ในด้านการเงินเชิงคณิตศาสตร์โมเดลSABRเป็น โมเดล ความผันผวนแบบสุ่มซึ่งพยายามจับภาพรอยยิ้มของความผันผวนในตลาดอนุพันธ์ ชื่อนี้มาจากคำว่า " stochastic alpha , beta , rho " ซึ่งหมายถึงพารามิเตอร์ของโมเดล โมเดล SABR ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายโดยผู้ปฏิบัติงานในอุตสาหกรรมการเงิน โดยเฉพาะใน ตลาด อนุพันธ์อัตราดอกเบี้ย โมเดลนี้ได้รับการพัฒนาโดย Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski และ Diana Woodward ^{[ 1 ]}

แบบจำลอง SABR อธิบายถึงการส่งต่อเพียงครั้งเดียว${\displaystyle F}$เช่น อัตราดอกเบี้ย LIBOR ล่วงหน้าอัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า หรือราคาหุ้นล่วงหน้า นี่เป็นหนึ่งในมาตรฐานที่ผู้เข้าร่วมตลาดใช้ในการอ้างอิงความผันผวน ความผันผวนของราคาล่วงหน้า${\displaystyle F}$อธิบายโดยพารามิเตอร์${\displaystyle \sigma }$SABR เป็นแบบจำลองเชิงพลวัตซึ่งประกอบด้วยทั้งสองส่วน${\displaystyle F}$และ${\displaystyle \sigma }$ตัวแปรสถานะเชิงสุ่มแสดงด้วยตัวแปรสถานะเชิงสุ่มที่มีวิวัฒนาการตามเวลาโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

โดยใช้ค่าเวลาเริ่มต้นที่กำหนดไว้ (ที่สังเกตได้ในปัจจุบัน)${\displaystyle F_{0}}$และ${\displaystyle \sigma _{0}}$. ที่นี่,${\displaystyle W_{t}}$และ${\displaystyle Z_{t}}$เป็น กระบวนการ Wienerสองกระบวนการที่มีความสัมพันธ์กันโดยมีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์${\displaystyle -1<\rho <1}$:

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

พารามิเตอร์คงที่${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ตรงตามเงื่อนไข${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$. ${\displaystyle \alpha }$เป็นพารามิเตอร์ที่คล้ายกับค่าความผันแปรสำหรับค่าความผันแปร${\displaystyle \rho }$คือความสัมพันธ์ทันทีระหว่างสินทรัพย์อ้างอิงและความผันผวนของมัน ความผันผวนเริ่มต้น${\displaystyle \sigma _{0}}$ควบคุมความสูงของ ระดับความผันผวนโดยนัยของ ATMทั้งความสัมพันธ์${\displaystyle \rho }$และ${\displaystyle \beta }$ควบคุมความชันของความเบี่ยงเบนโดยนัย ความผันผวนของความผันผวน${\displaystyle \alpha }$ควบคุมความโค้งของมัน

พลวัตข้างต้นเป็นแบบจำลอง CEV แบบ สุ่ม ที่มีพารามิเตอร์ความเบี่ยงเบน${\displaystyle \beta }$ที่จริงแล้ว มันจะลดรูปไปเป็นโมเดล CEV ถ้า${\displaystyle \alpha =0}$พารามิเตอร์${\displaystyle \alpha }$มักเรียกกันว่าvolvolและมีความหมายว่า ความผันผวนแบบลอการิทมิกปกติของพารามิเตอร์ความผันผวน${\displaystyle \sigma }$.

เราพิจารณาออปชั่นแบบยุโรป (เช่น คอลออปชั่น) ในตลาดล่วงหน้า${\displaystyle F}$ถูกโจมตี${\displaystyle K}$ซึ่งจะหมดอายุ${\displaystyle T}$หลายปีนับจากนี้ มูลค่าของตัวเลือกนี้เท่ากับมูลค่าที่คาดหวังของผลตอบแทนที่ลดลงอย่างเหมาะสม${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$ภายใต้การกระจายความน่าจะเป็นของกระบวนการ${\displaystyle F_{t}}$.

