ในกลศาสตร์ต่อเนื่องกระแสน้ำวนเป็นสนามเวกเตอร์เทียม (หรือเวกเตอร์แกน) ที่อธิบาย การเคลื่อนที่แบบ หมุน เฉพาะที่ ของต่อเนื่องใกล้จุดใดจุดหนึ่ง (แนวโน้มของบางสิ่งที่จะหมุน^{[ 1 ]} ) ดังที่ผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ที่จุดนั้นและเคลื่อนที่ไปพร้อมกับการไหล จะเห็นได้ มันเป็นปริมาณที่สำคัญในทฤษฎีพลศาสตร์ของของไหลและเป็นกรอบที่สะดวกสำหรับการทำความเข้าใจปรากฏการณ์การไหลที่ซับซ้อนต่างๆ เช่น การสร้างแรงยกบนปีก^{[ 2 ] [ 3 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ กระแสน้ำวนคือการหมุนของความเร็วการไหล : ^{[ 4 ] [ 3 ]}${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

ตัวดำเนินการนาบลาอยู่ที่ไหนในเชิงแนวคิดสามารถกำหนดได้โดยการทำเครื่องหมายส่วนต่างๆ ของตัวกลางต่อเนื่องในบริเวณ เล็กๆ รอบ จุดที่ต้องการ และสังเกตการกระจัดสัมพัทธ์ของ พวกมัน ขณะเคลื่อนที่ไปตามการไหล ความหมุนวนจะเป็นสองเท่าของ เวกเตอร์ ความเร็วเชิงมุม เฉลี่ย ของอนุภาคเหล่านั้นเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล ของพวกมัน โดยวางตัวตามกฎมือขวาตามคำจำกัดความของมันเอง เวกเตอร์ความหมุนวนเป็น สนาม โซเลนอยด์เนื่องจาก${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldสัญลักษณ์ {\omega }}=0.}$

ในการไหลแบบสองมิติจะตั้งฉากกับระนาบของการไหลเสมอ ดังนั้นจึงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นสนามสเกลาร์ ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$

พลวัตของการหมุนวนมีความเชื่อมโยงพื้นฐานกับแรงต้านผ่านความสัมพันธ์ของโจเซฟสัน-แอนเดอร์สัน^{[ 5 ] [ 6 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ ความหมุนของกระแสการไหลสามมิติคือสนามเวกเตอร์เทียม ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ โดยนิยามว่าเป็นเคิร์ลของสนามความเร็วที่อธิบายการเคลื่อนที่ต่อเนื่อง ในพิกัดคาร์ทีเซียน : ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

เราอาจแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบสัญกรณ์ดัชนีได้เช่นกัน[ ^{7 ] กล่าว}คือ ความหมุนวนจะบอกว่าเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเคลื่อนที่ด้วยระยะทางเล็กน้อยในทิศทางตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้น ${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\บางส่วน v_{k}}{\บางส่วน x_{j}}}}$

ในการไหลแบบสองมิติที่ความเร็วไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด x และไม่มีองค์ประกอบ y เวกเตอร์ความหมุนจะขนานกับแกน x เสมอ ดังนั้นจึงสามารถแสดงได้ในรูปของสนามสเกลาร์คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยคงที่: ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

ความหมุนวนยังเกี่ยวข้องกับการไหลเวียน ของการไหล (อินทิกรัลเส้นของความเร็ว) ตามเส้นทางปิดโดยทฤษฎีบทของสโตกส์ (แบบคลาสสิก) กล่าวคือ สำหรับองค์ประกอบพื้นผิวขนาดเล็กมากC ใดๆ ที่มีทิศทางปกติและพื้นที่การไหลเวียนตามเส้นรอบวงของคือผลคูณดอทโดยที่คือความหมุนวนที่จุดศูนย์กลางของ^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle dA}$${\displaystyle d\Gamma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle C}$

เนื่องจากความหมุนวนเป็นเวกเตอร์แกน จึงสามารถเชื่อมโยงกับเทนเซอร์ปฏิสมมาตรอันดับสอง(ที่เรียกว่าเทนเซอร์ความหมุนวนหรือเทนเซอร์การหมุน) ซึ่งกล่าวกันว่าเป็นคู่ของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทั้งสองในสัญกรณ์ดัชนีมีดังนี้ ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$

${\displaystyle \โอเมก้า _{ij}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

