ไรน์เดล มิกซ์คอลัมน์

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไรน์เดล มิกซ์คอลัมน์

การดำเนิน การ MixColumnsที่ใช้ใน การเข้ารหัส Rijndaelหรือมาตรฐานการเข้ารหัสขั้นสูง (Advanced Encryption Standard)ร่วมกับขั้นตอน ShiftRows เป็นแหล่งกระจายข้อมูล หลัก

Q: การคูณพหุนาม

สำหรับ พหุนาม คงที่ และคอลัมน์ของไบต์เราสามารถคูณทั้งสองเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: เอ ( x ) {\displaystyle a(x)} ข ( x ) {\displaystyle b(x)}

การดำเนิน การ MixColumnsที่ใช้ใน การเข้ารหัส Rijndaelหรือมาตรฐานการเข้ารหัสขั้นสูง (Advanced Encryption Standard)ร่วมกับขั้นตอน ShiftRows เป็นแหล่งกระจายข้อมูล หลัก แต่ละคอลัมน์ของไบต์จะถูกมองว่าเป็นพหุนามสี่พจน์โดยแต่ละไบต์แทนองค์ประกอบในฟิลด์ Galoisสัมประสิทธิ์เป็นองค์ประกอบภายในฟิลด์ย่อย จำนวน เฉพาะ $b(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}$ $\operatorname {GF} (2^{8})$ $\operatorname {GF} (2)$

แต่ละคอลัมน์จะถูกคูณด้วยพหุนามคงที่โมดู ลัส ; ฟังก์ชันผกผันคือ. $a(x)=3x^{3}+x^{2}+x+2$ $x^{4}+1$ $a^{-1}(x)=11x^{3}+13x^{2}+9x+14$

สาธิต

การดำเนินการ MixColumns จะใช้พหุนามคงที่ซึ่งจะแสดงเป็นเราสังเกตว่าในมีค่าคงที่ที่สอดคล้องกันอยู่ จากนั้น มีหลายวิธีในการเรียกใช้ฟังก์ชัน ในที่นี้ การดำเนินการสามารถแสดงได้ในรูปของการคูณพหุนามและการคูณเมทริกซ์ไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะใช้การดำเนินการแบบเอ็กซ์คลูซีฟหรือเสมอ $a(x)=3x^{3}+x^{2}+x+2$ $a(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ $a(x)$ ${\begin{bmatrix}3&1&1&2\end{bmatrix}}$ $\oplus$

การคูณพหุนาม

สำหรับพหุนาม คงที่ และคอลัมน์ของไบต์เราสามารถคูณทั้งสองเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $a(x)$ $b(x)$

{\begin{aligned}a(x)\bullet b(x)=c(x)&=\left(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\bullet \left(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\right)\\&=c_{6}x^{6}+c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\end{aligned}}

เราจะเห็นว่าเป็นพหุนามเจ็ดพจน์ โดยที่ค่าคงที่ของพหุนามนี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: $c(x)$ $c_{0}$ $c_{6}$

{\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}\bullet b_{0}\\c_{1}&=a_{1}\bullet b_{0}\oplus a_{0}\bullet b_{1}\\c_{2}&=a_{2}\bullet b_{0}\oplus a_{1}\bullet b_{1}\oplus a_{0}\bullet b_{2}\\c_{3}&=a_{3}\bullet b_{0}\oplus a_{2}\bullet b_{1}\oplus a_{1}\bullet b_{2}\oplus a_{0}\bullet b_{3}\\c_{4}&=a_{3}\bullet b_{1}\oplus a_{2}\bullet b_{2}\oplus a_{1}\bullet b_{3}\\c_{5}&=a_{3}\bullet b_{2}\oplus a_{2}\bullet b_{3}\\c_{6}&=a_{3}\bullet b_{3}\end{aligned}}

การลดแบบโมดูลาร์

เนื่องจาก AES ทำงานกับ "เวิร์ด" ขนาดสี่ไบต์ และการโอเวอร์โฟลว์ใดๆ ก็อาจทำให้ขั้นตอนวิธีล้มเหลวได้จึงต้องลดขนาดเวิร์ดให้เหลือขนาดสี่ไบต์ ซึ่งทำได้โดยการ คูณ แบบโมดูลัสกับ $c(x)$ $x^{4}+1$

