และ "เชิงทฤษฎี" ที่ใช้ในสมการข้างต้น มักถูกแทนที่ด้วยคำที่คล้ายคลึงกัน คำอื่นๆ ที่ใช้แทนคำว่า"เชิงทดลอง " อาจเป็น "วัดได้" "คำนวณได้" หรือ "ค่าจริง" และคำอื่นๆ ที่ใช้แทนคำว่า " เชิงทฤษฎี " อาจเป็น "ยอมรับได้" ค่าเชิงทดลองคือค่าที่ได้มาจากการคำนวณและ/หรือการวัด และกำลังได้รับการทดสอบความถูกต้องโดยเปรียบเทียบกับค่าเชิงทฤษฎี ซึ่งเป็นค่าที่ได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ หรือเป็นค่าที่อาจถือได้ว่าเป็นเป้าหมายสำหรับผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จ

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วเรามักจะใช้ค่าสัมบูรณ์ของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เมื่อพูดถึงเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน แต่ในบางสถานการณ์ การตัดค่าสัมบูรณ์ออกไปอาจเป็นประโยชน์ในการให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น หากค่าที่ได้จากการทดลองน้อยกว่าค่าทางทฤษฎี เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนจะเป็นค่าลบ ผลลัพธ์ที่เป็นลบนี้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลการทดลอง ตัวอย่างเช่น การคำนวณความเร็วแสงจากการทดลองและได้เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเป็นค่าลบ แสดงว่าค่าที่ได้จากการทดลองมีความเร็วต่ำกว่าความเร็วแสง ซึ่งแตกต่างอย่างมากจากการได้เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าค่าที่ได้จากการทดลองมีความเร็วมากกว่าความเร็วแสง (ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ) และเป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจ

สมการเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน เมื่อเขียนใหม่โดยตัดค่าสัมบูรณ์ออก จะได้ดังนี้: $${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

ค่าทั้งสองในตัวเศษไม่สามารถสลับที่ได้จึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องรักษาลำดับดังที่กล่าวมาข้างต้น คือ ลบค่าทางทฤษฎีออกจากค่าจากการทดลอง ไม่ใช่ในทางกลับกัน

สมมติว่ารถยนต์Mราคา 50,000 ดอลลาร์ และรถยนต์Lราคา 40,000 ดอลลาร์ เราต้องการเปรียบเทียบราคาเหล่านี้^{[ 7 ]}เมื่อเทียบกับรถยนต์Lความแตกต่างสัมบูรณ์คือ10,000 ดอลลาร์ = 50,000 ดอลลาร์ − 40,000 ดอลลาร์นั่นคือ รถยนต์Mมีราคาแพงกว่ารถยนต์L 10,000 ดอลลาร์ ความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์คือ และเรากล่าวว่ารถยนต์M มีราคา แพงกว่ารถยนต์Lร้อยละ 25 นอกจาก นี้ ยังเป็นเรื่องปกติที่จะแสดงการเปรียบเทียบเป็นอัตราส่วน ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ และเรากล่าวว่ารถยนต์Mมีราคา 125% ของราคารถยนต์L$${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$$$${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$$

ในตัวอย่างนี้ เราใช้ราคาของรถยนต์Lเป็นค่าอ้างอิง แต่เราอาจเลือกใช้ราคาของรถยนต์Mเป็นค่าอ้างอิงแทนก็ได้ ผลต่างสัมบูรณ์คือ−$10,000 = $40,000 − $50,000เนื่องจากรถยนต์Lมีราคาถูกกว่ารถยนต์ M อยู่ $10,000 ส่วนผลต่างเชิงสัมพัทธ์ ก็เป็นค่าลบเช่นกัน เพราะรถยนต์L มีราคา ถูกกว่ารถยนต์Mอยู่ 20% เมื่อนำมาเปรียบเทียบในรูปแบบอัตราส่วน จะได้ว่า รถยนต์L มี ราคา 80% ของรถยนต์M$${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$$$${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$$

การใช้คำว่า "ของ" และ "น้อยกว่า/มากกว่า" เป็นตัวแยกความแตกต่างระหว่างอัตราส่วนและความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์^{[ 8 ]}

หากธนาคารปรับขึ้นอัตราดอกเบี้ยเงินฝากออมทรัพย์จาก 3% เป็น 4% ข้อความที่ว่า "อัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น 1%" นั้นไม่ถูกต้องและอาจทำให้เข้าใจผิดได้ การเปลี่ยนแปลงในเชิงสัมบูรณ์ในกรณีนี้คือ 1 จุดเปอร์เซ็นต์ (4% − 3%) แต่การเปลี่ยนแปลงเชิงสัมพัทธ์ของอัตราดอกเบี้ยคือ: $${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$$