ยกเว้นในกรณีพิเศษของ${\displaystyle \beta =0}$และ${\displaystyle \beta =1}$ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับความน่าจะเป็นของการแจกแจงนี้ กรณีทั่วไปสามารถหาคำตอบได้โดยประมาณโดยใช้การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกในพารามิเตอร์${\displaystyle \varepsilon =T\อัลฟา ^{2}}$ภายใต้สภาวะตลาดปกติ พารามิเตอร์นี้จะมีค่าเล็กน้อย และคำตอบโดยประมาณนั้นค่อนข้างแม่นยำ นอกจากนี้ ที่สำคัญคือ วิธีแก้ปัญหานี้มีรูปแบบฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่าย สามารถนำไปใช้ในโค้ดคอมพิวเตอร์ได้ง่าย และเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการบริหารความเสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอออปชั่นขนาดใหญ่แบบเรียลไทม์

เป็นการสะดวกที่จะแสดงคำตอบในรูปของความผันผวนโดยนัย${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$ของตัวเลือก กล่าวคือ เราบังคับให้ราคาของตัวเลือกตามแบบจำลอง SABR อยู่ในรูปแบบของ สูตรการประเมินมูลค่า แบบจำลอง Blackจากนั้นความผันผวนโดยนัย ซึ่งเป็นค่าของพารามิเตอร์ความผันผวนแบบลอการิทมิกปกติในแบบจำลอง Black ที่บังคับให้ตรงกับราคา SABR จะมีค่าโดยประมาณดังนี้:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \ขวา\},}$

โดยเพื่อให้เกิดความชัดเจน เราได้กำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$สูตรนี้ไม่มีความหมายเมื่อ${\displaystyle K=F_{0}}$ดังนั้นเราจึงแทนที่ด้วยค่าลิมิตของมันดังนี้${\displaystyle K\to F_{0}}$ซึ่งได้มาจากการแทนที่ปัจจัย${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$โดย 1. ค่า${\displaystyle F_{\text{mid}}}$หมายถึงจุดกึ่งกลางที่เลือกไว้อย่างเหมาะสมระหว่าง${\displaystyle F_{0}}$และ${\displaystyle K}$(เช่น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต)${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$เราได้กำหนดไว้ด้วยเช่นกัน

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

และ

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$การป้อนสูตรข้างต้นจะได้รับโดย

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถแสดงราคา SABR ในรูปของ แบบจำลองของ Bachelierได้ จากนั้นความผันผวนปกติโดยนัยสามารถคำนวณได้ในเชิงอะซิมโทติกโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่าความผันผวนโดยนัยแบบ SABR ปกติโดยทั่วไปมีความแม่นยำกว่าค่าความผันผวนโดยนัยแบบลอการิทมิกปกติเล็กน้อย

ความแม่นยำในการประมาณค่าและระดับของการเก็งกำไรสามารถปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นได้ หากความผันผวนเทียบเท่าภายใต้แบบจำลอง CEVมีค่าเท่ากัน${\displaystyle \beta }$ใช้สำหรับตัวเลือกการกำหนดราคา^{[ 2 ]}

แบบจำลอง SABR ที่ขยายเพิ่มเติมสำหรับอัตราดอกเบี้ยติดลบซึ่งได้รับความนิยมมากขึ้นในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา คือ แบบจำลอง SABR แบบปรับเปลี่ยน (shifted SABR model) โดยสมมติว่าอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าที่ปรับเปลี่ยนนั้นเป็นไปตามกระบวนการ SABR

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

เพื่อการเปลี่ยนแปลงในเชิงบวกบางประการ${\displaystyle s}$เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ยถูกรวมอยู่ในราคาตลาด และมีขอบเขตที่ยืดหยุ่นโดยสัญชาตญาณว่าอัตราดอกเบี้ยติดลบได้มากแค่ไหน การปรับอัตราดอกเบี้ยตาม SABR จึงกลายเป็นแนวปฏิบัติที่ดีที่สุดในตลาดเพื่อรองรับอัตราดอกเบี้ยติดลบ