อีกวิธีหนึ่งในการป้องกันการล้นคือการพิจารณาแต่ละไบต์เป็นองค์ประกอบในฟิลด์กาโลอิส ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ในฟิลด์จำกัดนี้ ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ การหาร จะให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข 8 บิตเสมอ หากเราทำการคำนวณมอดูลาร์พหุนามพื้นฐานบางอย่าง เราจะเห็นได้ว่า: $\operatorname {GF} (2^{8})$

{\begin{aligned}x^{6}{\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}&=-x^{2}=x^{2}{\text{ over }}\operatorname {GF} \left(2^{8}\right)\\x^{5}{\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}&=-x=x{\text{ over }}\operatorname {GF} \left(2^{8}\right)\\x^{4}{\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}&=-1=1{\text{ over }}\operatorname {GF} \left(2^{8}\right)\end{aligned}}

โดยทั่วไป เราสามารถกล่าวได้ว่า สำหรับค่าใดๆแล้ว $i\leq 6$ $x^{i}{\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}=x^{i{\bmod {4}}}.$

จากตรงนี้ เราคำนวณการคูณพหุนามโมดูลัสของและเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้: $a(x)$ $b(x)$

{\begin{aligned}d(x)=a(x)\otimes b(x)&=c(x){\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}\\&=\left(c_{6}x^{6}+c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\right){\bmod {\left(x^{4}+1\right)}}\\&=c_{6}x^{6{\bmod {4}}}+c_{5}x^{5{\bmod {4}}}+c_{4}x^{4{\bmod {4}}}+c_{3}x^{3{\bmod {4}}}+c_{2}x^{2{\bmod {4}}}+c_{1}x^{1{\bmod {4}}}+c_{0}x^{0{\bmod {4}}}\\&=c_{6}x^{2}+c_{5}x+c_{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\\&=c_{3}x^{3}+\left(c_{2}\oplus c_{6}\right)x^{2}+\left(c_{1}\oplus c_{5}\right)x+c_{0}\oplus c_{4}\\&=d_{3}x^{3}+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}\end{aligned}}

ที่ไหน

d_{0}=c_{0}\oplus c_{4}

d_{1}=c_{1}\oplus c_{5}

d_{2}=c_{2}\oplus c_{6}

d_{3}=c_{3}

การแสดงผลแบบเมทริกซ์

ในที่นี้ ให้เป็นไบต์เอาต์พุตของการดำเนินการ สัมประสิทธิ์, , และสามารถแสดงได้ดังนี้: $d_{n}$ $d_{3}$ $d_{2}$ $d_{1}$ $d_{0}$

d_{0}=a_{0}\bullet b_{0}\oplus a_{3}\bullet b_{1}\oplus a_{2}\bullet b_{2}\oplus a_{1}\bullet b_{3}

d_{1}=a_{1}\bullet b_{0}\oplus a_{0}\bullet b_{1}\oplus a_{3}\bullet b_{2}\oplus a_{2}\bullet b_{3}

d_{2}=a_{2}\bullet b_{0}\oplus a_{1}\bullet b_{1}\oplus a_{0}\bullet b_{2}\oplus a_{3}\bullet b_{3}

d_{3}=a_{3}\bullet b_{0}\oplus a_{2}\bullet b_{1}\oplus a_{1}\bullet b_{2}\oplus a_{0}\bullet b_{3}

และเมื่อเราแทนที่สัมประสิทธิ์ของด้วยค่าคงที่ที่ใช้ในการเข้ารหัส เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $a(x)$ ${\begin{bmatrix}3&1&1&2\end{bmatrix}}$

d_{0}=2\bullet b_{0}\oplus 3\bullet b_{1}\oplus 1\bullet b_{2}\oplus 1\bullet b_{3}

d_{1}=1\bullet b_{0}\oplus 2\bullet b_{1}\oplus 3\bullet b_{2}\oplus 1\bullet b_{3}

d_{2}=1\bullet b_{0}\oplus 1\bullet b_{1}\oplus 2\bullet b_{2}\oplus 3\bullet b_{3}

d_{3}=3\bullet b_{0}\oplus 1\bullet b_{1}\oplus 1\bullet b_{2}\oplus 2\bullet b_{3}

