ในโทโพโลยี 4 มิติ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของ Rokhlinกล่าวว่า ถ้าแมนิโฟลด์ 4 มิติ แบบเรียบ ปิด และสามารถกำหนดทิศทางได้ Mมีโครงสร้างสปิน (หรือเทียบเท่ากับ ถ้าคลาส Stiefel–Whitney ที่สอง)${\displaystyle w_{2}(M)}$(หายไป) จากนั้นลายเซ็นของรูปแบบจุดตัดซึ่งเป็นรูปแบบกำลังสองบนกลุ่มโคฮอโมโลยี ที่สอง${\displaystyle H^{2}(M)}$หารด้วย 16 ลงตัว ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามวลาดิมีร์ โรคลินผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1952

• แบบฟอร์มจุดตัดบนM

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

เป็นแบบโมดูลาร์เดียวบน${\displaystyle \mathbb {Z} }$โดยทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรและการหายไปของ${\displaystyle w_{2}(M)}$นั่นหมายความว่ารูปแบบการตัดกันเป็นจำนวนคู่ ตามทฤษฎีบทของCahit Arfแลตทิซแบบยูนิโมดูลาร์ที่เป็นจำนวนคู่ใดๆ จะมีลายเซ็นที่หารด้วย 8 ลงตัว ดังนั้นทฤษฎีบทของ Rokhlin จึงบังคับให้มีตัวประกอบพิเศษอีกหนึ่งตัวคือ 2 เพื่อหารลายเซ็นให้ลงตัว

• พื้นผิว K3มีขนาดกะทัดรัด เป็น 4 มิติ และ${\displaystyle w_{2}(M)}$หายไป และลายเซ็นคือ−16ดังนั้น 16 จึงเป็นจำนวนที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ในทฤษฎีบทของ Rokhlin
• พื้นผิวที่ซับซ้อนใน${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ของปริญญา${\displaystyle d}$การหมุนจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle d}$เท่ากัน มันมีลายเซ็น${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$ซึ่งสามารถเห็นได้จากทฤษฎีบทลายเซ็นของฟรีดริช ฮีร์เซบรุคกรณีนี้${\displaystyle d=4}$แสดงตัวอย่างสุดท้ายของพื้นผิว K3 อีก ครั้ง
• แมนิโฟลด์ E8ของไมเคิล ฟรีดแมนเป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่ออย่างง่ายโดยมีค่าเป็นศูนย์${\displaystyle w_{2}(M)}$และรูปแบบทางแยก${\displaystyle E_{8}}$จากลายเซ็นที่ 8 ทฤษฎีบทของ Rokhlin บ่งชี้ว่าแมนิโฟลด์นี้ไม่มีโครงสร้างเรียบแมนิโฟลด์นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Rokhlin ล้มเหลวสำหรับเซตของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (ไม่ใช่แมนิโฟลด์เรียบ) เท่านั้น
• ถ้าแมนิโฟลด์Mเชื่อมต่อกันอย่างง่าย (หรือโดยทั่วไปแล้ว ถ้ากลุ่มโฮโมโลยีแรกไม่มี 2-ทอร์ชั่น) แล้วการหายไปของ${\displaystyle w_{2}(M)}$เทียบเท่ากับการที่รูปแบบการตัดกันเป็นเลขคู่ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นเช่นนั้น: พื้นผิว Enriquesเป็นแมนิโฟลด์เรียบขนาดกะทัดรัด 4 และมีรูปแบบการตัดกันเลขคู่ II ที่มีลายเซ็น− 8 (ไม่หารด้วย 16 ลงตัว) แต่คลาส${\displaystyle w_{2}(M)}$ไม่หายไปและแสดงโดยองค์ประกอบทอร์ชั่นในกลุ่มโคฮอโมโลยีที่สอง

ทฤษฎีบทของ Rokhlin สามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มโฮโมโทปีเสถียรลำดับที่สามของทรงกลม${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$เป็นวัฏจักรลำดับที่ 24 ซึ่งเป็นแนวทางดั้งเดิมของ Rokhlin

นอกจากนี้ยังสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทดัชนีของ Atiyah–Singerดูที่Â genus และทฤษฎีบทของ Rochlin

Robion Kirby ( 1989 )เสนอการพิสูจน์ทางเรขาคณิต 

เนื่องจากทฤษฎีบทของ Rokhlin กล่าวว่าลายเซ็นของแมนิโฟลด์เรียบสปินหารด้วย 16 ลงตัว ดังนั้นนิยามของค่าคงที่ Rokhlinจึงอนุมานได้ดังนี้:

สำหรับท่อร่วม 3 ท่อ${\displaystyle N}$และโครงสร้างการหมุน${\displaystyle s}$บน${\displaystyle N}$ตัวแปรคงที่ของ Rokhlin${\displaystyle \mu (N,s)}$ใน${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ถูกกำหนดให้เป็นลายเซ็นของสปิน 4 มิติแบบเรียบและกะทัดรัดที่มีขอบเขตสปิน${\displaystyle (N,s)}$.