นอกจากนี้ ยังสามารถปรับเปลี่ยนแบบจำลอง SABR เพื่อรองรับอัตราดอกเบี้ยติดลบได้ดังนี้:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

สำหรับ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$และ เงื่อนไขขอบเขต อิสระสำหรับ${\displaystyle F=0}$วิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำสำหรับความสัมพันธ์เป็นศูนย์ รวมถึงการประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพสำหรับกรณีทั่วไปก็มีให้ใช้งาน^{[ 3 ]}ข้อเสียที่เห็นได้ชัดของแนวทางนี้คือสมมติฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับอัตราดอกเบี้ยติดลบสูงที่อาจเกิดขึ้นได้ผ่านขอบเขตอิสระ

แม้ว่าวิธีการแก้ปัญหาเชิงอะซิมโทติกจะง่ายต่อการนำไปใช้ แต่ความหนาแน่นที่ได้จากการประมาณค่าไม่ได้ปราศจากการเก็งกำไรเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับราคาใช้สิทธิที่ต่ำมาก (มันจะกลายเป็นค่าลบ หรือความหนาแน่นจะไม่สามารถอินทิเกรตได้เท่ากับหนึ่ง)

ความเป็นไปได้หนึ่งในการ "แก้ไข" สูตรคือการใช้วิธีการจัดเรียงแบบสุ่มและฉายภาพแบบจำลองที่ไม่เหมาะสมที่สอดคล้องกันบนพหุนามของตัวแปรที่ปราศจากการเก็งกำไร เช่น ตัวแปรปกติ ซึ่งจะรับประกันความเท่าเทียมกันของความน่าจะเป็นที่จุดจัดเรียงในขณะที่ความหนาแน่นที่สร้างขึ้นนั้นปราศจากการเก็งกำไร^{[ 4 ]}การใช้วิธีการฉายภาพทำให้ราคาออปชั่นแบบยุโรปเชิงวิเคราะห์พร้อมใช้งาน และความผันผวนโดยนัยยังคงใกล้เคียงกับค่าที่ได้ในตอนแรกจากสูตรเชิงเส้นกำกับ

อีกความเป็นไปได้หนึ่งคือการพึ่งพาตัวแก้ PDE ที่รวดเร็วและแข็งแกร่งบนการขยายที่เทียบเท่าของ PDE ไปข้างหน้า ซึ่งรักษาโมเมนต์ลำดับที่ศูนย์และลำดับแรกไว้ในเชิงตัวเลข จึงรับประกันได้ว่าไม่มีการเก็งกำไร^{[ 5 ]}

แบบจำลอง SABR สามารถขยายได้โดยการสมมติว่าพารามิเตอร์ขึ้นอยู่กับเวลา อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้ขั้นตอนการสอบเทียบซับซ้อนขึ้น วิธีการสอบเทียบขั้นสูงของแบบจำลอง SABR ที่ขึ้นอยู่กับเวลาจะใช้พารามิเตอร์ที่เรียกว่า "พารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพ" ^{[ 6 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง Guerrero และ Orlando ^{[ 7 ]}แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองความผันผวนสุ่มเฉพาะที่ขึ้นอยู่กับเวลา (SLV) สามารถลดรูปเป็นระบบ PDE อิสระที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เคอร์เนลความร้อน โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ Wei-Norman และเทคนิคพีชคณิต Lie โซลูชันที่ชัดเจนที่ได้จากเทคนิคดังกล่าวเทียบได้กับการจำลอง Monte Carlo แบบดั้งเดิม ทำให้ใช้เวลาในการคำนวณเชิงตัวเลขสั้นลง