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการดำเนินการนั้นคล้ายคลึงกับการเข้ารหัสแบบฮิลล์สามารถทำได้โดยการคูณเวกเตอร์พิกัดของตัวเลขสี่ตัวในฟิลด์กาโลอิสของไรน์เดลด้วยเมทริกซ์ MDS แบบ วงกลม ต่อไปนี้ :

{\begin{bmatrix}d_{0}\\d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&1&1\\1&2&3&1\\1&1&2&3\\3&1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}

ตัวอย่างการนำไปใช้

ในการใช้งานจริง สามารถลดความซับซ้อนลงได้บ้างโดยการแทนที่การคูณด้วย 2 ด้วยการเลื่อนบิตเพียงครั้งเดียวและการใช้ตัวดำเนินการ OR แบบมีเงื่อนไข และแทนที่การคูณด้วย 3 ด้วยการคูณด้วย 2 ร่วมกับการใช้ตัวดำเนินการ OR แบบมีเงื่อนไขตัวอย่างการใช้งานในภาษาC มีดังต่อไปนี้:

void gmix_column ( unsigned char * r ) {อักขระที่ไม่มีเครื่องหมายa [ 4 ];อักขระที่ไม่ระบุb [ 4 ];อักขระไม่ระบุเครื่องหมายc ;อักขระที่ไม่ระบุ เครื่องหมาย h ;/* อาร์เรย์ 'a' เป็นเพียงสำเนาของอาร์เรย์อินพุต 'r' */ * อาร์เรย์ 'b' คือค่าของแต่ละองค์ประกอบในอาร์เรย์ 'a' คูณด้วย 2 * ในฟิลด์กาโลอิสของไรน์เดล * a[n] ^ b[n] คือสมาชิก n คูณด้วย 3 ในฟิลด์กาโลอิสของ Rijndael */สำหรับ( c = 0 ; c < 4 ; c ++ ) {a [ c ] = r [ c ];/* h จะถูกตั้งค่าเป็น 0x01 ถ้าบิตสูงสุดของ r[c] ถูกตั้งค่า มิเช่นนั้นจะเป็น 0x00 */h = r [ c ] >> 7 ; /* การเลื่อนบิตไปทางขวาเชิงตรรกะ ดังนั้นจึงเลื่อนบิตเข้ามาเป็นศูนย์ */b [ c ] = r [ c ] << 1 ; /* ลบค่าบิตสูงออกโดยปริยาย เนื่องจาก b[c] เป็นอักขระ 8 บิต ดังนั้นเราจึงทำการ XOR กับ 0x1b ไม่ใช่ 0x11b ในบรรทัดถัดไป */b [ c ] ^= h * 0x1B ; /* ฟิลด์กาโลอิสของ Rijndael */}r [ 0 ] = b [ 0 ] ^ a [ 3 ] ^ a [ 2 ] ^ b [ 1 ] ^ a [ 1 ]; /* 2 * a0 + a3 + a2 + 3 * a1 */r [ 1 ] = b [ 1 ] ^ a [ 0 ] ^ a [ 3 ] ^ b [ 2 ] ^ a [ 2 ]; /* 2 * a1 + a0 + a3 + 3 * a2 */r [ 2 ] = b [ 2 ] ^ a [ 1 ] ^ a [ 0 ] ^ b [ 3 ] ^ a [ 3 ]; /* 2 * a2 + a1 + a0 + 3 * a3 */r [ 3 ] = b [ 3 ] ^ a [ 2 ] ^ a [ 1 ] ^ b [ 0 ] ^ a [ 0 ]; /* 2 * a3 + a2 + a1 + 3 * a0 */}