ถ้าNเป็น แมนิโฟ ลด์ 3 สปินแล้ว มันจะล้อมรอบแมนิโฟลด์ 4 สปินMลายเซ็นของMหารด้วย 8 ลงตัว และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Rokhlin อย่างง่าย ๆ แสดงให้เห็นว่าค่าของมันมอด 16 ขึ้นอยู่กับN เท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกMทรงกลม 3 โฮโมโลยีมีโครงสร้างสปิน ที่เป็นเอกลักษณ์ ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดตัวแปรคงที่ของ Rokhlin ของทรงกลม 3 โฮโมโลยีให้เป็นองค์ประกอบได้${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ของ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$โดยที่Mคือแมนิโฟลด์ 4 มิติสปินใดๆ ที่ล้อมรอบทรงกลมโฮโมโลจี

ตัวอย่างเช่นทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเรจะล้อมรอบแมนิโฟลด์ 4 สปินที่มีรูปแบบการตัดกัน${\displaystyle E_{8}}$ดังนั้นค่าคงที่ของ Rokhlin จึงเท่ากับ 1 ผลลัพธ์นี้มีผลลัพธ์พื้นฐานบางประการ: ทรงกลมโฮโมโลยีของ Poincaré ไม่ยอมรับการฝังแบบเรียบใน${\displaystyle S^{4}}$และมันไม่ได้จำกัดขอบเขตของแมนิโฟลด์มาซูร์ด้วย

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าNเป็นสปิน 3-แมนิโฟลด์ (ตัวอย่างเช่น ใดๆ)${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ถ้าทรงกลมโฮโมโลยี) แล้วลายเซ็นของแมนิโฟลด์ 4 สปินใดๆMที่มีขอบเขตNจะถูกกำหนดไว้อย่างดี mod 16 และเรียกว่าค่าคงที่โรคลินของNบนแมนิโฟลด์ 3 โทโพโลยีNค่าคงที่โรคลินแบบทั่วไปหมายถึงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นโครงสร้างสปินบนNและซึ่งประเมินค่าเป็นค่าคงที่โรคลินของคู่${\displaystyle (N,s)}$โดยที่sคือโครงสร้างสปินบนN

ค่าคงที่ของ Rokhlin ของ M เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าคงที่ของ Casson mod 2 ค่าคงที่ของ Casson ถูกมองว่าเป็น ค่ายกของค่าคงที่ของ Rokhlin ที่มีค่าเป็น Zของทรงกลมโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ 3 มิติ

ทฤษฎีบทเคอร์แวร์-มิลเนอร์( Kervaire & Milnor 1960 )กล่าวว่า ถ้า${\displaystyle \Sigma }$หากเป็นทรงกลมลักษณะเฉพาะในแมนิโฟลด์ 4 มิติเรียบและกะทัดรัดMแล้ว

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

ทรงกลมลักษณะเฉพาะคือทรงกลม 2 มิติที่ฝังตัวอยู่ ซึ่งชั้นโฮโมโลยีของมันแสดงถึงชั้น Stiefel–Whitney${\displaystyle w_{2}(M)}$. ถ้า${\displaystyle w_{2}(M)}$หายไป เราสามารถนำไปได้${\displaystyle \Sigma }$ให้เป็นทรงกลมขนาดเล็กใดๆ ที่มีจำนวนจุดตัดกับตัวเองเป็น 0 ดังนั้นทฤษฎีบทของ Rokhlin จึงเป็นจริง

ทฤษฎีบทฟรีดแมน-เคอร์บี( Freedman & Kirby 1978 )ระบุว่า ถ้า${\displaystyle \Sigma }$เป็นพื้นผิวลักษณะเฉพาะใน 4-แมนิโฟลด์M ที่เรียบและกะทัดรัด จากนั้น

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$คือค่าคงที่ Arfของรูปแบบกำลังสองบางอย่างบน${\displaystyle H_{1}(\ซิกมา ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ค่าคงที่ Arf นี้จะเป็น 0 อย่างชัดเจนหาก${\displaystyle \Sigma }$เนื่องจากเป็นทรงกลม ดังนั้นทฤษฎีบทเคอร์แวร์-มิลเนอร์จึงเป็นกรณีพิเศษ

การขยายความทฤษฎีบทฟรีดแมน-เคอร์บีไปสู่แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (แทนที่จะเป็นแมนิโฟลด์เรียบ) ระบุว่า

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$คือค่าคงที่ของ Kirby–SiebenmannของMค่าคงที่ของ Kirby–Siebenmann ของMจะเป็น 0 ถ้าMเป็นพื้นผิวเรียบ

อาร์มานด์ โบเรลและฟรีดริช ฮีร์เซบรุคได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้: ถ้าX เป็น แมนิโฟลด์สปินแบบเรียบ และกะทัดรัด ที่มีมิติหารด้วย 4 ลงตัวแล้ว เจนนัส Âจะเป็นจำนวนเต็ม และจะเป็นจำนวนคู่ถ้ามิติของXคือ 4 มอด 8 สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทดัชนีของอาติยาห์-ซิงเกอร์ : ไมเคิล อาติยาห์และอิซาดอร์ ซิงเกอร์แสดงให้เห็นว่าเจนนัส Â คือดัชนีของตัวดำเนินการอาติยาห์-ซิงเกอร์ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเสมอ และเป็นจำนวนคู่ในมิติ 4 มอด 8 สำหรับแมนิโฟลด์ 4 มิติทฤษฎีบทลายเซ็นของฮีร์เซบรุคแสดงให้เห็นว่าลายเซ็นคือ−8เท่าของเจนนัส Â ดังนั้นในมิติ 4 สิ่งนี้จึงหมายถึงทฤษฎีบทของร็อกลิน

Ochanine (1980)พิสูจน์ว่า ถ้าXเป็นแมนิโฟลด์สปินเรียบแบบมีทิศทางขนาดกะทัดรัดที่มีมิติ 4 mod 8 แล้ว ลายเซ็นของมันจะหารด้วย 16 ลงตัว