ในกลศาสตร์ของไหล (โดยเฉพาะทฤษฎีการหล่อลื่น ) สมการเรย์โนลด์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ควบคุมการกระจายความดันของฟิล์มของไหลหนืด บางๆ สมการนี้ถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยออสบอร์น เรย์โนลด์ในปี 1886 ^{[ 1 ]} สมการเรย์โนลด์แบบคลาสสิกสามารถใช้เพื่ออธิบายการกระจายความดันใน แบริ่งฟิล์มของไหลเกือบทุกประเภทซึ่งเป็นแบริ่งประเภทที่วัตถุที่ล้อมรอบถูกแยกออกจากกันโดยสมบูรณ์ด้วยชั้นของของเหลวหรือก๊าซบางๆ

สมการเรย์โนลด์ทั่วไปคือ: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle p}$คือแรงดันฟิล์มของไหล
• ${\displaystyle x}$และเป็นพิกัดความกว้างและความยาวของแบริ่ง${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle z}$เป็นพิกัดความหนาของฟิล์มของเหลว
• ${\displaystyle h}$คือความหนาของฟิล์มของเหลว
• ${\displaystyle \mu }$คือความหนืดของของเหลว
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นของของเหลว
• ${\displaystyle u,v,w}$คือความเร็วของวัตถุที่ล้อมรอบตามลำดับ${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle a,b}$ตัวเลขห้อยเหล่านี้แสดงถึงขอบเขตบนและล่างของวัตถุตามลำดับ

สมการนี้สามารถใช้ได้ทั้งกับหน่วยที่สอดคล้องกันหรือแบบไร้มิติ

สมการเรย์โนลด์ส์มีข้อสมมติฐานดังนี้:

• ของเหลวนี้เป็นของเหลวแบบนิวตัน
• แรงหนืดของของเหลวมีอิทธิพลเหนือกว่าแรงเฉื่อยของของเหลว นี่คือหลักการของเลขเรย์โนลด์
• แรงจากตัวกลางที่เป็นของเหลวนั้นมีค่าน้อยมากจนสามารถละเลยได้
• ความแปรผันของความดันทั่วฟิล์มของเหลวนั้นน้อยมากจนแทบไม่มีนัยสำคัญ (เช่น)${\displaystyle {\frac {\บางส่วน p}{\partial z}}=0}$
• ความหนาของฟิล์มของเหลวนั้นน้อยกว่าความกว้างและความยาวมาก ดังนั้นผลกระทบจากความโค้งจึงน้อยมาก (เช่นและ)${\displaystyle h\ll l}$${\displaystyle h\ll w}$

สำหรับรูปทรงแบริ่งและเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่ซับซ้อนบางกรณี สมการเรย์โนลด์สามารถหาคำตอบได้โดยวิธีวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่ต้องแก้สมการด้วยวิธีเชิงตัวเลข ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับการแบ่ง โดเมนทางเรขาคณิตออกเป็น ส่วน ย่อย แล้วจึงใช้วิธีการจำกัดขอบเขต เช่นFDM , FVMหรือFEM

การพิสูจน์สมการเรย์โนลด์อย่างสมบูรณ์จากสมการนาเวียร์-สโตกส์สามารถพบได้ในตำราเกี่ยวกับการหล่อลื่นจำนวนมาก^{[ 2 ] [ 3 ]}

โดยทั่วไป สมการเรย์โนลด์จะต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข เช่น วิธีผลต่างจำกัด หรือวิธีองค์ประกอบจำกัด อย่างไรก็ตาม ในบางกรณีที่ง่ายขึ้น อาจสามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์หรือโดยประมาณได้^{[ 4 ]}

สำหรับกรณีของทรงกลมแข็งบนพื้นผิวเรียบ ในสภาวะคงที่และเงื่อนไขขอบเขตการเกิดโพรงอากาศแบบครึ่งซอมเมอร์เฟลด์ สมการเรย์โนลด์ 2 มิติสามารถหาคำตอบได้โดยวิธีวิเคราะห์ วิธีแก้ปัญหานี้เสนอโดยปิโอตร์ คาปิตซา ผู้ได้รับรางวัลโนเบล อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขขอบเขตแบบครึ่งซอมเมอร์เฟลด์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่ถูกต้อง และต้องใช้วิธีแก้ปัญหานี้ด้วยความระมัดระวัง