เนื่องจากกระบวนการความผันผวนแบบสุ่มเป็นไปตามการเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบเรขาคณิตการจำลองที่แม่นยำจึงตรงไปตรงมา อย่างไรก็ตาม การจำลองกระบวนการสินทรัพย์ล่วงหน้าไม่ใช่เรื่องง่าย โดยทั่วไปจะพิจารณาแผนการจำลองตามเทย์เลอร์ เช่นEuler–MaruyamaหรือMilsteinเมื่อเร็วๆ นี้ มีการเสนอวิธีการใหม่ๆ สำหรับการจำลอง Monte Carlo ที่เกือบแม่นยำ ของแบบจำลอง SABR ^{[ 8 ]}มีการพิจารณาการศึกษาอย่างกว้างขวางสำหรับแบบจำลอง SABR เมื่อเร็วๆ นี้^{[ 9 ]} สำหรับแบบจำลอง SABR ปกติ (${\displaystyle \beta =0}$โดยไม่มีเงื่อนไขขอบเขตที่${\displaystyle F=0}$) เป็นที่รู้จักวิธีการจำลองแบบปิด^{[ 10 ]}

• ความผันผวน (ด้านการเงิน)
• ความผันผวนแบบสุ่ม
• มาตรการที่ไม่ก่อให้เกิดความเสี่ยง

• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew; Woodward, Diana (2005-03-22). "การกระจายความน่าจะเป็นในแบบจำลอง SABR ของความผันผวนแบบสุ่ม" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2021-03-08 . เรียกดูเมื่อ2022-04-30 .
• บาร์ตเลตต์, บรูซ (กุมภาพันธ์ 2549). "การป้องกันความเสี่ยงภายใต้แบบจำลอง SABR" (PDF) . วิลมอตต์ . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 30 ธันวาคม 2563. เรียกดูเมื่อ30 เมษายน 2565 .
• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew (30 เมษายน 2551). "แบบจำลองตลาด LIBOR พร้อมความผันผวนแบบสุ่มสไตล์ SABR" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 3 มีนาคม 2565 . เรียกดูเมื่อ30 เมษายน 2565 .
• Hagan, Patrick S.; Kumar, Deep; Lesniewski, Andrew S.; Woodward, Diana E. (2014-01-29). "Arbitrage Free SABR" . Wilmott . Vol.  2014, no.  69. pp. 60– 75. doi : 10.1002/wilm.10290 . สืบค้นเมื่อ2022-04-30 . 
• ออบลอจ ม.ค. (18-03-2551) "ปรับแต่งรอยยิ้มของคุณ – แก้ไข Hagan และคณะ" arXiv : 0708.0998 [ q-fin.CP ]
• เวสต์, เกรแฮม. "บทสรุปแนวทางการใช้แบบจำลอง SABR สำหรับส่วนต่างกำไรของอนุพันธ์หุ้น" . Riskworx . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-09-14 . เรียกดูเมื่อ2022-04-30 .
• Henry-Labordere, Pierre (15 กุมภาพันธ์ 2548). "การรวมโมเดล BGM และ SABR เข้าด้วยกัน: การเดินทางสั้นๆ ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก". arXiv : physics/0602102 .
• Jordan, Richard; Tier, Charles (17 พฤษภาคม 2554). "การประมาณเชิงอะซิมโทติกสำหรับแบบจำลอง CEV และ SABR". SSRN 1850709 . 
• "การสอบเทียบ SABR" 26 ธันวาคม 2012 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 27 พฤษภาคม 2016 เรียกดูเมื่อ30 เมษายน 2022
• Antonov, Alexandre; Spector, Michael (2012-03-23). ​​"การวิเคราะห์ขั้นสูงสำหรับแบบจำลอง SABR". SSRN 2026350 . 
• Antonov, Alexandre; Konikov, Michael; Spector, Michael (2019-05-02). การวิเคราะห์ SABR สมัยใหม่: สูตรและข้อมูลเชิงลึกสำหรับนักวิเคราะห์เชิงปริมาณ อดีตนักฟิสิกส์ และนักคณิตศาสตร์ (Springer Briefs in Quantitative Finance) ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 doi : 10.1007 / 978-3-030-10656-0 ISBN 978-3-030-10655-3ISSN 2192-7014 S2CID 182484805​​​  / ข่าวประชาสัมพันธ์นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา – 24 มิถุนายน 2562
• Gulisashvili, Archil; Horvath, Blanka; Jacquier, Antoine (Jack) (2016-11-22). " มวลที่ศูนย์ในแบบจำลอง SABR ที่ไม่มีความสัมพันธ์กันและค่าความผันผวนโดยนัย" SSRN 2563510