ตัวอย่าง AC#

// ฟิลด์กาโลอิส (256) การคูณของสองไบต์GMul ไบต์ส่วนตัว( ไบต์a , ไบต์b ){ไบต์p = 0 ;สำหรับ( int counter = 0 ; counter < 8 ; counter ++ ){ถ้า(( b & 1 ) != 0 ){p ^= a ;}bool hi_bit_set = ( a & 0x80 ) != 0 ;a <<= 1 ;ถ้า( hi_bit_set ){a ^= 0x1B ; /* x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 */}b >>= 1 ;}ส่งคืนค่าp ;}// 's' คือเมทริกซ์สถานะหลัก 'ss' คือเมทริกซ์ชั่วคราวที่มีมิติเท่ากับ 's'private void MixColumns (){อาร์เรย์. เคลียร์( ss , 0 , ss.Length ) ;สำหรับ( int c = 0 ; c < 4 ; c ++ ){ss [ 0 , c ] = ( byte )( GMul ( 0x02 , s [ 0 , c ]) ^ GMul ( 0x03 , s [ 1 , c ]) ^ s [ 2 , c ] ^ s [ 3 , c ]);ss [ 1 , c ] = ( byte )( s [ 0 , c ] ^ GMul ( 0x02 , s [ 1 , c ]) ^ GMul ( 0x03 , s [ 2 , c ]) ^ s [ 3 , c ]);ss [ 2 , c ] = ( byte )( s [ 0 , c ] ^ s [ 1 , c ] ^ GMul ( 0x02 , s [ 2 , c ]) ^ GMul ( 0x03 , s [ 3 , c ]));ss [ 3 , c ] = ( byte )( GMul ( 0x03 , s [ 0 , c ]) ^ s [ 1 , c ] ^ s [ 2 , c ] ^ GMul ( 0x02 , s [ 3 , c ]));}ss.CopyTo ( s , 0 ) ;}

เวกเตอร์ทดสอบสำหรับ MixColumn()

เลขฐานสิบหก		ทศนิยม
ก่อน	หลังจาก	ก่อน	หลังจาก
`63 47 a2 f0`	`5d e0 70 bb`	99 71 162 240	93 224 112 187
`f2 0a 22 5c`	`9f dc 58 9d`	242 10 34 92	159 220 88 157
`01 01 01 01`	`01 01 01 01`	1 1 1 1	1 1 1 1
`c6 c6 c6 c6`	`c6 c6 c6 c6`	198 198 198 198	198 198 198 198
`d4 d4 d4 d5`	`d5 d5 d7 d6`	212 212 212 213	213 213 215 214
`2d 26 31 4c`	`4d 7e bd f8`	45 38 49 76	77 126 189 248

อินเวอร์สมิกซ์คอลัมน์

การดำเนินการ MixColumns มีการดำเนินการผกผันดังต่อไปนี้ (ตัวเลขเป็นทศนิยม):

{\begin{bmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&11&13&9\\9&14&11&13\\13&9&14&11\\11&13&9&14\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{0}\\d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

หรือ:

{\begin{aligned}b_{0}&=14\bullet d_{0}\oplus 11\bullet d_{1}\oplus 13\bullet d_{2}\oplus 9\bullet d_{3}\\b_{1}&=9\bullet d_{0}\oplus 14\bullet d_{1}\oplus 11\bullet d_{2}\oplus 13\bullet d_{3}\\b_{2}&=13\bullet d_{0}\oplus 9\bullet d_{1}\oplus 14\bullet d_{2}\oplus 11\bullet d_{3}\\b_{3}&=11\bullet d_{0}\oplus 13\bullet d_{1}\oplus 9\bullet d_{2}\oplus 14\bullet d_{3}\end{aligned}}

ตารางค้นหาสูตรคูณ Galois

โดยทั่วไปแล้ว แทนที่จะใช้การคูณแบบกาโลอิส การใช้งานแบบ Rijndael จะใช้ตารางค้นหาที่คำนวณไว้ล่วงหน้าเพื่อทำการคูณไบต์ด้วย 2, 3, 9, 11, 13 และ 14

ตัวอย่างเช่น ใน C# ตารางเหล่านี้สามารถจัดเก็บในอาร์เรย์ Byte[256] ได้ เพื่อคำนวณ

พี * 3

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นได้มาด้วยวิธีดังนี้:

ผลลัพธ์ = ตาราง_3[(int)p]

ตัวอย่างการใช้งานตารางค้นหาที่พบได้บ่อยที่สุดมีดังต่อไปนี้:

คูณด้วย 2:

