ในทฤษฎีจำนวน จำนวนเต็ม สองจำนวนaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกันหากจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่เป็นตัวหารของทั้งสองจำนวนนั้นคือ 1 ^{[ 1 ]}ดังนั้นจำนวนเฉพาะ ใดๆ ที่หารa ลงตัว จะไม่หารb ลงตัว และในทางกลับกัน นี่เทียบเท่ากับตัวหารร่วมมาก (GCD) ของทั้งสองจำนวนนั้นคือ 1 ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่าa เป็นจำนวนเฉพาะของbหรือa เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กับb

เลข 8 และ 9 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แม้ว่าเมื่อพิจารณาแยกกันแล้ว ทั้งสองเลขจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะก็ตาม เนื่องจาก 1 เป็นตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวของทั้งสองเลข ในทางกลับกัน 6 และ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เพราะทั้งสองเลขหารด้วย 3 ลงตัว โดยนิยามแล้ว ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนอย่างง่ายจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

เมื่อจำนวนเต็มaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ วิธีมาตรฐานในการแสดงข้อเท็จจริงนี้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือการระบุว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของทั้งสองจำนวนคือหนึ่ง โดยใช้สูตรgcd( a , b ) = 1หรือ( a , b ) = 1ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์รูปธรรม (Concrete Mathematics) ปี 1989 โรนัลด์ เกรแฮมโดนัลด์ คนูธและโอเรน ปาตาชนิกได้เสนอสัญลักษณ์ทางเลือกอื่น${\displaystyle a\perp b}$เพื่อระบุว่าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และใช้คำว่า "จำนวนเฉพาะ" แทนคำว่า "จำนวนเฉพาะร่วม" (เช่นaเป็นจำนวนเฉพาะของb ) ^{[ 3 ]}

วิธีที่รวดเร็วในการตรวจสอบว่าจำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่นั้น สามารถใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดและรูปแบบที่เร็วกว่า เช่นขั้นตอนวิธีหารร่วมมากแบบไบนารีหรือขั้นตอนวิธีหารร่วมมากของเลห์เมอร์ได้

จำนวนของจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มบวกnซึ่งอยู่ระหว่าง 1 และnจะแสดงด้วยฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันฟีของออยเลอร์φ ( n )

เซตของจำนวนเต็มอาจเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ได้ ถ้าสมาชิกในเซตนั้นไม่มีตัวประกอบร่วมที่เป็นบวกใดๆ นอกจาก 1 เงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าสำหรับเซตของจำนวนเต็มคือ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ ซึ่งหมายความว่าa และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันสำหรับทุกคู่( a , b )ของจำนวนเต็มที่แตกต่างกันในเซต เซต{2, 3, 4}เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ เนื่องจาก 2 และ 4 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

เลข 1 และ -1 เป็นจำนวนเต็มเพียงสองจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มทุกจำนวน และเป็นจำนวนเต็มเพียงสองจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 0

มีหลายเงื่อนไขที่เทียบเท่ากับการที่aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์:

• ไม่มีจำนวนเฉพาะ ใดที่หาร ทั้งaและbลงตัว
• มีจำนวนเต็มx และ yที่ทำให้ax + by = 1 (ดูเอกลักษณ์ของเบซูต์ )
• จำนวนเต็มbมีตัวผกผันการคูณมอดูลaซึ่งหมายความว่ามีจำนวนเต็มy อยู่จริง โดยที่by ≡ 1 (mod a )ในภาษาของทฤษฎีริงbคือหน่วยในริง${\displaystyle \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็มโมดูลa​
• ความสัมพันธ์สมมูลทุกคู่สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ทราบค่าxในรูปแบบx ≡ k (mod a )และx ≡ m (mod b )จะมีคำตอบ ( ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ) อันที่จริง คำตอบเหล่านั้นอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์สมมูลเดียวแบบโมดูลัสab
• ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของa และ b เท่ากับผลคูณของทั้งสอง^abนั่นคือlcm( a , b ) = ab [ ^{4 ]}

