ความแข็งแกร่งทนทานซึ่งหมายถึงความสามารถในการทนต่อความล้มเหลวและการรบกวนเป็นคุณลักษณะที่สำคัญยิ่งของระบบที่ซับซ้อน หลายระบบ รวมถึงเครือข่ายที่ซับซ้อนด้วย

การศึกษาความแข็งแกร่งในเครือข่ายที่ซับซ้อนมีความสำคัญต่อหลายสาขา ในด้านนิเวศวิทยาความแข็งแกร่งเป็นคุณลักษณะที่สำคัญของระบบนิเวศ และสามารถให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปฏิกิริยาต่อการรบกวนเช่น การสูญพันธุ์ของสายพันธุ์^{[ 1 ]}สำหรับนักชีววิทยาความแข็งแกร่งของเครือข่ายสามารถช่วยในการศึกษาโรคและการกลายพันธุ์และวิธีการฟื้นตัวจากการกลายพันธุ์บางอย่าง^{[ 2 ]}ในด้านเศรษฐศาสตร์หลักการความแข็งแกร่งของเครือข่ายสามารถช่วยให้เข้าใจถึงเสถียรภาพและความเสี่ยงของระบบธนาคาร^{[ 3 ]}และในด้านวิศวกรรมความแข็งแกร่งของเครือข่ายสามารถช่วยประเมินความยืดหยุ่นของ เครือข่าย โครงสร้างพื้นฐานเช่นอินเทอร์เน็ตหรือ โครง ข่ายไฟฟ้า^{[ 4 ]}

หัวใจสำคัญของความทนทานในเครือข่ายที่ซับซ้อนคือการตอบสนองของเครือข่ายต่อการลบโหนดหรือลิงก์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการดังกล่าวสามารถมองได้ว่าเป็นกระบวนการแพร่กระจายแบบผกผันทฤษฎีการแพร่กระจายจำลองกระบวนการวางก้อนกรวดแบบสุ่มบนโครงข่าย n มิติด้วยความน่าจะเป็น p และทำนายการก่อตัวอย่างฉับพลันของกลุ่มก้อนขนาดใหญ่กลุ่มเดียวที่ความน่าจะเป็นวิกฤต${\displaystyle p_{c}}$[ ^{5 ] ในทฤษฎีการซึมผ่าน กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มที่ซึมผ่าน ปรากฏการณ์นี้ได้รับการวัดปริมาณในทฤษฎีการ ซึม}ผ่านด้วยปริมาณต่างๆ เช่น ขนาดเฉลี่ยของกลุ่ม${\displaystyle \langle s\rangle }$ปริมาณนี้แสดงถึงขนาดเฉลี่ยของกลุ่มข้อมูลจำกัดทั้งหมด และกำหนดโดยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle s\rangle \sim \left|p-p_{c}\right|^{\gamma _{p}}\end{aligned}}}$

เราจะเห็นว่าขนาดคลัสเตอร์เฉลี่ยเบี่ยงเบนอย่างกะทันหันบริเวณความน่าจะเป็นวิกฤต ซึ่งบ่งชี้ถึงการก่อตัวของคลัสเตอร์ขนาดใหญ่เพียงคลัสเตอร์เดียว นอกจากนี้ยังเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องสังเกตว่าเลขชี้กำลัง${\displaystyle \gamma _{p}}$เป็นสิ่งที่ใช้ได้กับแลตทิซทุกประเภท ในขณะที่${\displaystyle p_{c}}$ไม่ใช่ นี่เป็นสิ่งสำคัญเพราะมันบ่งชี้ถึง พฤติกรรม การเปลี่ยนเฟส ที่เป็นสากล ณ จุดที่ขึ้นอยู่กับโทโพโลยี ปัญหาความทนทานในเครือข่ายที่ซับซ้อนสามารถมองได้ว่าเริ่มต้นจากกลุ่มที่แพร่กระจาย และการกำจัดเศษส่วนที่สำคัญของก้อนกรวดเพื่อให้กลุ่มนั้นแตกสลาย คล้ายกับการก่อตัวของกลุ่มที่แพร่กระจายในทฤษฎีการแพร่กระจาย การแตกสลายของเครือข่ายที่ซับซ้อนเกิดขึ้นอย่างฉับพลันในระหว่างการเปลี่ยนเฟส ณ เศษส่วนที่สำคัญของโหนดที่ถูกกำจัดออกไป

การคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับเกณฑ์ที่เครือข่ายที่ซับซ้อนจะสูญเสียส่วนประกอบขนาดใหญ่ นั้น ขึ้นอยู่กับเกณฑ์ของMolloy –Reed ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa \equiv {\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}>2\end{aligned}}}$

เกณฑ์ Molloy–Reed มาจากหลักการพื้นฐานที่ว่า เพื่อให้ส่วนประกอบขนาดใหญ่มีอยู่ได้ โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละโหนดในเครือข่ายจะต้องมีลิงก์อย่างน้อยสองลิงก์ ซึ่งเปรียบเสมือนคนสองคนจับมือกันเพื่อสร้างเป็นโซ่ โดยใช้เกณฑ์นี้และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่ซับซ้อน เรา สามารถหาค่าเกณฑ์วิกฤตสำหรับเศษส่วนของโหนดที่ต้องถูกลบออกเพื่อให้ส่วนประกอบขนาดใหญ่ของเครือข่ายที่ซับซ้อนแตกสลายได้^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{c}=1-{\frac {1}{{\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}-1}}\end{aligned}}}$

