ในเรขาคณิตและกลศาสตร์ แบบไม่ต่อเนื่อง ความแข็งแกร่งของโครงสร้างเป็นทฤษฎีเชิงการจัดเรียงเพื่อทำนายความยืดหยุ่นของกลุ่มที่เกิดจากวัตถุแข็งที่เชื่อมต่อกันด้วยข้อต่อหรือบานพับที่ ยืดหยุ่น ได้

ความแข็งแกร่งคือคุณสมบัติของโครงสร้างที่ไม่สามารถโค้งงอหรือบิดเบี้ยวได้เมื่อมีแรงมากระทำ สิ่งที่ตรงข้ามกับความแข็งแกร่งคือความยืดหยุ่นในทฤษฎีความแข็งแกร่งของโครงสร้าง โครงสร้างเกิดจากการรวมกันของวัตถุที่เป็นวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งมักจะถือว่ามีรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย เช่น แท่งตรง (ส่วนของเส้นตรง) โดยมีวัตถุเป็นคู่ๆ เชื่อมต่อกันด้วยข้อต่อที่ยืดหยุ่นได้ โครงสร้างจะแข็งแกร่งหากไม่สามารถโค้งงอได้ กล่าวคือ หากไม่มีการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่องของโครงสร้างที่รักษารูปทรงของส่วนประกอบที่แข็งเกร็งและรูปแบบการเชื่อมต่อที่ข้อต่อไว้

ความแข็งแกร่งมีอยู่สองประเภทที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน ความแข็งแกร่ง แบบจำกัดหรือแบบมหภาคหมายความว่าโครงสร้างจะไม่โค้งงอ พับ หรือบิดเบี้ยวในปริมาณที่เป็นบวก ความแข็งแกร่งแบบเล็กน้อยหมายความว่าโครงสร้างจะไม่โค้งงอแม้ในปริมาณที่เล็กเกินกว่าจะตรวจจับได้แม้ในทางทฤษฎี (ในทางเทคนิค นั่นหมายความว่าสมการเชิงอนุพันธ์บางสมการไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์) ความสำคัญของความแข็งแกร่งแบบจำกัดนั้นชัดเจน แต่ความแข็งแกร่งแบบเล็กน้อยก็มีความสำคัญเช่นกัน เพราะความยืดหยุ่นแบบเล็กน้อยในทางทฤษฎีสอดคล้องกับการโค้งงอเล็กน้อยในโลกแห่งความเป็นจริง และการเสื่อมสภาพของโครงสร้างที่ตามมา

กราฟแข็ง (rigid graph) คือการฝังกราฟในปริภูมิยุคลิดซึ่งมีโครงสร้างแข็ง^{[ 1 ]}กล่าวคือ กราฟจะแข็งก็ต่อเมื่อโครงสร้างที่เกิดจากการแทนที่ขอบด้วยแท่งแข็งและจุดยอดด้วยบานพับที่ยืดหยุ่นนั้นแข็ง กราฟที่ไม่แข็งเรียกว่ากราฟยืดหยุ่น กล่าว อย่างเป็นทางการมากขึ้น การฝังกราฟจะยืดหยุ่นก็ต่อเมื่อจุดยอดสามารถเคลื่อนย้ายได้อย่างต่อเนื่องโดยรักษาระยะห่างระหว่างจุดยอดที่อยู่ติดกันไว้ ส่งผลให้ระยะห่างระหว่างจุดยอดที่ไม่ติดกันบางจุดเปลี่ยนแปลงไป^{[ 2 ]} เงื่อนไขหลังนี้ตัดความเป็นไปได้ ของการสอดคล้องกันแบบยุคลิดเช่น การเลื่อนและการหมุนแบบง่ายๆ ออกไป

นอกจากนี้ ยังสามารถพิจารณาปัญหาความแข็งแกร่งสำหรับกราฟที่ขอบบางส่วนแสดงถึงองค์ประกอบการบีบอัด (สามารถยืดออกได้ยาวขึ้น แต่ไม่สามารถหดลงได้) ในขณะที่ขอบอื่นๆ แสดงถึงองค์ประกอบการดึง (สามารถหดลงได้ แต่ไม่สามารถยืดออกได้) กราฟที่แข็งแกร่งซึ่งมีขอบประเภทเหล่านี้จะก่อให้เกิดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของโครงสร้าง เทนเซกริตี