ผลที่ตามมาของประเด็นที่สามคือ ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และbr ≡ bs (mod a )แล้วr ≡ s (mod a ) [ ^{5 ]}นั่นคือ เราสามารถ "หารด้วยb " เมื่อทำงานแบบโมดูลัสa ยิ่งไปกว่า ^นั้นถ้าb , b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับa ทั้งคู่ ผลคูณของพวกมัน b b ก็เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ a เช่นกัน(กล่าวคือ โมดูลัสaเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่ผกผันได้ และดังนั้นจึงผกผันได้) ^{[ 6 ]}สิ่งนี้ยังเป็นผลมาจากประเด็นแรกโดยทฤษฎีบทของยูคลิดซึ่งระบุว่า ถ้าจำนวนเฉพาะpหารผลคูณbcแล้วp จะหารตัวประกอบ b, cอย่างน้อยหนึ่งตัว

จากข้อแรก ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว กำลังใดๆ ของa ^kและb ^m ก็เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เช่น กัน

ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และaหารผลคูณbc ลงตัว แล้วaจะหารcลงตัว^{[ 7 ]}สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของทฤษฎีบทของยูคลิด

จำนวนเต็มaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อจุดที่มีพิกัด( a , b )ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนนั้น "มองเห็นได้" ผ่านเส้นตรงที่ไม่มีสิ่งกีดขวางจากจุดกำเนิด(0, 0)ในความหมายที่ว่าไม่มีจุดใดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มอยู่บนส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดกำเนิดและ( a , b ) (ดูรูปที่ 1)

ในแง่ที่สามารถระบุได้อย่างแม่นยำความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มสองจำนวนที่สุ่มเลือกมาจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คือ6/ π²ซึ่งประมาณ 61% (ดูหัวข้อ^§ความ น่าจะเป็นของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ด้านล่าง)

จำนวนธรรมชาติ สอง จำนวน aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อจำนวน2a ⁻ 1และ2b ⁻ 1เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์^{[ 8 ]} เป็นการสรุปทั่วไปของเรื่องนี้ ซึ่งได้มาจาก ขั้นตอนวิธีของยุคลิดในฐานn > 1ได้อย่างง่ายดาย:

${\displaystyle \gcd \left(n^{a}-1,n^{b}-1\right)=n^{\gcd(a,b)}-1.}$

เซตของจำนวนเต็ม${\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}}$จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เฉพาะเซตก็คือจำนวนที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของสมาชิกทั้งหมดในเซตนั้นคือ 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 6, 10, 15 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ 1 เป็นจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่หารลงตัวทั้งหมด

ถ้าจำนวนเต็มทุกคู่ในเซตเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เซตนั้นจะเรียกว่าเป็นเซตเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่ (หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็น คู่ หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบร่วมกัน ) เงื่อนไขความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่มีความเข้มงวดกว่าความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซต กล่าวคือ เซตจำกัดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่ทุกเซตก็จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซตด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 4, 5, 6 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซต (เพราะจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่หารทั้ง สามจำนวนลงตัว คือ 1) แต่ไม่ใช่ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แบบเป็นคู่ (เพราะห.ร.ม. ของ 4, 6 = 2 )

แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะคู่กันมีความสำคัญในฐานะสมมติฐานในผลลัพธ์หลายอย่างในทฤษฎีจำนวน เช่นทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

เป็นไปได้ที่เซตของจำนวนเต็มอนันต์จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่ เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด เซตของสมาชิกในลำดับของซิลเวสเตอร์และเซตของจำนวนแฟร์มาต์ทั้งหมด

เมื่อกำหนดจำนวนเต็มสองจำนวน คือ aและb ที่สุ่มเลือกมา การถามว่าโอกาสที่aและb จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันนั้นมีมากน้อยเพียงใด ในการพิจารณานี้ การใช้คุณสมบัติที่ว่า aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อไม่มีจำนวนเฉพาะใดหารทั้งสองจำนวนลงตัวนั้นสะดวกกว่า (ดู ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต )

โดยทั่วไปแล้ว ความน่าจะเป็นที่จำนวนใดๆ จะหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็มใดๆ) pคือ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{p}};}$ตัวอย่าง เช่น จำนวนเต็มลำดับที่ 7 ทุกจำนวนหารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนหารด้วย p ลงตัวทั้งคู่ คือ${\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}},}$และความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งในนั้นจะไม่ใช่คือ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{p^{2}}}.}$ชุดเหตุการณ์การหารลงตัวใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จะเป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่าง เช่น ในกรณีที่มีสองเหตุการณ์ จำนวนหนึ่งจะหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะ pและ qก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นหารลงตัวด้วย pq เท่านั้น โดยเหตุการณ์หลังมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{pq}}.}$หากเราตั้งสมมติฐานเชิงอนุมานว่าการ ให้ เหตุผลดังกล่าวสามารถขยายไปสู่เหตุการณ์การหารลงตัวได้เป็นอนันต์ครั้ง เราจะคาดเดาได้ว่าความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์นั้นกำหนดโดยผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมด

${\displaystyle \prod _{{\text{prime }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{{\text{prime }}p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%.}$

ในที่นี้ζหมายถึงฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงผลคูณเหนือจำนวนเฉพาะกับζ (2)เป็นตัวอย่างของผลคูณออยเลอร์และการประเมินค่าของζ (2)เป็นπ ² /6คือปัญหาบาเซิล ซึ่ง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แก้ไขในปี 1735

ไม่มีวิธีใดที่จะเลือกจำนวนเต็มบวกแบบสุ่มเพื่อให้จำนวนเต็มบวกแต่ละจำนวนเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน แต่ข้อความเกี่ยวกับ "จำนวนเต็มที่เลือกแบบสุ่ม" เช่นที่กล่าวมาข้างต้น สามารถทำให้เป็นทางการได้โดยใช้แนวคิดของความหนาแน่นตามธรรมชาติสำหรับจำนวนเต็มบวกN แต่ละจำนวน ให้P เป็นความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนที่เลือกแบบสุ่มใน N จะปรากฏ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,N\}}$เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แม้ว่าP จะไม่เท่ากับ6/ π ²อย่างแน่นอน แต่ด้วยการทำงาน^{[ a ]} ​​เราสามารถแสดงได้ว่าในลิมิตเมื่อ${\displaystyle N\to \infty ,}$ความน่าจะเป็นP N ใกล้6/ π ²

โดยทั่วไปแล้ว ความน่าจะเป็นที่ จำนวนเต็ม kตัวที่สุ่มเลือกมาจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันในแต่ละเซตคือ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (k)}}.}$[ ^{9 ]​}

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวกทุกคู่( m , n ) (โดยที่m > n ) สามารถจัดเรียงเป็นต้นไม้ไตรภาค สมบูรณ์ที่ไม่ทับซ้อนกันสองต้น โดยต้นหนึ่งเริ่มต้นจาก(2, 1) (สำหรับคู่เลขคู่-เลขคี่และเลขคี่-เลขคู่) ^{[ 10 ]}และอีกต้นหนึ่งเริ่มต้นจาก(3, 1) (สำหรับคู่เลขคี่-เลขคี่) ^{[ 11 ]}ลูกของแต่ละจุดยอด( m , n )จะถูกสร้างขึ้นดังนี้:

• สาขาที่ 1:${\displaystyle (2m-n,m)}$
• สาขาที่ 2:${\displaystyle (2m+n,m)}$
• สาขาที่ 3:${\displaystyle (m+2n,n)}$

แผนงานนี้ครอบคลุมทุกด้านและไม่มีส่วนที่ซ้ำซ้อน อีกทั้งยังไม่มีสมาชิกที่ไม่ถูกต้อง สามารถพิสูจน์ได้โดยการสังเกตว่า ถ้า${\displaystyle (a,b)}$เป็นคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ${\displaystyle a>b,}$แล้ว

• ถ้า${\displaystyle a>3b,}$แล้ว ${\displaystyle (a,b)}$เป็นลูกของ${\displaystyle (m,n)=(a-2b,b)}$ตามสาขาที่ 3;
• ถ้า${\displaystyle 2b<a<3b,}$แล้ว${\displaystyle (a,b)}$เป็นลูกของ${\displaystyle (m,n)=(b,a-2b)}$ตามสาขาที่ 2;
• ถ้า${\displaystyle b<a<2b,}$แล้ว${\displaystyle (a,b)}$เป็นลูกของ${\displaystyle (m,n)=(b,2b-a)}$ตามสาขาที่ 1