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของข้อค้นพบนี้คือ เกณฑ์วิกฤตขึ้นอยู่กับโมเมนต์แรกและโมเมนต์ที่สองของการกระจายระดับดีกรี เท่านั้น และใช้ได้กับการกระจายระดับดีกรีใดๆ ก็ตาม

แม้ว่าเครือข่ายแบบไร้สเกลจะมีความยืดหยุ่นต่อความล้มเหลวแบบสุ่ม แต่เราอาจจินตนาการได้ว่าเครือข่ายเหล่านี้ค่อนข้างเปราะบางต่อการกำจัดฮับแบบกำหนดเป้าหมาย ในกรณีนี้ เราจะพิจารณาความแข็งแกร่งของเครือข่ายแบบไร้สเกลในการตอบสนองต่อการโจมตีแบบกำหนดเป้าหมาย ซึ่งดำเนินการโดยมีความรู้เบื้องต้นอย่างละเอียดเกี่ยวกับโทโพโลยีของเครือข่าย โดยการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากการกำจัดฮับ โดยเฉพาะการเปลี่ยนแปลงในระดับสูงสุดและระดับของโหนดที่เชื่อมต่อ เราสามารถหาสูตรอื่นสำหรับเกณฑ์วิกฤตโดยพิจารณาการโจมตีแบบกำหนดเป้าหมายบนเครือข่ายแบบไร้สเกลได้^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{c}^{\frac {2-\gamma }{1-\gamma }}=2+{\frac {2-\gamma }{3-\gamma }}K_{min}(f_{c}^{\frac {3-\gamma }{1-\gamma }}-1)\end{aligned}}}$

สมการนี้ไม่สามารถหาคำตอบได้โดยวิธีวิเคราะห์ แต่สามารถแสดงเป็นกราฟได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข โดยสรุปประเด็นสำคัญคือ เมื่อค่าแกมมามีขนาดใหญ่ เครือข่ายจะทำงานเหมือนเครือข่ายแบบสุ่ม และความทนทานต่อการโจมตีจะคล้ายกับความทนทานต่อความล้มเหลวแบบสุ่มของเครือข่ายแบบสุ่ม อย่างไรก็ตาม เมื่อค่าแกมมามีขนาดเล็กกว่า เกณฑ์วิกฤตสำหรับการโจมตีบนเครือข่ายแบบไร้มาตราส่วนจะมีขนาดเล็กลง ซึ่งบ่งชี้ถึงจุดอ่อนต่อการโจมตีแบบเจาะจงเป้าหมาย

สำหรับข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความทนทานต่อการโจมตีของเครือข่ายที่ซับซ้อน โปรดดูที่หน้าความทนทานต่อการโจมตี

แง่มุมที่สำคัญของความล้มเหลวในเครือข่ายจำนวนมากคือ ความล้มเหลวเพียงครั้งเดียวในโหนดหนึ่งอาจทำให้เกิดความล้มเหลวในโหนดข้างเคียง เมื่อความล้มเหลวจำนวนเล็กน้อยทำให้เกิดความล้มเหลวมากขึ้น ส่งผลให้มีจำนวนความล้มเหลวมากเมื่อเทียบกับขนาดของเครือข่าย จะเกิด ความล้มเหลวแบบต่อเนื่องขึ้นมีแบบจำลองมากมายสำหรับความล้มเหลวแบบต่อเนื่อง^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}แบบจำลองเหล่านี้แตกต่างกันในรายละเอียดหลายประการ และจำลองปรากฏการณ์การแพร่กระจายทางกายภาพที่แตกต่างกัน ตั้งแต่ไฟฟ้าดับไปจนถึงการไหลของข้อมูลผ่านTwitter แต่มีหลักการร่วมกันบาง ^{ประการ}แต่ละแบบจำลองมุ่งเน้นไปที่การแพร่กระจายหรือการต่อเนื่องบางประเภท มีเกณฑ์บางอย่างที่กำหนดว่าเมื่อใดโหนดจะล้มเหลวหรือเปิดใช้งานและมีส่วนช่วยในการแพร่กระจาย และมีกลไกบางอย่างที่กำหนดทิศทางการแพร่กระจายเมื่อโหนดล้มเหลวหรือเปิดใช้งาน แบบจำลองทั้งหมดนี้ทำนายสถานะวิกฤตบางอย่าง ซึ่งการกระจายขนาดของแคสเคดที่อาจเกิดขึ้นจะตรงกับกฎกำลังและเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยเลขชี้กำลังระดับของเครือข่ายพื้นฐาน เนื่องจากความแตกต่างในแบบจำลองและความเห็นพ้องของผลลัพธ์นี้ เราจึงเชื่อว่าปรากฏการณ์พื้นฐานเป็นสากลและไม่ขึ้นกับแบบจำลอง^{[ 8 ]}

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจำลองความล้มเหลวแบบต่อเนื่อง โปรดดูที่หน้าแบบจำลองความล้มเหลวแบบต่อเนื่องระดับโลก