ในฟิสิกส์กลศาสตร์แฮมิลตันเป็นการปรับปรุงใหม่ของกลศาสตร์ลากรางจ์ซึ่งเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1833 นำเสนอโดยเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน [ ^{1 ] กลศาสตร์}แฮมิลตันแทนที่ความเร็ว (ทั่วไป) ที่ใช้ในกลศาสตร์ลากรางจ์ด้วยโมเมนตัม (ทั่วไป) ทฤษฎีทั้งสองให้การตีความกลศาสตร์คลาสสิกและอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพเดียวกัน ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

กลศาสตร์แฮมิลตันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิต (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกและโครงสร้างปัวซง ) และทำหน้าที่เป็นตัวเชื่อมระหว่างกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม

ให้เป็นระบบเชิงกลที่มี ปริภูมิการกำหนดค่าและลากรางเจียน เรียบ เลือกใช้ระบบพิกัดมาตรฐานบนบันเดิลสัมผัสปริมาณเหล่านี้เรียกว่าโมเมนตัม (หรือโมเมนตัมทั่วไปโมเมนตัมคู่ควบและโมเมนตัมเชิงแคนอน ) สำหรับช่วงเวลาหนึ่งการแปลงเลอจองเดอร์ของถูกกำหนดให้เป็นแผนที่ซึ่งถือว่ามีฟังก์ชันผกผันที่เรียบสำหรับระบบที่มีองศาอิสระ กลศาสตร์ลากรางเจียนกำหนดฟังก์ชันพลังงาน${\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$${\displaystyle TM.}$${\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}$${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}$$

การแปลงเลอจองเดอร์ของจะกลายเป็นฟังก์ชันที่เรียกว่า${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle E_{\คณิตศาสตร์ {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}$แฮมิลโทเนียนแฮมิลโทเนียนสอดคล้อง กับ ซึ่งหมายความว่า โดยที่ความเร็วได้มาจากสมการ (มิติ)ซึ่งตามสมมติฐานแล้วสามารถหาคำตอบได้เพียงหนึ่งเดียวสำหรับ⁠⁠(มิติ)เรียกว่าพิกัดปริภูมิเฟส(หรือพิกัดแคนอนิก) $${\displaystyle {\mathcal {H}}{\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)}=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$

ในพิกัดปริภูมิเฟส สม การออยเลอ ร์${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$-ลากรางจ์ ( มิติ) จะกลายเป็นสมการของแฮมิลตันในมิติ ${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}=0}$$${\displaystyle 2n}$

การพิสูจน์

แฮมิลโทเนียนคือการแปลงเลอจองเดอร์ของลากรางเจียนดังนั้นจึงได้ว่า ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\dot {\boldsymbol {q}}}}$$

1

ที่ไหน. ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}$

โดยการจัดเรียงสมการใหม่เราสามารถเขียนในรูปของและได้เป็นดังนั้น1 จึง กลายเป็นสมการสองตัวแปรคือ และ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

การหาอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองข้างของ1เทียบกับ(โดยคงค่า ไว้) จะได้ การหาอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองข้างของ1เทียบกับแทน (โดยคงค่า ไว้) จะได้ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}={\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},}$$

ตอนนี้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}$

ให้เป็นเซตของเส้นทางเรียบซึ่งและฟังก์ชันการกระทำถูกกำหนดโดย โดย ที่⁠ ⁠และ(ดูด้านบน) เส้นทางเป็นจุดนิ่งของ(และดังนั้น เป็นสมการการเคลื่อนที่) ก็ต่อเมื่อเส้นทางในพิกัดปริภูมิเฟสเป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}$$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}$

การตีความกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนอย่างง่ายมาจากการประยุกต์ใช้กับระบบหนึ่งมิติซึ่งประกอบด้วยอนุภาคที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพหนึ่งอนุภาคที่มีมวลmค่าของแฮมิลโทเนียนคือพลังงานรวมของระบบ ในกรณีนี้คือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์TและVตามลำดับ ในที่นี้pคือโมเมนตัมmvและqคือพิกัดเชิงพื้นที่ ดังนั้น Tเป็นฟังก์ชันของpเพียงอย่างเดียว ในขณะที่Vเป็นฟังก์ชันของqเพียงอย่างเดียว (กล่าวคือTและVเป็นสเคลอโรโนมิก ) ${\displaystyle H(p,q)}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}$$