0x00,0x02,0x04,0x06,0x08,0x0a,0x0c,0x0e,0x10,0x12,0x14,0x16,0x18,0x1a,0x1c,0x1e, 0x20,0x22,0x24,0x26,0x28,0x2a,0x2c,0x2e,0x30,0x32,0x34,0x36,0x38,0x3a,0x3c,0x3e, 0x40,0x42,0x44,0x46,0x48,0x4a,0x4c,0x4e,0x50,0x52,0x54,0x56,0x58,0x5a,0x5c,0x5e, 0x60,0x62,0x64,0x66,0x68,0x6a,0x6c,0x6e,0x70,0x72,0x74,0x76,0x78,0x7a,0x7c,0x7e, 0x80,0x82,0x84,0x86,0x88,0x8a,0x8c,0x8e,0x90,0x92,0x94,0x96,0x98,0x9a,0x9c,0x9e, 0xa0,0xa2,0xa4,0xa6,0xa8,0xaa,0xac,0xae,0xb0,0xb2,0xb4,0xb6,0xb8,0xba,0xbc,0xbe, 0xc0,0xc2,0xc4,0xc6,0xc8,0xca,0xcc,0xce,0xd0,0xd2,0xd4,0xd6,0xd8,0xda,0xdc,0xde, 0xe0,0xe2,0xe4,0xe6,0xe8,0xea,0xec,0xee,0xf0,0xf2,0xf4,0xf6,0xf8,0xfa,0xfc,0xfe, 0x1b,0x19,0x1f,0x1d,0x13,0x11,0x17,0x15,0x0b,0x09,0x0f,0x0d,0x03,0x01,0x07,0x05, 0x3b,0x39,0x3f,0x3d,0x33,0x31,0x37,0x35,0x2b,0x29,0x2f,0x2d,0x23,0x21,0x27,0x25, 0x5b,0x59,0x5f,0x5d,0x53,0x51,0x57,0x55,0x4b,0x49,0x4f,0x4d,0x43,0x41,0x47,0x45, 0x7b,0x79,0x7f,0x7d,0x73,0x71,0x77,0x75,0x6b,0x69,0x6f,0x6d,0x63,0x61,0x67,0x65, 0x9b,0x99,0x9f,0x9d,0x93,0x91,0x97,0x95,0x8b,0x89,0x8f,0x8d,0x83,0x81,0x87,0x85, 0xbb,0xb9,0xbf,0xbd,0xb3,0xb1,0xb7,0xb5,0xab,0xa9,0xaf,0xad,0xa3,0xa1,0xa7,0xa5, 0xdb,0xd9,0xdf,0xdd,0xd3,0xd1,0xd7,0xd5,0xcb,0xc9,0xcf,0xcd,0xc3,0xc1,0xc7,0xc5, 0xfb,0xf9,0xff,0xfd,0xf3,0xf1,0xf7,0xf5,0xeb,0xe9,0xef,0xed,0xe3,0xe1,0xe7,0xe5

คูณด้วย 3:

0x00,0x03,0x06,0x05,0x0c,0x0f,0x0a,0x09,0x18,0x1b,0x1e,0x1d,0x14,0x17,0x12,0x11, 0x30,0x33,0x36,0x35,0x3c,0x3f,0x3a,0x39,0x28,0x2b,0x2e,0x2d,0x24,0x27,0x22,0x21, 0x60,0x63,0x66,0x65,0x6c,0x6f,0x6a,0x69,0x78,0x7b,0x7e,0x7d,0x74,0x77,0x72,0x71, 0x50,0x53,0x56,0x55,0x5c,0x5f,0x5a,0x59,0x48,0x4b,0x4e,0x4d,0x44,0x47,0x42,0x41, 0xc0,0xc3,0xc6,0xc5,0xcc,0xcf,0xca,0xc9,0xd8,0xdb,0xde,0xdd,0xd4,0xd7,0xd2,0xd1, 0xf0,0xf3,0xf6,0xf5,0xfc,0xff,0xfa,0xf9,0xe8,0xeb,0xee,0xed,0xe4,0xe7,0xe2,0xe1, 0xa0,0xa3,0xa6,0xa5,0xac,0xaf,0xaa,0xa9,0xb8,0xbb,0xbe,0xbd,0xb4,0xb7,0xb2,0xb1, 0x90,0x93,0x96,0x95,0x9c,0x9f,0x9a,0x99,0x88,0x8b,0x8e,0x8d,0x84,0x87,0x82,0x81, 0x9b,0x98,0x9d,0x9e,0x97,0x94,0x91,0x92,0x83,0x80,0x85,0x86,0x8f,0x8c,0x89,0x8a, 0xab,0xa8,0xad,0xae,0xa7,0xa4,0xa1,0xa2,0xb3,0xb0,0xb5,0xb6,0xbf,0xbc,0xb9,0xba, 0xfb,0xf8,0xfd,0xfe,0xf7,0xf4,0xf1,0xf2,0xe3,0xe0,0xe5,0xe6,0xef,0xec,0xe9,0xea, 0xcb,0xc8,0xcd,0xce,0xc7,0xc4,0xc1,0xc2,0xd3,0xd0,0xd5,0xd6,0xdf,0xdc,0xd9,0xda, 0x5b,0x58,0x5d,0x5e,0x57,0x54,0x51,0x52,0x43,0x40,0x45,0x46,0x4f,0x4c,0x49,0x4a, 0x6b,0x68,0x6d,0x6e,0x67,0x64,0x61,0x62,0x73,0x70,0x75,0x76,0x7f,0x7c,0x79,0x7a, 0x3b,0x38,0x3d,0x3e,0x37,0x34,0x31,0x32,0x23,0x20,0x25,0x26,0x2f,0x2c,0x29,0x2a, 0x0b,0x08,0x0d,0x0e,0x07,0x04,0x01,0x02,0x13,0x10,0x15,0x16,0x1f,0x1c,0x19,0x1a