โดยทั่วไป คำว่า "เปอร์เซ็นต์จุด" บ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงหรือความแตกต่างของเปอร์เซ็นต์แบบสัมบูรณ์ ในขณะที่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์หรือคำว่า "เปอร์เซ็นต์" หมายถึงการเปลี่ยนแปลงหรือความแตกต่างแบบสัมพัทธ์^{[ 9 ]}

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (แบบคลาสสิก) ข้างต้นเป็นเพียงหนึ่งในมาตรวัด/ตัวบ่งชี้ที่เป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ตัวบ่งชี้ของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จากx (ค่าเริ่มต้นหรือค่าอ้างอิง) ไปยังy (ค่าใหม่) คือฟังก์ชันค่าจริงแบบไบนารีที่กำหนดสำหรับโดเมนที่สนใจซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 10 ]}${\displaystyle R(x,y)}$

• ป้ายที่เหมาะสม:${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• Rเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นของyเมื่อxมีค่าคงที่
• Rเป็นตัวแปรต่อเนื่อง
• ไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยวัด: สำหรับทุกค่า, .${\displaystyle a>0}$${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$
• ปรับให้เป็นมาตรฐาน:${\displaystyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานได้รับแรงบันดาลใจจากการสังเกตว่าRที่ปรับขนาดด้วยค่าคงที่ยังคงเป็นไปตามเงื่อนไขอื่นๆ นอกเหนือจากการทำให้เป็นมาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเงื่อนไขความเป็นอิสระR ทุกตัว สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์เดียวHของอัตราส่วนได้[ ^{11 ] เงื่อนไข}การทำให้เป็นมาตรฐานคือ ซึ่งหมายความว่าตัวบ่งชี้ทั้งหมดมีพฤติกรรมเหมือนตัวบ่งชี้แบบคลาสสิกเมื่อใกล้เคียงกับ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle y/x}$${\displaystyle H'(1)=1}$${\displaystyle y/x}$1 .

^{โดยปกติตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จะแสดงเป็นการเปลี่ยนแปลงจริง Δ ที่ ปรับ}ขนาดด้วยฟังก์ชันบางอย่างของค่าxและyเช่นf ( x , y ) [ ^{2 ]}

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบคลาสสิก การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ทั่วไปจะไม่ถูกกำหนดหากf ( x , y ) เป็นศูนย์ มีการเสนอตัวเลือกต่างๆ สำหรับฟังก์ชันf ( x , y ) ดังนี้: ^{[ 12 ]}

ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์^{[ 12 ]}

ชื่อ	${\displaystyle f(x,y)}$โดยที่ค่าของตัวบ่งชี้คือ${\displaystyle {\tfrac {y-x}{f(x,y)}}}$	${\displaystyle H(y/x)}$
การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (แบบคลาสสิก)	x	${\displaystyle {\frac {y}{x}}-1}$
การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบกลับด้าน	y	${\displaystyle 1-{\frac {x}{y}}}$
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเลขคณิต	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}}$
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเรขาคณิต	${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\sqrt {xy}}}}$
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก	${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {y}{x}}-1\right)\left(1+{\frac {x}{y}}\right)}{2}}}$
โมเมนต์เฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงลำดับk	${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}(x^{k}+y^{k})\right]^{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}\right)\right]^{\frac {1}{k}}}}}$
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยสูงสุด	${\displaystyle \max(x,y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\max \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}$
การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยขั้นต่ำ	${\displaystyle \min(x,y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\min \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}$
การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึม (ค่าเฉลี่ย)	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}&x\neq y\\x&x=y\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln {\frac {y}{x}}}$

ดังที่เห็นได้ในตาราง ตัวชี้วัดทั้งหมด ยกเว้นสองตัวแรก มีค่าเฉลี่ยเป็นตัวหารคุณสมบัติอย่างหนึ่งของฟังก์ชันค่าเฉลี่ยคือ^{[ 12 ]}ซึ่งหมายความว่าตัวชี้วัดดังกล่าวทั้งหมดมีคุณสมบัติ "สมมาตร" ที่การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แบบคลาสสิกไม่มี: สิ่งนี้สอดคล้องกับสัญชาตญาณที่ว่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์จากxไปyควรมีขนาดเท่ากับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในทิศทางตรงกันข้ามyไปxเช่นเดียวกับความสัมพันธ์ที่แนะนำ ${\displaystyle m(x,y)}$${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}$

แนะนำให้ใช้การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยสูงสุดเมื่อเปรียบเทียบค่าจุดลอยตัว ใน ภาษาโปรแกรมเพื่อความเท่าเทียมกันด้วยค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนด^{[ 13 ]}การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือการคำนวณข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเมื่อต้องการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการวัด แนะนำให้ใช้การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยต่ำสุดในเศรษฐศาสตร์[ ^{14 ] [ 15 ] แนะนำ}ให้ใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมแทนการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์โดยทั่วไป และจะกล่าวถึงเพิ่มเติมด้านล่าง