ในกรณีของสมการเรย์โนลด์แบบ 1 มิติ มีวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์หรือกึ่งวิเคราะห์หลายวิธี ในปี พ.ศ. 2459 มาร์ตินได้วิธีแก้ปัญหาแบบปิด^{[ 5 ]}สำหรับความหนาและแรงดันของฟิล์มขั้นต่ำสำหรับทรงกระบอกแข็งและรูปทรงเรขาคณิตระนาบ วิธีแก้ปัญหานี้ไม่แม่นยำในกรณีที่การเสียรูปยืดหยุ่นของพื้นผิวมีส่วนสำคัญต่อความหนาของฟิล์ม ในปี พ.ศ. 2492 กรูบินได้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ^{[ 6 ]}สำหรับปัญหาการสัมผัสเส้นที่เรียกว่าการหล่อลื่นแบบยืดหยุ่น-ไฮโดรไดนามิก (EHL) ซึ่งเขารวมทั้งการเสียรูปยืดหยุ่นและการไหลของไฮโดรไดนามิกของสารหล่อลื่น ในวิธีแก้ปัญหานี้ ถือว่าโปรไฟล์แรงดันเป็นไปตามวิธีแก้ปัญหาของเฮิรตซ์ดังนั้นแบบจำลองจึงมีความแม่นยำที่ภาระสูง เมื่อแรงดันไฮโดรไดนามิกมีแนวโน้มที่จะใกล้เคียงกับแรงดันสัมผัสของเฮิรตซ์^{[ 7 ]}

สมการเรย์โนลด์ถูกนำมาใช้ในการจำลองความดันในหลายๆ การใช้งาน ตัวอย่างเช่น:

• ลูกปืน
• แบริ่งลม
• แบริ่งวารสาร
• ตัวลดแรงสั่นสะเทือนแบบฟิล์มบีบอัดในกังหันก๊าซของเครื่องบิน
• ข้อต่อสะโพกและข้อเข่าของมนุษย์
• หน้าสัมผัสเฟืองที่หล่อลื่น

ในปี พ.ศ. 2521 Patir และ Cheng ได้นำเสนอแบบจำลองการไหลเฉลี่ย^{[ 8 ] [ 9 ]}ซึ่งปรับเปลี่ยนสมการ Reynolds เพื่อพิจารณาผลกระทบของความหยาบของพื้นผิวต่อการสัมผัสที่หล่อลื่น แบบจำลองการไหลเฉลี่ยครอบคลุมช่วงการหล่อลื่นที่พื้นผิวอยู่ใกล้กันและ/หรือสัมผัสกัน แบบจำลองการไหลเฉลี่ยใช้ "ปัจจัยการไหล" เพื่อปรับความง่ายในการไหลของสารหล่อลื่นในทิศทางการเลื่อนหรือตั้งฉากกับทิศทางนั้น พวกเขายังนำเสนอเงื่อนไขสำหรับการปรับการคำนวณแรงเฉือนสัมผัส ในช่วงเหล่านี้ ลักษณะพื้นผิวทำหน้าที่กำหนดทิศทางการไหลของสารหล่อลื่น ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าส่งผลต่อความดันของสารหล่อลื่น และส่งผลต่อการแยกพื้นผิวและแรงเสียดทานสัมผัส^{[ 10 ]}

มีความพยายามที่น่าสนใจหลายประการในการนำรายละเอียดเพิ่มเติมของการสัมผัสมาพิจารณาในการจำลองฟิล์มของไหลในการสัมผัส Leighton et al. ^{[ 10 ]}ได้นำเสนอวิธีการกำหนดปัจจัยการไหลที่จำเป็นสำหรับแบบจำลองการไหลเฉลี่ยจากพื้นผิวที่วัดได้ Harp และ Salent ^{[ 11 ]}ได้ขยายแบบจำลองการไหลเฉลี่ยโดยพิจารณาการเกิดโพรงอากาศระหว่างจุดสัมผัส Chengwei และ Linqing ^{[ 12 ]}ได้ใช้การวิเคราะห์การกระจายความน่าจะเป็นของ ความสูงของพื้นผิว เพื่อลบเทอมที่ซับซ้อนกว่าหนึ่งเทอมออกจากสมการ Reynolds เฉลี่ยและแทนที่ด้วยปัจจัยการไหลที่เรียกว่าปัจจัยการไหลสัมผัสKnoll et al. ได้คำนวณปัจจัยการไหลโดยคำนึงถึงการเสียรูปยืดหยุ่นของพื้นผิว Meng et al. ^{[ 13 ]}ยังได้พิจารณาการเสียรูปยืดหยุ่นของพื้นผิวที่สัมผัสกันด้วย ${\displaystyle d{\bar {h_{T}}}/dh}$${\displaystyle \phi _{h}}$

งานของ Patir และ Cheng เป็นงานเบื้องต้นสำหรับการตรวจสอบพื้นผิวสัมผัสที่มีการหล่อลื่น โดยแสดงให้เห็นว่าลักษณะพื้นผิวขนาดใหญ่สร้างแรงยกไมโครไฮโดรไดนามิกเพื่อแยกฟิล์มและลดแรงเสียดทาน แต่เฉพาะเมื่อเงื่อนไขการสัมผัสเอื้ออำนวยเท่านั้น^{[ 14 ]}

แบบจำลองการไหลเฉลี่ยของ Patir และ Cheng ^{[ 8 ] [ 9 ]}มักจะเชื่อมโยงกับแบบจำลองปฏิสัมพันธ์พื้นผิวหยาบของ Greenwood และ Tripp ^{[ 15 ]}สำหรับการสร้างแบบจำลองปฏิสัมพันธ์ของพื้นผิวหยาบในการสัมผัสที่มีภาระ^{[ 10 ] [ 16 ]}