คูณด้วย 9:

0x00,0x09,0x12,0x1b,0x24,0x2d,0x36,0x3f,0x48,0x41,0x5a,0x53,0x6c,0x65,0x7e,0x77, 0x90,0x99,0x82,0x8b,0xb4,0xbd,0xa6,0xaf,0xd8,0xd1,0xca,0xc3,0xfc,0xf5,0xee,0xe7, 0x3b,0x32,0x29,0x20,0x1f,0x16,0x0d,0x04,0x73,0x7a,0x61,0x68,0x57,0x5e,0x45,0x4c, 0xab,0xa2,0xb9,0xb0,0x8f,0x86,0x9d,0x94,0xe3,0xea,0xf1,0xf8,0xc7,0xce,0xd5,0xdc, 0x76,0x7f,0x64,0x6d,0x52,0x5b,0x40,0x49,0x3e,0x37,0x2c,0x25,0x1a,0x13,0x08,0x01, 0xe6,0xef,0xf4,0xfd,0xc2,0xcb,0xd0,0xd9,0xae,0xa7,0xbc,0xb5,0x8a,0x83,0x98,0x91, 0x4d,0x44,0x5f,0x56,0x69,0x60,0x7b,0x72,0x05,0x0c,0x17,0x1e,0x21,0x28,0x33,0x3a, 0xdd,0xd4,0xcf,0xc6,0xf9,0xf0,0xeb,0xe2,0x95,0x9c,0x87,0x8e,0xb1,0xb8,0xa3,0xaa, 0xec,0xe5,0xfe,0xf7,0xc8,0xc1,0xda,0xd3,0xa4,0xad,0xb6,0xbf,0x80,0x89,0x92,0x9b, 0x7c,0x75,0x6e,0x67,0x58,0x51,0x4a,0x43,0x34,0x3d,0x26,0x2f,0x10,0x19,0x02,0x0b, 0xd7,0xde,0xc5,0xcc,0xf3,0xfa,0xe1,0xe8,0x9f,0x96,0x8d,0x84,0xbb,0xb2,0xa9,0xa0, 0x47,0x4e,0x55,0x5c,0x63,0x6a,0x71,0x78,0x0f,0x06,0x1d,0x14,0x2b,0x22,0x39,0x30, 0x9a,0x93,0x88,0x81,0xbe,0xb7,0xac,0xa5,0xd2,0xdb,0xc0,0xc9,0xf6,0xff,0xe4,0xed, 0x0a,0x03,0x18,0x11,0x2e,0x27,0x3c,0x35,0x42,0x4b,0x50,0x59,0x66,0x6f,0x74,0x7d, 0xa1,0xa8,0xb3,0xba,0x85,0x8c,0x97,0x9e,0xe9,0xe0,0xfb,0xf2,0xcd,0xc4,0xdf,0xd6, 0x31,0x38,0x23,0x2a,0x15,0x1c,0x07,0x0e,0x79,0x70,0x6b,0x62,0x5d,0x54,0x4f,0x46

คูณด้วย 11 (0xB):