ในตัวอย่างนี้ อนุพันธ์ของq เทียบกับเวลา คือความเร็ว ดังนั้นสมการแฮมิลตันข้อแรกหมายความว่าความเร็วของอนุภาคเท่ากับอนุพันธ์ของพลังงานจลน์เทียบกับโมเมนตัม อนุพันธ์ของโมเมนตัมpเทียบกับ เวลาเท่ากับ แรงนิวตันดังนั้นสมการแฮมิลตันข้อที่สองหมายความว่าแรงเท่ากับเกรเดียนต์ ลบ ของพลังงานศักย์

ลูกตุ้มทรงกลมประกอบด้วยมวลmที่เคลื่อนที่โดยไม่มีแรงเสียดทานบนพื้นผิวของทรงกลม แรงเพียงอย่างเดียวที่กระทำต่อมวลคือแรงปฏิกิริยาจากทรงกลมและแรงโน้มถ่วงพิกัดทรงกลมใช้เพื่ออธิบายตำแหน่งของมวลในรูปของ( r , θ , φ )โดยที่rมีค่าคงที่r = ℓ

ลากรางเจียนสำหรับระบบนี้คือ^{[ 2 ]}$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

ดังนั้นแฮมิลโทเนียนคือ โดยที่ และ ในแง่ของพิกัดและโมเมนตัม แฮมิลโทเนียนเขียนได้ดังนี้ สม การของแฮมิลตันแสดงวิวัฒนาการของพิกัดและโมเมนตัมคู่ควบตามเวลาในสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสี่สมการ โมเมนตัม ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบแนวตั้งของโมเมนตัมเชิงมุมเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ นั่นเป็นผลมาจากสมมาตรการหมุนของระบบรอบแกนแนวตั้ง เนื่องจากไม่มีอยู่ในแฮมิลโทเนียน มุมอะซิมุธจึงเป็นพิกัดแบบวัฏจักรซึ่งหมายถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมคู่ควบ $${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$$${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$$${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\underbrace {{\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}{\Bigr ]}} _{T}+\underbrace {{\Bigl [}-mg\ell \cos \theta {\Bigr ]}} _{V}\\[2ex]&={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle P_{\varphi }}$${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$${\displaystyle \varphi }$

สมการของแฮมิลตันสามารถหาได้จากการคำนวณโดยใช้ลากรางเจียน${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ตำแหน่งทั่วไปq ⁱและความเร็วทั่วไป⋅qⁱโดยที่⁠⁠${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. ^{[ 3 ]}ในที่นี้เราทำงานนอกเปลือกหมายความว่า⁠⁠${\displaystyle q^{i}}$,⁠⁠${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$,⁠⁠${\displaystyle t}$เป็นพิกัดอิสระในปริภูมิเฟส ไม่ถูกจำกัดให้เป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่ใดๆ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช่อนุพันธ์ของ⁠⁠)อนุพันธ์รวมของลากรางเจียนคือ: พิกัดโมเมนตัมทั่วไปถูกกำหนดเป็น⁠⁠ดังนั้นเราอาจเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$${\displaystyle q^{i}}$$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

หลังจากจัดเรียงใหม่แล้วจะได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

พจน์ในวงเล็บทางด้านซ้ายมือคือแฮมิลโทเนียนที่ได้นิยามไว้ก่อนหน้านี้ ดังนั้น: ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

นอกจากนี้ ยังสามารถคำนวณอนุพันธ์รวมของแฮมิลโทเนียนเทียบกับพิกัด⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠แทนที่จะเป็น⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

ตอนนี้เราสามารถเทียบสองนิพจน์นี้สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$ ได้ แล้ว โดยนิพจน์หนึ่งแสดงในรูปของ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}}$และอีกนิพจน์หนึ่งแสดงในรูปของ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ : $${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

เนื่องจากการคำนวณเหล่านี้อยู่นอกเชลล์ จึงสามารถเทียบสัมประสิทธิ์ของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} t}$ทั้งสองข้างได้: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

บนเปลือกหุ้ม เราจะแทนที่ด้วยฟังก์ชันพาราเมตริกซึ่งกำหนดวิถีในปริภูมิเฟสด้วยความเร็วที่สอดคล้องกับสมการของลากรางจ์ : ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

เมื่อจัดเรียงใหม่และเขียนโดยใช้รูปแบบของ on-shell จะได้ดังนี้: ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

ดังนั้นสมการของลากรองจ์จึงเทียบเท่ากับสมการของแฮมิลตัน: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

