ฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของตัวแปลงสัญญาณเช่น วิทยุที่แปลงคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นดนตรี หรือเซลล์ประสาทที่แปลงอินพุตจากไซแนปส์เป็นการตอบสนอง เนื่องจากมีการประยุกต์ใช้มากมายในทฤษฎีสารสนเทศฟิสิกส์และวิศวกรรมจึงมีชื่อเรียกอื่น ๆ สำหรับฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นเฉพาะ เช่นความไวต่อสิ่งเร้า การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นหรืออิมพีแดน ซ์ ดูเพิ่มเติมที่ฟังก์ชันถ่ายโอนแนวคิดของฟังก์ชันกรีนหรือผลเฉลยพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

ให้ แทนอินพุตของระบบ(เช่นแรง ) และแทนการตอบสนองของระบบ(เช่น ตำแหน่ง) โดยทั่วไป ค่าของจะขึ้นอยู่กับไม่เพียงแต่ค่าปัจจุบันของแต่ยังขึ้นอยู่กับค่าในอดีตด้วย โดยประมาณแล้วคือผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าก่อนหน้าของโดยน้ำหนักกำหนดโดยฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้น: ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t')}$${\displaystyle \chi (tt')}$$${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (tt')h(t')+\cdots \,.}$$

พจน์ที่ปรากฏอย่างชัดเจนทางด้านขวามือคือ พจน์ ลำดับนำของการขยายอนุกรมโวลเทอร์ราสำหรับการตอบสนองแบบไม่เชิงเส้นอย่างสมบูรณ์ หากระบบที่พิจารณามีความไม่เชิงเส้นสูง พจน์ลำดับสูงกว่าในการขยายอนุกรม ซึ่งแสดงด้วยจุด จะมีความสำคัญ และตัวแปลงสัญญาณจะไม่สามารถอธิบายได้อย่างเพียงพอด้วยฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นเพียงอย่างเดียว

การแปลงฟูริเยร์ เชิงซ้อนของฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นมีประโยชน์มาก เนื่องจากสามารถอธิบายเอาต์พุตของระบบได้ หากอินพุตเป็นคลื่นไซน์ที่มีความถี่ω เอาต์พุตที่ได้คือ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

โดยมีการขยายแอมพลิจูด และการ เปลี่ยนเฟส${\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\โอเมก้า )|}$${\displaystyle \arg {\ตัวหนอน {\chi }}(\โอเมก้า )}$

พิจารณาออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบหน่วง ที่มีแรงป้อนเข้า จาก แรงขับภายนอก${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

การแปลงฟูริเยร์เชิงซ้อนของฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้น มีค่า ดังนี้

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

อัตราขยายแอมพลิจูดกำหนดโดยขนาดของจำนวนเชิงซ้อน และการเปลี่ยนแปลงเฟสกำหนดโดย arctan ของส่วนจินตนาการของฟังก์ชันหารด้วยส่วนจริง ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\โอเมก้า ),}$

จากภาพแสดงนี้ เราจะเห็นว่าสำหรับค่า n เล็กๆการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นจะให้ค่าสูงสุดที่เด่นชัด (" เรโซแนนซ์ ") ที่ความถี่n ฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกนั้นเหมือนกันทางคณิตศาสตร์กับวงจร RLCความกว้างของค่าสูงสุดโดยทั่วไปจะน้อยกว่า n มากดังนั้นค่าแฟคเตอร์คุณภาพ จึง สามารถมีค่าสูงมากได้ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$${\displaystyle \เดลต้า \โอเมก้า ,}$${\displaystyle \omega _{0},}$${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$

การอธิบายทฤษฎีการตอบสนองเชิงเส้นในบริบทของสถิติควอนตัมสามารถพบได้ในบทความของRyogo Kubo [ ^{1 ] ซึ่ง} ได้กำหนดสูตร Kubo โดยเฉพาะ ซึ่งพิจารณากรณีทั่วไปที่ "แรง" h ( t )เป็นการรบกวนของตัวดำเนินการพื้นฐานของระบบHamiltonianโดยที่สอดคล้องกับปริมาณที่วัดได้เป็นอินพุต ในขณะที่เอาต์พุตx ( t )เป็นการรบกวนของความคาดหวังทางความร้อนของปริมาณที่วัดได้อีกปริมาณหนึ่งสูตร Kubo จึงกำหนดการคำนวณทางสถิติควอนตัมของความไวต่อการเปลี่ยนแปลงโดยใช้สูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการที่กล่าวถึงเท่านั้น ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$${\displaystyle \chi (tt')}$

ผลที่ตามมาของหลักการความเป็นเหตุ เป็นผลคือ ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนจะมีขั้วเฉพาะในระนาบครึ่งล่างเท่านั้น ซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์ Kramers–Kronigซึ่งเชื่อมโยงส่วนจริงและส่วนจินตนาการของ โดยการอินทิเกรต ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิ กแบบหน่วงอีกครั้ง^{[ 2 ]}${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\โอเมก้า )}$

ทฤษฎีการตอบสนองเชิงเส้นมีเวอร์ชันสำหรับกระบวนการที่ไม่สมดุลสำหรับระบบเปิดที่ไม่มีสมดุลโดยละเอียด แต่มีการใช้แรงขับหรือการกระตุ้นอย่างต่อเนื่อง การรบกวนเล็กน้อยของระบบที่ถูกขับหรือทำงานเหล่านี้จะทำให้เกิดการตอบสนองที่ขัดแย้งกับนิพจน์สมดุล วิธีการที่เป็นไปได้ดำเนินการผ่านกลุ่มพื้นที่เส้นทางซึ่งมีการประเมินความน่าจะเป็นของวิถี ดูเช่น^{[ 3 ]}สูตรการตอบสนองที่ได้มีส่วนเอนโทรปี (คล้ายกับกรณีสมดุลโดยละเอียด) และส่วนเฟรเนติก ส่วนหลังเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของเฟรเนซี (ส่วนเกิน) (เนื่องจากการรบกวน) กับสิ่งที่สังเกตได้ ในสมดุลโดยละเอียด ส่วนประกอบทั้งสองจะรวมกันและสร้างสูตร Kubo และGreen-Kubo ขึ้นมาใหม่ นอกสมดุลโดยละเอียด ส่วนประกอบเฟรเนติกเป็นสาเหตุของความเป็นไปได้ของความจุความร้อนและการเคลื่อนที่ที่เป็นลบ และจะไม่วัดความผันผวนอีกต่อไป เช่น ในแง่ของความแปรปรวนของพลังงานหรือกระแส

• การคอนโวลูชัน
• ความสัมพันธ์ระหว่างกรีนและคูโบ
• ทฤษฎีความผันผวน
• การกระจายแสง (ทัศนศาสตร์)
• ลินด์เบลเดียน
• การตอบสนองแบบกึ่งเชิงเส้น
• หน้าที่ของกรีน
• การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น
• รูปแบบที่แน่วแน่
• เครื่องขยายพันธุ์
• ความบ้าคลั่ง

• ฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นใน Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt และ Alexander Lichtenstein (บรรณาธิการ): DMFT ที่ 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9