0x00,0x0b,0x16,0x1d,0x2c,0x27,0x3a,0x31,0x58,0x53,0x4e,0x45,0x74,0x7f,0x62,0x69, 0xb0,0xbb,0xa6,0xad,0x9c,0x97,0x8a,0x81,0xe8,0xe3,0xfe,0xf5,0xc4,0xcf,0xd2,0xd9, 0x7b,0x70,0x6d,0x66,0x57,0x5c,0x41,0x4a,0x23,0x28,0x35,0x3e,0x0f,0x04,0x19,0x12, 0xcb,0xc0,0xdd,0xd6,0xe7,0xec,0xf1,0xfa,0x93,0x98,0x85,0x8e,0xbf,0xb4,0xa9,0xa2, 0xf6,0xfd,0xe0,0xeb,0xda,0xd1,0xcc,0xc7,0xae,0xa5,0xb8,0xb3,0x82,0x89,0x94,0x9f, 0x46,0x4d,0x50,0x5b,0x6a,0x61,0x7c,0x77,0x1e,0x15,0x08,0x03,0x32,0x39,0x24,0x2f, 0x8d,0x86,0x9b,0x90,0xa1,0xaa,0xb7,0xbc,0xd5,0xde,0xc3,0xc8,0xf9,0xf2,0xef,0xe4, 0x3d,0x36,0x2b,0x20,0x11,0x1a,0x07,0x0c,0x65,0x6e,0x73,0x78,0x49,0x42,0x5f,0x54, 0xf7,0xfc,0xe1,0xea,0xdb,0xd0,0xcd,0xc6,0xaf,0xa4,0xb9,0xb2,0x83,0x88,0x95,0x9e, 0x47,0x4c,0x51,0x5a,0x6b,0x60,0x7d,0x76,0x1f,0x14,0x09,0x02,0x33,0x38,0x25,0x2e, 0x8c,0x87,0x9a,0x91,0xa0,0xab,0xb6,0xbd,0xd4,0xdf,0xc2,0xc9,0xf8,0xf3,0xee,0xe5, 0x3c,0x37,0x2a,0x21,0x10,0x1b,0x06,0x0d,0x64,0x6f,0x72,0x79,0x48,0x43,0x5e,0x55, 0x01,0x0a,0x17,0x1c,0x2d,0x26,0x3b,0x30,0x59,0x52,0x4f,0x44,0x75,0x7e,0x63,0x68, 0xb1,0xba,0xa7,0xac,0x9d,0x96,0x8b,0x80,0xe9,0xe2,0xff,0xf4,0xc5,0xce,0xd3,0xd8, 0x7a,0x71,0x6c,0x67,0x56,0x5d,0x40,0x4b,0x22,0x29,0x34,0x3f,0x0e,0x05,0x18,0x13, 0xca,0xc1,0xdc,0xd7,0xe6,0xed,0xf0,0xfb,0x92,0x99,0x84,0x8f,0xbe,0xb5,0xa8,0xa3

คูณด้วย 13 (0xD):

0x00,0x0d,0x1a,0x17,0x34,0x39,0x2e,0x23,0x68,0x65,0x72,0x7f,0x5c,0x51,0x46,0x4b, 0xd0,0xdd,0xca,0xc7,0xe4,0xe9,0xfe,0xf3,0xb8,0xb5,0xa2,0xaf,0x8c,0x81,0x96,0x9b, 0xbb,0xb6,0xa1,0xac,0x8f,0x82,0x95,0x98,0xd3,0xde,0xc9,0xc4,0xe7,0xea,0xfd,0xf0, 0x6b,0x66,0x71,0x7c,0x5f,0x52,0x45,0x48,0x03,0x0e,0x19,0x14,0x37,0x3a,0x2d,0x20, 0x6d,0x60,0x77,0x7a,0x59,0x54,0x43,0x4e,0x05,0x08,0x1f,0x12,0x31,0x3c,0x2b,0x26, 0xbd,0xb0,0xa7,0xaa,0x89,0x84,0x93,0x9e,0xd5,0xd8,0xcf,0xc2,0xe1,0xec,0xfb,0xf6, 0xd6,0xdb,0xcc,0xc1,0xe2,0xef,0xf8,0xf5,0xbe,0xb3,0xa4,0xa9,0x8a,0x87,0x90,0x9d, 0x06,0x0b,0x1c,0x11,0x32,0x3f,0x28,0x25,0x6e,0x63,0x74,0x79,0x5a,0x57,0x40,0x4d, 0xda,0xd7,0xc0,0xcd,0xee,0xe3,0xf4,0xf9,0xb2,0xbf,0xa8,0xa5,0x86,0x8b,0x9c,0x91, 0x0a,0x07,0x10,0x1d,0x3e,0x33,0x24,0x29,0x62,0x6f,0x78,0x75,0x56,0x5b,0x4c,0x41, 0x61,0x6c,0x7b,0x76,0x55,0x58,0x4f,0x42,0x09,0x04,0x13,0x1e,0x3d,0x30,0x27,0x2a, 0xb1,0xbc,0xab,0xa6,0x85,0x88,0x9f,0x92,0xd9,0xd4,0xc3,0xce,0xed,0xe0,0xf7,0xfa, 0xb7,0xba,0xad,0xa0,0x83,0x8e,0x99,0x94,0xdf,0xd2,0xc5,0xc8,0xeb,0xe6,0xf1,0xfc, 0x67,0x6a,0x7d,0x70,0x53,0x5e,0x49,0x44,0x0f,0x02,0x15,0x18,0x3b,0x36,0x21,0x2c, 0x0c,0x01,0x16,0x1b,0x38,0x35,0x22,0x2f,0x64,0x69,0x7e,0x73,0x50,0x5d,0x4a,0x47, 0xdc,0xd1,0xc6,0xcb,0xe8,0xe5,0xf2,0xff,0xb4,0xb9,0xae,0xa3,0x80,0x8d,0x9a,0x97