โดยที่เทนเซอร์ Levi-Civitaสามมิติคือเทนเซอร์ความหมุนวนก็คือส่วนที่ไม่สมมาตรของเทนเซอร์นั่นเอง กล่าวคือ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[(\nabla \mathbf {v} )^{T}-\nabla \mathbf {v} \right]\quad {\text{หรือ}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

ในมวลของความต่อเนื่องที่หมุนเหมือนวัตถุแข็ง ความหมุนวนจะเป็นสองเท่าของ เวกเตอร์ ความเร็วเชิงมุมของการหมุนนั้น ตัวอย่างเช่น ในแกนกลางของกระแสน้ำวนแรงไคน์^{[ 9 ]}

ค่าความหมุนวนอาจไม่เป็นศูนย์แม้ว่าอนุภาคทั้งหมดจะไหลไปตามเส้นทาง ตรงและขนานกัน ก็ตาม หากมีแรงเฉือนเกิดขึ้น (กล่าวคือ หากความเร็วการไหลแตกต่างกันไปตามเส้นทางการไหล ) ตัวอย่างเช่น ในการไหลแบบราบเรียบภายในท่อที่มีหน้าตัด คงที่ อนุภาคทั้งหมดจะเคลื่อนที่ขนานกับแกนของท่อ แต่จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นใกล้แกน และแทบจะหยุดนิ่งอยู่ใกล้ผนัง ค่าความหมุนวนจะเป็นศูนย์บนแกน และมีค่าสูงสุดใกล้ผนัง ซึ่งเป็นบริเวณที่มีแรงเฉือนมากที่สุด

ในทางกลับกัน การไหลอาจมีค่าความหมุนเป็นศูนย์ได้ แม้ว่าอนุภาคจะเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้งก็ตาม ตัวอย่างเช่นกระแสน้ำวนในอุดมคติ ที่ไม่หมุน ซึ่งอนุภาคส่วนใหญ่จะหมุนรอบแกนตรงบางแกน โดยมีความเร็วแปรผกผันกับระยะห่างจากแกนนั้น อนุภาคขนาดเล็กของสสารต่อเนื่องที่ไม่คร่อมแกนจะหมุนไปในทิศทางหนึ่ง แต่จะถูกเฉือนในทิศทางตรงกันข้าม ในลักษณะที่ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยรอบจุดศูนย์กลางมวลเป็นศูนย์

ตัวอย่างขั้นตอนการทำงาน:
กระแสน้ำวนคล้ายวัตถุแข็งเกร็งv ∝ r	การไหลแบบขนานพร้อมแรงเฉือน	กระแสน้ำวนไร้การหมุนv ∝ ⁠1/ร⁠
โดยที่vคือความเร็วของการไหลrคือระยะห่างจากศูนย์กลางของกระแสน้ำวน และ ∝ แสดงถึงสัดส่วนความเร็วสัมบูรณ์รอบจุดที่ไฮไลต์:
ความเร็วสัมพัทธ์ (ขยายใหญ่ขึ้น) รอบจุดที่ไฮไลต์ไว้
ความหมุนวน ≠ 0	ความหมุนวน ≠ 0	ความหมุน = 0

อีกวิธีหนึ่งในการมองเห็นภาพความหมุนวนคือ ลองจินตนาการว่าในทันทีทันใด ส่วนเล็กๆ ของสสารกลายเป็นของแข็ง และส่วนที่เหลือของการไหลหายไป หากอนุภาคของแข็งเล็กๆ นั้นกำลังหมุน แทนที่จะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับการไหล ก็แสดงว่ามีความหมุนวนเกิดขึ้นในการไหลนั้น ในภาพด้านล่าง ภาพย่อยด้านซ้ายแสดงให้เห็นว่าไม่มีความหมุนวน และภาพย่อยด้านขวาแสดงให้เห็นว่ามีความหมุนวนอยู่

วิวัฒนาการของสนามความหมุนตามเวลาอธิบายได้ด้วยสมการความหมุนซึ่งสามารถหาได้จากสมการนาเวียร์-สโตกส์^{[ 10 ]}

ในการไหลจริงหลายๆ แบบที่สามารถละเลยความหนืดได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการไหลที่มีเลขเรย์โนลด์ สูง ) สนามความหมุนสามารถจำลองได้ด้วยกลุ่มของกระแสน้ำวนแบบไม่ต่อเนื่อง โดยที่ความหมุนนั้นมีค่าน้อยมากในทุกที่ ยกเว้นในบริเวณเล็กๆ รอบแกนของกระแสน้ำวน นี่เป็นจริงในกรณีของการไหลแบบศักย์ สองมิติ (เช่น การไหลแบบสองมิติที่มีความหนืดเป็นศูนย์) ซึ่งในกรณีนี้ สนามการไหลสามารถจำลองได้เป็น สนาม ค่าเชิงซ้อนบนระนาบ เชิงซ้อน

ความหมุนวนมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจว่าโซลูชันการไหลศักยภาพในอุดมคติสามารถถูกรบกวนเพื่อจำลองการไหลจริงได้อย่างไร โดยทั่วไป การมีอยู่ของความหนืดทำให้เกิดการแพร่กระจายของความหมุนวนออกจากแกนหมุนวนไปยังสนามการไหลทั่วไป การไหลนี้จะถูกพิจารณาโดยพจน์การแพร่กระจายในสมการการขนส่งความหมุนวน^{[ 11 ]}

เส้นกระแสน้ำวนหรือเส้นกระแสหมุนวนคือเส้นที่สัมผัสกับเวกเตอร์กระแสหมุนวนเฉพาะที่ทุกจุด เส้นกระแสน้ำวนถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

เวกเตอร์ความหมุนในพิกัดคาร์ทีเซียนอยู่ ที่ไหน${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

ท่อกระแสน้ำวนคือพื้นผิวในคอนตินิวอัมที่เกิดจากเส้นกระแสน้ำวนทั้งหมดที่ผ่านเส้นโค้งปิดที่กำหนด (ลดรูปได้) ในคอนตินิวอัม 'ความแรง' ของท่อกระแสน้ำวน (เรียกอีกอย่างว่าฟลักซ์กระแสน้ำวน ) ^{[ 13 ]}คือปริพันธ์ของความหมุนวนตลอดหน้าตัดของท่อ และมีค่าเท่ากันทุกที่ตามท่อ (เนื่องจากความหมุนวนมีค่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์) เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ (หรือเทียบเท่ากับทฤษฎีบทการไหลเวียนของเคลวิน ) ที่ว่าในของเหลวที่ไม่มีความหนืด 'ความแรง' ของท่อกระแสน้ำวนจะคงที่ตามเวลา ผลกระทบจากความหนืดทำให้เกิดการสูญเสียแรงเสียดทานและการพึ่งพาเวลา^{[ 14 ]}

ในการไหลแบบสามมิติ ความหมุนวน (วัดโดยปริมาตรอินทิกรัลของกำลังสองของขนาด) สามารถทวีความรุนแรงขึ้นได้เมื่อเส้นกระแสน้ำวนขยายออกไป ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการยืดกระแสน้ำวน [ ^{15 ] ปรากฏการณ์}นี้เกิดขึ้นในการก่อตัวของกระแสน้ำวนรูปอ่างอาบน้ำในน้ำที่ไหลออก และการก่อตัวของพายุทอร์นาโดโดยกระแสอากาศที่พุ่งขึ้น

เครื่องวัดความหมุนวนแบบใบพัดหมุนถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยวิศวกรไฮดรอลิกชาวรัสเซีย A. Ya. Milovich (1874–1958) ในปี พ.ศ. 2456 เขาเสนอจุกไม้ก๊อกที่มีใบพัดสี่ใบติดอยู่เป็นอุปกรณ์ที่แสดงขนาดของการฉายภาพแนวตั้งของความหมุนวนในเชิงคุณภาพ และสาธิตการถ่ายภาพเคลื่อนไหวของการเคลื่อนที่ของทุ่นบนผิวน้ำในแบบจำลองของโค้งแม่น้ำ^{[ 16 ]}

เครื่องวัดความหมุนวนแบบใบพัดหมุนมักแสดงอยู่ในภาพยนตร์เพื่อการศึกษาเกี่ยวกับกลศาสตร์ต่อเนื่อง (ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง ได้แก่ "Vorticity" ของ NCFMF ^{[ 17 ]}และ "Fundamental Principles of Flow" โดย Iowa Institute of Hydraulic Research ^{[ 18 ]} )

ในด้านอากาศพลศาสตร์การ กระจาย แรงยกบนปีกที่มีความยาวจำกัดสามารถประมาณได้โดยการสมมติว่าแต่ละส่วนของปีกตามแนวยาวมีกระแสลมวนตามหลังที่มีความยาวกึ่งอนันต์ จากนั้นจึงสามารถหาความแรงของกระแสลมวนได้โดยใช้เกณฑ์ที่ว่าไม่มีการไหลเกิดขึ้นผ่านพื้นผิวของปีก กระบวนการนี้เรียกว่าวิธีการแผงกระแสลมวน (vortex panel method) ในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (computational fluid dynamics ) จากนั้นจึงรวมความแรงของกระแสลมวนเพื่อหาการไหลเวียน โดยประมาณทั้งหมด รอบปีก ตามทฤษฎีบทของ Kutta–Joukowskiแรงยกต่อหน่วยความยาวของปีกเป็นผลคูณของการไหลเวียน ความเร็วลม และความหนาแน่นของอากาศ