Tenhunen กำหนดฟังก์ชันความแตกต่างสัมพัทธ์ทั่วไปจากL (ค่าอ้างอิง) ไปยังK : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

ซึ่งนำไปสู่

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน กรณีพิเศษ${\displaystyle c=\pm 1}$

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

ในบรรดาตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เหล่านี้ อาจกล่าวได้ว่าตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือลอการิทึมธรรมชาติ (ln) ของอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว (สุดท้ายและเริ่มต้น) ซึ่งเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม^{[ 2 ]} อัน ที่จริง เมื่อการประมาณต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$$${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}$$

ดังนั้นเมื่อเงื่อนไขก่อนหน้านี้เป็นจริง ผลต่างระหว่างลอการิทึม (ธรรมชาติ) จะมีค่าประมาณเท่ากับการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\ln(V_{1})-\ln(V_{0})}$

ในทำนองเดียวกันกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่ปรับขนาดด้วย 100 เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์สามารถปรับขนาดด้วย 100 เพื่อให้ได้สิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าจุดลอการิทึม^{[ 17 ]}จุดลอการิทึมเทียบเท่ากับหน่วยเซนติเนอร์ (cNp) เมื่อวัดสำหรับปริมาณรากกำลัง^{[ 18 ] [ 19 ]}ปริมาณนี้ยังถูกเรียกว่าเปอร์เซ็นต์ลอการิทึมและใช้สัญลักษณ์L% [ ^{2 ] เนื่องจาก} อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติที่ 1 คือ 1 จุดลอการิทึมจึงมีค่าประมาณเท่ากับการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์สำหรับความแตกต่างเล็กน้อย เช่น การเพิ่มขึ้น 1% เท่ากับการเพิ่มขึ้น 0.995 cNp และการเพิ่มขึ้น 5% เท่ากับการเพิ่มขึ้น 4.88 cNp คุณสมบัติการประมาณค่า นี้ ใช้ไม่ได้กับฐานลอการิทึมอื่นๆ ซึ่งจะนำปัจจัยการปรับขนาดเข้ามาเนื่องจากอนุพันธ์ไม่ใช่ 1 ดังนั้นจุดลอการิทึมจึงสามารถใช้แทนการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ได้^{[ 20 ] [ 18 ]}${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$

การใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมมีข้อดีของการบวกเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์^{[ 2 ] [ 18 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อใช้การเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึม การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดหลังจากการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งจะเท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่การใช้เปอร์เซ็นต์ การรวมการเปลี่ยนแปลงเป็นเพียงการประมาณค่าเท่านั้น โดยจะมีข้อผิดพลาดมากขึ้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่มากขึ้น^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น:

โปรดทราบว่าในตารางข้างต้น เนื่องจากค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 0 (หรือค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ 1 ) มีค่าตัวเลขเท่ากับค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม 0 (หรือค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึม 1 ) จึงไม่ได้หมายความว่าค่าทั้งสองนั้นเหมือนกัน การแปลงระหว่างค่าการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และค่าการเปลี่ยนแปลงลอการิทึมสามารถคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}$

โดยคุณสมบัติการบวกและด้วยเหตุนี้คุณสมบัติการบวกจึงหมายถึงคุณสมบัติสมมาตรบางอย่าง กล่าวคือและด้วยเหตุนี้ขนาดของการเปลี่ยนแปลงที่แสดงในรูปของการเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมจึงเหมือนกันไม่ว่าV ₀หรือV ₁จะถูกเลือกเป็นค่าอ้างอิง^{[ 18 ]}ในทางตรงกันข้าม สำหรับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์โดยความแตกต่างจะมากขึ้นเมื่อV ₁หรือV ₀เข้าใกล้ 0 ในขณะที่อีกค่าหนึ่งคงที่ ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}$${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}$${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}$${\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}$

ในที่นี้ 0 ⁺หมายถึงการหาลิมิตจากค่าสูงสุดเข้าหา 0

การเปลี่ยนแปลงลอการิทึมเป็นฟังก์ชันสองตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเป็นแบบบวก และการทำให้เป็นเชิงเส้นตรงกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ มีตระกูลของฟังก์ชันผลต่างแบบบวกสำหรับใดๆโดยที่การเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์คือและการเปลี่ยนแปลงลอการิทึมคือ^{[ 21 ]}${\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle F_{1}}$

• ข้อผิดพลาดในการประมาณค่า
• ข้อผิดพลาดและค่าตกค้างในทางสถิติ
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์
• มาตราส่วนลอการิทึม