ในกรณีที่ง่ายที่สุดของการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่รัศมี⁠${\displaystyle r}$โดยตำแหน่งจะกำหนดโดยการกระจัดเชิงมุม${\displaystyle \phi (t)}$เมื่อพิจารณาจากแกน x ความเร็วเชิงมุมวงโคจรคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมเทียบกับเวลา: ⁠${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ถ้า​${\displaystyle \phi }$วัดเป็นเรเดียนความยาวส่วนโค้งจากแกน x บวกไปรอบวงกลมถึงอนุภาคคือ⁠${\displaystyle \ell =r\phi }$และความเร็วเชิงเส้นคือ${\displaystyle \textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ดังนั้น​​${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$⁠ .

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีอนุภาคเคลื่อนที่ในระนาบ ความเร็วเชิงมุมวงโคจรคืออัตราที่เวกเตอร์ตำแหน่งสัมพันธ์กับจุดกำเนิดที่เลือก "กวาด" ออกไปเป็นมุมหนึ่ง แผนภาพแสดงเวกเตอร์ตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {r} }$จากจุดเริ่มต้น${\displaystyle O}$ไป ยังอนุภาค${\displaystyle P}$โดยใช้พิกัดเชิงขั้ว${\displaystyle (r,\phi )}$(ตัวแปรทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของเวลา )${\displaystyle t}$อนุภาคมีการแยกความเร็วเชิงเส้นดังนี้${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Vert }+\mathbf {v} _{\perp }}$โดยมีส่วนประกอบในแนวรัศมี${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ขนานกับรัศมี และส่วนประกอบขวางรัศมี (หรือสัมผัส)${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ตั้งฉากกับรัศมี เมื่อไม่มีส่วนประกอบในแนวรัศมี อนุภาคจะเคลื่อนที่รอบจุดกำเนิดเป็นวงกลม แต่เมื่อไม่มีส่วนประกอบในแนวขวางรัศมี อนุภาคจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุดกำเนิด เนื่องจากการเคลื่อนที่ในแนวรัศมีไม่ทำให้มุมเปลี่ยนแปลง ดังนั้นเฉพาะส่วนประกอบในแนวขวางรัศมีของความเร็วเชิงเส้นเท่านั้นที่จะมีส่วนทำให้เกิดความเร็วเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุมωคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งเชิงมุมเทียบกับเวลา ซึ่งสามารถคำนวณได้จากความเร็วในแนวขวางรัศมีดังนี้: $${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}$$

ในที่นี้คือความเร็วตามแนวรัศมีขวาง${\displaystyle v_{\perp }}$คือขนาดที่มีเครื่องหมายของ⁠${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ค่าบวกหมายถึงการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ค่าลบหมายถึงการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา โดยใช้พิกัดเชิงขั้วสำหรับความเร็วเชิงเส้น${\displaystyle \mathbf {v} }$ให้ขนาด${\displaystyle v}$(ความเร็วเชิงเส้น) และมุม${\displaystyle \theta }$สัมพันธ์กับเวกเตอร์รัศมี ในแง่นี้⁠${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$ดังนั้น​ $${\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}$$

สูตรเหล่านี้อาจได้มาจากการทำ⁠${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$⁠เป็น${\displaystyle r}$ฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดกำเนิดเทียบกับเวลา และ${\displaystyle \varphi }$ฟังก์ชันของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน x ดังนั้น: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ ซึ่งเท่ากับ: $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$ (ดูเวกเตอร์หน่วยในพิกัดทรงกระบอก)

การรู้${\displaystyle \textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าองค์ประกอบแนวรัศมีของความเร็วมีค่าดังนี้${\displaystyle {\dot {r}}}$เพราะว่า​${\displaystyle {\hat {r}}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยรัศมี และส่วนประกอบตั้งฉากกำหนดโดย${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$เพราะ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก

ในสองมิติ ความเร็วเชิงมุมเป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบเพื่อบ่งบอกถึงทิศทาง แต่ไม่ได้ชี้ไปยังทิศทางใดทิศทางหนึ่ง โดยทั่วไปแล้ว เครื่องหมายจะเป็นบวกหากเวกเตอร์รัศมีหมุนทวนเข็มนาฬิกา และเป็นลบหากหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้น ความเร็วเชิงมุมจึงอาจเรียกว่า ปริมาณ เสมือนสเกลาร์ซึ่งเป็นปริมาณเชิงตัวเลขที่เปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้การผกผันพาริตีเช่น การกลับแกนหนึ่งแกนหรือการสลับแกนทั้งสอง