ความหมุนสัมพัทธ์คือความหมุนที่สัมพันธ์กับพื้นโลก ซึ่งเกิดจากสนามความเร็วลม สนามความเร็วลมนี้มักถูกจำลองเป็นกระแสสองมิติขนานกับพื้นดิน ดังนั้นเวกเตอร์ความหมุนสัมพัทธ์จึงโดยทั่วไปเป็นปริมาณการหมุนแบบสเกลาร์ที่ตั้งฉากกับพื้นดิน ความหมุนจะเป็นบวกเมื่อ – เมื่อมองลงมาจากพื้นผิวโลก – ลมหมุนทวนเข็มนาฬิกา ในซีกโลกเหนือ ความหมุนที่เป็นบวกเรียกว่าการหมุนแบบไซโคลนิกและความหมุนที่เป็นลบเรียกว่าการหมุนแบบแอนติไซโคลนิก ส่วนในซีกโลกใต้ การเรียกชื่อจะกลับกัน

ค่าความหมุนสัมบูรณ์คำนวณจากความเร็วของอากาศเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจึงรวมถึงพารามิเตอร์ที่เกิดจากการหมุนของโลก ซึ่งก็คือพารามิเตอร์โคริโอลิส

ความแปรผันศักย์ (potential vorticity)คือ ความแปรผันสัมบูรณ์ (absolute vorticity) หารด้วยระยะห่างในแนวดิ่งระหว่างระดับอุณหภูมิ (หรือเอนโทรปี ) ที่คงที่ ความแปรผันสัมบูรณ์ของมวลอากาศจะเปลี่ยนแปลงไปหากมวลอากาศนั้นถูกยืด (หรือบีบอัด) ในทิศทางแนวดิ่ง แต่ความแปรผันศักย์จะคงที่ใน การไหลแบบ อะเดียแบติก (adiabatic flow) เนื่องจาก การไหลแบบ อะเดียแบติก เป็นสภาวะ ที่เกิดขึ้นเป็นส่วนใหญ่ในชั้นบรรยากาศ ความแปรผันศักย์จึงมีประโยชน์ในการใช้เป็นตัวบ่งชี้ โดยประมาณ ของมวลอากาศในชั้นบรรยากาศในช่วงเวลาไม่กี่วัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาจากระดับเอนโทรปีคงที่

สมการความแปรปรวนแบบบารอโทรปิกเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพยากรณ์การเคลื่อนที่ของคลื่นรอสบี (กล่าวคือร่องและสันของความสูงศักย์ทางภูมิศาสตร์ที่ 500  hPa ) ในช่วงเวลาจำกัด (ไม่กี่วัน) ในทศวรรษ 1950 โปรแกรมพยากรณ์อากาศเชิงตัวเลข ที่ประสบความสำเร็จเป็นครั้งแรก ได้ใช้สมการนั้น

ในแบบจำลองการพยากรณ์อากาศเชิงตัวเลขสมัยใหม่และแบบจำลองการหมุนเวียนทั่วไป (GCMs) ความหมุนวนอาจเป็นหนึ่งในตัวแปรที่คาดการณ์ ซึ่งในกรณีนี้สมการที่ขึ้นอยู่กับเวลาที่เกี่ยวข้องจะเป็นสมการพยากรณ์

แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับความหมุนวนคือความเป็นเกลียว ซึ่งนิยามว่า ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV}$

โดยที่ปริมาณอินทิกรัลจะอยู่เหนือปริมาตรที่กำหนดในวิทยาศาสตร์บรรยากาศ เฮลิซิตี้ของการเคลื่อนที่ของอากาศมีความสำคัญในการพยากรณ์ซูเปอร์เซลล์และศักยภาพในการเกิดพายุทอร์นาโด^{[ 19 ]}${\displaystyle V}$

• สมการความหมุนแบบบารอโทรปิก
• ความขัดแย้งของดาเลมเบิร์ต
• เอนสโทรฟี
• พาลินสโทรฟี
• ศักยภาพความเร็ว
• กระแสน้ำวน
• ท่อหมุนวน
• การยืดแบบวน
• กระแสน้ำวนรูปเกือกม้า
• กระแสลมวนที่ปลายปีก