นอกจากนี้ ความแข็งแกร่งยังสามารถกำหนดได้ภายใต้ข้อจำกัดของมุมภายในระหว่างขอบแทนที่จะเป็นระยะทางบนขอบ ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าความแข็งแกร่งเชิงมุมในระนาบ เฟรมเวิร์กที่มีความแข็งแกร่งเชิงมุมน้อยที่สุดและเป็นรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะเฉพาะด้วยL-trigraphsซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขความเบาบางที่กำหนดให้จำนวนสามเหลี่ยมต้องน้อยกว่าจำนวนจุดยอดสองจุดพอดี พร้อมกับคุณสมบัติการสืบทอดที่คล้ายคลึงกันสำหรับโครงสร้างย่อยที่เหนี่ยวนำทั้งหมด อันที่จริง เงื่อนไข L-trigraph ได้รับแรงบันดาลใจจากเงื่อนไขกราฟ Laman ซึ่งมีบทบาทคล้ายกันในความแข็งแกร่งเชิงมุมและความแข็งแกร่งเชิงระยะทางตามลำดับ^{[ 3 ]}

ปัญหาพื้นฐานคือวิธีการทำนายความแข็งแกร่งของโครงสร้างโดยการวิเคราะห์ทางทฤษฎีโดยไม่ต้องสร้างโครงสร้างนั้นขึ้นมาจริง ผลลัพธ์สำคัญในด้านนี้ได้แก่:

• ในมิติใดก็ตาม ความแข็งแกร่งของกลไกแบบก้านและบานพับจะถูกอธิบายด้วยเมทริกซ์ ความแข็งแกร่ง ฐานของเมทริกซ์ความแข็งแกร่ง สองมิติ (กราฟความแข็งแกร่งน้อยที่สุดในระนาบ) คือกราฟลามาน
• ทฤษฎีบทของโคชี กล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามมิติที่สร้างขึ้นโดยใช้แผ่นแข็งเป็นหน้าตัด และเชื่อมต่อกันด้วยบานพับตามขอบ จะเป็นโครงสร้างที่แข็งแรง
• ทรงหลายเหลี่ยมยืดหยุ่นซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนและไม่แข็งทื่อ ถูกสร้างขึ้นโดยราอูล บริคาร์ด , โรเบิร์ต คอนเนลลีและคนอื่นๆสมมติฐานเรื่องลูกสูบ ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว ระบุว่า การเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องทุกรูปแบบของทรงหลายเหลี่ยมยืดหยุ่นจะรักษาระดับปริมาตร ของมัน ไว้
• ใน ปัญหา การค้ำยันแบบตารางซึ่งโครงสร้างที่จะทำให้แข็งแรงคือตารางสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเพิ่มเติมเป็นค้ำยันขวางความแข็งแกร่งของโครงสร้างสามารถวิเคราะห์ได้โดยการแปลงเป็นปัญหาเกี่ยวกับการเชื่อมต่อของกราฟสองส่วนพื้นฐาน^{[ 4 ] [ 5 ]}

อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์ง่ายๆ อื่นๆ อีกมากมาย ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าจะวิเคราะห์ความแข็งแกร่งของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร แม้ว่าจะมีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มากมายอยู่แล้วก็ตาม

เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์นักฟิสิกส์ เป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของโครงสร้างช่วงปลายศตวรรษที่ 20 เป็นช่วงที่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความแข็งแกร่งเฟื่องฟู และยังคงพัฒนาต่อเนื่องมาจนถึงศตวรรษที่ 21

"[ทฤษฎี] สมดุลและการโก่งตัวของโครงสร้างที่อยู่ภายใต้การกระทำของแรงนั้นกระทำต่อความแข็งของคุณภาพ... ในกรณีที่โครงสร้าง... ได้รับการเสริมความแข็งแรงด้วยชิ้นส่วนเชื่อมต่อเพิ่มเติม... ในกรณีสามมิติ โดยวิธีปกติของสมการแรง ทุกจุดจะมีสามสมการเพื่อกำหนดสมดุล เพื่อให้ได้ 3s สมการระหว่าง ปริมาณที่ไม่ทราบค่า eถ้าsคือจำนวนจุดและeคือจำนวนการเชื่อมต่อ[sic] อย่างไรก็ตาม มีสมการสมดุลของระบบหกสมการที่ต้องได้รับการเติมเต็มโดยแรงอย่างแน่นอน เนื่องมาจากความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยาในแต่ละชิ้นส่วน ดังนั้น ถ้าe  = 3s  − 6 ผลของแรงภายนอกใดๆ จะแน่นอนในการสร้างแรงตึงหรือแรงกดในชิ้นส่วนต่างๆ แต่ถ้าe  > 3s  − 6 แรงเหล่านี้จะไม่สามารถกำหนดได้...." ^{[ 6 ]}

• เกณฑ์เชบีเชฟ-กรุบเลอร์-คุทซ์บัค
• การพึ่งพาเฟรมเวิร์ก
• ทฤษฎีบทสากลของเคมเป้