ในกรณีที่ไม่ขึ้นกับเวลาและ⁠ ⁠ กล่าว คือ⁠ ⁠สมการของแฮมิลตันประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง2 n สมการ ในขณะที่สมการของลากรองจ์ประกอบด้วยสม การอันดับสอง nสมการของแฮมิลตันมักจะไม่ช่วยลดความยากในการหาคำตอบที่ชัดเจน แต่สามารถอนุมานผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่สำคัญได้จากสมการเหล่านี้ เนื่องจากพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระที่มีบทบาทสมมาตรกันเกือบทั้งหมด ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$

สมการของแฮมิลตันมีข้อได้เปรียบเหนือสมการของลากรางจ์อีกอย่างหนึ่งคือ หากระบบมีความสมมาตร พิกัดบางอย่างจะไม่ปรากฏในแฮมิลโทเนียน (เช่นพิกัดวัฏจักร ) พิกัดโมเมนตัมที่สอดคล้องกันจะถูกอนุรักษ์ไว้ตามวิถีการเคลื่อนที่แต่ละเส้น และพิกัดนั้นสามารถลดรูปเป็นค่าคงที่ในสมการอื่นๆ ของเซตได้ ซึ่งจะช่วยลดปัญหาจากnพิกัดเหลือเพียง( n − 1)พิกัด นี่คือพื้นฐานของการลดรูปเชิงซิมเพล็กติกในเรขาคณิต ในกรอบของลากรางจ์ การอนุรักษ์โมเมนตัมก็เกิดขึ้นทันทีเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ความเร็วทั่วไปทั้งหมดก็ยังคงปรากฏในลากรางจ์ และระบบสมการในnพิกัดก็ยังคงต้องได้รับการแก้ไข^{[ 4 ]}${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

แนวทางของลากรางจ์และแฮมิลตันเป็นพื้นฐานสำหรับผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในกลศาสตร์คลาสสิก และชี้แนะสูตรที่คล้ายคลึงกันในกลศาสตร์ควอนตัมได้แก่สูตรปริพันธ์เส้นทางและสมการชโรดิงเกอร์

• ค่าของแฮมิลโทเนียนจะเป็นพลังงานรวมของระบบก็ต่อเมื่อฟังก์ชันพลังงานมีคุณสมบัติเดียวกัน (ดูคำจำกัดความของ⁠ ⁠ )${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ก่อให้เกิดคำตอบของสมการของแฮมิลตัน
  จริงอยู่และทุกอย่างยกเว้นพจน์สุดท้ายจะหักล้างกันไป${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงจุด กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงพิกัดเชิงพื้นที่อย่างราบรื่น (เป็นผลมาจากการที่ฟังก์ชันพลังงานไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงจุด สามารถพิสูจน์ความไม่เปลี่ยนแปลงของได้โดยตรง)${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(ดูหัวข้อ § การพิสูจน์สมการของแฮมิลตัน )
• (เปรียบเทียบสมการของแฮมิล ตัน${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}}$และสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ หรือดูหัวข้อ § การหาที่มาของสมการของแฮมิลตัน )
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$ .
  พิกัดที่สมการสุดท้ายเป็นจริงเรียกว่าพิกัดวัฏจักร (หรือพิกัดที่ละเลยได้ ) พิกัดวัฏจักรทุกพิกัดจะลดจำนวนองศาอิสระลงทำให้โมเมนตัมที่สอดคล้องกันได้รับการอนุรักษ์ และทำให้สมการของแฮมิลตันแก้ได้ง่ายขึ้น${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p_{i}}$

ในการนำไปใช้กับระบบที่กำหนด แฮมิลโทเนียนมักจะถูกมองว่าเป็น $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$$

โดยที่คือพลังงานจลน์ และคือพลังงานศักย์ การใช้ความสัมพันธ์นี้อาจทำให้ง่ายกว่าการคำนวณลากรางจ์ก่อน แล้วจึงหาแฮมิลโทเนียนจากลากรางจ์ อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นจริงสำหรับทุกระบบ ${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$

ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงสำหรับระบบที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นไปตามที่กำหนด^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

โดยที่t คือเวลา n คือจำนวนองศาอิสระของระบบ และ Δt คือฟังก์ชันสเกลาร์ใดๆ ของΔt ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

กล่าวโดยสรุป ความสัมพันธ์นี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีเวลาเป็นตัวแปรที่ระบุอย่างชัดเจน (เป็นแบบสเคลอโรโนมิก ) ไม่มีความเร็วทั่วไปเป็นตัวแปรที่ระบุอย่างชัดเจน และแต่ละพจน์ของเป็นพจน์กำลังสองของความเร็วทั่วไป ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$