• กฎของบิโอต์-ซาวาร์ต
• การไหลเวียน
• สมการความหมุน
• การกักกันของกระแสหมุนวน
• ทฤษฎีบทคุตตา-โจวโกวสกี้

• สมการพยากรณ์
• คาร์ล-กุสตาฟ รอสบี
• ฮันส์ เออร์เทล

• Acheson, DJ (1990). พลศาสตร์ของไหลเบื้องต้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-859679-0.
• ลันเดา, แอลดี; ลิฟชิตซ์, อีเอ็ม (1987) กลศาสตร์ของไหล (ฉบับที่ 2) เอลส์เวียร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-08-057073-0.
• Pozrikidis, C. (2011). บทนำสู่พลศาสตร์ของไหลเชิงทฤษฎีและเชิงคำนวณสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดISBN 978-0-19-975207-2.
• กียง, เอเตียน; ฮูลิน, ฌอง-ปิแอร์; เปอตีต์, ลัค; Mitescu, Catalin D. (2001) อุทกพลศาสตร์เชิงฟิสิกส์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ไอเอสบีเอ็น 0-19-851746-7.
• Batchelor, GK (2000) [1967], บทนำสู่พลศาสตร์ของไหล , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 0-521-66396-2
• แคลนซี, แอล.เจ. (1975), อากาศพลศาสตร์ , พิตแมนพับลิชชิงลิมิเต็ด, ลอนดอนISBN 0-273-01120-0
• " คำศัพท์เกี่ยวกับสภาพอากาศ " บริษัท The Weather Channel Interactive, Inc. 2004
• " กระแสน้ำวน " สำนักพิมพ์อินทิเกรต พับลิชชิง

• โอคิตานิ, เค., " คำอธิบายเบื้องต้นเกี่ยวกับกระแสน้ำวนและสมการที่เกี่ยวข้อง " สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ 30 มกราคม 2548 ISBN 0-521-81984-9
• Chorin, Alexandre J. , " Vorticity and Turbulence ". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. 1 มีนาคม 1994. ISBN 0-387-94197-5
• Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, " Vorticity and Incompressible Flow ". Cambridge University Press; 2002. ISBN 0-521-63948-4
• Tritton, DJ , " พลศาสตร์ของไหลเชิงกายภาพ ". Van Nostrand Reinhold, นิวยอร์ก. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• Arfken, G., " วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ ", ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3. Academic Press, ออร์แลนโด, ฟลอริดา. 1985. ISBN 0-12-059820-5

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์กระแสน้ำวน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู, " กระแสน้ำวน ". Scienceworld.wolfram.com.
• Doswell III, Charles A., " คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับกระแสลมหมุนสำหรับการประยุกต์ใช้ในพายุซูเปอร์เซลล์และพายุทอร์นาโด " สถาบันความร่วมมือเพื่อการศึกษาด้านอุตุนิยมวิทยาระดับกลาง นอร์แมน โอคลาโฮมา
• Cramer, MS, " สมการนาเวียร์-สโตกส์ -- ทฤษฎีบทการขนส่งกระแสน้ำวน : บทนำ " พื้นฐานของกลศาสตร์ของไหล
• พาร์เกอร์, ดักลาส, " ENVI 2210 – บรรยากาศและพลศาสตร์ของมหาสมุทร, 9: กระแสน้ำวน ". คณะสิ่งแวดล้อม, มหาวิทยาลัยลีดส์. กันยายน 2544.
• เกรแฮม, เจมส์ อาร์. , " ดาราศาสตร์ 202: พลศาสตร์ก๊าซทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ ". ภาควิชาดาราศาสตร์มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ .
  • " สมการความหมุน: ของไหลที่อัดไม่ได้และของไหลแบบบารอโทรปิก "
  • " การตีความสมการความหมุน "
  • " ทฤษฎีความหมุนของเคลวินสำหรับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้หรือการไหลแบบบารอโทรปิก "
• " Spherepack 3.1 ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 22 มิถุนายน 2004 ที่Wayback Machine " (รวมถึงชุดโปรแกรมคำนวณกระแสน้ำวนที่เขียนด้วยภาษา FORTRAN)
• " การทำนายแบบเรียลไทม์ของแบบจำลองชุมชนความอัดตัวระดับกลาง (MC2) " (การวิเคราะห์ความแปรปรวนศักย์)