ในทุกกรณี${\displaystyle (m,n)}$เป็นคู่จำนวนเฉพาะร่วมที่ "เล็กกว่า" กับ${\displaystyle m>n.}$กระบวนการ "คำนวณหาพ่อ" นี้จะหยุดได้ก็ต่อเมื่อข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น${\displaystyle a=2b}$หรือ${\displaystyle a=3b.}$ในกรณีเหล่านี้ ความเป็นจำนวนเฉพาะร่วม หมายความว่าคู่ดังกล่าวเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle (2,1)}$หรือ${\displaystyle (3,1).}$

อีกวิธีหนึ่ง (ที่ง่ายกว่ามาก) ในการสร้างต้นไม้ของคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวก( m , n ) (โดยที่m > n ) คือการใช้ตัวสร้างสองตัว${\displaystyle f:(m,n)\rightarrow (m+n,n)}$และ${\displaystyle g:(m,n)\rightarrow (m+n,m)}$โดยเริ่มจากราก${\displaystyle (2,1)}$ต้นไม้ไบนารีที่ได้ ซึ่งก็คือต้นไม้คัลกิน-วิลฟ์ (Calkin–Wilf tree ) นั้นครอบคลุมทุกส่วนและไม่มีส่วนที่ซ้ำซ้อน ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้ เมื่อกำหนดคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว เราจะใช้สูตรแบบเรียกซ้ำ${\displaystyle f^{-1}}$หรือ${\displaystyle g^{-1}}$ขึ้นอยู่กับว่าตัวใดให้คู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวกที่มีm > nเนื่องจากมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์เช่นนั้น ดังนั้นต้นไม้จึงไม่ซ้ำซ้อน และเนื่องจากด้วยกระบวนการนี้จะทำให้ไปถึงรากได้อย่างแน่นอน ดังนั้นต้นไม้จึงครอบคลุมทุกส่วน

ในการออกแบบเครื่องจักร การสึกหรอ ของเฟือง ที่สม่ำเสมอและเป็นเนื้อเดียวกัน นั้น สามารถทำได้โดยการเลือกจำนวนฟันของเฟืองสองตัวที่ขบกันให้มีจำนวนฟันที่สัมพันธ์กันเป็นจำนวนฟันหลัก (prime) เมื่อ ต้องการ อัตราทดเกียร์ 1:1 อาจใส่เฟืองที่มีจำนวนฟันสัมพันธ์กันเป็นจำนวนฟันหลัก (prime) เข้าไประหว่างเฟืองสองตัวที่มีขนาดเท่ากันนั้น

ใน การเข้ารหัสลับก่อนยุคคอมพิวเตอร์ เครื่อง เข้ารหัส Vernamบางเครื่องรวมลูปเทปกุญแจที่มีความยาวต่างกันหลายลูปเข้าด้วยกันเครื่องโรเตอร์ หลายเครื่อง รวมโรเตอร์ที่มีจำนวนฟันต่างกัน การรวมกันแบบนี้จะได้ผลดีที่สุดเมื่อความยาวทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

แนวคิดนี้สามารถขยายไปใช้กับโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ได้นอกเหนือจาก⁠${\displaystyle \mathbb {Z}$ ตัวอย่าง เช่นพหุนามที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดคือ 1 เรียกว่าพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์

• สวนผลไม้ของยูคลิด
• จำนวนซูเปอร์พาร์เทียนต์

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008), บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (  ฉบับที่ 6), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด , ISBN 978-0-19-921986-5
• นิเวน, อีวาน; ซัคเคอร์แมน, เฮอร์เบิร์ต เอส. (1966), บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (  ฉบับที่ 2), จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์
• Ore, Oystein (1988) [1948], ทฤษฎีจำนวนและประวัติศาสตร์ของมัน , Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rosen, Kenneth H. (1992), ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้ (  ฉบับที่ 3), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-57889-8

• ลอร์ด, นิค (มีนาคม 2551), "การสร้างลำดับจำนวนเฉพาะร่วมอนันต์แบบเอกรูป", Mathematical Gazette , 92 : 66–70.