ใน ปริภูมิสามมิติเรามีเวกเตอร์ตำแหน่งrของอนุภาคที่เคลื่อนที่อีกครั้ง ในที่นี้ ความเร็วเชิงมุมวงโคจรเป็นเวกเตอร์เสมือนที่มีขนาดเท่ากับอัตราที่rกวาดมุมไป (ในหน่วยเรเดียนต่อหน่วยเวลา) และมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบ ณ ขณะนั้นที่rกวาดมุมไป (นั่นคือระนาบที่เกิดจากrและv ) อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีสองทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบใดๆ จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมเพื่อระบุทิศทางของความเร็วเชิงมุมอย่างเฉพาะเจาะจง โดยทั่วไปจะใช้กฎมือขวา

ให้เวกเตอร์เทียมเป็นเวกเตอร์เทียม${\displaystyle \mathbf {u} }$ให้เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากrและvเพื่อให้เป็นไปตามกฎมือขวา (กล่าวคือ ทิศทางการกระจัดเชิงมุม ณ ขณะนั้นจะเป็นทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านบนของ⁠)${\displaystyle \mathbf {u} }$) . การใช้พิกัดเชิงขั้ว${\displaystyle (r,\phi )}$ในระนาบนี้ เช่นเดียวกับกรณีสองมิติข้างต้น เราสามารถกำหนดเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมวงโคจรได้ดังนี้:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

ที่ไหน​${\displaystyle \theta }$คือมุมระหว่าง${\displaystyle \mathbf {r} }$และ​​${\displaystyle \mathbf {v} }$ในแง่ของผลคูณไขว้ จะได้ดังนี้ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^{[ 4 ]}

จากสมการข้างต้น เราสามารถหาความเร็วสัมผัสได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบจุดคงที่ O สร้างกรอบอ้างอิงภายในวัตถุโดยประกอบด้วยชุดเวกเตอร์ตั้งฉากกัน${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$โดยทั้งสองเฟรมยึดติดกับวัตถุและมีจุดกำเนิดร่วมกันที่ O เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของทั้งเฟรมและวัตถุรอบ O คือ

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์เฟรมเมื่อเทียบกับเวลา${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3}$เนื่องจากการหมุน

สูตรนี้ไม่สอดคล้องกับนิพจน์สำหรับความเร็วเชิงมุมวงโคจร

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

เนื่องจากสูตรดังกล่าวใช้กำหนดความเร็วเชิงมุมสำหรับจุดเดียวรอบจุด O ในขณะที่สูตรในส่วนนี้ใช้กับกรอบอ้างอิงหรือวัตถุแข็งเกร็ง ในกรณีของวัตถุแข็งเกร็งนั้นจุดเดียว${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ต้องคำนึงถึงการเคลื่อนที่ของ อนุภาค ทั้งหมดในวัตถุด้วย

ส่วนประกอบของเวกเตอร์เสมือนความเร็วเชิงมุมการหมุนถูกคำนวณครั้งแรกโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์โดยใช้มุมออยเลอร์และกรอบอ้างอิงกลาง:

• แกนหนึ่งของกรอบอ้างอิง (แกนการหมุนควง)
• เส้นของจุดศูนย์ถ่วงของเฟรมเคลื่อนที่เทียบกับเฟรมอ้างอิง (แกนการสั่นไหว)
• แกนหนึ่งของกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ (แกนการหมุนภายใน)

ออยเลอร์พิสูจน์ว่าการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมเทียมบนแกนทั้งสามนี้คืออนุพันธ์ของมุมที่เกี่ยวข้อง (ซึ่งเทียบเท่ากับการแยกการหมุนทันทีออกเป็นการหมุนออยเลอร์ ทันทีสามครั้ง ) ดังนั้น: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

ฐานนี้ไม่ใช่ฐานตั้งฉากปกติและใช้งานยาก แต่ตอนนี้เวกเตอร์ความเร็วสามารถเปลี่ยนไปใช้เฟรมคงที่หรือเฟรมเคลื่อนที่ได้โดยการเปลี่ยนฐานเท่านั้น ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนไปใช้เฟรมเคลื่อนที่:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$เวกเตอร์หน่วยเหล่านี้เป็นเวกเตอร์สำหรับกรอบอ้างอิงที่ยึดกับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ตัวอย่างนี้สร้างขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ ZXZ สำหรับมุมออยเลอร์