ก่อนที่จะพิสูจน์ข้อนี้ จำเป็นต้องแก้ไขความกำกวมในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องเสียก่อน แม้ว่าการเปลี่ยนตัวแปรจะสามารถใช้เพื่อเทียบเท่าได้ แต่สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ ในกรณีนี้ ด้านขวามือจะมีค่าเป็น 0 เสมอ ในการเปลี่ยนตัวแปรภายในอนุพันธ์ย่อย ควรใช้ กฎลูกโซ่หลายตัวแปรดังนั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม ควรระบุอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันของพจน์ใดๆ ภายในอนุพันธ์ย่อยด้วย ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

นอกจากนี้ การพิสูจน์นี้ยังใช้สัญลักษณ์เพื่อแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,b)}$${\displaystyle {\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0}$

สำหรับระบบมวลจุด เงื่อนไขที่ว่าต้องเป็นฟังก์ชันกำลังสองของความเร็วทั่วไปนั้นจะเป็นจริงเสมอในกรณีที่ซึ่งเป็นเงื่อนไขสำหรับอยู่แล้ว ${\displaystyle T}$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$

ถ้าเงื่อนไขสำหรับเป็นไปตามที่กำหนด การอนุรักษ์แฮมิลโทเนียนก็จะหมายถึงการอนุรักษ์พลังงานด้วย ซึ่งต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือต้องไม่มีเวลาเป็นตัวแปรที่ระบุอย่างชัดเจน ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

โดยสรุป ข้อกำหนดที่ต้องปฏิบัติตามสำหรับระบบที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพคือ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}}$

1. ${\displaystyle V=V({\boldsymbol {q}})}$
2. ${\displaystyle T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$
3. ${\displaystyle T}$เป็นฟังก์ชันกำลังสองเอกพันธุ์ใน${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$

เกี่ยวกับการขยายสูตรออยเลอร์-ลากรางจ์ที่ใช้ฟังก์ชันการกระจายพลังงาน (ดูกลศาสตร์ลากรางจ์ § การขยายเพื่อรวมแรงที่ไม่คงตัว ) เช่นฟังก์ชันการกระจายพลังงานของเรย์ลีพลังงานจะไม่ถูกอนุรักษ์เมื่อฟังก์ชันการกระจายพลังงานมีผล สามารถอธิบายความเชื่อมโยงระหว่างข้อนี้กับข้อกำหนดก่อนหน้านี้ได้โดยการเชื่อมโยงสมการออยเลอร์-ลากรางจ์แบบขยายและแบบดั้งเดิม: การจัดกลุ่มพจน์ที่ขยายเข้าไปในฟังก์ชันศักย์จะสร้างศักย์ที่ขึ้นอยู่กับความเร็ว ดังนั้น ข้อกำหนดจึงไม่เป็นไปตามที่กำหนดเมื่อฟังก์ชันการกระจายพลังงานมีผล

ตัวอย่างที่เพียงพอของกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนคือแฮมิลโทเนียนของอนุภาคที่มีประจุในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในพิกัดคาร์ทีเซียนลากรางเจียนของอนุภาคคลาสสิกที่ไม่สัมพัทธภาพในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือ (ในหน่วย SI ): โดยที่qคือประจุไฟฟ้าของอนุภาคφคือศักย์สเกลาร์ไฟฟ้าและA _iคือส่วนประกอบของศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กซึ่งอาจขึ้นอยู่กับและอย่างชัดเจน$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$

ลากรางเจียนนี้ เมื่อรวมกับสมการออยเลอร์-ลากรางจ์จะได้กฎ แรงลอเรนซ์ และเรียกว่าการเชื่อมโยงขั้นต่ำ (minimal coupling ) $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$

โมเมนตัมมาตรฐานกำหนดโดย: $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}$$

ดังนั้น แฮมิลโทเนียน ซึ่งเป็นการแปลงเลอจองเดอร์ของลากรางเจียน จึงมีลักษณะดังนี้: $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}$$

สมการนี้ถูกนำมาใช้บ่อยในกลศาสตร์ควอนตัม

ภายใต้การแปลงเกจ : โดยที่f ( r , t )คือฟังก์ชันสเกลาร์ใดๆ ของปริภูมิและเวลา ลากรางเจียน โมเมนตัมเชิงแคนอน และแฮมิลโทเนียนที่กล่าวถึงข้างต้นจะแปลงดังนี้: ซึ่งยังคงสร้างสมการของแฮมิลตันเหมือนเดิม: $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$$${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$