คูณด้วย 14 (0xE):

0x00,0x0e,0x1c,0x12,0x38,0x36,0x24,0x2a,0x70,0x7e,0x6c,0x62,0x48,0x46,0x54,0x5a, 0xe0,0xee,0xfc,0xf2,0xd8,0xd6,0xc4,0xca,0x90,0x9e,0x8c,0x82,0xa8,0xa6,0xb4,0xba, 0xdb,0xd5,0xc7,0xc9,0xe3,0xed,0xff,0xf1,0xab,0xa5,0xb7,0xb9,0x93,0x9d,0x8f,0x81, 0x3b,0x35,0x27,0x29,0x03,0x0d,0x1f,0x11,0x4b,0x45,0x57,0x59,0x73,0x7d,0x6f,0x61, 0xad,0xa3,0xb1,0xbf,0x95,0x9b,0x89,0x87,0xdd,0xd3,0xc1,0xcf,0xe5,0xeb,0xf9,0xf7, 0x4d,0x43,0x51,0x5f,0x75,0x7b,0x69,0x67,0x3d,0x33,0x21,0x2f,0x05,0x0b,0x19,0x17, 0x76,0x78,0x6a,0x64,0x4e,0x40,0x52,0x5c,0x06,0x08,0x1a,0x14,0x3e,0x30,0x22,0x2c, 0x96,0x98,0x8a,0x84,0xae,0xa0,0xb2,0xbc,0xe6,0xe8,0xfa,0xf4,0xde,0xd0,0xc2,0xcc, 0x41,0x4f,0x5d,0x53,0x79,0x77,0x65,0x6b,0x31,0x3f,0x2d,0x23,0x09,0x07,0x15,0x1b, 0xa1,0xaf,0xbd,0xb3,0x99,0x97,0x85,0x8b,0xd1,0xdf,0xcd,0xc3,0xe9,0xe7,0xf5,0xfb, 0x9a,0x94,0x86,0x88,0xa2,0xac,0xbe,0xb0,0xea,0xe4,0xf6,0xf8,0xd2,0xdc,0xce,0xc0, 0x7a,0x74,0x66,0x68,0x42,0x4c,0x5e,0x50,0x0a,0x04,0x16,0x18,0x32,0x3c,0x2e,0x20, 0xec,0xe2,0xf0,0xfe,0xd4,0xda,0xc8,0xc6,0x9c,0x92,0x80,0x8e,0xa4,0xaa,0xb8,0xb6, 0x0c,0x02,0x10,0x1e,0x34,0x3a,0x28,0x26,0x7c,0x72,0x60,0x6e,0x44,0x4a,0x58,0x56, 0x37,0x39,0x2b,0x25,0x0f,0x01,0x13,0x1d,0x47,0x49,0x5b,0x55,0x7f,0x71,0x63,0x6d, 0xd7,0xd9,0xcb,0xc5,0xef,0xe1,0xf3,0xfd,0xa7,0xa9,0xbb,0xb5,0x9f,0x91,0x83,0x8d